纳什均衡解及其QPSO算法求解_于敏(1)
纳什均衡解
纳什均衡解生活在均衡世界中的人们，习惯了日出而作，日落而息，平凡而安逸地过着简单又平静的生活。
他们很满足于这样的生活，尽管在“自由与责任”、“金钱与道德”之间的取舍上会有些矛盾，但是他们都明白，这样的生活，才是他们想要的生活，只要守住自己的道德底线，在法律允许的范围内进行商业经营，便可以享受到完美的“自由与责任”、“金钱与道德”的统一。
这便是均衡世界里的人们所追求的“纳什均衡”。
但是，生活并不如我们所想象的那般“完美”，甚至还存在着许多令人无法理解的问题：地球环境遭到破坏，气候变暖等等，也正因为这样，一个新型的学科——“非均衡”随之诞生。
所谓“非均衡”，就是从不均衡走向均衡的过程，其特点就是存在两种或多种因素相互抵消和制约，从而使某一局部得到极大发展，某一局部又趋于均衡的动态过程。
这时，不均衡就转化成了均衡，“均衡”就变成了“非均衡”。
非均衡是事物发展的必然趋势，也是事物发展过程中的本质联系，更是事物具体联系中的复杂表现形式。
因此，我们应该将非均衡的观点引入社会生活的各个领域，用非均衡的观点去分析事物的发展趋势，运用非均衡的原则来指导我们的生活实践。
在实际生活中，我们会碰到许多看似不均衡的例子，比如：我国的教育资源十分缺乏，而发达国家的教育资源却十分丰富。
为什么会造成这样的情况呢？一方面是因为“先天不足”，我国地域辽阔，人口众多，没有均衡地配置教育资源；另一方面则是因为“后天失调”，随着社会发展，城市和乡村的差距愈来愈大，许多乡村里的孩子很难接触到城市的优秀教育资源。
为了解决这些问题，在《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》中，提出了加快教育信息化的建设，为此各级政府采取了许多措施：免费为农村的孩子购买教育资源光盘，建立网络基础教育资源库等等，都能从根本上缓解教育资源分布不均衡的问题。
“均衡”和“非均衡”只是一种对事物的认识角度不同而已。
从辩证法的视角来说，二者是共存的，它们既相互区别，又密切关联，即相辅相成，彼此渗透。
最优反应函数法求解纳什均衡
最优反应函数法求解纳什均衡1. 引言大家好！今天我们来聊聊一个看似复杂，但其实很有趣的经济学概念——纳什均衡。
为了让这道难题变得简单易懂，我们会用最优反应函数法来解答。
放心，这不是一堆难懂的公式，而是一些日常生活中的智慧运用。
大家都准备好了吗？那就一起来探究这个有趣的话题吧！2. 什么是纳什均衡？2.1 纳什均衡的定义纳什均衡，这个名字听上去是不是有点高大上？其实，它就是一种状态，描述的是在某种竞争环境下，每个人都做出了最好的决策。
当每个人都按照自己的最优策略行动时，没有人会因为改变自己的策略而获得更好的结果。
换句话说，你在这个均衡点上，不管别人怎么做，你都不会想改变自己的选择了。
2.2 生活中的例子说得这么抽象，大家可能有点摸不着头脑。
那我们举个生活中的例子吧。
假设你和朋友一起去餐馆，大家都在纠结点什么菜。
最后，你们决定点一个大家都觉得可以接受的菜。
结果发现，这个决定让每个人都感到满意。
这个时候，大家都不会再去改变自己点的菜了。
这个状态就是纳什均衡。
3. 最优反应函数法介绍3.1 最优反应函数是什么？现在我们来谈谈最优反应函数。
它就是描述在给定其他人行为的情况下，自己选择最优策略的函数。
听上去有点抽象对吧？其实很简单。
想象你在和朋友玩游戏，你会根据你朋友的策略来决定你的最佳选择。
最优反应函数就是帮你找到这个最佳选择的工具。
3.2 如何用最优反应函数法求解纳什均衡？让我们来一步步走过这个过程。
假设你和你的朋友玩一个简单的游戏，比如石头剪刀布。
每个人的选择都可以用最优反应函数来表示。
首先，你需要了解对方的策略是什么。
然后，你根据对方的策略，找到自己最佳的反应。
比如说，你知道朋友总是喜欢出石头，那么你选择剪刀的概率就会很低，而会倾向于出布。
这就是你对对方策略的最优反应。
接着，你把这个过程倒过来，对方也会对你的策略做出类似的反应。
通过这种方式，你们可以找到一个点，双方的策略都是最优的，这就是所谓的纳什均衡。
纳什均衡
§2.3 混合策略和混合纳什均衡
定义8.2.2 在对策 G =S1,S2,Sn;h1,h2,hn 中，局中
人的策略集为Si Si1,,Sik ，则他以概率分布
pi pi1, pik 随机在其k 个可选策略中选择的
精品课程《“运策筹学略》”称为一个混合策略，其中
第二节 纳什均衡
为方便起见，设羊数量是可分的。不管其他
农户数量如何，第一人总希望自己收益最大。
由此得出：
0 P1
q1
每个农户都得出与此相同的结论 ：
q1
56
1 2
q2
1 2
q3
q2
56
1 2
q1
1 2
q3
q3
56
1 2
q1
1 2
q2
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
三条曲线的交点(q1*, q2*, q3* )就是纳什均衡。联
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
参与人2
参
左中右来自与上 人下 1（1，0） （1，2） （0，1） （0，3） （0，1） （2，0）
图8.2.2
参
参与人2
与
左中
人上
1
（1，0） （1，2）
下 （0， 3） （0，1） 图8.2.3
精品课程《运筹学》
第二节 纳什均衡
参与人2
左
中
1
上 （1，0） （1，2）
是各对策方策略的多元函数个局中人的对策常写成精品课程运筹学第二节纳什均衡定义821在对策如果有由各个对策方的各选取一个策略组成的某个策略组合中任一对策方略为都是对其余策略方策略的组合的最佳策略即对任意都成立则称精品课程运筹学第二节纳什均衡例821囚徒的困境警察抓住了两个罪犯但是警察局缺乏足够的证据指证他们所犯的罪行
纳什均衡求解方法
纳什均衡求解方法
纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，指的是在博弈中各方都选择最优策略的状态。
纳什均衡求解方法有多种，其中比较常用的是极小化极大值算法和反应函数算法。
极小化极大值算法即为每个玩家都试图最小化对手的最大收益。
具体来说，假设有两个玩家A和B，在一个博弈中，他们分别有两种策略可供选择。
在极小化极大值算法中，A会选出一种策略，使得B在所有可能的策略中获得最小的收益。
同样，B也会选出一种策略，使得A在所有可能的策略中获得最小的收益。
这样，两个玩家的最优策略就被求解出来了。
反应函数算法则是根据玩家的反应函数来寻找纳什均衡。
反应函数是指玩家对于对手的策略做出的反应，即当对手采取某种策略时，玩家应该采取什么策略来最大化自己的收益。
