食饵—捕食者模型
一类具非线性密度制约的食饵——捕食者模型的定性分析
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建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
数学建模 具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型 论文
《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
具有三种群的食饵-捕食者模型的研究
具有三种群的食饵-捕食者模型的研究作者：杨开应孔令聪徐廷富吴忠诚徐政来源：《科技风》2019年第22期摘要：本文在考虑具有三种群（植物、哺乳动物和爬行动物）的Volterra模型基础上，分析生态食物链之间的捕食关系。
在指数增长模型和Logistic模型的基础上，通过建立微分方程来描述不同种群之间的数量变化规律，并运用数学软件MATLAB对微分方程组进行数值求解。
然后对植物、哺乳动物和爬行动物三种群生存在同一环境中的相互依存、相互制约的稳定性进行分析找到平衡稳定点。
最后对数值结果和图形的观察，以及对平衡点进行分析和验证，得出种群间稳定的条件。
关键词：食饵-捕食者系统;三种群;Volterra模型;logistic项;稳定性1 绪论20世纪20年代意大利著名数学家Volterra建立了一个简单的食饵-捕食者模型，这个数学模型解答了由意大利生物学家D’Ancona所提出的问题[1]。
即：如果食饵的繁殖力下降，会导致捕食者的数量减少，但是却会增强捕食者的掠取能力;捕食者的死亡率上升，会导致食饵数量的增多，食饵对捕食者的供养能力增强，则会导致食饵的数量减少。
此类问题的提出和解决，为后来生物学家和数学家建立食饵-捕食者模型系统打下基础[1]。
如果在一个岛屿上生长着茂盛的植物，栖居着爬行动物和哺乳动物;哺乳动物依赖植物生存，爬行动物捕食哺乳动物，那么他们之间会有什么样的数量关系呢？运用数学模型描述、对食饵-捕食者系统的动态过程和稳定状态进行分析，不仅在生态学的研上具有重要意义，还会因与微分方程的定性理论有着密切联系，而引起大量的数学家的关注。
同时，了解种群间的增长规律有利于我们更好的进行农田管理以及对自然生态的宏观管理，使其健康持续发展。
2 具有三种群的食饵-捕食者模型我们把Volterra建立的这种只有两个种群的简单模型称作Volterra模型。
这种模型虽然能解释一些现象，但是Volterra模型存在描述的周期变化状态不是稳定结构等缺点。
食饵捕食模型
楚雄师范学院数学系《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型专业：信息与计算科学班级：08级3班学号：20081022152学生姓名：罗文枢完成日期：2011 年 6 月具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型摘要：在自然界中，更多的生物是杂居在一起的，各种生物根据其生理特点、食物来源分成了不同的层次，各层次之间及同一层次的生物种群之间有着各样的联系，尤其是相互之间影响非常大的生物种群，需要放在一起讨论，在这里，我们一两种群为例进行建模和讨论，具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型。
捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。
因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。
时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。
本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。
事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。
关键字：自身阻滞，稳定性分析，相轨线分析，平衡点分析，Logistic模型；一.问题重述：讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二．问题分析：本论文主要是讨论具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型。
我们用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程，即食饵会受到自然界中的资源所限制，它不仅会无限的增大，而且捕食者也会受到食饵的数量的影响。
此种情况下会出现以下的3种现象：1.当捕食者灭绝时，食饵也不会无限的增长，即指数函数型增长，因为有自身的阻滞作用，它达到某个数量就不在会增长而趋于稳定了；2.当食饵受到自然资源的影响的灭绝时，捕食者也会因食物而灭绝；3.当两种群都不灭绝时，它们会趋于某个非零的有限值，从而达到稳定状态。
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
食饵捕食者模型进一步研究(matlab)
一、食饵-捕食者模型的进一步研究
1）在食饵—捕食者模型（231页1，2式）中研究参数及初始值的变化对食饵和捕食者数量的周期、最大（小）值的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取三组不同初值分别为①x0=25,y0=2②x0=25,y0=4③x0=100,y0=2，在matlab中绘图如下
.
