(完整word版)上海市普陀区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
普陀区高三数学一模试卷
普陀区高三数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(1)的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -12. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为（）A. (-1.5, 0)B. (1.5, 0)C. (-3, 0)D. (3, 0)4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_5的值为（）A. 17B. 14C. 11D. 85. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. √36. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，该圆的半径为（）A. 10B. 8C. 6D. 47. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -23B. 23C. -5D. 58. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）9. 已知函数f(x) = x^3 - 9x，求导数f'(x) = ________。
10. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, -3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 ________。
11. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n + 1，求a_3的值为________。
12. 已知函数y = ln(x+1) - 2x，求导数y' = ________。
三、解答题（本大题共3小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。
上海普陀区2019高考一模--数学(文科)
上海普陀区2019高考一模--数学（文科）考生注意：2018.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,,2,}3，那么A B =. 4.【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为.5.【文科】假设函数x x f 3log 1)(-=，那么=--)8(1f.6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意 取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕. 8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB .11.【文科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=)10(f _. 12.【文科】假设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，那么（第13题图）S B ACE HGFA BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）2111MF MF +的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………〔〕 〔A 〕充分非必要条件.〔B 〕必要非充分条件. 〔C 〕充要条件.〔D 〕非充分非必要条件. 16.【文科】双曲线17922=-+-λλy x 〔97<<λ〕的焦点坐标为…………………………〔〕〔A 〕)0,4(±.〔B 〕)0,2(±. 〔C 〕)4,0(±.〔D 〕)2,0(±.17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是…………………〔〕 〔A 〕7.〔B 〕8.〔C 〕9.〔D 〕10.18.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．…………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. 〔B 〕满足1λμ+=的点P 有且只有一个.P（第18题图）〔C 〕λμ+的最大值为3. 〔D 〕λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程； （2）记点)0,2(-K ，假设AFAK 2=，求△AFK 的面积.21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题6分，第2a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、 〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕假设函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.〔2〕假设集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M上是否互为“H 函数”，并说明理由.（第20题图） 6cm〔3〕函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点nA 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点nA 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n AB B A ++的面积为n a ，求na 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的na ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、2018学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.[1,3]2.π3.}0,1{- 4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.的规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克. 20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AK 是等腰直角三角形………2分其中|所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.ABC △A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，那么11=-+n n x x，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n=⋅-+=1)1(1………2分 即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分 〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n-)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(nn n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121************n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈ ))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分. 当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈ (2)分(假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
2019届上海高三数学一模汇编(60页)
2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分）综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学（理）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定旳区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号旳空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式1|2|≤-x 旳解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=旳最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成旳角旳大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.【理科】若函数3()log f x a x =-旳图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .6. 若等差数列}{n a 旳前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 旳通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地旳五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第4题图）取两个，则编号旳和是奇数旳概率为 （结果用最简分数表示）. 8.在210(2x 旳二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）旳部分图像如右图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上旳动点，则11MC MD+ 旳最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 旳中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分旳体积之比为 . 14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅旳取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸旳相应编号上，将代表答案旳小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.（第13题图）S BAEHGF15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”旳（ ）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）旳焦点坐标为（ ） A.)0,(22b a +±. B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a . D.),0(22b a +±. 17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +旳值不可能．．．是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形旳边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断 正确．．旳是（ ） A.满足λμ+2=旳点P 必为BC 旳中点. B.满足1λμ+=旳点P 有且只有一个. C.λμ+旳最大值为3. D.λμ+旳最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.P（第18题图）如图，某种水箱用旳“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球旳直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”旳体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 旳距离相等. （1）求动点A 旳轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 旳面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠旳对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（第20题图）（第19题图）6cm（2）求)42cos(π-B 旳值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 旳坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++旳面积为n a ，求na 旳表达式；（3）对于（2）中旳na ，是否存在最小旳正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 旳值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上旳函数,对于任意旳x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； （2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上旳解析式.