工程塑性理论(本构关系)

体积应变与平均应力（静水压、应力球张量） 关系 1 2 1 2 3 1 2 3 E
式中
1 2 3 3 m
1 2 m m E
——体积变化率
1 2 3 3 m——三倍的平均应力
所以，体积的变化率与平均应力成正比
4、硬化条件（单一曲线假设）
单向拉伸/压缩：应力-应变曲线
( )
加载点A：屈服应力 A ( A ) 含义：硬化材料 屈服应力随变形程度而提高， 且为瞬态应变函数。
复杂应力（二维、三维）， i s 达到屈服，硬化后 等效应力 i 提高， i 与等效应变 i
i A(B i )n
第三节、增量理论
1、Levy-Mises增量理论
（1）材料为理想刚塑性，服从Mesis 屈服准则 （2）应变增量主轴与应力主轴重合 (3) 应变增量与应力偏量成比例
d ij d ij '
塑性变形体积不变，只有形状的变化 塑性应变增量就是总的应变增量
Engineering Plasticity 工程塑性理论
塑性本构关系
苑世剑
2005年12月
2005级硕士研究生
第一节、弹性本构关系
第一节、弹性本构关系
1、单向应力
E
2、各向同性材料——虎克定律
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E
1）简单加载 2）小塑性变形（塑性变形数量 与弹性变形相当） n 3）硬化材料 i K i 或理想弹 塑性材料
1924年 Mesis提出增量理论 1943年 依留申提出全量理论
第四节
各向异性材料和可压缩材料增量理论
1、正交各向异性材料（LS-Dyna 37＃材料模型）
板料/管材成形考虑各向异性（r值） 各向异性扎制加工过程成形
3d ip 3d i d 2 i 2 i H
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x 3d i x 2 i H 3d i d ij ij 2 i H
3d i d y y 2 i H
3d i d z z 2 i H
1 2 d m d m E
由于考虑了弹性变形，引入了球张量，已知 d ij 求出 ij 对于硬化材料，变形过程每瞬时
d
为定值， d ij 与 ij
完全单值关系
3、硬化材料的增量理论
在复杂加载条件下，等效塑性应变总量

L
d i p
i H d i
L
p
d i H p 切线模量 d i
（2）非线性
xy
D B P
A
C
σ
x
（3）依赖于加载路径（应力状态不仅与应力状态有关，而 且与加载路径或历史有关）
硬化材料的塑性变形量完全取决于第一 次到达加载曲面时的应力状态。必须以加载为 前提，立足于每一加载瞬间，来建立塑性变形 时的应力应变关系。换句话说，建立塑性变形 时的应力应变关系必须考虑加载历史。
应力偏量与应变偏量关系
1 m 2G 1 m
2 m 2G 2 m 3 m 2G 3 m
ij ' 2G ij '


应力偏量与应变偏量成正比 形状的变化是由应力的偏张量引起的
平面应力状态下（板料成形），Hill正交异性屈服准则：
1 2r i [ 2 1 2 ]2 s r 1 2 1 2
r 2r45 r90 r 0 4
B r t
Levy-Mises增量理论：
d1 d i
i
( 1
r 2) 1 r
r d 2 ( 2 1) i 1 r
x
1
1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E
3
xy
1 XY G
. . . .
1 [ 3 ( 1 2 )] E
材料常数E， 钢：E 210GPa 铝：E 70GPa 0.3
（a）
弹性应变增量
e ij
e ，服从虎克定律 d ij
1 1 2 d d ij d m ij 2G E
（b）
（a）+（b），及Prandtl-Reuss方程
1 1 2 d ij d ij d ij d m ij 2G E
d ij 或 d ij 1 d ij 2G
2 2
2

