2018学年高中数学必修4课件：3.3 几个三角恒等式 精品

2．若 tan α2＝3，则 cos α＝________. 【解析】 ∵tan2α2＝11＋－ccooss αα＝9，
∴cos α＝－45. 【答案】 －45
教材整理 2 积化和差与和差化积公式 阅读教材 P126 链接以上内容，完成下列问题．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B．( ) (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B．( ) (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2 α－cos2 β.( ) 【解析】 (1)正确． (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B，故错． (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)，故错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
cos2α＝______2_____， 1－cos 2α
tan2α＝__1_＋__c_o_s_2_α__.
1．若 cos α＝－35，且 π＜α＜32π，则 cos α2＝________.
【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，
∴cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
5 5.
【答案】
－
5 5
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把 三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的 三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化 积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
[再练一题] 1．已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求 sin(α＋β)的值.
2α，cos2α＝1＋c2os
2α .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋θ)，其中 tan θ＝ba.
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，x∈4π，72π4的最小值，
并求其单调减区间．
【精彩点拨】
化简fx 的解析式 → fx＝Asinωx＋φ＋B
万能公式的应用 设 tan θ2＝t，求证：1＋s1i＋n θs＋in cθos θ＝12(t＋1)． 【精彩点拨】 利用万能公式，分别用 t 表示 sin θ，cos θ，代入待证等式 的左端即可证明．
【自主解答】
由
sin
θ θ＝12＋tatnan22θ2及
cos
θ＝11－ ＋ttaann2222θθ，得
教材整理 3 万能公式
阅读教材 P126～P127 的“链接”内容，完成下列问题．
2t
1－t2
2t
设 tan α2＝t，则 sin α＝__1_＋__t_2__，cos α＝__1_＋__t2___，tan α＝__1_－__t_2__.
1．若 tan α＝3，则 sin 2α＝________，cos 2α＝________.
阶
阶
段
段
一
三
3.3 几个三角恒等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．(重点) 2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 1 降幂公式
阅读教材 P121 例 3，完成下列问题． 1－cos 2α
sin2α＝______2_____， 1＋cos 2α
【解析】 ∵tan α＝3，∴sin 2α＝1＋2tatnanα2α＝35，cos 2α＝11－ ＋ttaann22αα＝－45.
【答案】
3 5
－45
2．若 tan α＝1，则 tan α2＝________.
【解析】
α
tan
α＝ 2tan 2 1－tan2
α，∴tan2 2
α2＋2tan
α2－1＝0，
解得 tan α2＝－1± 2.
【答案】 －1± 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
[小组合作型]
应用和差化积或积化和差求值 求 sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50° 的值． 【精彩点拨】 先降幂；再和差化积，或积化和差求解． 【自主解答】 原式＝1－co2s 40°＋1＋co2s 100°＋12(sin 70°－sin 30°) ＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.
→ ωx＋φ的范围 → 求最小值，单调减区间
【自主解答】
f(x)＝5
1＋cos 3· 2
2x＋
1－cos 3· 2
2x－2sin
2x
＝3 3＋2 3cos 2x－2sin 2x
＝3
3＋4
3 2 cos
2x－12sin
2x
＝3
3＋4sin
π 3cos
2x－cos
π 3sin
2x
＝3 3＋4sin3π－2x
2x－1π2＋1
＝2sin2x－1π2－π6＋1
＝2sin2x－π3＋1，∴T＝22π＝π.
(2)当 f(x)取得最大值时， sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)， 即 x＝kπ＋51π2(k∈Z)， ∴所求 x 的集合为{x|x＝kπ＋51π2，k∈Z}．
[构x)＝asin2ωx＋ bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质
探究 1 要研究上述 f(x)的性质必需把 f(x)化成什么形式？ 【提示】 把 f(x)化成 Asin(ωx＋φ)＋B 的形式．
探究 2 在上述转化过程中，要用到哪些公式？
【提示】
降幂公式：sin2α＝1－c2os
＝12＋×－－12122＝－45. 【答案】 －45
5．已知函数 f(x)＝2cos2x＋2 3sin xcos x＋3，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在0，3π上的最小值与最大值． 【解】 (1)f(x)＝2cos2x＋2 3sin xcos x＋3 ＝cos 2x＋ 3sin 2x＋4＝2sin2x＋π6＋4. 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
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[再练一题]
3．已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
【解】 (1)∵f(x)＝ 3sin 2·x－1π2＋1－cos 2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
【解析】
原式＝ sin cos
15°＋sin 15°＋cos
2255°°＝22csoins
20°cos 20°cos
5° 5°
＝tan 20°. 【答案】 tan 20°
3．已知 sin α＝ 55，cos α＝25 5，则 tan α2等于________．
【解析】 因为 sin α＝ 55>0，cos α＝25 5>0，
[再练一题]
2．已知
cos
θ＝－35，且
180°＜θ＜270°，求
θ tan2.
【解】 ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜2θ＜135°，∴tanθ2＜0.
由 cos θ＝11＋－ttaann2222θθ，得11－ ＋ttaann22θ2θ2＝－35，
解得 tan2θ2＝4.
又 tan2θ＜0，∴tanθ2＝－2.
【导学号：06460082】
所以 α 的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限．
所以 tan α2>0，故 tan α2＝
1－cos 1＋cos
α＝ α
【答案】 5－2
1－2
5
5 ＝
1＋2 5 5
5－2.
4．已知 tan α＝－12，则 sin 2α 的值等于________． 【解析】 sin 2α＝c2ossi2nαα＋·csoisn2αα＝1＋2tatnanα2α
1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.
【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12× 22＋12＝
2＋1 4.
【答案】
2＋1 4
2．化简：scions1155°°＋＋csoins 6655°°＝________.
1＋sin
θ＝11＋＋ttaann2θ2θ22
＝11＋ ＋tt22，
1＋sin θ＋cos θ＝211＋＋tatnan2θ22θ＝211＋＋t2t，
故1＋s1i＋n θs＋in cθos θ＝12(t＋1)．
在万能代换公式中不论 α 的哪种三角函数包括 sin α 与 cos α都可以表示成 tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可 将代数式表示成 t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证 明或三角式的求值.