现代控制理论第八章
现代控制理论（浓缩版）
现代控制理论（浓缩版）绪论1．经典控制理论与现代控制理论的比较。
经典控制理论也称为古典控制理论，多半是用来解决单输入-单输出的问题，所涉及的系统大多是线性定常系统，非线性系统中的相平面法也只含两个变量。
经典控制理论是以传递函数为基础、在频率域对单输入单输出控制系统进行分析和设计的理论。
它明显具有依靠手工进行分析和综合的特点，这个特点是与20世纪40~50年代生产发展的状况，以及电子计算机的发展水平尚处于初级阶段密切相关的。
在对精度要求不高的场合是完全可用的。
最大成果之一就是PID 控制规律的产生，PID 控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性与鲁棒性，对于无时间延时的单回路控制系统很有效，在工业过程控制中仍被广泛采用。
现代控制理论主要用来解决多输入多输出系统的问题，系统可以是线性或非线性的、定常或时变的。
确认了控制系统的状态方程描述法的实用性，是与状态方程有关的控制理论。
现代控制理论基于时域内的状态空间分析法，着重实现系统最优控制的研究。
从数学角度而言，是把系统描述为四个具有适当阶次的矩阵，从而将控制系统的一些问题转化为数学问题，尤其是线性代数问题。
而且，现代控制理论是以庞得亚金的极大值原理、别尔曼的动态规划和卡尔曼的滤波理论为其发展里程碑，揭示了一些极为深刻的理论结果。
面对现代控制理论的快速发展及成就，人们对这种理论应用于工业过程寄于乐期望。
但现代控制在工业实践中遇到的理论、经济和技术上的一些困难。
所以说，现代控制理论还存在许多问题，并不是“完整无缺”，这是事物存在矛盾的客观反应，并将推动现代控制理论向更深、更广方向发展。
如大系统理论和智能控制理论的出现，使控制理论发展到一个新阶段。
2．控制一个动态系统的几个基本步骤有四个基本步骤：建模，基于物理规律建立数学模型；系统辨识，基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理，用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入，用各种控制规律综合输入。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
现代控制理论(修改最终版)
《现代控制理论基础》课程教学大纲课程编号：课程名称：现代控制理论英文名称： Modern Control Theory课程性质: 考试学时： 42学时（讲授36学时+6学时实验）适用对象: 工业自动化先修课程：自动控制理论，线性代数，工程数学一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用现代控制理论是自动化专业的主干技术基础课，它是在经典控制理论的基础上建立和发展起来的。
本课程是以状态空间理论为核心，对动态系统进行分析和研究。
它不但可以解决单变量线性定常系统，还可以解决多变量、时变、非线性系统的问题。
通过本门课程的学习，使学生掌握线性控制系统的状态空间描述,能够对线性系统的几种模型进行互相转化; 掌握线性控制系统的运动规律及连续系统的离散化;熟悉线性控制系统的能控性与能观测性概念及其判定准则;了解控制系统的李亚普诺夫稳定性理论; 掌握线性控制系统的状态反馈与状态观测器的设计方法。
通过对本课程的学习，要求学生系统地获得现代控制理论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，为后继课程的学习奠定良好的理论基础.（二）教学基本要求1. 掌握现代控制理论的基本知识及其分析方法，能够用状态空间表达式来描述系统，并根据系统的微分方程建立其状态空间表达式的方法。
2. 掌握系统特征值的求取方法，掌握线性定常系统非齐次方程的解和线性时变系统的解的求取方法，以及离散时间系统状态方程的两种解法。
3. 掌握能控性、能观性的定义及各自的判别准则。
4.掌握用李雅普诺夫第一法和第二法分析系统的稳定性的方法。
5. 对线性系统理论的新发展有所了解。
6. 为学生进一步的学习打下必要的基础。
（三）课程教学方法与手段以课堂讲授为主，辅以习题、实验等环节。
（四）实践环节通过计算机仿真，主要运用Matlab软件使学生能初步掌握MATLAB工具包，并用它在计算机环境中进行控制‘实验’，对控制系统进行分析与综合，以提高学生的系统分析和综合能力。
现代控制理论Modern Control Theory
c(t)
s(s 1)(4s 1)
试分析系统的稳定性
解 非线性环节为库仑摩擦加黏性摩擦
查表得描述函数 N ( A) K 4M
Chapter 8 Analysis and design of nonlinear system
非线性系统的分析与设计
2
The Principle of Automatic Control 2008
第八章、非线性控制系统分析
8.1 非线性控制系统概述 8.2 相平面法 8.3 描述函数法 8.4 改善非线性系统性能的措施及非线性特
