现代控制理论第八章

2005-11-5
第八章 状态估计
X 的线性最小方差估计为
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
3 10 , z 1 7 7 Z , z0 10 10 17 10 , z 1
估计误差为方差
估计误差的方差为
1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 5 ˆ E ( X X V )2 10 3 10 3 10 4 10 4 10 3 10 3 24



ˆ ˆ ( z ) E ( X z )] [ X ( z ) E ( X z )] [X



[ X E( X
z)][ X E ( X z )] p( X z )dx D( X z )

ˆ ˆ 可知，当且仅当 X ( z ) E ( X z ) X MV (Z ) 时，方差

D( X
z )g ( z )dz
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第八章 状态估计
ˆ 解 XV E( X / Z )
5 2 , 当 z -1 时 5 , 当 z 1时 2
例8.2.2
源自文库
已知被估计量 x 和观测量 z 的联合分布
如表8-2所示,试求 x的最小方差估计和线性最小 方差估计。
8.1.2差分方程模型
随机差分方程模型
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u (k ) b1u(k 1) bmu(k m) (k ) c1 (k 1) c p (k p)
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第八章 状态估计
10 10 10 10 10 1 2 1 2 EZ (1) 1 0 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2
1 17 2 7 1 7 3 3 1 3 2 173 81 DX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
进而求得
5 5 ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) 0 1 Z Z 2 2
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第八章 状态估计
ˆ 例8.3.2 已知 X 和 Z的联合分布如表8-2,试求 X L ( Z )
解： EX 1 (1) 3 1 1 1 2 2 7
第八章 状态估计
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计
8.4 最小二乘估计
8.5 投影定理 8.6 卡尔曼滤波-状态估计
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第八章 状态估计
8.1 系统的描述
8.1.1状态空间模型
随机状态空间模型描述：
X k k ,k 1 X k 1 Bk 1Uk 1 k 1Wk 1
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第八章 状态估计 其误差方差阵
ˆ ˆ E[ X X L (Z )][ X X L (Z )] DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
根据遍历性定理，往往可以比较容易地求得 EX , ˆ EZ , DX , DZ , cov( x, y), X (Z ) 通常容易获得。
% % 阵 EXX 最小
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第八章 状态估计
ˆ ˆ E X X MV ( Z ) X X MV ( Z )


例8.2.1 设被估计量 x 和观测量 z 的联合分布 如表8-1所示， 试求 x 的最小方差估计。 表8-1 x z -1 1 -3 1/4 0 -2 1/4 0 2 0 1/4 3 0 1/4
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第八章 状态估计 =


[ X E( X

z )][ X E ( X z )] p( X z )dx

ˆ ˆ ( z ) E ( X z )][ X ( z ) E ( X z )] p ( X z )dx [X +
= [ X E ( X z)][ X E ( X z)] p( X z)dx
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第八章 状态估计 表8-2
z x -1 -1 0 0 1 1 2
1/10 2/10
0
1
ˆ 解: XV E( X / Z )
1/10 3/10
1/10 2/10
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第八章 状态估计
1 3 , z 1 3 , z0 4 5 3, z 1
% % ˆ ˆ EXX E( X X (Z )) ( X X (Z ))





ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) ( x, z)dxdz



[

ˆ ˆ ( X X ( z )) ( X X ( z)) p( x / z)dx] g ( z)dz
(1)线性
ˆ X L a BZ
ˆ (2)无偏性 EX L E[ EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )] EX
(3)正交性
ˆ E ( X X L )Z 0
ˆ 由于 E ( X X L )( BZ ) 0 ˆ 所以 E( X X )(Z EZ )
ˆ ( Z )] DX cov( X , Z )( DZ ) 1 cov( Z , X ) 81 3 21 D[ X X L 100 5 100
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第八章 状态估计 小于前面最小方差估计时的误差方差
ˆ ) 5 D( X X V 24
线性最小方差估计的统计性质为：
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
要方差 DX最小,必须令 b 0 ，B cov( X , Z )( DZ )1 由此推得：
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
最小。注意到


ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) p( x / z)dx


ˆ ˆ [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] p( x / z )dx
L
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第八章 状态估计 例8.3.1 设被估计量 X和 Z观测量的联合分布如表 8-1，试求 X 的线性最小方估计
解: 根据表中数据可以求出：
1 1 EX (2 3 2 3) 0 EZ (1 1 1 1) 0 4 4 1 13 DX [22 32 (2) 2 (3) 2 ] 4 2 1 2 2 DZ [1 1 (1) 2 (1) 2 ] 1 4 5 cov( X , Z ) [1 2 1 3 (1)(2) (1)(3)] Z 2
合概率密度或条件概率密度 P( X / Z ) ，在工程上 常常难以实现。
ˆ 8.3.1 X ( Z ) a BZ 称为 x 的线性估计，其中 为常量， 为 n m 常阵，Z 为m维观测向量。
定义8.3.2 使误差方差阵
% ˆ ˆ DX X X (Z ) X X (Z )
EZ EX ， =P ， H DX
D(Z ) HPH， R
再根据正态分布中的条件概率可知
ˆ XV E ( X z ) PH [ HPH R]1 (Z H )
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第八章 状态估计
8.3 线性最小方差估计
最小方差是最理想的估计，但需要知道 X , Z 的联
L
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第八章 状态估计
E[ X EX cov( X , Z )(DZ )1 (Z EZ )](Z EZ )
cov( X , Z ) cov( X , Z ) 0
这说明
ˆ X X L 正交于 Z
ˆ 可以证明， X L (Z ) 是唯一的
ˆ E ( X Z ) EX cov( X , Z )( DZ ) 1 ( Z EZ )
2 2 3 1 2 2 1 DZ (1) 1 5 10 10 10 10
1 17 2 7 1 3 2 13 3 cov( X , Z ) (1) (1) 10 10 10 10 10 10 10 10 5
8.2 最小方差估计
% % 定义8.2.1 使误差方差阵 EXX 最小的估计
ˆ X v (Z )
X 叫 X 最小方差估计，ˆ (Z ) 是一个随机向量。
设 X 的概率密度为 f ( x)，Z的概率密度为 g ( z)，
二者的联合概率密度为 ( x, z ),则在Z=z 条件
X 下， 的条件概率密度为 p x z ( x, z ) / g ( z ) ˆ X (Z )的误差方阵为

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第八章 状态估计
ˆ 最小的线性估计 X ( Z ) a BZ 称为线性最小方差 ˆ 估计 ，记为 X L (Z )
令 则 于是有
b aEx BEZ
a b EX BEZ

ˆ ˆ X X (Z ) X X (Z ) E X a BZ X a BZ E ＝ E X EX b B[Z EZ ] X EX b B[Z EZ ]
＝ DX bb BD(Z ) B cov( X , Z ) B B cov(Z , X )
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第八章 状态估计
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
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% % EXX
第八章 状态估计
ˆ 定理8.2.1X 的最小方差估计 X (Z ) 等于 X 的条件 ˆ 条件均值为 X (Z ) E( X / Z )
证:
% % 使 EXX 最小，等价于使




ˆ ˆ ( X X ( z)) ( X X ( z)) p( x / z)dx
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
在右边加减 cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X ) 后配方，得
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
2 2 2 2 2 2
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第八章 状态估计
例8.2.3 设Z HX V，其中 V R m 为测量噪声，
V : N (0, R) ；X Rn，X : N ( , P) ； X 、 互相独 V
立， Rmn 。试求 X 的最小方差估计. H 解: 由已知可求出
cov( X , Z ) PH cov (Z , X )