氢原子地量子理论-作业(含问题详解)
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
8.8 氢原子的量子理论
L
2
l 0 , 1, 2 , 3, , n 1
O
l : ( 轨道 )角（副）量子数
例如，n =3 时， l = 0，1，2
l 0, l 1, l 2,
L0 L 2 L 6
氢原子的量子理论
二、量子化条件和三个量子数
3、角动量空间量子化和磁量子数
当置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L 在外磁场方向（Z 轴）的投影也 满足量子化条件：
1、能量量子化和主量子数
me4 1
En ( 8 0 2h 2 ) n 2 ,
n 1, 2, 3, n：主量子数
E1
me4
8
2 0
h
2
13.6eV,
En
1 n2
E1
1 n2
13.6eV,
1）主量子数决定着氢原子能量的取值；
2）n=1，称为基态；n=2.3.4…… 称之为激发态；
3）与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解 结果，不是人为的假设，故这是一个自洽的理论体系。
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin 2
2 2
2m 2
(E
e2 4πε0
r
)
0
氢原子的量子理论
一、氢原子的薛定谔方程
分离变量法求解,设 : (r, , ) R (r ) Θ( )Φ( )
1 r2d drຫໍສະໝຸດ (r 2dR dr
)
2m 2
E
e2
4π 0r
r
2
R
0
1
sin
d sin θ dθ
dΘ dθ
ml2
sin 2
氢原子的量子理论简介
Sz
ms
h 2π
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
第十五章 量子物理
8
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
ms
1 2
Sz
1 2
h 2π
电子旳自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
ms
1 2
第十五章 量子物理
9
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
5 小结 原子中旳电子旳运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表达.
pdr R 2 r 2dr
π2
Θ sind
2π 2
Φ d
0
0
第十五章 量子物理
13
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
由归一化条件 pdr R 2 r 2dr
0
pdr
0
R
2r 2dr
1
R Cer / r1
C 2e2r / r1 r 2dr 1 0
得
C
4 r13
1/ 2
1/ 2
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取某些特定旳方向，L在外磁场 方向旳投影必须满足量子化条件
Lz
ml
h 2π
ml 0,1,2, l
磁量子数
第十五章 量子物理
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例如，l 1 时，
h
h
L l(l 1) 2
11-26氢原子的量子理论 第26章-例题
例7.多电子原子中，电子的排列遵循（ ）原理和（ ） 原理。 泡利不相容原理和能量最低原理
例8.当氢原子中的电子处在 n 3, l 2, ml 2, m s 1
的状态时，它的轨道角动量为 l ( l 1) 自旋角动量为 1 ( 1 1) 3 2 2 2
例7 试问氢原子处在 n=2 能级时有多少个不同的状 态？在不考虑电子自旋的情况下，对于各个状态，试 按量子数列出它们的波函数。 解： 氢原子的能量本征值 En 只依赖于主量子数 n ； n 确定后角量子数可取 0，1，2，…… (n-1), 共 n个值； 在给定 l 后磁量子数 m 可取 -l, -l+1,…0,…l-1, l, 共（2l+1） 个值； 属任一能级的量子态ψnlm 的数目为 n2。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
Lz 0, , 2 , 3
200 ,
211,
210 ,
211 .
例8 讨论氢原子的 200 , 210 , 211 , 211四个状态的宇称。 解： nlm 的宇称取决于 (1)
l
l 为偶数时为偶宇称; l 为奇数时为奇宇称。 故 ψ200 有偶宇称； ψ210， ψ211，ψ21-1 有奇宇称。
属n=2能级的量子态 共有4。 据题意，当 n=2 时，可能的波函数为
200 , 211, 210 , 211.