参考答案一、填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-（*N n ∈） 7.53 8.180 9.1-10.3 11.【理科】1021【文科】102 12.1 13.1:114.)2,43[二、选择题15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”旳表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”旳表面积旳和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶旳质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球旳体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 旳轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 旳轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形 ………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分 （2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a b A B=则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. (1)分（证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴旳交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项旳最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小旳正整数p旳值为6，所以，存在最小旳自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 （2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意旳M x ∈ ))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(l o g --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出旳答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π旳非空子集，扣1分，以示区别。
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷及答案
上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。
2019届上海市高三第一次月考数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三第一次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，则 _____________.2. 函数的最大值等于____________.3. 复数满足，则复数的模等于____________.4. 函数的最小正周期为_______________.5. 一组数据8，9 ，，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________.6. 已知函数是函数（且）的反函数，其图像过点，则 ____________.7. 方程（为参数）所表示曲线的准线方程是__________.8. 已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_________.9. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则____________.10. 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.11. 已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数，则输出的数的概率是___________.12. 在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是__________.13. 已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.14. 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“ ，”．其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题15. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．___________________________________ B．C．或___________ D．16. 已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“ ”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件______________ D．非充分非必要条件17. 双曲线的焦点坐标为（）A． B．C． D．18. 函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）A．8 B．9______________________________________C．10______________________________________ D.11三、解答题19. 已知直三棱柱中，，，，是棱的中点.如图所示.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.20. 如图，2012年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，设的眼睛距地面的距离米.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长 2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．（1）若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：．22. 已知函数是单调递增函数，其反函数是 .（1）若，求并写出定义域；（2）对于（1）的和，设任意，，，求证：；（3）求证：若和有交点，那么交点一定在上.23. 对于实数，将满足“ 且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中．（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019-2020学年上海市普陀区高考数学一模试卷
上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ．5．（4分）不等式的解集为 ．6．（4分）函数的值域为 ．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 ．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 ．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 ．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点； 则其中所有真命题的序号为 ．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式； （2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}， 集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}． 故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ． 【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 一 象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限， 故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ． 【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种， 则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个； 故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ． 【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称， 即有f （x ）为奇函数，故①对； 由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限； 按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限， 由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限， 由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点， 函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定 【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件． 故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2， 当且仅当a=b=c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）． 故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称． 又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得 每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000． 当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点， 当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π， 所以：ω=，所以：； （2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π， 解得：C=，△ABC 面积为， 所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程； （2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， 点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2， 联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1， 解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}， 则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列， 可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ， 即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3）， 且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}， 当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}， 当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}， 显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。