8.1 非线性控制系统概述
8.1.3 非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理— 线性系统理论原则上不能运用
• 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，初条件有关，平衡点可能不惟一
• 自振运动
— 非线性系统特有的运动形式
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动,简称自振
性的利用（稳定性判别）
3
The Principle of Automatic Control 2008
8.1 非线性控制系统概述
8.1.1 非线性现象的普遍性
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
E.g. 欧姆定律U=IR
4
The Principle of Automatic Control 2008
j
G( j)
1 N ( A)
1 N ( A)
0
当гG曲线包围
1 N ( A)
,系统不稳定
当гG曲线不包围 N (1A),系统稳定
25
The Principle of Automatic Control 2008
现代控制理论课件教材
2. 1895年劳斯（Routh）与赫
尔维茨（Hurwitz）把马克 斯韦尔的思想扩展到高阶微 分方程描述的更复杂的系 统中,各自提出了两个著名
的稳定性判据—劳斯判据
和赫尔维茨判据。基本上 满足了二十世纪初期控制 赫尔维茨（Hurwitz）
工程师的需要。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
水 运 仪 象 台
2. 公元1086－1089年 （北宋哲宗元祐初年）， 我国发明的水运仪象台， 就是一种闭环自动调节系 统。
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
二 起步阶段
随着科学技术与工业生 产的发展，到十八世纪， 自动控制技术逐渐应用到 现代工业中。其中最卓越 的代表是瓦特（J.Watt） 发明的蒸汽机离心调速器， 加速了第一次工业革命的 步伐。
•成绩:
• 期终考试: 70% • 作业: 15% • 出席: 15%
同济大学汽车学院 2013
同济大学 汽车学院
College of Automotive, Tongji University
课程内容：
• 绪论 • 控制系统的状态空间描述 • 线性控制系统的运动分析 • 线性控制系统的能控性和能观性 • 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 • 状态反馈和状态观测器 • 最优控制
3.由于第二次世界大战需要 控制系统具有准确跟踪与补 偿能力，1932年奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频域 内研究系统的频率响应法， 为具有高质量的动态品质和 静态 准确度的军用控制系 统提供了所需的分析工具。
奈奎斯特
同济大学汽车学院 2013
1.1 现代控制理论的产生与发展
4.1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出了复数域内 研究系统的根轨迹法。 建立在奈奎斯特的频率响应法和伊万斯的根轨 迹法基础上的理论，称为经典（古典）控制理论 （或自动控制理论）。
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
(完整版)现代控制理论
第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
一、举例自动测温，控温系统图;加热气体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R∆，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)e；(t2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);4.e *τ(t)为常值。
加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→ϕ 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现因接触时间很小，τo T 〈〈τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。
作用：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统工作过程⇒由保持器5. 采样控制方式采样周期To ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⇒相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。