例2：根据量子力学理论，氢原子中电子的角动量在外 磁场方向上的投影为 Lz ml , 当角量子数 l=2时，Lz
的可能取值为何值。 解： 磁量子数取值为 ml l , l 1, 0,, l 1, l
Байду номын сангаас
[物理]26章氢原子的量子理论
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L y ih cos ctg sin L z ih
2
ˆ i r L
2 1 1 2 L h sin 2 2 sin sin
3
第26章 氢原子的量子理论
26.1 径向薛定谔方程
一 氢原子的薛定谔方程
e2 在氢原子中，电子的势能函数为： U (r ) 40 r 2
2 U (r ) r E r 2m 2
z
2
2m
2
e (E ) 0 40 r
z r cos
4
x r sin cos y r sin sin
r x y z
2 2 2
2
z r cos
r x sin cos x r
两边对x求偏导
z cos r
y tg x
两边对x求偏导
1 z r 1 cos cos 2 x sin r x r
r x2 y 2 z 2
x2 y 2 arctan z y 1 arctan x
x
y
x r sin cos
y r sin sin z r cos
可求出
Lx ih sin ctg cos
(1) (2)
2 1 d 2 dR 2m e l (l 1) 2 R 0 r 2 E 2 r dr dr 40 r r
(3)
其中 ml 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的 标准化条件，即可得到波函数 并且可得到： 能量量子化
大学物理学电子教案 氢原子的量子理论简介
可容纳的电子数为
n1
Nn22l12n2
21
l0
01 sp
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
Nn
1K 2
2
2L 2 6
8
3 M 2 6 10
18
4 N 2 6 10 14
32
5 O 2 6 10 14 18
50
6 P 2 6 10 14 18 22
72
7 Q 2 6 10 14 18 22 26 98
例题：试确定基态氦原子中电子的量子数。
2、角动量量子化及角量子数
求解氢原子波函数的经度方程，可得氢原子中电子的角动量 是量子化的
L ll 1 h ll 1 l 0 ,1 ,2 , ,n 1 2
其中l 叫做轨道角动量量子数或角量子数。
讨论：
•波耳理论的L=nh/2，最小值为h/2；而量子力学得出角
动量的最小值为0。实验证明，量子力学得结论是正确的；
Rnl2r2d r n 2lrdr| n0 |2
径向概率密度为：
pnl
(r)
2 nl
(r)
1s 2s 3s
| n1 |2
2p
| n2 |2
4s r
3p
4p
r
3d 4d
r
15
19-10 多电子原子中的电子分布
一、电子自旋 自旋磁量子数
1、斯特恩－盖拉赫实验
银原子通过狭缝，经 过不均匀磁场后，打
在照相底板上。s 态
23
小结
• 氢原子的量子理论简介 • 氢原子的定态薛定谔方程 • 三个量子数 • 氢原子在基态时的径向波函数和电子的分布概率
• 多电子原子中的电子分布 • 电子自旋 自旋磁量子数 • 四个量子数 • 多电子原子中的电子分布
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
最新氢原子的能级解析及经典例题
氢原子的能级:1、氢原子的能级图2、光子的发射和吸收①原子处于基态时最稳定，处于较高能级时会自发地向低能级跃迁，经过一次或几次跃迁到达基态，跃迁时以光子的形式放出能量。
②原子在始末两个能级E m和E n（m>n）间跃迁时发射光子的频率为ν，：hυ=E m-E n。
③如果原子吸收一定频率的光子，原子得到能量后则从低能级向高能级跃迁。
④原子处于第n能级时，可能观测到的不同波长种类N为：。
⑤原子的能量包括电子的动能和电势能（电势能为电子和原子共有）即：原子的能量E n=E Kn+E Pn。
轨道越低，电子的动能越大，但势能更小，原子的能量变小。
电子的动能：，r越小，E K越大。
⑥电离：就是从外部给电子以能量，使其从基态或激发态脱离原子核的束缚而成为自由电子。