2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷(3月份)-含详细解析
2019年上海市普陀区高考数学模拟试卷（3月份）副标题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.3.将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为4.已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={x||x-1|＞3}，U=R，则∁U A=______．6.已知复数z=（i是虚数单位），则Imz=______．7.计算=______．8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k=______．9.502019+1被7除后的余数为______．10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______11.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，则tan2β=______．12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．13.如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．14.若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则实数m的取值范围是______．15.已知=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且||=3，||=4，=12，则=______16.已知函数f（x）=，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1-FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知函数f（x）=ax2-2ax+2（a＞0）在区间[-1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19.如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；（i）设OA=m，OB=m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20.已知动直线l与椭圆C：=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ=，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1=S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式＜对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1为△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故选：B．先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．2.【答案】D【解析】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1-V2=，故选：D．所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：C．将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．4.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=-1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=-1，即sin（α+θ）=-，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|-|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4-，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，求解xcosθ+ysinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．5.【答案】[-2，4]【解析】解：A={x||x-1|＞3}={x|x-1＞3或x-1＜-3}={x|x＞4或x＜-2}，则∁U A={x|-2≤x≤4}，故答案为：[-2，4]．求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．6.【答案】-1【解析】解：∵z==，∴Imz=-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．利用极限的运算法则即可得出．本题考查了极限的运算法则，属于基础题．8.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9.【答案】2【解析】解：502019+1=（1+7）2019+1=1++•72+……++1=7（+•7+……+）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．利用二项式定理展开即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】4π【解析】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．11.【答案】【解析】解：由tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，得tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]===．故答案为：-．由已知结合tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．12.【答案】【解析】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P==．故答案为：．基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．则展开式中的所有项系数和是（）6=；故答案为．先用赋值法，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x=1，再计算二项式的值．14.【答案】（-∞，-1）∪（-1，+∞）【解析】解：关于x，y的二元一次方程组=，即二元一次方程组，若直线mx+y-（m+1）=0与直线x+my-2m=0平行，则，解得m=-1．∴若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则m≠-1，即m∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）．故答案为：（-∞，-1）∪（-1，+∞）．先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m 的范围，取补集得答案．本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由||=3，||=4，得=||×||×cosθ=3×4×cosθ=12，∴cosθ=1；又θ∈[0，π]，∴θ=0；∴=λ，且λ＞0；则||=λ||，∴λ==，∴===λ=，∴=λ=．故答案为：．由平面向量的数量积求得、的夹角θ=0，得出=λ，计算λ的值，即可求得====λ．本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．16.【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】解：根据题意，函数f（x）=，其图象如图：分2种情况讨论：①，当x＞0时，f（x）≤f（1）=4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＞0有唯一的整数解，又f（2）=0，则此时有0≤a＜4．②，当x＜0时，则f（x）≥f（0）=0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＜0有唯一的整数解，又由f（-1）=3，f（-2）=15，则此时有3＜a≤15，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性和极值，对x的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1-FB1E的体积==△==．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），=（0，2，4），=（-4，0，4），=（-4，-2，4），设平面B1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ===，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【解析】（1）三棱锥A1-FB1E的体积==，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-2a=2a（x-1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[-1，1）递减，在（1，4]递增，∵1-（-1）＜4-1，故f（x）max=f（4）=16a-8a+2=8a+2=10，解得：a=1，故f（x）=x2-2x+2；（2）由（1）g（x）=x+-2，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+-2-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（-∞，1]．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19.【答案】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，，且＜＜即AH=10cotα…（2分）即…（4分）∴==…（8分）（ii）由等面积原理得，即…（10分）（2）选择方案一：当时，…（12分）此时，而所以．…（14分）选择方案二：因为，由余弦定理得=∴…（12分）即（当且仅当时取等号）…（14分）【解析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得=，结合基本不等式可求AB的最小值本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20.【答案】解：（1）设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d==，解得m=±1时，此时直线方程为x±y-1=0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=-y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12=1 ①又∵S△OPQ=，∴|x1||y1|=②由①②得|x1|=1，|y1|=．此时x12+x22=2，y12+y22=1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入+y2=1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2=-，x1•x2=，∴|PQ|=•=，∵点O到直线l的距离为d=，∴S△OPQ=|PQ|•d=••=••|m|又S△OPQ=，即••|m|=整理得2k2+1=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=2，y12+y22=（1-x12）+（1-x22）=2-（x12+x22）=1；综上所述x12+x22=2，y12+y22=1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1解得u2=x12=x22=1；v2=y12=y22=．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【解析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21.【答案】解：（1）令n=1时，a1a2=S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2=1，由：a n•a n+1=S n，所以：a n+1•a n+2=S n+1，两式相减得：a n+2-a n=1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n=为奇数为偶数，所以：为奇数为偶数．①当n为奇数时，＜，即：＜，即：＜对任意的正奇数n都恒成立，所以：＜，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，＜，即：＜，即：＜对任意的正偶数恒成立，所以：＜，即：＜＜，综合①②得：＜＜．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等差数列．得知：数列的各项都为正值．设b n=b m b k则：•取k=n+2，则：a k-a n=1，故：a m=a n（a n+2+t），不妨设为偶数，则一定为整数．当n为偶数时，方程b n=b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n=b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。
