中考数学第二十五题案例分析 (5)

中考数学第二十五题案例分析

三道河中学教师 张小龙

河北省中考数学试题第二十五题，在整套试题中占有举足轻重的作用，是两道压轴题中的其中之一，因此，做好第二十五题，对于中考考生来说至关重要，跟踪近几年中考，此题多为市场营销的利润题，但2009年发生了变化，变为与生活密切相关的室内装修建材设计，细心想来，其实，出题的路子与以往并无多大变化，只是选材发生了变化。现以2009年中考数学第二十五题为例，对如何解决第二十五题，谈一下自己粗略的认识，与同仁们共同探讨：

25．（本小题满分12分）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A

y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）m = ，n = ；

（2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；

（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，

并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

分析第一问：答案：（1）m=0 n=3

这一问实际上并不难，然而很多考生并未得到分，究其原因，

并不是此问有多深奥，而是很多同学根本就没读懂题，认真分析一下裁法一，就可以发现，用标准板材裁出A 、B 型板材只是将长150cm 尽可能多的裁出几个60cm 和40cm ，要求余料不能再裁，而宽度三种板材一样，所以，不必考虑。裁法一，A 板材1块，B 板材2块，合计60×1＋40×2=140，余料为10cm.裁法二：A 板材2块，用料60×2=120，150-120=30＜40，所以可裁B 板材0块即m=0。同理，裁法三，(150-0×60)÷40可得最大整数

值为3，即n=3.

点拨：中考时，遇到一些读起来有些费解的题目，不要被表面现象所蒙蔽，一定要有耐心，很多题目都能在生活中找到原型，要与实际生活结合起来，把他们看成是生活中的数学，建立出我们所学的数学模型，发现其中隐含的数学知识，多读两遍题，这样比较简单的题目就迎刃而解了。 分析第二问：答案：（2）2240x y +=，即

1

1202y x =-

23

180x z +=，即2

603z x =-

这一问，多数同学的疑问就出在：这些板材是否按一种或两种还是三种裁法一共裁出A板材240块，B板材180块，如何确定是按几种裁法裁出的呢？细心人当然一眼就能看出，也就是题中明确指出的：设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．所以，是三种裁法，共裁出A板材240块，B板材180块。即

可列式为：1x＋2y＋0z=240,整理得：x＋2y=240, 即

1

120

2

y x

=-

，

2x＋0y＋3z=180整理得：2x＋3z=180 即

2

60

3 z x =-

点拨：中考第二十五题在路子不变的情况下，第一问或第二问多数会与一次函数有关，当然一次函数的得出不完全一样，情况（1）：不把得出一次函数作为一个单独步骤，但在解题过程中需要直接或间接求出。例如2006年第二十七题；情况（2）：直接出现两个变量，例如市场营销利润问题中的，销售量随销售价的变化而变化。例如2003、2004年第二十七题；情况（3）：题中出现2或3个未知数，但作为变量不太明显，需要仔细读题找到等量关系后列式再变形成一次函数形式，如2007、2009年中考25题。做这类题首先需要明确属于哪一种情况，对于前两种情况，比较容易掌握。第三种情况，判断清楚了也应该没问题。

分析第三问：答案：（3）由题意，得

12

12060

23

Q x y z x x x

=++=+-+-

．

整理，得

1

180

6

Q x

=-

．

由题意，得

解得0≤x≤90．

【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】

由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．

此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

分析：本题中说明设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所

裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．所以很容易得出方程

12

12060

23

Q x y z x x x

=++=+-+-

整理，得

X+2Y=240, 2X+3Z=180,

1

120

2

y x

=-

2

60

3

z x

=-

≥0

X≥0

≥0

1

1806Q x

=-． 然后，根据后两种裁法成立的条件，即y ≥0、z ≥0得出公共解集0≤x ≤90.然后根据一次函数的

增减性：Q 随x 的增大而减小，所以，当x 取最大值90时，Q 最小=75.此时y=75.z=0.

点拨:此题的解法与2004年二十七题、2007年二十五题相似，属于较难的一次函数题。这类题到这一步，必须考虑题中所涉及的量成立，列出不等式组，求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出最适合的值。但中考第二十五题，有时候，到第三问会以二次函数的形式出现，出现形式是用第二问得出的一次函数代

入整道题的函数式中，整理后得出二次函数，然后通过配方或抛物线

2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭，求出最大值。这时候，特殊问题，因题而异，随机解决。

通过这一例题的分析，我们在做这种函数建模的问题应该注意

一、仔细审题，做到分层次去审题。比如先审题干的文字部分，审题干的表格，图形部分，知道题目中告诉了什么。

再审问题，要一个一个问题的审，看看需要求什么，然后分析里面的数量关系，等量关系。这样无论背景怎样创新，我们心中都会底气十足。

二、写出等量关系，把已知量和未知量一起代入等量关系，一般能够看出所建立的模型是一次函数还是二次函数。

三、根据函数解决问题，比如最值问题，需要考虑增减性、取值范围、顶点坐标和实际意义等。还有将函数转化为方程或不等式，即知x 求y 或知y 求x ,等。总之即：分析建模----------解决问题这一模式。