第8章 马尔柯夫预测法
第8章 马尔可夫预测方法(1)PPT课件
马尔可夫预测方法
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ X n X ( n )n , 0 ,1 ,2 , },
状态 I 空 (a 1 ,a 2 , 间 }a ,i R 为 .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意 n ,r和 的 0t1 正 t2 整 trm 数 ; ti,m ,n m T i, 有
马尔可夫预测方法
•
箭头表示跳跃的方向，数
字表示跳跃的概率，白环表示
青蛙保持不动。
此图表明：在一定时间内， 当青蛙开始时刻在第1片荷叶上时，它保持不动的概率为
0.3，它跳跃到第2片荷叶上的概率为0.6，跳跃到第3片荷叶 上的概率为0.1；
当青蛙开始时刻在第2片荷叶上时，它保持不动的概率为 0.4，它跳跃到第1片荷叶上的概率为0.2，跳跃到第3片荷叶 上的概率为0.4；
P {x(t1)jx(0)i0,x(1)i1,...,x(t)i}
P {x(t1)jx(t)i}
我们称满足上式的随机过程{x(t)}(t>0)为马尔可夫过程或马尔可 夫链，而把上式的随机过程{x(t)}称为马尔可夫性，它反映了前 一状态x(t-1) 、现状态x(t)和后一状态x(t+1)之间的链接. 因此，用马尔可夫链描述随机性状态变量的变化时，只需求在 某一点上两个相邻随机变量的条件分布就可以了.
马尔可夫预测方法
第一节 马尔可夫过程及其概率分布
一、马尔可夫过程的概念 二、马尔可夫过程的概率分布 三、应用举例
马尔可夫预测方法
一、马尔可夫过程的概念
1. 马尔可夫性(无后效性)
马尔可夫资料
过程 (系 或统 )在时 t0所 刻处的状态为 条件 ,过 下程在 t时 t0所刻 处状态的条件 与过程t0在 之时 前刻 所处的特 状性 态称 无 马尔可夫性或无后效性.
马尔可夫预测方法
几个基本概念 马尔可夫预测法
马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程. 它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分 析、近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代 物理、随机分形、公共事业中的服务系统、电子信息、 计算机技术等. 自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统 或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
同理可得
7 0.538 5 13 2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.153 8 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.307 7 13 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 )
即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3 求解该方程组得： 1＝0.365 3, 2＝0.352 5， 3
所以
3 P 0.200 0 11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 ) 15
7 P 0.466 7 12 P ( E1 E2 ) P ( E2 E1 ) 15
5 P 0.333 3 13 P ( E1 E3 ) P ( E3 E1 ) 15
n
i
1
使得
P
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向 量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平 衡向量。
第8章-马尔柯夫预测法
于是：
0.50 P(2) 0.444
0.50
0.167 0.222
0.4
2
0.333
0.334 0.1
0.49 0.25 0.26 ＝ 0.49 0.26 0.25
0.48 0.21 0.31
第八章 马尔可夫预测与决策法
8.2 商品销售状态预测
马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来 完成。
N
p1k pk1 k 1
N
= p2k pk1
k 1 N
pNk pk1
k 1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
k 1
k 1
p12 p22
定义 8.1.3 若对任意非负整数 n ，马尔柯夫链 X n , n 0的一步转移概率 pij (m) 与 m 无关，则称 X n , n 0为齐次马尔柯夫链。齐次马尔柯夫链的一步转移概率记为 pij 。
第八章 马尔可夫预测与决策法
例 8.1.1
例8.1.1 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000
第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。
由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。如果目前预测对象处于状态 Ei ，这时 pij 就描述了
目前状态 Ei 在未来将转向状态 E j （ j 1,2,N ）的可能性。按最大概率原则，我们选择
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
马尔可夫预测方法
状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 状态转移概率。在事件的发展变化过程中， 从某一种状态出发， 从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状 态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei 态的可能性，称为状态转移概率。由状态 转为状态E 转为状态 j的状态转移概率 P(E i → E j ) 是 P(Ei → E j ) = P(E j / Ei ) = Pij
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主要内容： 主要内容：
几个基本概念 1、状态 、 2、状态转移过程 、 3、马尔可夫过程 、 4、状态转移概率 、 5、状态转移概率矩阵 、 马尔可夫预测法 1、状态转移概率 、 2、状态转移概率矩阵 、
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二、马尔可夫预测法
表示事件在初始（ ＝ ） 状态概率 π j (k )：表示事件在初始（k＝0）状 态为已知的条件下，经过k次状态转移后 次状态转移后， 态为已知的条件下，经过 次状态转移后，在 个时刻（时期） 的概率。 第k 个时刻（时期）处于状态 E j 的概率。 且：
j =1 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概 条件概 根据马尔可夫过程的无后效性及 率公式， 率公式，有
（7.1） 7.1）
状态转移概率矩阵。 状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态 个可能的状态， 过程有 个可能的状态，即E1，E2， …，En。 ， 记为从状态E 转变为状态E 记为从状态 i转变为状态 j的状态转移概 率 P ( E i → E j ) ，则矩阵
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第8章马尔柯夫预测法共74页
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
计量地理学第8章 马可尔夫预测方法
如果三个公司在这个地区的初 始占有率为A=22%，B=49%， C=29% ， 且它们都不改变营业 状态和规模，问：
（1）明年和后年，三个公司在这 个地区市场占有率为如何？
（2）稳定状态下，三个公司的 市场占有率？
可能的状态的概率，即 (k) ，从而就得到该事件在
第k个时刻（时期）的状态概率预测。
(1) (0)P
(2) (1)P (0)P2
............