例1.对于基态氢原子，下列说法正确的是（）A．它能吸收12.09ev的光子B．它能吸收11ev的光子C．它能吸收13.6ev的光子D．它能吸收具有11ev动能的电子部分能量A、基态的氢原子吸收12.09eV光子，能量为-13.6+12.09eV=-1.51eV，可以从基态氢原子发生跃迁到n=3能级，故A正确；B、基态的氢原子吸收11eV光子，能量为-13.6+11eV=-2.6eV，不能发生跃迁，所以该光子不能被吸收．故B错误；C、基态的氢原子吸收13.6eV光子，能量为-13.6+13.6eV=0，发生电离，故C正确；D、与11eV电子碰撞，基态的氢原子吸收的能量可能为10.2eV，所以能从n=1能级跃迁到n=2能级，故D正确；故选：ACD例2.氢原子的能级图如图所示．欲使一处于基态的氢原子释放出一个电子而变成氢离子，该氢原子需要吸收的能量至少是（)D．27.20eV A．13.60eVB．10.20eV C．0.54eV例3.氢原子的部分能级如图所示，下列说法正确的是（）A．大量处于n=5能级氢原子向低能级跃迁时，可能发出10种不同频率的光B．大量处于n=4能级的氢原子向低能级跃迁时，可能发出的最长波长的光是由n=4直接跃到n=1的结果C．大量处于n=3能级的氢原子向低能级跃迁时，可能发出的不同频率的光中最多有3种能使逸出功为2.23ev的钾发射光电子D．处于基态的氢原子可以吸收能量为10.5ev的光子而被激发A、根据C52==10知，这些氢原子可能辐射出10种不同频率的光子．故A正确；B、氢原子由n=4向n=1能级跃迁时辐射的光子能量最大，频率最大，波长最短，故B错误；C、氢原子由n=3能级的氢原子向低能级跃迁时，n=3→n=1辐射的光子能量为13.6-1.51eV=12.09eV，n=3→n=2辐射的光子能量为3.40-1.51=1.89eV，n=2→n=1辐射的光子能量为13.6-3.40=10.20eV，1.89＜2.23不能发生光电效应，故有两种光能使逸出功为2.23ev的钾发射光电子，故C错误；D、只能吸收光子能量等于两能级间的能级差的光子，n=1→n=2吸收的光子能量为13.6-3.40=10.20eV，n=1→n=3吸收的光子能量为13.6-1.51eV=12.09eV，故能量为10.5ev的光子不能被吸收，故D错误．故选：A．例4.如图为氢原子能级示意图的一部分，已知普朗克常量h＝6.63×10－34J·s，则氢原子（）A．从n=4能级跃迁到n=3能级比从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出电磁波的波长长B．从n=5能级跃迁到n=1能级比从n=5能级跃迁到n=4能级辐射出电磁波的速度大C．一束光子能量为12.09eV的单色光照射到大量处于基态的氢原子上，受激的氢原子能自发地发出3种不同频率的光，且发光频率的最大值约为2.9×1015HzD．一束光子能量为15eV的单色光照射到大量处于基态的氢原子上，能够使氢原子核外电子电离试题分析：从n=4能级跃迁到n=3能级比从n=3能级跃迁到n=2能级辐射出电磁波的能量要小，因此根据可知，因此A说法正确；从n=5能级跃迁到n=1能级比从n=5能级跃迁到n=4能级辐射出电磁波的速度一样都是光速，B错。
氢原子的量子理论简介
粒子在 x方向上的位置完全不确定.
第十五章 量子物理
33
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
自由粒子平面波函数
Ψ
( x,t
)
i
0e
2π h
( Et
px )
2 波函数的统计意义
概率密度 表示在某处单位体积内粒子 出现的概率
Ψ 2 *
正实数
第十五章 量子物理
34
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
例1 一束电子中，电子的动能 200eV， 求此电子的德布罗意波长 .
解
v c,
Ek
1 2
m0v2
v 2Ek m0
第十五章 量子物理
6
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
v
2
2001.6 1019 9.11031
m
s1
8.4 106
m
s-1
v c
第十五章 量子物理
2
物理学
第五版
15-9 氢原子的量子理论简介
德布罗意（1892 — 1987）
法国物理学家 1924年他在博士论文《关于 量子理论的研究》中提出把粒子 性和波动性统一起来. 5年后为此 获得诺贝尔物理学奖.爱因斯坦誉 之为“揭开一幅大幕的一角”. 它为量子力学的建立提供
了物理基础.