2
E 1
2
其中：

1 2 2 3 3 1 2 i
2
i E i
1 2 2 3 3 1
2 2
2
2 1 i
等效应力与等效应变关系与单向拉伸时的应力应变关系相同 单向拉伸时的应力应变关系可以适应（推广）任意应力状态（二维、三维 应力状态）
J1
应力张量第一不变量
A、B、C-材料孔洞体积分数
F ij ij
本构方程：
3 1 1 ij ij kk ij 3 A 18B
B , A 1 不可压缩材料
第五节、材料模型选择
工艺 体积 成形 冷成形 等温成形 材料模型 本构方程 Levy-Mises 方程 （忽略弹性变形） 屈服条件 Mises 硬化条件 刚塑性（硬化） 理想刚塑性（硬化） 提供参数
3、加载准则（条件）
单向应力状态： d 0 加载，塑性应力应变关系 d 0 卸载，服从弹性规律 d 0 载荷不变，应变值不变 塑性变形功
dw p 0 dw p 0
复杂应力状态： id i 0 加载
id i 0
id i 0
卸载
i 不变） 中性变载（应力分量可能变化，
超塑性锻造
板料（管） 各向同性 成形 厚向各向异 性 各向异性 模具 线弹性 各向异性弹性 Prandtl方程 （弹塑性） Mises
刚粘塑性模型
(1)幂函数硬化 (2)拉伸数据
k,n K, n, r
K, n, r0, r45,r90
Hill
LS-dyna 37#
Barlet-Lian
LS-dyna 36#
主应力、主应变形式的Levy-Mises增量理论
张量形式：
2、Prandtl-Reuss增量理论
在Levy-Mises方程基础上，考虑弹性变形，即
e d ij d ijp d ij
塑性应变增量
p Levy-Mises方程 d，服从 ij p 3 d i d ijp d ij ij 2 s
2
R0 R90 1 R0 1 R90
x h y k2 2
2 2 p xy
2
a 22
c 2a
h R0 1 R90 1 R0 R90
参数p隐函数，通过迭代方法（代数方程数值解）
r
2m sm x y
单一曲线假设：在等向强化假设条件下， i 与 i 在各种应力状 态下存在某一函数关系 i ( i ) 与应力状态无关，只是材料 本身性质。
用单向拉伸/压缩试验确定硬化条件， 可以确定整个(弹性到塑性）应力应变关系。
常用硬化条件
（1）试验数据曲线

弹性：

0.05 100
0.1 110
G
E 2(1 )
用主应力、主应变表示的弹性的应力应变关系
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E
4、全量理论
1 1 2 3 2 i 1 2 2 3 1 i 2 i 1 3 3 1 2 i 2
1 i i
1.44
1.51
1.50
1.47
1.43
1.42
2、各向异性材料（Barlat-Lian）本构关系 （LS-Dyna 36＃材料模型）
ak1 k2 a(k1 k2 ) c(2k2 ) 2
m m m
对于面心立方材料：m=8, 体心立方材料, m=6
k1
m s
x h y
Hale Waihona Puke Baidu
3、弹性应力应变关系特点 1) 线性 2) 单值 3) 可逆 4) 应力主轴与应变主轴重合 5) 体积变化（平均应变）与静水应力成比例 6) 应变偏量与应力偏量成比例 7) 单向拉伸时的应力应变关系可以适应（推 广）任意应力状态
第二节、塑性本构关系特点与基本概念
1、塑性变形应力应变关系的特点
（1） 非单值

弹性本构关系：本构方程 塑性本构关系：（1）本构方程；（2）屈服条 件；（3）硬化条件（应力－应变关系曲线）
本构关系是材料物理性质，取决于材料本身, 与应力状态无关

2、加载方式
简单加载：各应力分量按比例增大，应力主轴方向保持不变
ij
o ij
η—常数或单调增量函数
复杂加载：应力分量之间无一定关系，应力主轴方向变化
弹性变形时任意应力状态下等效应力与等效 应变关系
用应力差与应变差成比例的形式表示为：
1 2 2 3 3 1 E 2G 1 2 2 3 3 1 1
1 2 2 3 3 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1
d 3 d i 1 2 i 1 r
d i
r=1各向同性材料本构关系/材料模型
d i 1 2 d 3 i 1 r
Measured points
0°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
Thickness (mm)
1.44
1.41
Material: 5A02 Condition: Cold drawing Size: Φ65×1.5mm
镁合金硬化曲线随温度变化
0.15 120
（2）双线性硬化模型
E tg
硬化模量： E1
tg
塑性：
i E i
E E1 100 0 i
i s E1( i s ) i
（3）幂函数硬化模型 多数金属材料，最常用
i K in
n值：板料成形重要参数，抗拉伸失稳能力 钢：n=0.22-0.24 不锈钢：n=0.3-0.4 （4）swift模型
1
定义迭代函数，用45度方向r值，求其数值解
g ( p)
2m s2 x y
1 r450
圆形件拉深（凸耳现象）
厚向各向异性（37＃）
各向异性（36＃）
3、可压缩材料（粉末材料）本构关系
2 2 F AJ BJ C 屈服准则（函数） 2 1 S 0 J 2 -应力偏量第二不变量
E E1, E2, E3
3 1 2 4
B B
T
不锈钢和碳钢应力应变关系曲线
1Cr18Ni9Ti
600
SUS304
500
stress MPa
400
300
STKM13B（日本）碳钢
200
100
0 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
Strain
铝合金硬化曲线随温度变化