(k) (k 1)P (0)Pk
例题2:
将例题1中1999年的农业收
成状态记为 (0) =[0,1,0] ，将
状态转移概率矩阵，代入递推 公式，可求得2000—2010年可 能出现的各种状态的概率。
2＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。 结论：该地区农业收成的变化过程，在无 穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态 出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
归纳:马尔可夫预测方法的应用思路
第一步 求状态转移概率矩阵。 第二步 预测未来某时刻的状态概率。 第三步 预测终极状态概率。
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
一般地，将满足上述条件的任何矩阵都称为随
机矩阵，或概率矩阵。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每
个状态转移到其他任何一个状态的状态转移 概率：
Pij (i,j 1,2, , n)
为了求出每一个 Pij (i,j 1,2, , n) ，一般
今年的市场占有率 u=（0.22,0.49,0.29） 明年的市场占有率up=
0.80 0.10 0.10 （0.22,0.49,0.29） 0.07 0.90 0.03
马尔科夫预测方法.pptx
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终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率 ，即： ② 终极状态概率应满足的条件：
马尔可夫预测法
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③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为 则
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马尔可夫预测法
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例题2： 将例题1中1999年的农业收成状态记为 =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵（3.7.5）式及代入递推公式（3.7.8）式，可求得2000——2010年可能出现的各种状态的概率（见表3.7.2）。
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表3.7.2 某地区1990—2000年农业收成 状态概率预测值
例题1： 考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“欠收”状态。表3.7.1给出了该地区1960～1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
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表3.7.1 某地区农业收成变化的状态转移情况
几个基本概念
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状态转移概率。在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率是
（3.7.1）
状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即E1，E2，…，En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率 ，则矩阵
几个基本概念
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状态转移概率矩阵的计算。 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率 。 为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
08马尔柯夫预测法
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1
ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
精编第8章马尔柯夫预测法资料
N
p (k ) ij
1
j 1
i, j 1,2,, N
i
1,2,,
N
（8.1.5）
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8.1 马尔柯夫链简介
3. 状态转移矩阵
从状态转移概率矩阵的性质可知，2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵 求出。
N
p (2) ij
pik pkj
p22 p2N p21
pN2
p NN
pN1
p12 p1N
p22 p2N
pN2
p NN
p11 = p21 pN1
p12 p22
pN2
2
p1N p2N
＝
P2
pNN
P X mk E j X m Ei
£¨8.1.2£©
ÔÚ ¸Å ÂÊ ÂÛ ÖÐ £¬ Ìõ ¼þ ¸Å ÂÊ P( A | B) ± í ´ï ÁË ÓÉ × ´ ̬ £Â Ïò × ´ ̬ £Á × ª ÒÆ µÄ ¸Å ÂÊ £¬ ¼ò ³Æ Ϊ × ´ ̬ × ª ÒÆ ¸Å
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8章 马尔柯夫预测法
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔 柯夫链的理论和方法研究分析有关经济现 象变化规律并籍此对未来进行预测的一种 方法。
在经济现象中存在一种“无后效性”。 即“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前 一时刻的状态，而与其过去的历史无关。”
第八章 马尔可夫预测与决策法
5 7
3 4 0
7 7
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进⾏分析马尔可夫预测技术是应⽤马尔可夫链的基本原理和⽅法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的⼀种技术。