h m0v
6.631034 9.11031 8.4106
nm
8.67102 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
第十五章 量子物理
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
高考物理一轮复习文档：第十三章第1讲 原子结构 氢原子光谱讲义解析含答案
第1讲原子结构氢原子光谱板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】氢原子光谱Ⅰ1．原子的核式结构(1)电子的发现：英国物理学家J.J.汤姆孙发现了电子。
(2)α粒子散射实验：1909～1911年，英国物理学家卢瑟福和他的助手进行了用α粒子轰击金箔的实验，实验发现绝大多数α粒子穿过金箔后基本上仍沿原来的方向前进，但有少数α粒子发生了大角度偏转，偏转的角度甚至大于90°，也就是说它们几乎被“撞”了回来。
(3)原子的核式结构模型：在原子中心有一个很小的核，原子全部的正电荷和几乎全部质量都集中在核里，带负电的电子在核外空间绕核旋转。
2．光谱(1)光谱用光栅或棱镜可以把各种颜色的光按波长展开，获得光的波长(频率)和强度分布的记录，即光谱。
(2)光谱分类有些光谱是一条条的亮线，这样的光谱叫做线状谱。
有的光谱是连在一起的光带，这样的光谱叫做连续谱。
(3)氢原子光谱的实验规律巴耳末线系是氢原子光谱在可见光区的谱线，其波长公式1λ＝R⎝⎛⎭⎪⎫122－1n2，(n＝3,4,5，…)，R是里德伯常量，R＝1.10×107 m－1，n为量子数。
【知识点2】氢原子的能级结构、能级公式Ⅰ1．玻尔理论(1)定态：原子只能处于一系列不连续的能量状态中，在这些能量状态中原子是稳定的，电子虽然绕核运动，但并不向外辐射能量。
(2)跃迁：原子从一种定态跃迁到另一种定态时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这两个定态的能量差决定，即hν＝E m－E n。
(h是普朗克常量，h＝6.63×10－34J·s)(3)轨道：原子的不同能量状态跟电子在不同的圆周轨道绕核运动相对应。
原子的定态是不连续的，因此电子的可能轨道也是不连续的。
2．基态和激发态原子能量最低的状态叫基态，其他能量较高的状态叫激发态。
3．氢原子的能级图板块二考点细研·悟法培优考点1氢原子能级图及原子跃迁[深化理解]1．能级图中相关量意义的说明氢原子的能级图如图所示。
量子力学中的氢原子问题modified
2
y2
2
z2
2m 2
(
E
e 2 ) 4 0r
0.
y
为使求解的问题变得简便，通
常采用球坐标（r, , ）。
2/17
拉普拉斯算符 变为：
2
1
(r 2
)
1
(sin )
1
2
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin2 2
7/17
（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数
氢原子中的电子，绕核运动的角动量 L ，不仅 大小L是量子化的，其空间取向也是量子化的。 Detail 若取外磁场 B 的方向为 z 轴，角动量 L 在 z 轴
上的投影 Lz ，只能取：
Lz ml ,
其 中 m l 0, 1, ..., l . ml 称为磁量子数。
l=0 z
l=1 m=0
y
z
y
l=1
m=±1
z
y
| Y0,0 (
,
)
|2
1
4
球对称
|
Y1,0
(
,
)
|2
3
4
cos2
|
Y1,1(
,)
|2
3
8
sin2
17/17
作业 习题：13-42，44
19/17
En
me4
32 2 022
1 n2
me4
8
2 0
h2
1 n2
,
n 1, 2, 3, ...
13.6 1 (eV). n2
近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
氢原子的量子理论-作业(含答案)
第26章氢原子的量子理论习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω内的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指______________，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是__________。
3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值范围怎样分别是：(1)(2)(3)(4)。
4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为__个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为____个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）:铜（Z=29）: _____6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为____________________________。
7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。
8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。
9. 在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。
10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s 态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。
二、计算题11. 如果用13.0 eV 的电子轰击处于基态的氢原子，则： （1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？ （3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12. 写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
氢原子的量子力学处理
2、能量最小原理 原子系统处于正常态时， 原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先占据能量 最低的能级。 最低的能级。