上海市普陀区2019学年高三数学一模试卷(含答案)
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为 .2. 132lim 31n nnn +→∞+=+ . 3. 不等式11x>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1i 1iz m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b = _ .8. 设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r，则Γ的长轴长等于_________.9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21axbx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.11. 设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件14. 设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为 ……（ ） )A (76()B 4- ()C 5-()D 6-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.C18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=． （1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.NMPBAO21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k lC C =成立，求λ的所有可能值.普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）三、解答题17.（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=. ………………………… 5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.…………………… 6分（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直， 所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, …………………………… 7分 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分.18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2xt =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，E DCBA P17题图所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分 则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o,60OPN θ∠=-o, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PNθθ==-o o ，即)ON θ=-o，PN θ，……………………………4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o，即sin(60)S θθ=-o，其中060θ<<o o .………………………6分（2）由（1）得1sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=-o，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-……………………4分则30)S θ=+-o……………………6分因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o，则23090θ+=oo时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， ………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， ……………………………4分 即223503m m -<-，则m <<m <<， 即实数m的取值范围(U . …………………6分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， ……………2分 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即200000322x x y y x y y -=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -=+，则x = 即点Q的横坐标为024x +， ……………5分则p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是PQ uuu r 在OB uuur 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，………………1分 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又1(1)3a q -=-，则14a =. …………………………3分当14a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n nn n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意，故所求的a 的值为14. ………………………………………4分（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. …………………6分（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. ………………………………2分 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=.当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-；当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. ……………………………。
2019届普陀区高三一模数学Word版
上海市普陀区2019届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数2()f x x=的定义域为 2. 若1sin 3α=，则cos()2πα+= 3. 设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α=4. 若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =，则直线l 的方程为5. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中 随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）7. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示）8. 设0a >且1a ≠，若log (sin cos )0a x x -=，则88sin cos x x +=9. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =，11BC B C E =，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工 资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到）11. 已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-（其中t 为实数），则AB AC ⋅=12. 记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)±C. 实轴长为12D. 顶点坐标为(6,0)±14. 函数2cos(2)4y x π=+的图像（ ）A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是 （ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A B C ++的值； （2）设2c =，求a b +的取值范围.18. 已知曲线22:11612x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设点C 满足AC CB λ=（0λ>），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后， 总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米20. 设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）. （1）求2a 、3a 的值；（2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值； （3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21. 已知函数()2x f x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值.参考答案一. 填空题1. (,0)(0,1]-∞2. 13- 3. 2- 4. 1y x =- 5. 4 6. 712 7. 0 8. 19. 10. 11. 3 12. 2a二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（12）.18.（1）34-；（2）7或17.19.（1）arccos 3（2）34200.6.20.（1）2913a =，32735a =；（2）2；（3）1k =.21.（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.。
2019届上海市普陀区高三一模数学试题(解析版)
故答案为： ．
【点睛】
本题考查幂函数的性质及偶函数的定义，属于基础题．
8．若直线l经过抛物线C： 的焦点且其一个方向向量为 ，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】求出抛物线 的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．
【详解】
抛物线 的焦点为 ，方向向量为 的直线l的斜率为1，
⑵设 ，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合 ，求得 的值．
【详解】
⑴由椭圆方程可得 ， ，
设 ，
则 ， ，
为定值；
⑵设 ，
则
．
若 ，则 ，解得 ．
此时 ， ， ，
由 ，得 ；
同理，若 ，可得 ，此时求得 ．
故 的值为7或 ．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．
4．设 是定义在R上的周期为4的函数，且 ，记 ，若 则函数 在区间 上零点的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】分别作出 与直线 的图象，观察交点个数即可.
【详解】
由图可知：直线 与 在区间 上的交点有8个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的性质应用及零点问题，考查了数形结合的思想及作图能力，属于中等题.