通过对玩家的反应函数进行求解，可以得到所有玩家的最优策略，从而求解出纳什均衡。
总的来说，纳什均衡的求解方法多种多样，不同的方法适用于不同的博弈形式和参与者数量。
在实际应用中，需要根据具体情况选择最为合适的求解方法。
- 1 -。
纳什均衡解及其QPSO算法求解_于敏(1)
１ 纳什均衡
１．１ 纳什均衡的定义
纳 什 均 衡 （ Ｎａｓｈ Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ） 是 博 弈 解 的 一 般 名 称 ， 是 当
前博弈理论体系的核心概念。在 ｎ 个参与者标准式博弈 Ｇ＝｛Ｓ１，
＊
＊
…， Ｓｎ； ｕ１， …， ｕｎ｝中， 如果战略组合｛ｓ１ ， …， ｓｎ ｝满足对每一参与者
衡。当一个博弈中的博弈方数量很少， 而且每个博弈方只有很
有限的策略时， 博弈中全部可能的纯策略组合数量也比较少，
这时可以根据纳什均衡的定义， 对所有纯策略组合进行逐一检
验。找出其中的纯策略纳什均衡。但很多博弈有多个博弈方， 或
者 各 个 博 弈 方 有 多 种 甚 至 有 无 限 多 种 可 选 策 略 。这 些 博 弈 中 可
能的策略组合总数会很大， 甚至是无穷大， 用逐一检验的方法
找纳什均衡不可取或者根本不可能， 必须用更加准确和快捷的
筛选方法才能达到目的； 此外， 当不存在纯策略纳什均衡．或者
存 在 几 个 相 互 之 间 没 有 优 劣 之 分 、难 以 取 舍பைடு நூலகம்的 纯 策 略 纳 什 均 衡
的时候， 纳什均衡分析要求必须找出博弈中的混合策略纳什均
衡。这时逐一检验的方法也行不通， 因为每个博弈方的混合策
略都是采用各纯策略的概率分布， 概率分布是可以连续变化
基金项目： 国家自然科学基金（ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．６０４７４０３０） 。 作者简介： 于敏（ １９８０－ ） ， 女， 硕士研究生， 主要研究方向为进化计算、进化博弈； 须文波（ １９４６－ ） ， 男， 教授， 研究生博士生导师 ， 主 要 研 究 方 向 为 进
三方博弈的纳什均衡求解
（ ２／３， １／３） 选 择 Ｃ 和 Ｄ， 博 弈 方 ３ 选 择 Ｆ 时 ， 为 该 博 弈 唯 一 的 混 合
策略纳什均衡。
三 、意 义
本文的求解方法时基于存在纳什均衡时的博弈， 有些不存在纳
什 均 衡 博 弈 需 要 另 外 讨 论 。上 述 求 解 方 法 还 可 以 推 广 到 非 合 作 的 多
２． 一博弈方存在纯策略， 另两方为混合策略
分 析 图（ ４） 中 得 益 矩 阵 表 示 的 博 弈 问 题 。 划 线 法 可 以 得 出 Ｆ
为博弈方 ３ 的最优策略， 而另两个博弈方没有纯策略。在博弈方 ３
已经选定此策略 Ｆ 时， 即只对上图右表求解另两方的混合策略， 所
得到的结果为 αＡ＝０．６，αＣ＝２／３。 则 博 弈 方 １ 以（ ０．６， ０．４） 的 概 率 随 机 选 择 Ａ 和 Ｂ，博 弈 方 ２ 以
图（ １）
同时决策， 三厂商的产品同类但有差异， 且之间有很强的替代 性。各厂商选择价格。这种情况下第个厂商的利润函数为：
" ! $ ３
πｉ＝ｑｉ（Ｐｉ－ ｃｉ）＝ ａｉ－ ｂｉＰｉ＋ ｄｉｊＰｊ （Ｐｉ－ Ｃｉ）， ｉ＝１，２，３
ｊ＝１
其中 Ｐｉ 为第 ｉ 个厂商确定的价格； ｄｉｊ ≥０ 表示厂商之间的替代系
图（ ２）
箭头法分析可以得出相同的结论， 本文就不再多做讨论。
２． 无限策略、连续策略空间的博弈
（ １） 三个博弈方的古诺寡头模型
三方同时决策， 表现在价格相等。这种情况下第个厂商的利润
函数为
" # ３
! πｉ＝ｑｉ（Ｐ－ ｃ）＝ｑｉ ａ－ ｃ－ ｑｉ ， ｉ＝１，２，３ ｉ＝１ ３
! 其 中 ｑｉ 为 第 个 厂 商 的 产 量；Ｐ＝Ｐ （Ｑ）＝ａ－ Ｑ 为 需 求 函 数 ； Ｑ＝ ｑｉ ｉ＝１
纳什均衡解及其QPSO算法求解
ＹＵ Ｍｉ ， ｅ — ｏ Ｓ ｕ ｎ ＸＵ Ｗ ｎ ｂ ， ＵＮ Ｊ ｎ
江南 大 学 信息 学 院 ． 苏 无锡 ２４ ２ 江 １ １２
Ｓ ｈ ｏ ｆＩ ｆｒ ｔ ｎ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｏ ｔ ｅ ｎ Ｙａ ｇ ｚ ｉｅ ｓｔ Ｗ ｕ ｉ Ｊａ ｇ ｕ １ ２ Ｃｈ ｎ ｃ ｏ ｌｏ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｓ ｕ ｈ ｒ ｎ ｔｅ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｏ ｙ， ｘ ，ｉ ｎ ｓ ２ ４１ ２， ｉａ
随 着博 弈 论 和 经 济 学 应用 范 同地 不 断 扩 大 ， 什均 衡 的 影 纳
，
ｓ是 （ 少 不 劣 于 ） 对 其 他 ｎ １ 参 与 者 所 选 战 略 ， ， 至 针 — 个 …
响 也 越来 越 大 ， 纳 什 均 衡 来 分 析 和 解 决 经济 、 治 、 律 等各 用 政 法
ａ ｄ Ａｐ ｌ ａ ｏ ｓ ２ ０ ４ （ ０）４ － １ ｎ ｐ ｉ ｔ ｎ ，０ ７， ３ １ ： ８ ５ ． ｃｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｎａ ｈ ｑ ｉ ｂ ｉ ｍ ｉ ｎ ｉ ｄ ｏ ａ ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｃ ｐ ， ｙ ｓｒ ｃ ： ｓ ｅ ｕ ｌ ｒ ｉ ｕ ｓ ｏ ｅ ｋ ｎ ｆ ｇ ｍｅ ｏｕ ｉ ｃ ｎ ｅ ｔ ｍａ ｍａ ｅ ｈ ｓｒ ｔ ｍａ ｙ ｆ ｒ ｃ ｓｓ ｏ ｅ ｔｅ ｌ ｗ ｄ ｓ ｒａ ｏ ｋ ｔｅ ｔ ｃ ｎ ｏｅ ａ ｔ ｉ ｔ ｘ ｒ ｍｅｙ ｉ ｅ ｐ ｅ ｄ
纳什均衡
纳什均衡在政治学中的应用
选举策略：候选人在竞选活动中的决策和策略选择 政治谈判：国家间在谈判过程中的策略选择和利益平衡 国际关系：国家间在合作与竞争中的决策和策略选择 政治制度设计：政治制度设计中的决策和策略选择，如选举制度、议会制度等
纳什均衡在管理学中的应用
战略决策：企业在市场竞争中，通过纳什均衡分析，制定最优策略。 组织结构：纳什均衡理论可以帮助企业优化组织结构，提高管理效率。 激励机制：纳什均衡理论在企业激励机制设计中，可以指导企业制定有效的激励措施。 谈判与合作：纳什均衡理论在企业谈判与合作中，可以帮助企业实现利益最大化。
纳什均衡的应用