例1、分别计算量子数n=2、l=1和n=2的电子的可能状态数。 分别计算量子数 =2、 =1和 =2的电子的可能状态数。 =2 =1 =2的电子的可能状态数 解： 对n=2、l=1的电子，可取 l=-1,0,1三种状态， 三种状态， 的电子， 三种状态 、 的电子 可取m 对每一种m 又可取m 对每一种 l，又可取 s=1/2,-1/2。故总的状态 。 数为： 数为： 对于n=2的电子， 可取0和1。 对于n=2的电子，l 可取0和1。 的电子
角动量空间取向量子化示意图(P352) 角动量空间取向量子化示意图
(ℏ)
z
(ℏ) 3zຫໍສະໝຸດ (ℏ) z 1 02 1
0
2 1
0
−1
l =1
−1 −2
l =2
−1 −2 −3
l =3
三、电子的自旋和自旋磁量子数 1921年 斯特恩(O.Stern)和格拉赫(W.Gerlach)从实 1921年，斯特恩(O.Stern)和格拉赫(W.Gerlach)从实 验中发现一些处于S 态的原子射线束， 验中发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一 束分为两束。 束分为两束。
1515-9 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的定态薛定谔方程 氢原子由一个质子和一个电子 组成，质子质量是电子质量的1837 组成，质子质量是电子质量的1837 可近似认为质子静止， 倍，可近似认为质子静止，电子受 质子库仑电场作用而绕核运动。 质子库仑电场作用而绕核运动。 电子的势能 或
⋅
⋅ ( x, y , z )
h Sz = ms 2π
ms —自旋磁量子数
量子力学：氢原子理论2
S N
P
e Pm L 2m B Fz Pmz z
m
应无偏转
• • •
轨道运动磁矩 不均匀磁场 (2l＋1)
基态银原子l＝0 L 0, LZ 0, PmZ 0
实验结果有两条偏转线。射线的偏转表明： 设自旋角量子数为S 即：
电子还应具有自旋角动量 写成 (2l＋1)
2
方程成立条件是两边同为一常数， 令：m
1 d 2 得： ml2 d 2
2 l
⑴
( )
1 2
e
iml
sin d 2 dR 2m 2 2 e (r ) 2 r sin ( E ) R dr dr 4 0 r
2 2
1 d d sin (sin ) ml2 d d
同一主壳层内有2n2个可能的量子态 简并度:
Z
l n 1 l 0
2 (2l 1) 2n 2
泡利不相容原理： 多电子的原子系统中，不可能有两个电子具 有相同的状态。也就是说，描述电子状态的两组 量子数（n1l1ml1ms1)和(n2l2ml2ms2)不完全相同的。 能量最小原理： 能量最小的状态是原子的最稳定的状态， 即原子的基态。电子在原子诸壳层中必须这样 分配，使得原子的能量为最小值。 电子的排布表达方法： 如：Z=18,氩 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 不正常，可容 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 5 Z=17 纳10个电子 Z=11 1s 2 2s 2 2 p 6 3s1 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 3d 6 4s 2 Z=26铁
L
l( l 1 )
l 0 ,1 ,2( n 1 )
15-9 氢原子的量子理论简介
nl表示电子态 表示电子态
如 1s 2p
3 角动量空间量子化和磁量子数 角动量空间量子化和磁量子数 空间量子化 当原子置于外磁场中， 当原子置于外磁场中 ， 角动量 L 在空间 取向只能取一些特 定的方向， 在外磁场方 取向只能取一些 特 定的方向 ， L在外磁场方 向的投影必须满足量子化条件
Lz = ml ℏ
7Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98
（二）能量最小原理 原子系统处于正常态时， 原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先 占据能量最低的能级。 占据能量最低的能级。
1 s → 2 s → 2 p → 3 s → 3 p → 4 s → 3d → 4 p → 5 s → 4 d → 5 p → 6 s → 4 f → 5d → 6 p
z
LZ
h h Lz = 0, , − 2π 2π
ℏ = h / 2π
L= 2ℏ
z
L ħ o ħ
第十五章
量子物理
4
空间量子化示意图 (ℏ ) z
(ℏ ) z 1 0
(ℏ ) 3
z
2 1
0
2 1
0
−1
l =1
L = 2ℏ
−1 −2
l=2
L = 6ℏ
−1
−2 −3
l=3
L = 12ℏ 对于一个给定的 l =0， ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 取向。 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
s=1/2 对所有的电子是相同的,不能成为区别 对所有的电子是相同的, 电子态的参数。 电子态的参数。
（2）自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量 ）自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量: h S z = ms ms称为自旋磁量子数 2π
第二章 玻尔氢原子理论习题
第二章 玻尔氢原子理论1.选择题:(1)若氢原子被激发到主量子数为n 的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：A ．n-1B .n(n-1)/2C .n(n+1)/2D .n(2)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：A.R/4 和R/9B.R 和R/4C.4/R 和9/RD.1/R 和4/R(3)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：A ．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e(4)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：A ．13.6V 和10.2V;B –13.6V 和-10.2V; C.13.6V 和3.4V; D. –13.6V 和-3.4V(5)由玻尔氢原子理论得出的第一玻尔半径0a 的数值是：A.5.291010-⨯mB.0.529×10-10mC. 5.29×10-12mD.529×10-12m(6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：A.可能出现10条谱线，分别属四个线系B.可能出现9条谱线，分别属3个线系C.可能出现11条谱线，分别属5个线系D.