《现代控制理论基础》第八章(3)
计算行列式得： Qo = 0， 事实上 rankQo = 2 < 3 det 该系统不完全能观。
16
2 [Jordan标准型判据 标准型判据] 标准型判据 1） 若系统（2）为对角标准型，其矩阵 A 的特征 值 λ1 , λ2 ,L , λn 两两互异，
λ1 0 L 0 0 λ O M 2 x = x & M O O 0 0 L 0 λn y = Cx
满足条件：
AII = A
T I
BII = C
T I
CII = B
T I
则称系统 ∑ 1 与系统 ∑ 2 是互为对偶的系统。
23
注意
∑
∑
1
2
r 输入 m 输出 n 阶系统 m 输入 r 输出 n 阶系统
BI
∑ u I
1
+
∫
AI
xI
CI
yI
∑ u II
2
C
T I
+
∫
AIT
xII
BIT
yII
对偶系统结构原理图
答：能控
1 0 u 1 0 u 2 0 2
答：能控
11
& x1 λ1 1 0 x1 1 7 u （3） x2 = 0 λ1 0 x2 + 0 0 1 & u x3 0 0 λ3 x3 −3 2 2 &
答：不完全能观
22
8.3.3
能控性与能观性的关系 ——对偶原理 对偶原理
一. 对偶系统的概念
& xI = AI xI + BI uI & xII = AII xII + BII uII 若系统 ∑ 1 ： 与系统 ∑ 2 ： yI = C I x I yII = CII xII
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
《现代控制理论基础》第八章(5)
19
二. 寻求最小实现的步骤 [定理] 传递函数矩阵 W ( s ) 的一个实现
⎧ x = Ax + Bu ∑ : ⎨ y = Cx ⎩
为最小实现的充分必要条件是：
∑ ( A, B, C ) 既能控又能观。
证明从略。
20
[求解最小实现的步骤] 1） 对给定的传递函数矩阵W ( s ) ，先初步选出一种实 现 ∑ ( A, B, C ) ，通常最方便的是选取能控规范型 实现或能观规范型实现。 2） 对上一步初选的实现 ∑ ( A, B, C ) ，找出其完全能控 且完全能观部分 ( A1 , B1 , C1 ) ，则这个能控能观部 分就是W ( s )的一个最小实现。
C r = [ β0
其中
β1
βn−1 ]
or
Ir
r × r 阶零矩阵 r × r 阶单位矩阵
分母多项式的次数
r
输入向量的维数
n
7
注： （1） 这个实现的维数为 nr 维； （2） 当
m = r = 1 时，上述形式简化为单输入单输出 n 维
系统的情形。
8
二. 能观规范型实现
⎡0m ⎢I ⎢ m Ao = ⎢0m ⎢ ⎢ ⎢0m ⎣
的最小实现。 [解]
1 ⎤ s +1 ⎥ ⎥ s +1 ⎥ s + 2⎥ ⎦
将 W ( s ) 化成严格的真有理分式，然后写出相
应的能控规范型（或能观规范型）。本题的能控规范型 已在例17中求得，即为：
27
1 0 0 0⎤ ⎡0 0 ⎢0 0 0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 0 1 0⎥ A=⎢ ⎥ 0 0 0 1⎥ ⎢0 0 ⎢ −6 0 −11 0 −6 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −6 0 −11 0 −6 ⎥ ⎣ ⎦
现代控制理论课件(第三版)-刘豹主编-机械工业出版社
Modern Control Theory
L01
绪论
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为了配合教与学，更好地掌握《现代控制理论》 知识，交流学习经验，交换学习信息，已在网 络上建立了《现代控制理论》社区。社区建在 Yahoo groups 上，社区名称为Modern Control Theory。此社区是针对现代控制理论 课程学习建立的，内容与教与学密切相关。鼓 励所有同学加入该社区。
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参加本课程的同学必须
人手一册教材 出勤听课 记课堂笔记 完成作业
（缺课达到1/3，缺作业达1/4者取消正常考试资格。）
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沈阳建筑大学 信息与控制工程学院
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Lecture notes/slides, Related learning materials, Outline of the general review, Information and news in this course.