博弈论：纳什均衡是博弈论的核心概念，用于分析各种博弈问题 经济学：纳什均衡在经济学中广泛应用，如市场均衡、价格均衡等 政治学：纳什均衡在政治学中用于分析政治博弈，如选举、谈判等 社会学：纳什均衡在社会学中用于分析社会现象，如群体行为、社会规范等
纳什均衡的求解方法
第二章
纳什均衡的求解条件
纳什均衡
目录
CONTENTS
01 纳什均衡的概念 02 纳什均衡的求解方法 03 纳什均衡与博弈论 04 纳什均衡的局限性
05 纳什均衡纳什均衡的定义
纳什均衡是指在 一个博弈中，每 个参与者的策略 都是对其他参与 者策略的最优反 应。
纳什均衡是博弈 论中的一个重要 概念，由约翰·纳 什提出。
纳什均衡的求解步骤
确定博弈的 参与者和策 略集
建立支付矩 阵，表示参 与者在不同 策略下的收 益
计算每个参 与者的最佳 反应策略
检查是否存 在纳什均衡， 即每个参与 者的策略都 是对其他参 与者策略的 最佳反应
如果存在纳 什均衡，则 求解得到均 衡策略；如 果不存在， 则重新调整 策略集或支 付矩阵，重 复步骤3-4。
纳什均衡计算
纳什均衡计算随着时代的发展，“纳什均衡”已经成为计算机理论和现实中很常用的概念。
本文将具体介绍一下“纳什均衡”。
自二战后，经济学家们开始对信息经济学感兴趣，到了六十年代初，经济学家们进入了一个黄金时代。
纳什提出并验证了均衡点概念（ equilibrium point，亦称均衡状态），之后经济学家们通过严格的数学推导和计算，认识到了均衡点的重要性。
在八十年代后期，他们发现了新古典均衡模型，纳什也因此获得了诺贝尔经济学奖。
均衡点成了许多学者研究的重点。
由于我国对经济学界相关资料较少，无法对这些领域做深入研究，但通过近几年对经济学的了解，我总结出了一些“纳什均衡”。
下面是我的整理。
1。
一般均衡（ Nash equilibrium）是指市场上的所有厂商都达到均衡状态。
任何一个厂商都可以调整自己的产量，不同厂商所调整的产量的差额就是市场价格。
一个事实是，这种最终均衡只能是一种理论假设，而不可能真正实现。
因为单个厂商根本没有办法调整其产量；同样地，任何一个厂商所做的改变，都会影响市场上所有其它厂商的产量，因而，要想让一个厂商达到一般均衡，那么所有厂商必须同时达到一般均衡。
在现实生活中，达到一般均衡的可能性是非常小的。
例如，在国际贸易领域中，大家都知道，两个国家在交换货物前要进行谈判，双方的谈判基础是彼此都有意愿出口，也都有意愿进口。
在这种情况下，双方都希望尽可能出高价，以便使自己的利益最大化。
一旦达成协议，双方就会迅速开始履行合同，并努力降低生产成本，使产品价格尽可能接近世界价格，避免发生贸易争端。
这时候，双方所达成的协议实际上是没有任何其它更好的选择的。
这种局面称为“一厢情愿”。
2。
局部均衡（ Local equilibrium），或称部分均衡（ Partial equilibrium），是指市场上的某些厂商达到均衡状态。
一个事实是，当某些厂商拥有较强的技术优势时，其它厂商为了避免与该厂商直接竞争，往往会与之形成专业化分工协作关系。
混合策略纳什均衡
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
r*=R(q)
反应对应曲线
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例：扑克牌对色游戏(p77)
再看乙的最优反应，记为q*=R(r)： 观察π乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1)
若r 1 / 2 2r 1 0, q越大越好 1, q* R( r ) [0,1], 若r 1 / 2 2r 1 0，无论q选什么都无影响 0, 若r 1 / 2 2r 1 0, q越小越好
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例：扑克牌对色游戏(p77)
先看甲的最优反应，记为r*=R(q)： 观察π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
若q 1 / 2 1 2q 0, r越小越好 0, r* R( q) [0,1], 若q 1 / 2 1 2q 0，无论r选什么都无影响 1, 若q 1 / 2 1 2q 0, r越大越好
解：Max π甲(p甲, p乙) r Max π乙(p甲, p乙) q
f.o.c. 2r-1=0
r*=1/2
混合策略纳什均衡是甲在策略空间{红，黑}上以概率分布 p甲*= （1/2，1/2）进行选择，乙也在策略空间{红，黑}上以概率p乙*= （1/2，1/2）进行选择
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、支付最大化法
例：扑克牌对色游戏(p77)
无纯策略NE 给定混合策略p甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q) π甲(p甲, p乙)=r[q(-1)+(1-q) 1]+ (1-r)[q1+(1-q)(-1)] = 2r(1-2q)+(2q-1) π乙(p甲, p乙)=q [r1+(1-r)(-1)]+ (1-q)[r(-1)+(1-r)1] =2q(2r-1)-(2r-1) f.o.c. 1-2q=0 q*=1/2
如何求纳什均衡例题
纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，表示在博弈中，参与者的策略组合使得没有任何一方有动力改变自己的策略。
求解纳什均衡通常可以通过以下方法：1. 划线法：这是一种求解纯策略纳什均衡的方法。
首先，我们需要一个支付矩阵，其中每个元素表示参与者某一策略组合下的收益。
然后，对于每个参与者，我们需要在支付矩阵中找到与其他参与者的策略组合相对应的最大收益，并在该收益下划线。
最后，找出所有划线后的策略组合，这些组合就是纳什均衡。
2. 变分法：这是一种求解混合策略纳什均衡的方法。
我们需要将纳什均衡问题转化为一个求解变分不等式问题。
在满足 nested monotone 的条件下，给出求纳什均衡的思想，并对纳什均衡解的特征作画线算法。
3. 混合策略纳什均衡：在混合策略纳什均衡中，参与者选择策略的概率必须使得对方选择两种纯策略的期望收益相等。
通过这种方法，可以求出双方的混合策略与期望收益。
下面举一个例子来说明如何求解纳什均衡：假设有两个参与者甲和乙，他们可以选择合作或背叛，合作时双方都得到5的收益，背叛时对方得到-10的收益。
根据划线法，我们可以先看甲如何选择策略。
当乙选择合作时，甲应该选择背叛，因为这样甲的收益最大。