分析：
第一组作为对照组，第二组与第一组相比，捕食者初始数量增加，由图象可以看出，捕食者和食饵数量周期均缩短，最大值均变小，最小值均变大；第三组与第一组相比，捕食者和食饵数量周期均增长，最大值均变大，最小值均变小。
2）在上述模型中引入Logistic项（235页16，17式），分析相轨线及参数的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取五组不同的参数
①r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（对照）
②r1=2;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（食饵增长率变高）
③r1=1;r2=0.6;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（捕食者增长率高）
④r1=1;r2=0.3;σ1=4; σ2=8;N1=3000;N2=400;（σ1即捕食者掠取食饵能力变大）
⑤r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=12;N1=3000;N2=400;（σ2即食饵对捕食者的供养能力变大）
在matlab中绘图如下：
从图象可以看出：
⑴改变食饵增长率r1和捕食者增长率r2不会改变最后的稳定点，即最终的稳定点与食饵和捕食者的增长率无关。
⑵第一二三组比较，。
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。
食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。
在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。
本文将对该模型的稳定性进行分析。
一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。
我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。
模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。
二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。
我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。
三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。
1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。
计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。
具有恐惧效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支
具有恐惊效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：在生态学探究中，捕食者-食饵模型是一种常见的模型，用于探究捕食者和食饵之间的互相作用。
然而，有些状况下，食饵可能对捕食者具有恐惊效应，即食饵在觉察到捕食者的存在后会缩减其行动活动。
本文通过建立一个具有恐惊效应的捕食者-食饵模型，探讨了模型的稳定性和Hopf分支，以及恐惊效应对模型的影响。
关键词：恐惊效应，捕食者-食饵模型，稳定性，Hopf分支引言：在生态系统中，捕食者和食饵的互相作用对于维持生态平衡起着重要作用。
捕食者通过捕食食饵维持自身的生存，而食饵则通过防止或避开捕食者的攻击来提高自己的存活率。
然而，在一些状况下，食饵可能会遇到捕食者后丢失正常的行动活动，这种现象被称为恐惊效应。
恐惊效应的存在对于生态系统的稳定性以及捕食者-食饵模型的行为产生了重要的影响。
模型表述：我们思量一个简化的捕食者-食饵模型，其中食饵种群的动态由以下方程描述：$\frac{dF}{dt} = rF(1-\frac{F}{K}) - \alpha\frac{F}{P+PL}P$其中，$F$表示食饵种群的数量，$r$为食饵增长率，$K$为食饵种群的环境承载力，$P$表示捕食者种群的数量，$\alpha$是捕食者对食饵的捕食率，$L$代表食饵感知到捕食者的程度。
当$L$为0时，表示食饵没有感知到捕食者的存在；而当$L$较大时，食饵感知到捕食者的存在，会缩减其行动活动。
捕食者种群的动态由以下方程描述：$\frac{dP}{dt} = \beta \frac{F}{P_c + F}P - \gamma P$ 其中，$P$表示捕食者种群的数量，$\beta$是食饵对捕食者的增长率，$P_c$表示捕食者的投放数量，$\gamma$为捕食者的死亡率。
模型分析：为了探究模型的稳定性和Hopf分支，我们起首将模型的动态转化为无量纲形式。
假设$F = Kx$，$P = P_c y$，$t =\frac{1}{r} \tau$，将模型方程进行无量纲化后，可以得到： $\frac{dx}{d\tau} = x(1-x) - \mu \frac{x}{p +pL}y$$\frac{dy}{d\tau} = \frac{x}{p + x}y - y$其中，$\mu = \frac{\alpha K}{r}$，$p =\frac{P_c}{K}$。
具有扩散的捕食者-食饵模型的动力学行为
具有扩散的捕食者-食饵模型的动力学行为具有扩散的捕食者-食饵模型的动力学行为摘要：捕食者-食饵模型是生态学中研究捕食者和食饵种群相互作用的经典模型之一。
在实际生态系统中，捕食者和食饵种群常常存在地理空间上的扩散，并且扩散过程对模型动力学行为产生重要影响。
本文通过建立具有扩散的捕食者-食饵模型，研究了扩散对模型行为的影响，并通过数值模拟得到了一些有意义的结果。
关键词：捕食者-食饵模型；扩散；动力学行为；数值模拟1. 引言生态系统中的捕食者-食饵相互作用是生态学中的重要研究领域之一。
捕食者和食饵种群之间的相互作用可以对生态系统的稳定性和物种多样性产生重要影响。
为了研究这种相互作用，许多数学模型被提出，其中最经典的是Lotka-Volterra捕食者-食饵模型。
2. 捕食者-食饵模型Lotka-Volterra捕食者-食饵模型是由两个常微分方程组成。
假设食饵种群的增长率与捕食者种群的消耗率成正比，而捕食者的增长率与食饵种群的捕食率成正比。