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现代控制理论全套课件
Modern Control Theory
L01
绪论
绪论
控制理论的发展历程
经典控制理论
形成和发展
在20世纪30-40年代，初步形成。 在20世纪40年代形成体系。 频率理论 根轨迹法
以SISO线性定常系统为研究对象。 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析 与设计。 经典控制理论的局限性
1970——1980 大系统理论 控制管理综合 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 1990——21c 集成控制理论 网络控制自动化 专家系统，模糊控制，人工智能 神经网络，人脑模型，遗传算法
Soft computing
控制理论与计算机技术相结合→计算机控制技术
Modern Control Theory
Modern Control Theory
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定义
所谓自动化是指机器或装置在无人干预的情况下按规定 的程序或指令自动的进行操作或运行。广义地讲，自动 化还包括模拟或再现人的智能活动。
Definition
The art of making processes or machines self-acting or self-moving. Also pertains to the technique of making a device, machine, process or procedure more fully automatic.
《现代控制理论》 教案大纲
《现代控制理论》教案大纲第一章：绪论1.1 课程背景与意义1.2 控制系统的基本概念1.3 控制理论的发展历程1.4 控制理论的应用领域第二章：控制系统数学模型2.1 连续控制系统数学模型2.2 离散控制系统数学模型2.3 状态空间描述2.4 系统矩阵的性质与运算第三章：线性系统的时域分析3.1 系统的稳定性3.2 系统的瞬时性3.3 系统的稳态性能3.4 系统的动态性能第四章：线性系统的频域分析4.1 频率响应的概念4.2 频率响应的性质4.3 系统频率响应的求取方法4.4 系统频域性能指标第五章：线性系统的校正与设计5.1 系统校正的基本概念5.2 常用校正器及其特性5.3 系统校正的方法5.4 系统校正实例分析第六章：非线性控制系统分析6.1 非线性系统的基本概念6.2 非线性系统的数学模型6.3 非线性系统的稳定性分析6.4 非线性系统的控制策略第七章：状态反馈与观测器设计7.1 状态反馈控制的基本原理7.2 状态反馈控制器的设计方法7.3 观测器的设计与分析7.4 状态反馈控制系统应用实例第八章：先进控制策略8.1 鲁棒控制8.2 自适应控制8.3 最优控制8.4 智能控制第九章：最优控制理论9.1 最优控制的基本概念9.2 线性二次调节器（LQR）9.3 离散时间最优控制9.4 最优控制的应用第十章：现代控制理论在工程应用10.1 现代控制理论在自动化领域的应用10.2 现代控制理论在控制中的应用10.3 现代控制理论在航空航天领域的应用10.4 现代控制理论在其他领域的应用第十一章：鲁棒控制理论11.1 鲁棒控制的基本概念11.2 鲁棒控制的设计方法11.3 鲁棒控制的应用实例11.4 鲁棒控制在实际系统中的性能评估第十二章：自适应控制理论12.1 自适应控制的基本概念12.2 自适应控制的设计方法12.3 自适应控制的应用实例12.4 自适应控制在复杂系统中的应用与挑战第十三章：数字控制系统设计13.1 数字控制系统的概述13.2 数字控制器的设计方法13.3 数字控制系统的仿真与实验13.4 数字控制系统在实际应用中的案例分析第十四章：控制系统中的计算机辅助设计14.1 计算机辅助设计的基本概念14.2 控制系统CAD工具与方法14.3 基于软件的控制系统设计与仿真14.4 控制系统CAD在现代工程中的应用案例第十五章：现代控制理论的前沿与发展15.1 现代控制理论的最新研究动态15.2 控制理论与其他领域的交叉融合15.3 未来控制理论的发展趋势15.4 控制理论在解决现实世界问题中的潜力与挑战重点和难点解析本《现代控制理论》教案大纲涵盖了现代控制理论的基本概念、方法与应用，分为十五个章节。
（完整版）现代控制理论
（完整版）现代控制理论第⼀章线性离散系统第⼀节概述随着微电⼦技术，计算机技术和⽹络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到⼴泛的应⽤。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
⼀、举例⾃动测温，控温系统图;加热⽓体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R，电桥失去平衡状态，检流计指针发⽣偏转，其偏转⾓度为)e；(t2. 检流计是个⾼灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦⼒。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样⾓频率 2．信号复现因接触时间很⼩，τo T ??τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是⼀串强度等于矩形脉冲⾯积的理想脉冲，为了去除采样本⾝带来的⾼额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现⽅法：是在采样器之后串联⼀个保持器，及信号复现滤波器。