当乙选择背叛时，甲也应该选择背叛，因为无论甲选择什么策略，乙都已经选择了背叛，甲的收益都是-10。
所以，甲的策略是背叛。
接下来看乙如何选择策略。
当甲选择合作时，乙应该选择背叛，因为这样乙的收益最大。
当甲选择背叛时，乙也应该选择背叛，因为无论乙选择什么策略，甲都已经选择了背叛，乙的收益都是-10。
所以，乙的策略是背叛。
因此，这个博弈的纳什均衡是甲和乙都选择背叛。
纳什均衡求解方法
纳什均衡求解方法
纳什均衡是博弈论中的一个重要概念，主要用于描述多个参与者选择一个策略后，达到一种相互协调的状态。
通常来说，纳什均衡被认为是一种不可协调的状态，因为所有参与者都没有动机改变自己的策略。
求解纳什均衡可以利用以下方法：
1. 策略消元法：这是一种非常基本的求解方法，适用于简单的博弈模型。
该方法的核心思想是根据参与者的策略做出相应的推理，将局面简化为更容易分析的形式。
最终得到的一个或多个均衡状态就是纳什均衡。
2. 迭代删除劣势策略法：该方法适用于有限的博弈模型，可以通过迭代删除每个参与者的劣势策略逐步缩小均衡的可能性。
最终会得出一个或多个纳什均衡状态。
3. 前瞻解法：该方法主要适用于完全信息博弈，通过加权平均和后验概率的计算方法，可求解出参与者的最佳策略组合。
最终的最优解就是纳什均衡。
需要注意的是，纳什均衡的求解并不总是存在，并且可能存在多个均衡状态。
而一旦找到了均衡状态，参与者就不会再改变策略，因为任何人的单方面行动都可能导致良性均衡的破裂。
博弈论 启发式算法和纳什均衡-概述说明以及解释
博弈论启发式算法和纳什均衡-概述说明以及解释1.引言1.1 概述博弈论是一门研究决策和策略的数学理论，它以个体或组织在面对冲突和竞争时的互动行为为研究对象。
在现实生活中，博弈论可以应用于各种领域，如经济学、政治学、社会科学等。
启发式算法是一种基于经验和规则的问题解决方法，它通过不断试错和搜索最优解的过程，逐步逼近问题的解。
启发式算法可应用于各种优化问题、组合问题以及决策问题等。
本文旨在探讨博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。
博弈论的基本概念将会被介绍，包括博弈的类型、参与者的策略选择、收益与支付等因素。
启发式算法的原理和应用将会被解释，以展示它们在解决博弈论问题中的潜力。
本文的结论将会重点探讨纳什均衡的概念和特点。
纳什均衡是指在博弈中，每个参与者根据其他参与者的策略选择下的最佳响应策略。
此外，还将探讨博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的联系，以揭示它们在实际问题中的应用潜力和相互作用关系。
通过本文的阅读，读者将对博弈论、启发式算法和纳什均衡有更深入的理解，并能够将它们应用于实际问题的解决中。
本文的目的是为读者提供一种全面的视角，以便能够更好地理解和应用这些概念和方法。
1.2 文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对博弈论、启发式算法和纳什均衡进行简要概述，并介绍文章的目的。
正文部分将着重阐述博弈论的基本概念以及启发式算法的原理和应用。
最后，在结论部分将探讨纳什均衡的概念和特点，并深入讨论博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。
本文旨在通过对博弈论、启发式算法和纳什均衡的研究，探索博弈论在实际问题中的应用，并探讨启发式算法与纳什均衡的关联性，从而提供对博弈论和启发式算法的理解和应用以及对纳什均衡的深入认识。
1.3 目的本部分将重点介绍本文的目的。
通过阅读本文，读者将能够深入了解博弈论、启发式算法和纳什均衡之间的关系。
我们将首先简要介绍博弈论的基本概念，包括博弈的定义和元素，以及博弈论在经济学、政治学和计算机科学等领域的应用。
纳什均衡纯策略求解算法
纳什均衡纯策略求解算法
纳什均衡是博弈论中非常重要的一个概念，在许多领域都有广泛的应用。
纳什均衡指的是博弈中每个参与者的策略都是最优的，即在其他参与者的策略下，自己的策略是最好的选择。
在博弈中，有时会出现多个纳什均衡，这时需要找到其中一个最好的纳什均衡，这个最好的纳什均衡被称为最优纳什均衡。
纳什均衡纯策略求解算法是一种求解博弈中纳什均衡的方法。
该算法主要分为以下几个步骤：
1.列出参与者的策略空间：首先需要列出每个参与者的所有可能策略，这些策略构成了参与者的策略空间。
2.列出每个参与者的收益函数：接下来需要列出每个参与者在每种策略下的收益函数，收益函数可以根据实际问题进行定义。
3.构建博弈矩阵：将每个参与者的策略空间组合起来，得到一个博弈矩阵，矩阵中每个元素表示每个参与者在对应策略组合下的收益。
4.寻找纳什均衡：通过对博弈矩阵进行分析，可以找到博弈中的纳什均衡。
其中，纳什均衡是指没有参与者可以通过单方面改变自己的策略来获得更好的收益的策略组合。
5.确定最优纳什均衡：在找到多个纳什均衡的情况下，需要通过一定的方法来确定最优纳什均衡。
纳什均衡纯策略求解算法是一种比较常用的博弈求解方法，在实际问题中也有广泛的应用。
- 1 -。
4 纳什均衡
又一个具有后动优势的虚拟例子
乙 左 甲 右
上 下
10，0 10，100
5，4
5，0
NE是什么？ 甲先动与后动结果有何不同，哪一个更好？ 甲是否具有先动优势？
生活中具有后动优势的例子 帆船比赛： 1983年，美洲杯帆船赛决赛前4轮后， “自由女神号”在这项以7比4胜的比赛 中暂时以3胜1负的成绩领先，也就是只 要再赢一局，他们就可彻底打败对手 “澳大利亚二号”。 第5轮比赛开始了，“澳大利亚二号” 起步违规，不得不撤回，重新起步，故 “自由女神号”在比赛一开始又获得了 37秒的优势。
此时，落后的“澳大利亚二号”孤 注一掷，转向赛道左边，希望风向发生 变化，以帮助他们赶上去，而“自由女 神号”仍然流到了赛道的右边。 结果，“澳大利亚二号”押宝押对 了，风向如他们所愿偏离，使之以1分47 秒的巨大优势赢得这轮比赛，且两轮赛 事之后，“澳大利亚二号”反超，以4： 3赢得胜利。 【注】若双方技术实力相当，帆船比 赛的输赢在很大程度上是赌风向的比赛。
剪发换表链
吉姆 卖表买梳子 不卖
不剪
-4，-4 3，2
2，3 1，1
思考： 1.博弈论乃至整个现代经济学的研究主体——参 与人是理性的受到很多人的批判：人并不是光损人利 己，经济学的研究基石站不住脚。 从刚才的故事中，我们也可以看到完全不为自己 着想，也能导致不好的结果。 2.为自己着想也就是为他人着想。 比如爱惜自己，保重身体，就是孝敬父母，就是 珍重朋友。
2.什么是纳什均衡