可能出现1条谱线，属赖曼系(7)欲使处于激发态的氢原子发出αH 线，则至少需提供多少能量（eV ）?A.13.6B.12.09C.10.2D.3.4(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？A.1B.6C.4D.3(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为:A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.57eV(10)用能量为12.7eV 的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）；A ．3 B.10 C.1 D.4(11)有速度为1.875m/s 106⨯的自由电子被一质子俘获,放出一个光子而形成基态氢原子,则光子的频率（Hz ）为:A ．3.3⨯1015； B.2.4⨯1015 ； C.5.7⨯1015； D.2.1⨯1016.(12)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：A.1/10倍B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍(13)玻尔磁子B μ为多少焦耳／特斯拉？A ．0.9271910-⨯ B.0.9272110-⨯ C. 0.9272310-⨯ D .0.9272510-⨯（14）已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的“正电子素”那么该“正电子素”由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：A．3R/8 B.3∞R/4 C.8/3∞R D.4/3∞R∞(15)象μ-子（带有一个单位负电荷）通过物质时，有些在核附近的轨道上将被俘获而形成μ-原子，那么μ-原子基态轨道半径与相应的电子轨道半径之比为（μ-子的质量为m=206m e）A.1/206B.1/(206)2C.206D.2062(16)电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：A.-3.4eVB.+3.4eVC.+6.8eVD.-6.8eV(17)根据玻尔理论可知，氦离子H e+的第一轨道半径是：A．2a B. 40a C. 0a/2 D. 0a/4(18)一次电离的氦离子H e+处于第一激发态（n=2）时电子的轨道半径为：A.0.53⨯10-10mB.1.06⨯10-10mC.2.12⨯10-10mD.0.26⨯10-10m(19)假设氦原子（Z=2）的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以eV为单位至少需提供的能量为：A．54.4 B.-54.4 C.13.6 D.3.4(20）在H e+离子中基态电子的结合能是：A.27.2eVB.54.4eVC.19.77eVD.24.17eV(21)夫—赫实验的结果表明：A电子自旋的存在；B原子能量量子化C原子具有磁性；D原子角动量量子化(22）夫—赫实验使用的充气三极管是在：A.相对阴极来说板极上加正向电压,栅极上加负电压；B.板极相对栅极是负电压,栅极相对阴极是正电压；C.板极相对栅极是正电压,栅极相对阴极是负电压；D.相对阴极来说板极加负电压,栅极加正电压(23）处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后,其轨道半径增为原来的A．4倍 B.3倍 C.9倍 D.16倍λ=1026Å的光子后电子的轨道磁矩为原来的（）(24）氢原子处于基态吸收1倍：A．3； B. 2； C.不变； D.92．简答题:（1）19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？（2）用简要的语言叙述玻尔理论，并根据你的叙述导出氢原子基态能量表达式.（3）写出下列物理量的符号及其推荐值（用国际单位制）：真空的光速、普朗克常数、玻尔半径、玻尔磁子、玻尔兹曼常数、万有引力恒量.（4）解释下列概念：光谱项、定态、简并、电子的轨道磁矩、对应原理.（5）简述玻尔对原子结构的理论的贡献和玻尔理论的地位与不足.(6) 波尔理论的核心是什么?其中那些理论对整个微观理论都适用?(7) 为什么通常总把氢原子中电子状态能量作为整个氢原子的状态能量?(8) 对波尔的氢原子在量子态时,势能是负的,且数值大于动能,这意味着什么?当氢原子总能量为正时,又是什么状态?(9)为什么氢原子能级,随着能量的增加,越来越密?（10）分别用入射粒子撞击氢原子和氦粒子,要使它们在量子数n 相同的相邻能级之间激发,问在哪一种情况下,入射粒子必须具有较大的能量?（11）当原子从一种状态跃迁到另一种状态时,下列物理量中那些是守恒的? 总电荷,总电子数,总光子数,原子的能量,总能量,原子的角动量,原子的线动量,总线动量.（12）处于n=3的激发态的氢原子(a)可能产生多少条谱线?(b)能否发射红外线?(c)能否吸收红外线?(13) 有人说:原子辐射跃迁所相应的两个状态能量相差越大,其相应的辐射波长越长,这种说法对不对?(14) 具有磁矩的原子在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同?(15) 要确定一个原子的状态,需要哪些量子数?3．计算题:(1)单色光照射使处于基态的氢原子激发,受激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出10条谱线.问:①入射光的能量为多少？②其中波长最长的一条谱线的波长为多少？（hc=12400eV ·Å）(2)已知一对正负电子绕共同质心转动会形成类似氢原子结构-正电子素.试求：①正电子素处于基态时正负电子间的距离；②n=5时正电子素的电离能（已知玻尔半径0a =0.529Å）.(3)不计电子自旋当电子在垂直于均匀磁场B 的平面内运动时,试用玻尔理论求电子动态轨道半径和能级（提示： B v m E e n⋅-=ϕμ221 ; n me 2 =ϕμ n p =ϕ） (4)氢原子巴尔末系的第一条谱线与He +离子毕克林系的第二条谱线(6→4)两者之间的波长差是多少?(R H =1.09678×10-3 Å, R He =1.09722×10-3 Å) (5)设氢原子光谱的巴耳末系的第一条谱线αH 的波长为αλ,第二条谱线βH 的波长为βλ,试证明:帕邢系的第一条谱线的波长为βαβαλλλλλ-=(6) 一个光子电离处于基态的氢原子,被电离的自由电子又被氦原子核俘获,形成处于2=n 能级的氦离子He +,同时放出波长为500nm 的光子,求原入射光子的能量和自由电子的动能,并用能级图表示整个过程.(7) 在天文上可观察到氢原子高激发态之间的跃迁,如108=n 与109=n 之间,请计算此跃迁的波长和频率.(8) He +离子毕克林系的第一条谱线的波长与氢原子的巴耳末系αH 线相近. 为使基态的He +离子激发并发出这条谱线,必须至少用多大的动能的电子去轰击它?(9) 试用光谱的精细结构常数表示处于基态的氢原子中电子的速度、轨道半径、氢原子的电离电势和里德伯常数.(10) 计算氢原子中电子从量子数为n 的状态跃迁到1-n 的状态时所发出谱线的频率.(11) 试估算一次电离的氦离子He +、二次电离的锂离子Li ++的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