作⽤：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统⼯作过程由保持器5. 采样控制⽅式采样周期To ??=≠=?相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究⽅法（或称使⽤的数字⼯具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不⽤拉式变换法，⼆采⽤z 变换⽅法，状态空间法。
第⼆节信号的采样和复现第⼀节是定性认识与分析，本节是定量研究。
⼀、采样过程从第3个图形可知，采样器输出信号）（t e *是⼀串理想的脉冲信号，k 瞬时）（t e *的脉冲强度等于此时)(T e 的幅值)(0kT e ，即)0(0T e ，)(0T e ，)2(0T e …. )(0nT e ….采样过程可以看成为⼀个幅值调制过程，采样器如同⼀个幅值调制器。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
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ˆ 8.3.1 X ( Z ) a BZ 称为 x 的线性估计，其中 为常量， 为 n m 常阵，Z 为m维观测向量。
定义8.3.2 使误差方差阵
% ˆ ˆ DX X X (Z ) X X (Z )
8.2 最小方差估计
% % 定义8.2.1 使误差方差阵 EXX 最小的估计
ˆ X v (Z )
X 叫 X 最小方差估计，ˆ (Z ) 是一个随机向量。
设 X 的概率密度为 f ( x)，Z的概率密度为 g ( z)，
二者的联合概率密度为 ( x, z ),则在Z=z 条件
X 下， 的条件概率密度为 p x z ( x, z ) / g ( z ) ˆ X (Z )的误差方阵为
估计误差的方差为
1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 5 ˆ E ( X X V )2 10 3 10 3 10 4 10 4 10 3 10 3 24
进而求得
5 5 ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) 0 1 Z Z 2 2
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第八章 状态估计
ˆ 例8.3.2 已知 X 和 Z的联合分布如表8-2,试求 X L ( Z )
解： EX 1 (1) 3 1 1 1 2 2 7
最小。注意到
ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) p( x / z)dx
ˆ ˆ [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] [ X E ( X z ) E ( X z ) X ( z )] p( x / z )dx
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
在右边加减 cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X ) 后配方，得
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
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第八章 状态估计 =
[ X E( X
z )][ X E ( X z )] p( X z )dx
ˆ ˆ ( z ) E ( X z )][ X ( z ) E ( X z )] p ( X z )dx [X +
= [ X E ( X z)][ X E ( X z)] p( X z)dx
ˆ ( Z )] DX cov( X , Z )( DZ ) 1 cov( Z , X ) 81 3 21 D[ X X L 100 5 100
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第八章 状态估计 小于前面最小方差估计时的误差方差
ˆ ) 5 D( X X V 24
线性最小方差估计的统计性质为：
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第八章 状态估计
X 的线性最小方差估计为
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
3 10 , z 1 7 7 Z , z0 10 10 17 10 , z 1
估计误差为方差
＝ DX bb BD(Z ) B cov( X , Z ) B B cov(Z , X )
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第八章 状态估计
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
% % ˆ ˆ EXX E( X X (Z )) ( X X (Z ))
ˆ ˆ ( X X ( z ))( X X ( z)) ( x, z)dxdz
[
ˆ ˆ ( X X ( z )) ( X X ( z)) p( x / z)dx] g ( z)dz
8.1.2差分方程模型
随机差分方程模型