⽅法由来马尔可夫是俄国的⼀位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现⾃然界中有⼀类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，⽽与事物的过去状态⽆关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测⽅法，该⽅法具有较⾼的科学性，准确性和适应性，在现代预测⽅法中占有重要地位。
基础理论在⾃然界和⼈类社会中，事物的变化过程可分为两类:⼀类是确定性变化过程；另⼀类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯⼀确定的，或者说，对给定的时间，⼈们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可⽤时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不⽌⼀个，事先⼈们不能肯定哪个结果⼀定发⽣，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程⼀个随机试验的结果有多种可能性，在数学上⽤⼀个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，⼈们不仅需要对随机现象进⾏⼀次观测，⽽且要进⾏多次，甚⾄接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究⽆限多个，即⼀族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发⽣变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，⽤状态变量表⽰状态：=???==,2,1,,2,1t N i i X t 它表⽰随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由⼀种状态到另⼀种状态的变化。
设客观事物有 N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于⼀种状态，则每⼀状态都具有N 个转向（包括转向⾃⾝），即由于状态转移是随机的，因此，必须⽤概率来描述状态转移可能性的⼤⼩，将这种转移的可能性⽤概率描述，就是状态转移概率。
第八讲-马尔科夫预测法
马尔科夫预测法
第一节 基本原理
一、基本概念 1.随机变量 、 随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准确地预言它 取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有 一定的概率，那么称x为随机变量。
假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi 即P(x = xi) = Pi
对于xi的所有n个可能值，有离散型随机变量分布
2、马尔科夫过程
随机过程中，有一类具有“无后效性 性质”，即当随机过程在某一时刻to所处 的状态已知的条件下，过程在时刻t>to时 所处的状态只和to时刻有关，而与to以前 的状态无关，则这种随机过程称为马尔科 夫过程。
即是：ito为确知,it(t>to)只与ito有关，
这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。
列： ∑Pi = 1
对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1
在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定 是时间）的变化而变化.
如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。 这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以 时间t作参变量的随机函数称为随机过程。
也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试 验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先 未知的时间函数。
3.正规概率矩阵的性质
定理一 设P为NXN正规概率矩阵，则
A .P有且只有一个固定概率向量
U = [U1,U2, …… UN]
且U的所有元素均为正数 Ui > 0
B.NXN方阵P的各次方组成序列2 P3, P, P, …k… ,P 趋于方阵T，且T的每一个行向量都是固定概率向 量U。
即
U1 U2 …… UN
c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率.
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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p
( 2) ij
pik p kj
k 1
(k 1,2, N )
（8.1.6）
即系统从状态 i 出发， 经过２步转移到状态 j 的概率等于系统从 i 出发经一步转移到状态 k, 然 后再从状态 k 转移到状态 j 的概率。
Ê Ó ¹ Ð £ º
P ( 2)
定义 8.1.5 与定义 8.1.4 类似，称
(k ) p11 (k ) p 21 p (k ) N1 (k ) p12 (k ) p 22 k) p1(N (k ) p2 N (k ) p NN
P (k )
(k ) pN 2
p12 p1N p 22 p 2 N p N 2 p NN
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 pij 1
p
j 1
N
ij
1
i, j 1,2, , N i 1,2, , N
（8.1.4）
为 k 步转移概率矩阵。
k 步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：
(k ) 0 pij 1
pij(k ) 1
j 1
N
i, j 1,2,, N i 1,2,, N
（8.1.5）
从状态转移概率矩阵的性质可知， 2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵求 出。