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第26章 氢原子的量子理论 习题 (初稿)一、填空题1. 氢原子的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθϕθϕ=，请给出电子出现在~r r dr +球壳的概率为___________，电子出现在(),θϕ方向立体角d Ω的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。
3. 可以用用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个量子数各称和取值围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。
4. 根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n 确定后，对应的总量子态数目为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量子态数目为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电子排布规律： 钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原子核外的 3d 态电子，其可能的量子数有 个，分别可表示为____________________________。
7. 电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用 。
8. 类氢离子是指___________________，里德伯原子是指________________。
9.在主量子数为n=2，自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是________。
10.1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用_________来解释。
二、计算题11.如果用13.0 eV的电子轰击处于基态的氢原子，则：（1）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？（2）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12.写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
13. 已知氢原子处于状态()()()()()211021 1 11,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-，试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z 分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14. 若氢原子处于基态，求在0r a ≥区域发现电子的概率。
试问：若在半径为0r 的球发现电子的概率为0.9，则该半径多大？15. 证明：若氢原子处于角动量L =,z L =±描写的状态，则在该状态下，在45oθ=和135oθ=发现电子的概率最大。
16. 如果假定电子是直径为15110m d -=⨯的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。
已知电子的质量是319.10910kg -⨯。
17. 试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18. 给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并？19. 电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。
20. 什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别？21. 试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云？【参考答案】一、填空题1. ()22d ()d nl P r r R r r r =，()2d (,)lm P Y d θθϕΩ=Ω2. 不可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3. (1)主量子数n ，可取1,2,3,4… (2)角量子数l ，取值围0~(n-1) (3)磁量子数m ，取值围-l~+l (4)自旋量子数s ，取值围+1/2和-1/2 4. n 2， 2l+15. 2262611,2,2,3,3,4s s p s p s 226216101,2,2,3,3,,34s p s s p s d6. 10个， (3,2,0, ±1/2), (3,2, ±1, ±1/2), (3,2, ±2, ±1/2)7. 电磁相互作用8. 原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1 原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级 9. n 2=410. 电子自旋的角动量空间取向量子化二、计算题11. 解：（1）假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为()113.0eV 13.613.0eV 0.6eV E E =+=-+=-。
根据氢原子能级公式()21220014n E e E s a n nπε=-= 将1E 代入可得，4.8n ==≈ 所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。