基本的模型方程可以写为：$$\frac{dV}{dt} = rV - cVW$$$$\frac{dW}{dt} = pVW - dW$$其中，V和W分别代表捕食者和食饵种群的数量，r、c、p和d分别代表增长率、捕食率、食饵种群的增长率和捕食者的死亡率。
3. 添加扩散过程然而，在实际生态系统中，捕食者和食饵种群往往存在地理空间上的分布。
为了更真实地描述这种情况，我们需要在模型中加入扩散过程。
假设捕食者和食饵可以通过扩散来占据新的空间和利用新的资源，模型方程可以调整为：$$\frac{dV}{dt} = rV - cVW + D_v \nabla^2 V$$ $$\frac{dW}{dt} = pVW - dW + D_w \nabla^2 W$$其中，D_v和D_w分别代表捕食者和食饵的扩散系数，而\nabla^2代表拉普拉斯算子。
4. 数值模拟结果为了研究这个具有扩散的捕食者-食饵模型的动力学行为，我们进行了一系列数值模拟实验。
食饵-捕食者模型
⾷饵-捕⾷者模型数学模型课程设计论⽂⾷饵－捕⾷者模型系别专业学号姓名指导教师20**年06⽉22⽇⾷饵－捕⾷者模型摘要微分⽅程是研究函数变化规律的有⼒⼯具，在科技、⼯程、经济管理、⽣态、环境、⼈⼝、交通等各个领域中有着⼴泛的应⽤．在⽣产和科研中所处理的微分⽅程往往很复杂且⼤多得不出⼀般解．⽽实际上对于初值问题，⼀般是要求得到解在若⼲个点上满⾜规定精确度的近似值，或者得到⼀个满⾜精确度要求的便于计算的表达式．动态过程的变化规律⼀般要⽤微分⽅程建⽴的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要⽬的并不是要寻求动态过程每个瞬间的性态，⽽是研究某种意义下稳定状态的特性，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势．本⽂以MATLAB为软件平台，对⼤⾃然中的⾷饵—捕⾷者模型进⾏研究．通过建模，借助常微分⽅程的稳定性理论对模型进⾏分析，得出该模型的平衡点和稳定性，得到⼆者长期共存的条件，并将其他因素添加到模型中加以考虑，对模型进⾏进⼀步改进．最后，将该模型应⽤到实际中，⽤以指导⽣产实践，使之更好地为⼈类服务．关键词：平衡点，相轨线，稳定性，封闭⽬录摘要....................................................................................................................... I 1 绪论 .. (1)1.1 模型背景 (1)1.2 Volterra⾷饵—捕⾷者模型 (2)2 模型的分析与求解 (3)2.1 模型求解 (3)2.1.1 数值解 (3)2.1.2 平衡点及相轨线 (5)2.1.3 周期及平均值 (7)2.2 模型解释 (7)3 模型的评价与改进 (9)3.1 模型的改进 (9)3.2 模型的应⽤ (10)3.3 模型的局限性 (11)总结 (12)参考⽂献 (13)1 绪论微分⽅程是研究函数变化规律的有⼒⼯具，在科技、⼯程、经济管理、⽣态、环境、⼈⼝、交通等各个领域中有着⼴泛的应⽤．在⽣产和科研中所处理的微分⽅程往往很复杂且⼤多得不出⼀般解．⽽在实际上对初值问题，⼀般是要求得到解在若⼲个点上满⾜规定精确度的近似值，或者得到⼀个满⾜精确度要求的便于计算的表达式．因此，研究常微分⽅程的数值解法是⼗分必要的．⾃然界中不同种群之间存在着⼀种⾮常有趣的既有依存、⼜有制约的⽣存⽅式：种群甲靠丰富的⾃然资源⽣长，⽽种群⼄靠捕⾷种群甲为⽣，⾷⽤鱼和鲨鱼、美洲兔和⼭猫、落叶松和蚜⾍等都是这种⽣存⽅式的典型．⽣态学上称种群甲为⾷饵，种群⼄为捕⾷者，⼆者共处组成⾷饵—捕⾷者系统．近百年来许多数学家和⽣态学家对这⼀系统进⾏了深⼊的研究，建⽴了⼀系列数学模型，本⽂介绍的就是该系统最初的、最简单的⼀个模型．1.1模型背景意⼤利⽣物学家D’Ancona曾致⼒于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第⼀次世界⼤战期间，地中海各港⼝捕获的⼏种鱼类捕获量百分⽐的资料中，发现鲨鱼等的⽐例有明显增加（见表1），⽽供其捕⾷的⾷⽤鱼的百分⽐却明显下降．显然战争使捕鱼量下降，⾷⽤鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的⽐例⼤幅增加呢？表1.1 鱼类捕获量百分⽐D ’Ancona ⽆法解释这个现象，于是求助于著名的意⼤利数学家V.Volterra ，希望建⽴⼀个⾷饵—捕⾷者系统的数学模型，定量地回答这个问题[1]．1.2 Volterra ⾷饵—捕⾷者模型⾷饵（⾷⽤鱼）和捕⾷者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作()x t ，()y t ，因为⼤海中的资源丰富，假设当⾷饵独⽴⽣存时以指数规律增长，（相对）增长率为r ，即dx rx dt =，⽽捕⾷者的存在使⾷饵的增长率减⼩，设减⼩的程度与捕⾷者数量成正⽐，于是()x t 满⾜⽅程： ()dx x r ay rx axy dt=-=- (1.1) ⽐例系数a 反映捕⾷者掠取⾷饵的能⼒．捕⾷者离开⾷饵⽆法⽣存，设它独⾃存在时死亡率为d ，即dy dy dt=-，⽽⾷饵的存在为捕⾷者提供了⾷物，相当于使捕⾷者的死亡率降低，且促使其增长．设这种作⽤与⾷饵数量成正⽐，于是()y t 满⾜：()dy y d bx dy bxy dt=-+=-+ (1.2) ⽐例系数b 反映⾷饵对捕⾷者的供养能⼒．⽅程（1.1），（1.2）是在⾃然环境中⾷饵和捕⾷者之间依存和制约的关系，这⾥没有考虑种群⾃⾝的阻滞增长作⽤，是Volterra 提出的最简单的模型[2]．。
食饵—捕食者模型进一步研究
结果分析与不足：
生物界中经常都会遇到食饵—捕食者模型这种现象，但是很多人在讨论的时候会忽视了自身阻滞作用，尽管Volterra模型可以解释一些现象，但是它作为近似反映现实对象的一个数学模型，比如存在不少局限性，所以我们就考虑了自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，就是在Volterra模型中加入考虑自身阻滞作用的Logistic项，虽然这种比Volterra模型好些，但是还是存在些缺点，比如外界对生物的影响等，食饵，鲨鱼初始值的变化使得鲨鱼所占比例在战争中与战争后的变化曲线的周期发生了显著变化。也使得鱼饵与鲨鱼达到最大环境容量的时间及数量放生了显著变化，这符合自然界相互竞争的两种群之间的相互关系，但由于水平所限，没能很好的分析相轨线及参数的影响。
五、问题分析：
