第8章 马尔柯夫预测法

P (k ) P k
¨8.1.8£ £ ©
´ k² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä k´ Î · ½ ¡ £
第二节 商品销售状态预测
一、马尔柯夫链预测方法的步骤 马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。 可按以下步骤来完 成。 第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。 由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。 如果目前预测对象处于状态 i， 这时 pij 就描述了目 前状态 i 在未来将转向状态 j 的可能性。
定义 8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0满足如下条件：
1
2
每个随机变量 X n 只取非负整数值； 对任意的非负整数 0，1，2，…N，当
P( X n1 j | X n i) pij 0
则称
（8.1.1）
X n , n 0
为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 0，1，2，…i， …j,...称为状态。
= p11 p 21 p N1 p12 p 22 pN 2

k 1 N k 1 N
p1k p k 2
2k

p p
k 1
pk 2 pk 2


Nk

p11 p 21 p N1
2
p kN k 1 N p 2 k p kN k 1 N p Nk p kN k 1
二、状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率 （8.1.2） 在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概 率，简称为状态转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某 系统在时刻 n 处于状态 i 的条件下， 到时刻 n+1 处于状态 j 的概率。 定义 8.1.2 称
P X n1 j X n i
pij P X n1 j X n i
为一步转移概率。
（8.1.3）
特别地，当 P X n j X 0 i pij 时， 称为 N 步转移概率，记为
pij (n)
三、状态转移概率矩阵 定义 8.1.4 称
p11 p 21 Ｐ＝ p N1
定义 8.1.5 与定义 8.1.4 类似，称
(k ) p11 (k ) p 21 p (k ) N1 (k ) p12 (k ) p 22 k) p1(N (k ) p2 N (k ) p NN
P (k )

(k ) pN 2
p
N
1k

p1 N p2 N p NN
p12 p 22 pN 2

p1 N p2 N p NN
p11 = p 21 p N1
p12 p22 pN 2

p1N p2 N p NN
p12 p1N p 22 p 2 N p N 2 p NN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 pij 1
p
j 1
N
ij
1
i, j 1,2, , N i 1,2, , N
（8.1.4）
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔柯夫链的 理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并 籍此对未来进行预测的一种方法。 在经济现象中存在一种“无后效性”。 即:“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态，而与其过去的历史无关。”
第一节 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取 什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值的 历史情况无关，即无后效性。具备这个性质的离散性随 机过程，称为马尔柯夫链。
N
p
( 2) ij
pik p kj
k 1
(k 1,2, N )
（8.1.6）
即系统从状态 i 出发， 经过２步转移到状态 j 的概率等于系统从 i 出发经一步转移到状态 k, 然 后再从状态 k 转移到状态 j 的概率。
Ê Ó ¹ Ð £ º
P ( 2)

Vi (2) [V1 (1) ri1 ] pi1 [V2 (1) ri 2 ] pi 2
=
[V (2 1) r ] p
j 1 j ij 2
2
ij
¬ £
i 1,2
¨8.4.2£ £ ©
Ô ´ Ò Ë À à Í Æ £ ¬ ¿ É µ Ã ¾ ­ ¹ ý n² ½ × ª Ò Æ º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó µ Ý Í Æ ¹ « Ê ½
( 2Baidu Nhomakorabea p11 ( 2) p 21
( 2) p12 ( 2) p 22

p
( 2) N1
p
N
( 2) N2
( 2) p1 N ( 2) p2 N ( 2) p NN
N p1k p k 1 k 1 N p p = 2 k k1 k 1 N p Nk p k 1 k 1
j 1
， i 1,2
（8.4.1）
这时，利润分布矩阵Ｒ变成期望利润分布矩阵
V1 (1) r11 V2 (1) r12 R V (1) r V (1) r 21 2 22 1
É ´ Ó Ë ¿ É µ Ã ¶ þ ² ½ × ª Ò Æ Ö ® º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª £ º
为 k 步转移概率矩阵。
k 步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
(k ) 0 pij 1
pij(k ) 1
j 1
N
i, j 1,2,, N i 1,2,, N
（8.1.5）
从状态转移概率矩阵的性质可知， 2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求 出。
Vi (1) qi
¬ £
i 1,2
精品课件！
精品课件！
案例应用P191
二、状态转移概率的估算
1、主观概率法
2、统计估算法
应用案例P183
第三节 市场占有率预测
一、市场占有率
企业的产品在市场销售总额所占的比例称为产品的市场占 有率。
利用马尔柯夫链预测模型，可以根据现有的市场占有率和转移概率预 测企业未来的市场占有率。
二、马尔柯夫链预测的基本原理
本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。
Vi (n) [V j (n 1) rij ] pij
j 1
¬ £
i 1,2
¨8.4.3£ £ ©
Ø ± Ì ð µ Ø £ ¬ µ ± n=1 Ê ±£ ¬ ¹ æ ¶ ¨ Vi (0) 0 ¡ £ ² ¢ ³ Æ Ò » ² ½ × ª Ò Æ µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª ¼ ´ Ê ±Æ Ú Í û À û È ó ¡ £ Ç Ò ¼ Ç
½ £
P
2
P ( 2) P 2
´ 2² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä Æ ½ · ½ ¡ £
¨8.1.7£ £ ©
à Ë À Æ µ Ø £ ¬ ¿ É Ò Ô Í Æ ³ ö
案例应用P188
第四节 期望利润预测
期望利润预测方法的基本思路如下： 设 Vi (n) 为现在处于状态 i 的商品，经过 n 步转移之后的期望利润。 为讨论方便起见，我们以仅有 2 种状态的情形为例说明期望利润预测方法的基本思路。 这时Ｎ＝２，经过一步转移之后的期望利润为：
2
Vi (1) ri1 pi1 ri 2 pi 2 rij pij