在上面的博弈中，称（D,L)为 “纳什均 衡（NE）”。 纳什均衡是局中人战略选择上构成的一种 “僵局”，给定其他局中人的选择不变，任 何一个局中人的选择是最好的，他也不会改 变其战略选择。 剔除劣战略的占优战略均衡和重复剔除劣 战略的占优战略均衡是纳什均衡，但相反的结 论不成立。
纯策略纳什均衡知识讲解
纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium）[编辑]什么是纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中,如果给定其他的策略不变，该节点不会单方面改变自己的策略，否则不会使节点访问代价变小。
[编辑]存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈[1]如果重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢?首先看下面囚徒的困境的博弈的例子：我们现在考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可以理解成给囚徒两次坦白机会，最后的得益是两个阶段博弈中各自得益之和．在两次博弈过程中，双方知道第一次博弈的结果再进行二次博弈．用逆推归纳法来分析，先分析第二阶段，也就是第二次重复时两博弈方的选择．很明显，这个第二阶段仍然是两囚徒之间的一个囚徒的困境博弈，此时前一阶段的结果已成为既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，因此实现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则．因此我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的纳什均衡(坦白，坦白)，双方得益(-5，-5)．现在再回到第一阶段，即第一次博弈．理性的博弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道第二阶段的结果必然是(坦白，坦白)，因此不管第一阶段的博弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最终得益，都将是第一阶段的基础上各加-5．因此从第一阶段的选择来看，这个重复博弈与图l中得益矩阵表示的一次性博弈实际上是完全等价的．于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡，这就是这种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路径．如果重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的定价同有高(H)、中(M)、低(L)三种可能．设高价时市场总利润为10个单位，中价时市场总利润为6个单位，低价时市场总利润为2个单位．再假设两厂商同时决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相等时双方平分利润．这时候两厂商对价格的选择就构成了一个静态博弈问题．我们看一个三价博弈的重复博弈的例子：显然，这个得益矩阵有两个纯策略纳什均衡(M，M)和(L，L)，我们也可以看出实际上两博弈方最大的得益是策略组合(H，H)，但是它并不是纳什均衡．现在考虑重复两次该博弈，我们采用一种触发策略(Trigger Strategy)：博弈双方首先试图合作，一旦发觉对方不合作也用不合作相报复的策略．使得在第一阶段采用(H，H)成为子博弈完美纳什均衡，其双方的策略是这样的：博弈方1：第一次选H；如果第一次结果为(H，H)，则第二次选M，如果第一次结果为任何其他策略组合，则第二次选择L．博弈方2：同博弈方1．在上述双方策略组合下，两次重复博弈的路径一定为第一阶段(H，H)，第二阶段(M，M)，这是一个子博弈完美纳什均衡路径．因为第二阶段是一个原博弈的纳什均衡，因此不可能有哪一方愿意单独偏离；其次，第一阶段的(H，H)虽然不是原来的博弈纳什均衡，但是如果一方单独偏离，采用M能增加1单位得益，这样的后果却是第二阶段至少要损失2单位的得益，因为双方采用的是触发策略，即有报复机制的策略，因此合理的选择是坚持H．这就说明了上述策略组合是这个两次重复博弈的子博弈完美纳什均衡．从上述的例子我们可以看出，有多个纯策略纳什均衡的博弈重复两次的子博弈完美纳什均衡路径是，第一阶段采用(H，H)，第二阶段采用原博弈的纳什均衡(M，M)．如果这个重复博弈重复三次，或者更多次，结论也是相似的，仍然用触发策略，它的子博弈完美纳什均衡路径为除了最后一次以外，每次都采用(H，H)，最后一次采用原博弈的纳什均衡(M，M)．[编辑]存在纯策略纳什均衡的无限次重复博弈[1]与有限次重复博弈一样，无限次重复博弈也是基本博弈的简单重复，但是无限次重复博弈没有最后一次重复，因此无限次重复博弈与有限次有一些不同．任何博弈中博弈方策略选择的依据都是得益的大小，这在重复博弈中仍然是成立的．但是重复博弈又与一次性博弈有所不同，因为在重复博弈中，每一阶段都是一个博弈，并且各博弈方都有得益，因此对于重复博弈，我们要计算的就是博弈结束时的一个总的得益．由于前一次博弈和后一次博弈之间会有损失，因此我们采用一种方法，就是将后一阶段的得益折算成当前阶段得益的(现在值)的贴现系数δ．有了贴现系数δ，那么在无限次重复博弈中，某博弈方各阶段得益为π1,π2,...,则该博弈方总得益的现在值为：对于存在惟一纯策略纳什均衡博弈的无限次重复博弈，我们从下面的例子来看：其中博弈方1和博弈方2分别表示两个厂商，H 和L分别表示高价和低价．显然，该博弈的一次性博弈有惟一的纯策略纳什均衡(L，L)，但是这个纳什均衡并不是最佳策略组合，因为策略组合(H，H)的得益(4，4)比(1，1)要高的多．但是由于(H，H)不是该博弈的纳什均衡，所以在一次性博弈中不会被采用．根据上面的分析，此博弈在有限次重复博弈并不能实现潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采用效率较高的(H，H)．为了实现效率较高的合作利益(H，H)，假设两博弈方都采用触发策略，也即报复性策略：第一阶段采用H，在第t阶段，如果前t-l阶段的结果都是(H，H)，则继续采用L．假设博弈方1已经采用了这种策略，现在我们来确定博弈方2在第一阶段的最优选择．如果博弈方2采用L，那么在第一阶段能得到5，但这样会引起博弈方1一直采用L的报复，自己也只能一直采用L，得益将永远为1，总得益的现在值为如果博弈方2采用H，则在第一阶段他将得4，下一阶段又面临同样的选择．若记V为博弈方2在该重复博弈中每阶段都采用最佳选择的总得益现在值，那么从第二阶段开始的无限次重复博弈因为与从第一阶段开始的只差一阶段，因而在无限次重复时可看作相同的，其总得益的现在值折算成第一阶段的得益为，因此当第一阶段的最佳选择是H时，整个无限次重复博弈总得益的现在值为或者因此，当解得时，博弈方2会采用H策略，否则会采用L策略．也就是说当时，博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反应是第一阶段采用H.这时我们就说双方采用上述触发策略是一个纳什均衡．于是我们得出，在有限次重复博弈中，惟一纯策略纳什均衡不能实现最大得益(H，H)，而在无限次重复博弈中，通过触发策略却可以实现(H，H)。