该问题的焦点在于；在研究的15年期限内，鲨鱼在鱼的捕获量中所占的比例明显上升而被捕食者（食用鱼）所占比例却呈下降趋势，显然战争使捕鱼量下降，生态系统中总的鱼量增加，食用鱼增加，鲨鱼等也增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加而食用鱼的比例却下降那？据此分析外界的有利因素更有利于强者生存的条件。
六、模型求解：
[t1,x]=ode45('shier1',[0 15],[5 11]);
[t2,y]=ode45('shier2',[0 15],[5 11]);
x1=x(:,1);x2=x(:,2);
x3=x2./(x1+x2);
y1=y(:,1);y2=y(:,2);
y3=y2./(y1+y2);
figure(3)
（5）Matlab运行结果:
若不考虑战争的情况下 ， 随时间的变化
若考虑战争的情况下 ， 随时间的变化
稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题
情况建立一个数学模型。后来，Volterra成功地利用微分
方程20组21/3解/3 释了这一现象。
3
建立微分方程组模型
设食用鱼的数量为x(t)，鲨鱼等软骨鱼的数量为y(t)，根据 鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实，假设a为食饵(食用鱼)的 自然增长率，b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数， c为捕食者死亡率，f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者 增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组：
平衡点为P1(0,0,0)，P2(r2/λ2,r1r2/rλ2,r1/λ1)，P2点中X11和X2 结果与本节前面一样
2021/3/3
13
Volterra级数
是一种泛函级数，由意大利数学家Volterra于1880年首 先提出，当时是作为对Taylor级数的推广而提出的。
1912年，Volterra将这种泛函级数用于研究某些积分方 程和积分---微分方程的解。
ẋ11=rX12-λ1X11X2， ẋ12=r1X11-rX12， 未成年食饵没有被掠食，但有部分减 少了，rX12是未成年变成成年食饵的数量。 ẋ2=X2(-r2+λ2X11) 式中其余符号与本节(1)式的相同，λ1是捕食者掠取食饵的 能力，r1是繁殖率，rX12是未成年变成成年食饵的数量，r2 是死亡率，λ2是食饵X11对捕食者的供养能力。
ya eby
xc e fx
K
(4)
其中，K为任意常数，由初始条件确定。
2021/3/3
6
定理1 对于x>0，y>0，方程(4)给出了一族封闭曲线(相 轨线)，且每条封闭曲线不包含方程组(1)的任何平衡点。
由定理1，当x(0)及y(0)皆为正数时，方程组(1)的解x(t)， y(t)都是时间t的周期函数，设周期为T>0。
食饵-捕食者模型
d bx r ay dx dy x y
d ln x bx r ln y ay c1
(x e
取指数
d
bx
)( y e
r
ay
)c
c 由初始条件确定
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
f ( x) fm
( xd ebx )( y r e ay ) c
相轨线趋向极限环
10 0
结构稳定
0
5
10
15
20
两种群模型的几种形式
相互竞争
x1 x2 x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 2 (t ) r2 x2 1 2 1 N 1 N , x N N 1 2 1 2
x(t) 的“相位”领先 y( t )
x(t)
T3 : x(t ) y(t )
y(t)
T4 : x(t ) y(t )
T1 2 T2 4 T3
6
8
T410
12
模型解释
捕食者 y r 数量 a r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力
30 25 20 15
P(d / b, r / a )
弱肉强食
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
, y0 ) 初值 P0 ( x0
0 x 0 y
P
T4
0 0
120 100 80 60 40 20 0 0
5
0 x 0 x 0，y 0 P0 y
•
T1
100 120
相轨线的方向
20
40
食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型是描述捕食者和食饵之间相互作用的一种数学模型。
其差分方程形式可以表示为：
N(t+1) = N(t) + r*N(t)[1 - N(t)/K] - c*N(t)*P(t)
P(t+1) = P(t) + e*c*N(t)*P(t) - d*P(t)
N(t)表示食饵的数量在时间t的时候，P(t)表示捕食者的数量在时间t的时候。
参数r表示食饵的自然增长率，K表示食饵的环境容纳量，c表示食饵与捕食者之间的捕食率，e表示捕食者将食饵转化为自身的效率，d表示捕食者的自然死亡率。
差分方程描述了食饵和捕食者之间的交互作用。
第一行的方程表示食饵的数量根据自然增长率和环境容纳量的限制而变化，同时受到捕食者的捕食率的影响。
第二行的方程表示捕食者的数量根据食饵的消耗和转化效率而变化，同时受到自然死亡率的影响。
通过解析这个差分方程，可以得到在不同参数条件下食饵和捕食者数量的变化规律，从而对生态系统中食饵和捕食者之间的相互作用进行定量分析和预测。
食饵捕食者模型
食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
食饵捕食者模型
摘要
自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式： 种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲 为食饵 (Pr ey ) ，种群乙为捕食者 (Pr edator ) ，二者共处组成食饵——捕食者系统 （简称 P P 系统） 。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食 饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻 滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