所以： ， =1,
又 + =1，
， =1，
又
=
=
=
，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角函数关系式的恒等变变换的应用，运用了对数的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
13．如图，正四棱柱 的底面边长为4，记 ， ，若 ，则此棱柱的体积为______．
上海市普陀区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2018.121. 函数xx x f 21)(+-=的定义域为 . 2. 若31sin =α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos . 3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31α，若αx x f =)(为偶函数，则=α .4. 若直线l 经过抛物线C ：x y 42=的焦点且其一个方向向量为)1,1(=d ，则直线l 的方程为 .5. 若一个球的体积是其半径的34倍，则该球的表面积为 . 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出 两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 设663322105)1)(1(x a x a x a x a a x x +++++=+-Λ，则=3a （结果用数值表示）.8. 设0>a 且1≠a ，若0)cos (sin log =-x x a ，则=+x x 88cos sin .9. 如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，记F D B C A =1111I ,E C B BC =11I ，若BF AE ⊥，则此棱柱的体积为 .10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的%110.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到1.0）.11. 已知点)0,2(-A ，设B 、C 是圆O :122=+y x 上的两个不同的动点，且向量OC t OA t OB )1(-+=（其中t 为实数），则=⋅AC AB .12. 设a 为整数，记函数xa xx f a -+=log 21)(（0>a 且1≠a ，a x <<0）的反函数为)(1x f -，则=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1221231221211111a a f a f a f a fΛ . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列关于双曲线Γ：13622=-y x 的判断，正确的是………………………………………（ ） )A (渐近线方程为02=±y x )B (焦点坐标为()0,3± )C (实轴长为12 )D (顶点坐标为()0,6±14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y 的图像………………………………………………………………（ ）)A (关于原点对称 )B (关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,83π对称 )C (关于y 轴对称 )D (关于直线4π=x 对称15.若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“b a //”成立的一个充分非必要条件是（ ）)A (c a ⊥，c b ⊥ )B (α//a ，α//b )C (β⊥a ，β⊥b )D (c a //，c b ⊥16.设)(x f 是定义在R 上的周期为4的函数.且⎩⎨⎧<<≤≤=41,log 210,2sin )(2x x x x x f π.记a x f x g -=)()(，若210<<a ，则函数)(x g 在区间[]5,4-上零点的个数是………………………………（ ） )A (5 )B (6 )C (7 )D (8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC 中，三个内角A ,B ,C 所对的边依次为a ,b ,c ,且41cos =C . （1）求C BA 2sin 2cos22++的值； （2）设2=c ，求b a +的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知曲线Γ：1121622=+y x 的左、右顶点分别为A ,B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A ,B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅是定值；（2）设点C 满足CB AC λ=（0>λ），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ,钉尖为i A （4,3,2,1=i ）. （1）设1OA a =（0>a ），当321,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面321A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足531=a ，231+=+n n n a a a （*n ∈N ）.（1）求2a 、3a 的值；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→n a a a n n 111lim 21Λ的值； 4A1A2A3AO（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （*n ∈N 且2≥n ）均有k S n ≥成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数xx f 2)(=（R ∈x ），记)()()(x f x f x g -+=. （1）解不等式：6)()2(≤-x f x f ；（2）设k 为实数，若存在实数0x (]2,1∈，使得1)()2(020-⋅=x g k x g 成立，求k 的取值范围；（3）记b x f a x f x h +⋅++=)()22()(（其中a 、b 均为实数），若对于任意的[]1,0∈x ，均有21|)(|≤x h ，求a 、b 的值.2018学年第一学期普陀区质量调研卷参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分）填对1-6得4分、7-12得5分. 1.()(]1,00,Y ∞- 2.31-3.2-4. 01=--y x5. 46.127 7.0 8.1 9. 232 10. 4.10 11. 