纳什均衡 算法
纳什均衡算法
纳什均衡算法是一种博弈论中常用的算法，用于求解多人博弈中的最优策略。
该算法是由约翰·纳什在20世纪50年代提出的，因此被命名为纳什均衡。
纳什均衡指的是博弈中各个参与者选择策略的一种状态，其中每个参与者都无法通过单方面改变自己的策略来获得更好的结果。
换句话说，纳什均衡是一种策略组合，对于每个参与者的策略选择都是最优的，而且在这种情况下，没有人有动机单方面改变自己的策略。
纳什均衡算法本质上是一种迭代算法，它通过不断调整每个参与者的策略，直到达到一个纳什均衡状态。
算法的关键是如何评估每个参与者的策略的好坏，通常使用期望效用来衡量。
在纳什均衡状态下，每个参与者的期望效用都达到了最大值，因此没有人会想改变自己的策略。
纳什均衡算法在实际应用中有广泛的应用，例如经济学、政治学、社会科学等领域。
它可以用于分析双人零和博弈、拍卖、决策制定等问题，并提供一种有效的求解最优策略的方法。
- 1 -。
纳什均衡计算的算法研究
AbstractGame theory is the main interest for more than conflict of interest between research and decision-making and the emergence and development of a subject, used to study the game between the behavior of participants in the selection and processing. Different enterprises such as the top sales in the same market and the formation of the same product competition; the same issue in different countries of different political positions of the diplomatic row caused by military conflict or even ... ... is to study game theory. Therefore, game theory has been widely used in the economic, political, military, transportation, math and computer science and so on.From game theory raises a key question is the calculation of it, which is undoubtedly the most famous of the calculation of Nash equilibrium. Non-cooperative game Nash Equilibrium solution concept is a modern basis for the non-cooperative game. However, there is no a general way of calculating the Nash Equilibrium. The search for methods of calculating the Nash Equilibrium of game theory has become an important research direction and research hot spots.In this paper，We study the algorithm calculating the Nash Equilibrium. And the main target of our research is the number of participants in Probability-based game. we expand over the probability-based game model, in the framework of pure strategy game model, by introducing the idea of the probability distribution. We use the probability distribution instead of the strategy choice, use the mathematical expectation under the distribution that the payment of. For the calculation of Nash Equilibrium, we have proposed simplex algorithm to the strategy game of N-person. In this paper we also give the detailed description and calculation steps on simplex algorithm, In order to balance the market price and market share as examples, we calculate the approximate solution of Nash Equilibrium by programming, and give the results of the calculation results and analysis.Keywords: game theory, Nash Equilibrium, simplex, balanced market, equilibrium price第一章绪论1.1 引言博弈论是使用严谨的数学模型研究博弈各方的相互影响以及最优支付问题的理论。
