高考数学-填空题的解法技巧

(1)已知点
P(x，y)的坐标
x，y
满足x－2y＋1≥0， |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是
________________________________________________________________________．
(2)(2016·枣庄模拟)已知函数
填空题的解法技巧
题型概述 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力． 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一 直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要 善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基 本方法．
解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空
题的关键．
跟踪演练 1 (1)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等
于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析 (1)令 α＝0°， 则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32. (2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点 E，F，G 分 别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为 OA＝6，OB＝4，OC＝2， 如图，则可计算 S1＝3 5，
S2＝2 10，S3＝ 13，故 S3<S2<S1.
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝252＋×356×－616＝34，∴sin A＝ 47，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝162＋×245×－536＝18，
∴sin C＝38 7，
∴ssiinn2CA＝2×334×7
7 4 ＝1.
8
答案 (1)－3 (2)1
思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些
则ttaann CA＋ttaann CB＝________. (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 f(x) ＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案 (1)4 (2)－8
例 2 (1)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________． (2)如图，在三棱锥 O—ABC 中，三条棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA>OB>OC，分别经过
三条棱 OA，OB，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1，S2，S3，则 S1，S2， S3 的大小关系为________．
答案
3 (1)2
(2)S3<S2<S1
思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于
求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种
方法求解．
跟踪演练 2 (1)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ba＋ab＝6cos C，
例1
(1)已知函数 f(x)＝lxo－g22，1－x≥x＋1，1，
x<1， 若 f(a)＝3，则 a＝________.
(2)(2015·北京)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝________.
解析 (1)∵a≥1 时，f(a)≤1，不适合．
∴f(a)＝log2(1－a)＋1＝3，∴a＝－3. (2)由余弦定理：
(2)(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项和 等于________．
答案 (1)44 (2)2n－1
解析 (1)由题意，得|PQ|＝16，线段 PQ 过双曲线的右焦点，则 P，Q 都在双曲线的右支上．由
双曲线的定义，可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加，得， |PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式 f(x)>e3x＋1(e 为自然对数 的底数)的解集为________． 解析 (1)如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，
则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以 CD＝ 22＋ 22＋ 22＝2R， 所以 R＝ 26，故球 O 的体积 V＝4π3R3＝ 6π.
跟踪演练 4 (1)1e64 ，2e55 ，3e66 (其中 e 为自然对数的底数)的大小关系是________．
(2)已知三个互不重合的平面 α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线 m、n 不重合，由下列三个条
件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.
能推得 m∥n 的条件是________．
“ 和 谐 点 对 ”( 点 对 [M ， N] 与 [N ， M] 看 作 同 一 对 “ 和 谐 点 对 ”) ． 已 知 函 数 f(x) ＝
ex，x<0，
x2－4x，x>0，
则此函数的“和谐点对”有________对．
答案 (1)(0,2) (2)2
解析 (1)
将函数 f(x)＝|2x－2|－b 的零点个数问题转化为函数 y＝|2x－2|的图象与直线 y＝b 的交点个数 问题，数形结合求解． 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0， 得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示． 则当 0<b<2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点． (2)作出 f(x)＝exx2，－x4<x，0，x>0 的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为 y＝ex (x<0)和 y＝－x2－ 4x(x<0)的图象的交点个数(如图)．
方法三 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对 图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一 次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义， 准确规范地作出相应的图形．
例3
上单调递增，因此有 f(4)<f(5)<f(6)，即1e64 <2e55 <3e66 .
(2)构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面 α 为平面 ADD′A′，
平面 β 为平面 ABCD，则直线 m 为直线 AD.
因为 m∥γ，故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′， 因为 n⊂γ 且 n∥β，故可取直线 n 为直线 A′B′. 则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线，故 m 与 n 不平行． 对于①：α、β 取②中平面，取平面 γ 为平面 BCC′B′，可取直线 n 为直线 BC，故可推得 m∥n； 对于③：α，β 取②中平面，取 γ 为平面 AB′C′D，取直线 n 为直线 B′C′，故可推得结 论． 方法五 正反互推法 多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求 较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结 论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论． 例 5 已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0,1)时，f(x) ＝log2(x＋1)，给出下列命题： ①f(2 016)＋f(－2 017)的值为 0；②函数 f(x)在定义域上为周期是 2 的周期函数；③直线 y＝x 与函数 f(x)的图象有 1 个交点；④函数 f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________． 解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线 y＝x 和函数 f(x)的图象如下：
由图象知，函数 f(x)有两对“和谐点对”． 方法四 构造法 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过 程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代 数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模 型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具 体的数学模型，达到快速解题的目的． 例 4 (1)如图，已知球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，DA⊥平面 ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝ 2，则球 O 的体积等于________．
则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，
故△PQF 的周长为 44.
(2)由等比数列性质知 a2a3＝a1a4，又 a2a3＝8，a1＋a4＝9，∴联立方程aa11＋a4＝a4＝8，9， 解得
a1＝1，
或a1＝8，
a4＝8
a4＝1，
又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8， 从而 a1q3＝8，∴q＝2. ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn＝11－－22n＝2n－1.
思维升华 数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，
以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的
关系．
跟踪演练 3 (1)(2015·湖南)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是