控制系统的数学模型
控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制系统的数学模型
[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】
Z2
减速器
J Lc fL
负载
r
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
W1
W2 位置随动系统结构图绘制
r (s)
U(rs)
m (s)
1 r
操纵手柄
k
Ut (s)
1
i
kW1
Urr (s)
U(s)
c
(s)
uε
E
ur uε
ut
cc (s) k Uc (s) Ur (s) Uc(s) U
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
Kt U(s)
ut (t)
Kt
d (t)
dt
Ut (s) Ks(s)
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
s
(s)
U (s)
Kts
典型元部件的传递函数
直流电动机：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2Mc (t)
Tm
dm (t)
dt
m
(t)
K1ua
(t)
Tm
X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)
G4(s)
N(s) G3(s)
R(s)
E(s) X1(s) G1(s) X2(s)
X3(s) G2(s) X4(s) C(s)
C(s)
H(s) X4(s)
)
C(s)
C(s)
T2
X1(s) N(s) C(s) sX2(s) k1R(s) T2C(s)
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。
从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。
这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？答主要步骤有：⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。
一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第二章 控制系统的数学模型
⇒
QQQr00(((sss)))−−=QQH0c1(((sss)))R=−=1Hcc122s(sHsH)12(s()s)
qc (t)
=
h2 (t) R2
Qc
(s)
=
H2 (s) R2
G(s)
=
Qc (s) Qr (s)
=
R1R 2C1C 2s 2
1 + (R1C1 + R2C2
机理分析法：
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法：
通过整理基于系统输入－输出的实验数据来 得到系统的数学模型。本章着重讨论机理分析 法。
建模特点：相似性、简化性、准确性。
数学模型类型： 经典控制理论: 微分方程（连续系统）、
差分方程（离散系统） 、传递函数、系 统方框图和信号流图； 现代控制理论：状态方程
注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则 无须第(4)步。
线性定常系统微分方程的一般形式
an
d nc(t) dt n
+
an−1
d n−1c(t ) dt n−1
+
...
+
a1
dc(t ) dt
+
a0c(t )
=
bm
d mr(t) dt m
+
bm −1
d m−1r(t ) dt m−1
d x(t ) + dt
Kx(t ) = f (t )
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性
第二章 控制系统的数学模型
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
3第三章控制系统的数学模型
R( s)
bm s m + bm −1s m −1 + +b1s + b0
C ( s) G (s) = 称为系统或元件的传递函数， 令 R ( s ) ，称为系统或元件的传递函数，
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3.2 传递函数
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3.1 控制系统的微分方程
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在微 将该方程整理成标准形式。 分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边， 分方程的右边，把与输出量有关的各项放在微分方程的左边，方程 两边各阶导数按降幂排列， 两边各阶导数按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义 的表示形式，如时间常数等。 的表示形式，如时间常数等。
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3.2 传递函数
（4）传递函数的分母是它所对应的微分方程的特征方程多项 式，即传递函数的分母是特征方程 an s n + an −1s n −1 + • • • + a1s + a0 = 0 的 等号左边部分。而以后的分析表明： 等号左边部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系统的动 态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。 态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方 程的阶次n即为系统的阶次。 程的阶次n即为系统的阶次。 （5）传递函数的分子多项式的阶次总是低于分母多项式的阶 次，即 m
≤ n 。这是由于系统总是含有惯性元件以及受到系统能源
的限制的原因。 的限制的原因。
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3.3 控制系统的动态结构图
第二章：控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型本章目录2.1 传递函数2.2 传递函数的说明2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的传递函数数学模型2.5 用方块图表示的模型2.6 信号流程图与梅逊公式2.7* 数学模型的MATLAB描述小结本章简介系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。
如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。
系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。
为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。
有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。
同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。
本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。
2.1 传递函数在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。
传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。
线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
设有一线性定常系统，它的微分方程是(2-1)式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。
初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：(2-2)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
控制系统的数学模型
控制系统的数学模型
控制系统是一种能够自动实现某种规律性动态过程的机电设备，具有广泛的应用和重要的意义。
为了更好地理解和设计控制系统，我们需要学习控制系统的数学模型。
控制系统的数学模型是对系统动态行为的精确描述，通常用微分方程或差分方程来表示。
这个模型是由系统的结构和性质所决定的，因此在设计控制系统时需要考虑到不同方面的因素。
在实际应用中，通常采用系统的状态空间描述法来建立数学模型，其基本形式是：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统各输出量之间的关系；u(t)为输入量向量，表示系统受控的变量；y(t)为输出量向量，表示系统运行时的响应状态；A、B、C、D是系统常数矩阵，分别表示状态转移矩阵、输入特性矩阵、输出矩阵和直流通道矩阵。
这个模型允许我们对控制系统的状态、输入、输出之间的关系进行全面的分析和掌握。
控制系统的数学模型建立好之后，我们需要对其进行仿真和实验验证。
通过模拟相应的输入和输出，可以检验数学模型的可靠性和精度，并找出有误差的地方进行调整和改进。
同时，也能够为控制系统的设计和优化提供有力的指导和参考。
综上所述，控制系统的数学模型是其设计和优化的基础和关键，
建立好数学模型能够更全面地分析和预测系统的运行状态，并为进一
步进行仿真和实验提供必要的基础。
因此，在学习和设计控制系统时，需要注重数学模型的学习和应用，以提高系统的可靠性和实用性。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
第2章控制系统的数学模型
自动控制理论
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1
与例2-3为力－－电荷相似系统。
1/15/2020
自动控制理论
思考题：给出双RC电路的微分方程
i1 ui
R1 ic
C1
R2 i2 u C2
1
C
i1dt R1(i1 i2 ) 0
R1
ui
i2
R2
uO
R2i2 uO
进行拉氏变换
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R1I1 (s) (R1 R2 )I2 (s) Ui (s)
(1 Cs
R1 )I1 (s)
R1I 2 (s)
0
R2 I2 (s) UO (s)
自动控制理论
dt
L[ d 2 f (t) ] s2 F (s) sf (0) f （0） dt 2
L
d
nf dt
(t
n
)
snF (s)
n k 1
s nk
f
(k 1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
1/15/2020
L[ f (t)(dt)n自]动控F制s(理ns)论
第2章 控制系统的数学模型
主要内容:
数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式
1/15/2020
自动控制理论
2.1 数学模型基础
1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各
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第2章控制系统的数学模型
2.1 引言
控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。
解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。
实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。
近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。
本章主要采用解析法建立系统的数学模型。
数学模型有多种形式。
时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。
本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。