指派问题的纳什均衡解
指派问题的纳什均衡解徐屹嵩;王应明【摘要】Considering the assigned persons ’ individual rationality , this paper proposed the a method to solve the assignment problem with game theory , and prove the existence of the pure strategy nashequilibrium .Compare with the assignment result , the Pure Strategy Nash Equilibrium correspond Pareto Optimum .And it is the optimal solution in individual rational environment .Above all, we proposed a complex method considering individual rationality and group rationality simultaneously .%为弥补传统指派问题解不符合个体理性的不足，提出指派问题的纳什均衡解，并证明有限指派问题有且仅有纯纳什均衡解。
相比传统的指派问题解，纯纳什均衡符合Pareto最优，是个体理性视角下的最优解。
在此基础上，给出一个综合考虑个体理性与集体理性的求解方法。
【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】6页(P101-105,110)【关键词】指派问题;纳什均衡;个体理性【作者】徐屹嵩;王应明【作者单位】福州大学公共管理学院,福建福州,350108;福州大学公共管理学院,福建福州,350108【正文语种】中文【中图分类】C9340 引言在日常生活中，某单位需要完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。
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衡。这时逐一检验的方法也行不通， 因为每个博弈方的混合策
略都是采用各纯策略的概率分布， 概率分布是可以连续变化
基金项目： 国家自然科学基金（ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｕｎｄｅｒ Ｇｒａｎｔ Ｎｏ．６０４７４０３０） 。 作者简介： 于敏（ １９８０－ ） ， 女， 硕士研究生， 主要研究方向为进化计算、进化博弈； 须文波（ １９４６－ ） ， 男， 教授， 研究生博士生导师 ， 主 要 研 究 方 向 为 进
化计算、人工智能、生物信息学； 孙俊（ １９７４－ ） ， 男， 讲师， 博士生， 主要研究方向为进化计算、生物信息学。
Ｃ于ｏｍｐ敏ｕｔｅ，ｒ须Ｅ文ｎｇ波ｉｎｅ， ｅ孙ｒｉｎｇ俊ａｎ：ｄ纳Ａ什ｐｐ均ｌｉ衡ｃａｔ解ｉｏｎ及ｓ 其计算ＱＰ机ＳＯ工算程法与求应解用
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的， 所以可能的混合策略数必然是无限的， 这时也必须有更有 效 的 求 纳 什 均 衡 的 方 法 。于 是 用 优 化 算 法 来 解 决 纳 什 均 衡 问 题 就成为了理想中的想法。
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｎａｓｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｉｓ ｏｎｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ｇａｍｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｃｏｎｃｅｐｔ， ｍａｙ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｓｔｒｉｃｔ ｍａｎｙ ｆｏｒｅｃａｓｔｓ ｔｏ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｗｉｄｅｓｐｒｅａｄ ｔｙｐｅ ｇａｍｅ．Ｑｕａｎｔｕｍ－ ｂｅｈａｖｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐ－ ｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｎａｓｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ＱＰＳＯ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｅｓｔｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｑｕａｎｔｕｍ－ ｂｅｈａｖｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｗａｒｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ； ｎａｓｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ； ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ； ｒｅｐｕｌｓｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ； ｇａｍｅ
ｃ１， ｃ２： 权 重 因 子 ； ｒａｎｄ（ ） ： 随 机 函 数 ， 产 生［０， １］的 随 机 数 ； ｗ： 惯
性权重函数。
ＰＳ０ 算 法 概 念 简 单 、容 易 实 现 、搜 索 速 度 快 、搜 索 范 围 大 ，
和其他优化算法相比， 它的优点突出。
２．２ 具有量子行为的粒子群化粒子群； （ ２） 根据公式（ ３） 计算 ｍｂｅｓｔ 的值； （ ３） 求每个粒子适应度值， 比较求 ｐｉｄ； （ ４） 对于每个粒子比较 ｐｉｄ， 求得 ｐｇｄ； （ ５） 更新 ｐｇｄ； （ ６） 对 于 粒 子 的 每 一 维 ， 根 据 公 式 （ ４） ， 在 ｐｉｄ 和 ｐｇｄ 之 间 取 得一个随机点； （ ７） 根据公式（ ５） 获得一个新的位置； （ ８） 重复（ ２） － （ ７） 直到条件不满足， 迭代结束。
ｉ＝１
Ｐｉ＝（
１ Ｍ
ｉ＝１