（2）氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子：对于41→的跃迁，()()34871941 6.626103100.975101/16113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于42→的跃迁，()()34871942 6.62610310 4.86101/161/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于43→的跃迁，()()34871943 6.6261031018.8101/161/913.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于31→的跃迁，()()34871931 6.62610310 1.03101/9113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ 对于32→的跃迁，()()34871932 6.62610310 6.56101/91/413.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯对于21→的跃迁，()()34871921 6.62610310 1.21101/4113.6 1.60210hc m E E λ---⨯⨯⨯===⨯--⨯-⨯⨯ （3）要使基态氢原子电离，至少需要的电子能量为113.6eV E =。
12. 解： P 的原子序数为15，按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s 22s 22p 63s 23p 3。
1s ，2s 和3s 的6个电子0l =)0=。
2p 和3p 电子的9个电子1l =，)2=，该轨道角动量在z 方向的投影可以为0,,m =-。
13. 解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。
氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量1213.6eV 3.4eV 44E E -===-，其概率为1. 氢原子的角动量平方由l 决定，其表达式为()21l l +，从而该氢原子的角动量平方为()22212L l l =+=，其概率为1.氢原子的角动量z 分量由m 决定，其表达式为m，从而其可能取值为：())21220, 1/21/4, 23/4⎧==⎪⎨-==⎪⎩概率为P 概率为P 平均值为z 01/43/43/4L =⨯-⨯=-。
14. 解：氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为()()0022/2/10103/23024r a r a P r R r e ea a --===。
电子处于半径为0r 球的概率为()()020010002000221exp 2/1r r r P P r dr r a a a ⎛⎫==--++ ⎪⎝⎭⎰。
从而电子处在02r a ≥的概率为1减去电子处在半径为02a 球的概率，即()020020024004813exp 4/10.24r a a a P a a a a e ≥⎛⎫=-++=≈ ⎪⎝⎭(2) 求解超越方程()20000200221exp 2/10.9r r r a a a ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，可得002.66r a ≈15. 证明：根据题意可知，l=2,m=1，查表可知，波函数对应的球谐函数为：()2,115,sin cos 8i Y e ϕθϕθθπ±±=在(),θϕ对应的立体角d Ω发现电子的概率为()()22222,11515,sin cos sin 2832P d Y d d d θθϕθθθππ±Ω=Ω=Ω=Ω 可见，当/4,3/4θππ=时有极大值。
16. 解：电子自旋的角动量的大小为/2L =， 球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2221510J mR md ==，则其绕轴转动的角速度是22/251/10L J md md ω===表面最大的线速度是3411311555 6.62610/27.310m/s 249.10910110v d md ω---⨯⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ 讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。
电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。
17. 解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是12589.592nm,588.995nm λλ==，两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P 能级高/低B B μ，能级差为2134892231121116.62610 2.99710588.995589.592103.4410J 2.1510eVB E B hv hc μλλ----⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭=⨯=⨯又242.2710J/T 2B eem μ-==⨯ 从而电子受到的磁场为()22243.441018.6T 229.2710B EB μ--⨯===⨯⨯ 三、问答题18. 氢原子中，电子处在原子核的有心力场作三维运动，根据求解该薛定谔方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解： （1） 氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n ； （2） 氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数l ；（3） 电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数m 。
能级简并是指对于任意能量E n ，有一个主量子数n ，但（n,l,m ）的组合总计有n 2个，相应的有n 2个波函数，它描述了电子处于同一能级E n 时的n 2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量E n ，这种情况称为能级的简并。
19. 案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。
案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。
20. 全同粒子是指静质量，电荷，自旋等禀属性完全相同的同类微观粒子。