( 2) p11 ( 2) p 21
( 2) p12 ( 2) p 22
p
( 2) N1
p
N
( 2) N2
( 2) p1 N ( 2) p2 N ( 2) p NN
N p1k p k 1 k 1 N p p = 2 k k1 k 1 N p Nk p k 1 k 1
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔柯夫链的 理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并 籍此对未来进行预测的一种方法。 在经济现象中存在一种“无后效性”。 即:“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态，而与其过去的历史无关。”
第一节 马尔柯夫链简介
一、马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取 什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值的 历史情况无关，即无后效性。具备这个性质的离散性随 机过程，称为马尔柯夫链。
j 1
， i 1,2
（8.4.1）
这时，利润分布矩阵Ｒ变成期望利润分布矩阵
V1 (1) r11 V2 (1) r12 R V (1) r V (1) r 21 2 22 1
É ´ Ó Ë ¿ É µ Ã ¶ þ ² ½ × ª Ò Æ Ö ® º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª £ º
案例应用P188
第四节 期望利润预测
期望利润预测方法的基本思路如下： 设 Vi (n) 为现在处于状态 i 的商品，经过 n 步转移之后的期望利润。 为讨论方便起见，我们以仅有 2 种状态的情形为例说明期望利润预测方法的基本思路。 这时Ｎ＝２，经过一步转移之后的期望利润为：
2
Vi (1) ri1 pi1 ri 2 pi 2 rij pij
½ £
P
2
P ( 2) P 2
´ 2² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä Æ ½ · ½ ¡ £
¨8.1.7£ £ ©
à Ë À Æ µ Ø £ ¬ ¿ É Ò Ô Í Æ ³ ö
Vi (1) qi
¬ £
i 1,2
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案例应用P191
二、状态转移概率的估算
1、主观概率法
2、统计估算法
应用案例P183
第三节 市场占有率预测
一、市场占有率
企业的产品在市场销售总额所占的比例称为产品的市场占 有率。
利用马尔柯夫链预测模型，可以根据现有的市场占有率和转移概率预 测企业未来的市场占有率。
二、马尔柯夫链预测的基本原理
本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。
二、状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率 （8.1.2） 在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概 率，简称为状态转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某 系统在时刻 n 处于状态 i 的条件下， 到时刻 n+1 处于状态 j 的概率。 定义 8.1.2 称
定义 8.1.1 设随机时间序列 X n , n 0满足如下条件：
1
2
每个随机变量 X n 只取非负整数值； 对任意的非负整数 0，1，2，…N，当
P( X n1 j | X n i) pij 0
则称
（8.1.1）
X n , n 0
为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 0，1，2，…i， …j,...称为状态。
Vi (2) [V1 (1) ri1 ] pi1 [V2 (1) ri 2 ] pi 2
=
[V (2 1) r ] p
j 1 j ij 2
2
ij
¬ £
i 1,2
¨8.4.2£ £ ©
Ô ´ Ò Ë À à Í Æ £ ¬ ¿ É µ Ã ¾ ¹ ý n² ½ × ª Ò Æ º ó µ Ä Æ Ú Í û À û È ó µ Ý Í Æ ¹ « Ê ½
= p11 p 21 p N1 p12 p 22 pN 2
k 1 N k 1 N
p1k p k 2
2k
p p
k 1
pk 2 pk 2
Nk
p11 p 21 p N1
2
p kN k 1 N p 2 k p kN k 1 N p Nk p kN k 1
Vi (n) [V j (n 1) rij ] pij
j 1
¬ £
i 1,2
¨8.4.3£ £ ©
Ø ± Ì ð µ Ø £ ¬ µ ± n=1 Ê ±£ ¬ ¹ æ ¶ ¨ Vi (0) 0 ¡ £ ² ¢ ³ Æ Ò » ² ½ × ª Ò Æ µ Ä Æ Ú Í û À û È ó Î ª ¼ ´ Ê ±Æ Ú Í û À û È ó ¡ £ Ç Ò ¼ Ç
p
N
1k
p1 N p2 N p NN
p12 p 22 pN 2
p1 N p2 N p NN
p11 = p 21 p N1
p12 p22 pN 2
p1N p2 N p NN
P (k ) P k
¨8.1.8£ £ ©
´ k² ¼ ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ È Ó Ú Ò » ² ½ × ´ Ì ¬ × ª Ò Æ ¸ Å Â Ê ¾ Ø Õ ó µ Ä k´ Î · ½ ¡ £
第二节 商品销售状态预测
一、马尔柯夫链预测方法的步骤 马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。 可按以下步骤来完 成。 第一步，划分预测对象（系统）所出现的状态。 第二步，计算初始概率。 第三步，计算状态转移概率。 第四步，根据转移概率进行预测。 由第三步可得状态转移概率矩阵Ｐ。 如果目前预测对象处于状态 i， 这时 pij 就描述了目 前状态 i 在未来将转向状态 j 的可能性。
P X n1 j X n i
pij P X n1 j X n i
为一步转移概率。
（8.1.3）
特别地，当 P X n j X 0 i pij 时， 称为 N 步转移概率，记为
pij (n)
三、状态转移概率矩阵 定义 8.1.4 称
p11 p 21 Ｐ＝ p N1