Ｐｉ１，
１ Ｍ
ｉ＝１
Ｐｉ２， …，
１ Ｍ
Ｐｉｄ）
ｉ＝１
（ ３）
ｐｉｄ＝"＊Ｐｉｄ＋（ １－ "） ＊Ｐｇｄ "＝ｒａｎｄ
（ ４）
ｘｉｄ＝ｐｉｄ±#＊｜ｍｂｅｓｔｄ－ ｘｉｄ｜＊Ｉｎ（
１ ｕ
）
ｕ＝ｒａｎｄ
（ ５）
这里的 ｍｂｅｓｔ 是粒子群的中间位置 ， ｐｉｄ 为 Ｐｉｄ 和 Ｐｇｄ 之间的 随机点。" 和 $ 都是［０， １］的随机数。% 为 ＱＰＳＯ 的收缩扩张系数。
随着博弈论和经济学应用范围地不断扩大， 纳什均衡的影 响也越来越大， 用纳什均衡来分析和解决经济、政治、法律等各 种领域的现象和内容， 已成为引人注目的主要学术潮流。粒子 群算法（ ＰＳＯ） 是由美国社会心理学家 Ｊａｍｅｓ Ｋｅｎｎｅｄｙ 和电气工 程师 Ｒｕｓｓｅｌｌ Ｅｂｅｒｈａｒｔ 在 １９９５ 年共同提出的， 是继蚁 群 算 法 之 后有一种新的群体智能算法， 目前已成为进化算法的一个重要 分 支 。其 基 本 思 想 是 受 他 们 早 期 对 鸟 类 群 体 行 为 研 究 结 果 的 启 发， 并利用了生物学家 Ｆｒａｎｋ Ｈｅｐｐｎｅｒ 的生物群体模型。
ｋ
第 ｋ 次迭代粒子 ｉ 飞行速度矢量的第 ｄ 维分量； ｘｉｄ ： 第 ｋ 次 迭
代 粒 子 ｉ 位 置 矢 量 的 第 ｄ 维 分 量 ； ｐｉｄ： 粒 子 ｉ 个 体 最 好 位 置
ｐｂｅｓｔ 的 第 ｄ 维 分 量 ； ｐｇｄ： 群 体 最 好 位 置 ｇｂｅｓｔ 的 第 ｄ 维 分 量 ；
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Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 计算机工程与应用
纳什均衡解及其 ＱＰＳＯ 算法求解
于 敏， 须文波， 孙 俊 ＹＵ Ｍｉｎ， ＸＵ Ｗｅｎ－ ｂｏ， ＳＵＮ Ｊｕｎ
江南大学 信息学院， 江苏 无锡 ２１４１２２ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｓｏｕｔｈｅｒｎ Ｙａｎｇｔｚｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｗｕｘｉ， Ｊｉａｎｇｓｕ ２１４１２２， Ｃｈｉｎａ
个没有重量和体积的微粒， 并在搜索空间中以一定的速度飞
行 。该 飞 行 速 度 由 个 体 的 飞 行 经 验 和 群 体 的 飞 行 经 验 进 行 动 态
调整。粒子 ｉ 在 Ｎ 维空间里的位置表 示 为 矢 量 ｘｉ＝（ ｘ１， ｘ２， … ， ｘＮ） ， 飞行速度表示为矢量 ｖｉ＝（ ｖ１， ｖ２， …， ｖＮ） 。每个粒子都有一个 由 目 标 函 数 决 定 的 适 应 值 （ ｆｉｔｎｅｓｓ ｖａｌｕｅ） ， 并 且 知 道 自 己 到 目
由 于 Ｆｒａｎｓ Ｖａｎ ｄｅｎ ｂｅｒｇｈ 已 经 证 明 了 ＰＳＯ 算 法 既 不 能
收敛于全局最优解， 甚至局部最优解。许多学者尝试用众多方
法来改进算法的收敛性能。２００４ 年 Ｓｕｎ 等在研究了 Ｃｌｅｒｃ 等人
关于粒子收敛行为的研究成果后， 从量子力学的角度提出了一
种新的 ＰＳＯ 算法模型［１１］。这种模型是以 ＤＥＬＴＡ 势阱为基础， 认
＊
ｉ， ｓｉ 是 （ 至 少 不 劣 于 ） 针 对 其 他 ｎ－ １ 个 参 与 者 所 选 战 略｛ｓ１ ， … ，
＊
＊
＊
＊
＊
ｓｉ－ １ ， ｓｉ＋１ ， … ， ｓｎ ｝的 最 优 反 应 战 略 ， 则 称 战 略 组 合｛ｓ１ ， … ， ｓｎ ｝是 该
博弈的一个纳什均衡。即
＊
＊
＊＊
＊
Ｕｉ｛ｓ１ ， …， ｓｉ－ １ ， ｓｉ ， ｓｉ＋１ ， …， ｓｎ ｝≥Ｕｉ
＊
＊ ＊＊
＊
｛ｓ１ ， …， ｓｉ－ １ ， ｓｉ ， ｓｉ＋１ ， …， ｓｎ ｝对所有 Ｓｉ 中的 ｓｉ 都成立。
１．２ 纳什均衡的解法
纳什均衡的定义本身并没有说明如何找博弈中的纳什均
衡的问题， 不管是纯策略纳什均衡还是混合策略纳什均衡。根
据纳什均衡的定义， 最多只能检验某个策略组合是否是纳什均
由 于 Ｆｒａｎｓ Ｖａｎ ｄｅｎ ｂｅｒｇｈ 已 经 证 明 了 ＰＳＯ 算 法 既 不 能 收敛与全局最优解， 甚至于局部最优解， 许多学者许多方法以 改进算法的收敛性能。２００４ 年 Ｓｕｎ 等在研究了 Ｃｌｅｒｃ 等人关于 粒子收敛行为的研究成果后， 从量子力学的角度提出了一种新 的 ＰＳＯ 算法模型．这种模型是以 ＤＥＬＴＡ 势阱为基础， 认为粒子 具有量子行为， 并根据这种模型提出了量子粒子群算法 （ Ｑｕａｎｔｕｍ－ ｂｅｈａｖｅｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ） ， 其实验结果 证明 ＱＰＳＯ 收敛性能有了很大地改进。
１ 纳什均衡
１．１ 纳什均衡的定义
纳 什 均 衡 （ Ｎａｓｈ Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ） 是 博 弈 解 的 一 般 名 称 ， 是 当
前博弈理论体系的核心概念。在 ｎ 个参与者标准式博弈 Ｇ＝｛Ｓ１，
＊
＊
…， Ｓｎ； ｕ１， …， ｕｎ｝中， 如果战略组合｛ｓ１ ， …， ｓｎ ｝满足对每一参与者
为粒子具有量子行为， 并根据这种模型提出了量子粒子群算法
（ Ｑｕａｎｔｕｍ－ ｂｅｈａｖｅｄ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ） ， 其实验结果
证明 ＱＰＳＯ 收敛性能有了很大地改进。
算法原理： 在具有量子行为的粒子群算法（ ＱＰＳＯ） 中， 粒子
的主迭代公式是：
Ｍ
Ｍ
Ｍ
Ｍ
" " " " ｍｂｅｓｔ＝ １ Ｍ
衡。当一个博弈中的博弈方数量很少， 而且每个博弈方只有很
有限的策略时， 博弈中全部可能的纯策略组合数量也比较少，
这时可以根据纳什均衡的定义， 对所有纯策略组合进行逐一检
验。找出其中的纯策略纳什均衡。但很多博弈有多个博弈方， 或
者 各 个 博 弈 方 有 多 种 甚 至 有 无 限 多 种 可 选 策 略 。这 些 博 弈 中 可
ＹＵ Ｍｉｎ， ＸＵ Ｗｅｎ－ ｂｏ， ＳＵＮ Ｊ ｕｎ．Ｎａｓｈ ｅｑｕｉｌｉｂｒ ｉａ ａｎｄ ｑｕａｎｔｕｍ－ ｂｅｈａｖｅｄ ｐａｒ ｔｉｃｌｅ ｓｗａｒ ｍ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ ｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００７， ４３（ １０） ： ４８－ ５１．