3 12.2a二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）由41cos =C 0>，得415sin =C ……1分，由=++C B A π得C B A -=+π, 故C B A cos )cos(-=+……2分C BA 2sin 2cos22++C C B A cos sin 21)cos(+++=……4分 1cos sin 2cos ++-=C C C ……5分=+⨯⨯+-=1414152418156+……6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=……8分 即ab b a 21422-+=ab b a 25)(2-+=……9分 22225254)(⎪⎭⎫⎝⎛+≤=-+b a ab b a （当且仅当b a =时，等号成立）……11分所以332)(2≤+b a ，即364≤+b a ……12分，又因为2>+b a ，故3642≤+<b a ……14分18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】根据题设条件，可得)0,4(),0,4(B A -，设),(00y x P ……1分（1）40±≠x ，则016,04,042000≠-≠+≠-x x x ，112162020=+y x ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=161122020x y …3分其中4,4002001-=+=x y k x y k ………4分； 故21k k ⋅==-⨯+440000x y x y 162020-x y 4316161122020-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x （定值）6分 （2）由CB AC λ=（0>λ），得点C 为线段AB 的内分点（不含两个端点）可设)0,(m C （44<<-m ）…………7分根据（1）可得||PC ()1224120202020++-=+-=m mx x y m x ……8分 所以||PC 220312)4(41m m x -+-=（440≤≤-x ）……9分 （1）若04<<-m ，则当40=x 时，7312)44(4122=-+-m m ， 即7|4|=-m ，解得=m 3-或11，只有3-=m ，此时713443=++-=λ……11分 （2）若40<≤m ，则当40-=x 时，7312)44(4122=-++m m 即7|4|=+m ，解得=m 3或11-，只有3=m ，此时73443=-+=λ ……13分 综上所述7=λ或71。
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2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2018.121. 函数xx x f 21)(+-=的定义域为 . 2. 若31sin =α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos . 3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31α，若αx x f =)(为偶函数，则=α .4. 若直线l 经过抛物线C ：x y 42=的焦点且其一个方向向量为)1,1(=d ，则直线l 的方程为 .5. 若一个球的体积是其半径的34倍，则该球的表面积为 . 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出 两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 设663322105)1)(1(x a x a x a x a a x x +++++=+-Λ，则=3a （结果用数值表示）.8. 设0>a 且1≠a ，若0)cos (sin log =-x x a ，则=+x x 88cos sin .9. 如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，记F D B C A =1111I ,E C B BC =11I ，若BF AE ⊥，则此棱柱的体积为 .10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的%110.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到1.0）.11. 已知点)0,2(-A ，设B 、C 是圆O :122=+y x 上的两个不同的动点，且向量OC t OA t OB )1(-+=（其中t 为实数），则=⋅AC AB .12. 设a 为整数，记函数xa xx f a -+=log 21)(（0>a 且1≠a ，a x <<0）的反函数为)(1x f -，则=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1221231221211111a a f a f a f a fΛ . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列关于双曲线Γ：13622=-y x 的判断，正确的是………………………………………（ ） )A (渐近线方程为02=±y x )B (焦点坐标为()0,3± )C (实轴长为12 )D (顶点坐标为()0,6±14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y 的图像………………………………………………………………（ ）)A (关于原点对称 )B (关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,83π对称 )C (关于y 轴对称 )D (关于直线4π=x 对称15.若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“b a //”成立的一个充分非必要条件是（ ）)A (c a ⊥，c b ⊥ )B (α//a ，α//b )C (β⊥a ，β⊥b )D (c a //，c b ⊥16.设)(x f 是定义在R 上的周期为4的函数.且⎩⎨⎧<<≤≤=41,log 210,2sin )(2x x x x x f π.