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u (k ) b1u(k 1) bmu(k m) (k ) c1 (k 1) c p (k p)
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第八章 状态估计
% % 阵 EXX 最小
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第八章 状态估计
ˆ ˆ E X X MV ( Z ) X X MV ( Z )
例8.2.1 设被估计量 x 和观测量 z 的联合分布 如表8-1所示， 试求 x 的最小方差估计。 表8-1 x z -1 1 -3 1/4 0 -2 1/4 0 2 0 1/4 3 0 1/4
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第八章 状态估计 表8-2
z x -1 -1 0 0 1 1 2
1/10 2/10
0
1
ˆ 解: XV E( X / Z )
1/10 3/10
1/10 2/10
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第八章 状态估计
1 3 , z 1 3 , z0 4 5 3, z 1
D( X
z )g ( z )dz
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第八章 状态估计
ˆ 解 XV E( X / Z )
5 2 , 当 z -1 时 5 , 当 z 1时 2
例8.2.2
已知被估计量 x 和观测量 z 的联合分布
如表8-2所示,试求 x的最小方差估计和线性最小 方差估计。
ˆ ˆ ( z ) E ( X z )] [ X ( z ) E ( X z )] [X
[ X E( X
z)][ X E ( X z )] p( X z )dx D( X z )
ˆ ˆ 可知，当且仅当 X ( z ) E ( X z ) X MV (Z ) 时，方差
L
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第八章 状态估计 例8.3.1 设被估计量 X和 Z观测量的联合分布如表 8-1，试求 X 的线性最小方估计
解: 根据表中数据可以求出：
1 1 EX (2 3 2 3) 0 EZ (1 1 1 1) 0 4 4 1 13 DX [22 32 (2) 2 (3) 2 ] 4 2 1 2 2 DZ [1 1 (1) 2 (1) 2 ] 1 4 5 cov( X , Z ) [1 2 1 3 (1)(2) (1)(3)] Z 2
(1)线性
ˆ X L a BZ
ˆ (2)无偏性 EX L E[ EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )] EX
(3)正交性
ˆ E ( X X L )Z 0
ˆ 由于 E ( X X L )( BZ ) 0 ˆ 所以 E( X X )(Z EZ )
第八章 状态估计
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计
8.4 波-状态估计
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第八章 状态估计
8.1 系统的描述
8.1.1状态空间模型
随机状态空间模型描述：
X k k ,k 1 X k 1 Bk 1Uk 1 k 1Wk 1
EZ EX ， =P ， H DX
D(Z ) HPH， R
再根据正态分布中的条件概率可知
ˆ XV E ( X z ) PH [ HPH R]1 (Z H )
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第八章 状态估计
8.3 线性最小方差估计
最小方差是最理想的估计，但需要知道 X , Z 的联
10 10 10 10 10 1 2 1 2 EZ (1) 1 0 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2
1 17 2 7 1 7 3 3 1 3 2 173 81 DX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
要方差 DX最小,必须令 b 0 ，B cov( X , Z )( DZ )1 由此推得：
ˆ X L (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )
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% % EXX
第八章 状态估计
ˆ 定理8.2.1X 的最小方差估计 X (Z ) 等于 X 的条件 ˆ 条件均值为 X (Z ) E( X / Z )
证:
% % 使 EXX 最小，等价于使
ˆ ˆ ( X X ( z)) ( X X ( z)) p( x / z)dx
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第八章 状态估计
ˆ 最小的线性估计 X ( Z ) a BZ 称为线性最小方差 ˆ 估计 ，记为 X L (Z )
令 则 于是有
b aEx BEZ
a b EX BEZ
ˆ ˆ X X (Z ) X X (Z ) E X a BZ X a BZ E ＝ E X EX b B[Z EZ ] X EX b B[Z EZ ]