第 8 页
共 8 页
(t ) rx(1 x
其中因子 (1 用，
x ) N
x ) 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作 N
x 可解释为相对于 N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物 N 总量为 1） 。 当两个种群在同一自然环境中生存时， 考察由于乙消耗同一种有限资源对甲 x 的增长产生的影响，可以合理的在因子 (1 ) 中再减去一项，该项与种群乙的 N
MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1; xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear; >> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0); >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
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《数学模型》课程
食饵—捕食者模型
3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者
选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率
二模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
三模型建立
食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为
1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程
axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足
bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。
结果如下。
不考虑自身阻滞作用:数值解
令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解 求解如下
1）先建立M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令： ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
>> ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
ans =
省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),
>>>> pause
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x 的最大最小值分别为99.3，2.0，y 的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）
考虑阻滞作用
下面对（3）（4）进行平衡点稳定性分析： 由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x g x x f σσ 令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。
按照判断平衡点稳定性的方法计算：
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤-+--
--=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()
21(2211221
2
222
1112
2
111121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：
五模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：
1) 对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。
意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。
2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2
12211
1)
1()1(σσσσ+-++r r ，q =
2121211)1)(1(σσσσ+-+r r ，故当2σ>1时，平衡点)1)
1(,1)1((212221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。
意义：如果)1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定，则两物种恒稳发展，会互相依
存生长下去。
3)对)0,0(3P 而言，由于21r r p +-=，21r r q -= ，又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。
六用MATLAB 求解验证
下面将进行MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线
图形。
设21=σ，62=σ，11=r ，3.02=r ，30001=N ,4002=N ,使用MATLAB 软件求 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400)];
2)在命令窗口输入如下命令：
ts=0:0.1:20
ts =省略
>> x0 =[3000 60] x0 =
3000 60
>> [t,x]=ode45('fun',[0,20],[3000,60])
t =省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(1t x ，)(2t x 的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ，)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。
参考文献：数学模型（教材，第三版）P192-P196。