记a x f x g -=)()(，若210<<a ，则函数)(x g 在区间[]5,4-上零点的个数是………………………………（ ） )A (5 )B (6 )C (7 )D (8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC 中，三个内角A ,B ,C 所对的边依次为a ,b ,c ,且41cos =C . （1）求C BA 2sin 2cos22++的值； （2）设2=c ，求b a +的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知曲线Γ：1121622=+y x 的左、右顶点分别为A ,B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A ,B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅是定值；（2）设点C 满足CB AC λ=（0>λ），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ,钉尖为i A （4,3,2,1=i ）. （1）设1OA a =（0>a ），当321,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面321A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足531=a ，231+=+n n n a a a （*n ∈N ）.（1）求2a 、3a 的值；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→n a a a n n 111lim 21Λ的值； 4A1A2A3AO（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （*n ∈N 且2≥n ）均有k S n ≥成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数xx f 2)(=（R ∈x ），记)()()(x f x f x g -+=. （1）解不等式：6)()2(≤-x f x f ；（2）设k 为实数，若存在实数0x (]2,1∈，使得1)()2(020-⋅=x g k x g 成立，求k 的取值范围；（3）记b x f a x f x h +⋅++=)()22()(（其中a 、b 均为实数），若对于任意的[]1,0∈x ，均有21|)(|≤x h ，求a 、b 的值.2018学年第一学期普陀区质量调研卷参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分）填对1-6得4分、7-12得5分. 1.()(]1,00,Y ∞- 2.31-3.2-4. 01=--y x5. 46.127 7.0 8.1 9. 232 10. 4.10 11. 3 12.2a二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）由41cos =C 0>，得415sin =C ……1分，由=++C B A π得C B A -=+π, 故C B A cos )cos(-=+……2分C BA 2sin 2cos22++C C B A cos sin 21)cos(+++=……4分 1cos sin 2cos ++-=C C C ……5分=+⨯⨯+-=1414152418156+……6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=……8分 即ab b a 21422-+=ab b a 25)(2-+=……9分 22225254)(⎪⎭⎫⎝⎛+≤=-+b a ab b a （当且仅当b a =时，等号成立）……11分所以332)(2≤+b a ，即364≤+b a ……12分，又因为2>+b a ，故3642≤+<b a ……14分18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】根据题设条件，可得)0,4(),0,4(B A -，设),(00y x P ……1分（1）40±≠x ，则016,04,042000≠-≠+≠-x x x ，112162020=+y x ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=161122020x y …3分其中4,4002001-=+=x y k x y k ………4分； 故21k k ⋅==-⨯+440000x y x y 162020-x y 4316161122020-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x （定值）6分 （2）由CB AC λ=（0>λ），得点C 为线段AB 的内分点（不含两个端点）可设)0,(m C （44<<-m ）…………7分根据（1）可得||PC ()1224120202020++-=+-=m mx x y m x ……8分 所以||PC 220312)4(41m m x -+-=（440≤≤-x ）……9分 （1）若04<<-m ，则当40=x 时，7312)44(4122=-+-m m ， 即7|4|=-m ，解得=m 3-或11，只有3-=m ，此时713443=++-=λ……11分 （2）若40<≤m ，则当40-=x 时，7312)44(4122=-++m m 即7|4|=+m ，解得=m 3或11-，只有3=m ，此时73443=-+=λ ……13分 综上所述7=λ或71。
……14分 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，4321,,,A A A A 两两联结，后得到的四面体4321A A A A 为正四面体……2分延长O A 4交平面321A A A 于B ,则⊥B A 4平面321A A A ，连接B A 1， 则B A 1是1OA 在平面321A A A 上的射影，所以B OA 1∠即为1OA 与平 面321A A A 所成角。
……3分 设l A A =41，则l B A 331=在B A A RT 14∆中，2421241B A B A A A +=, 即222223333⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a l a l l ，所以a l 362=，故a a B A 322362331=⨯=…4分 322cos 111==∠OA B A B OA （其中<0B OA 1∠2π<），所以B OA 1∠322arccos =……5分4A1A2A3AOB故1OA 与平面321A A A 所成角的大小为322arccos……6分 （2）232321221=⋅A A ……8分 根据（1）可得a A A 36221=，所以4227=a cm ……11分⋅1001()4216244100==⋅a a m …13分.答：复制100枚这种“钉”，共需材料42162米…14分20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.【解】（1）由已知条件，可得1392=a ，35273=a ；…………4分 （2）32111=-a ，11+n a 31132+⋅=n a ……5分即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1132111n n a a …6分 必有011≠-n a ， 所以3211111=--+nn a a （常数）……7分 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以32为首项，公比为32的等比数列。