曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
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对弧长的曲线积分
3. 推广
L f ( x , y )ds 存在.
函数 f ( x , y, z )在空间曲线弧 上 对弧长的曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si
0
i 1
n
6
对弧长的曲线积分
注意
(1) 若 L (或 )是分段光滑的, ( L L1 L2 )
特殊情形 (1) L : y ( x ), a x b
( )
L f ( x, y )ds
L
b
a
f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx ( a b )
ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y d
1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
(x
y )ds
2
19
对弧长的曲线积分
四、几何意义与物理意义
几何意义 (1) 当 f ( x , y ) 1时, L 弧长
L ds
L
(2) 当 f ( x, y)表示位于L上的
z f ( x, y)
柱面在点( x , y )处的高时,
s
S柱面面积 f ( x , y )ds
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
五、小结
对弧长曲线积分的概念
(四步:分割、取近似、求和、取极限） 对弧长曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) 对弧长曲线积分的应用
(曲线的质量、质心、转动惯量、引力)
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
Hale Waihona Puke Baidu
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L
L f ( x , y )ds, 即
n
f ( i ,i ) si L f ( x , y )ds lim 0 i 1
积分弧段
弧元素
L
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds
5
对弧长的曲线积分
2. 存在条件
当 f ( x , y )在光滑曲线弧L上 连续,
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,
故
A
L
B x
L | y | ds 2 ⌒ yds
AB
O
C
2
R
0
R y dx y
2R2
17
对弧长的曲线积分
例4 求I x 2ds ,
x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0. 解 由于 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有
L f ( x, y )ds
1
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , 2 f ( x , y )ds, 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
9
对弧长的曲线积分
例
计算 L ( x y )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R2 .
15
对弧长的曲线积分
例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即
2
⌒ 解 由曲线 L(半圆周 ABC如图 )的 2 2 2 方程x y R , 得
ds 1 y 2 dx
x y R ( x 0).
2 2
y
A
L
B x
O
C
R x2 y2 dx dx 2 | y| y
10
L
对弧长的曲线积分
三、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
定理 设 f ( x , y )在曲线弧L上 有定义且连续,
x (t ) L的参数方程为 ( t ),其中 y (t ) ( t ), ( t )在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
L L
1
2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds
L1 L2
(对路径具有可加性)
( 2) 函数f ( x, y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
记作
L f ( x, y )ds
7
对弧长的曲线积分
4. 性质 (1)
L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L
y
y2 2x
( 2,2)
O
x
例2 求I xyzds , 其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段 . (0 2 )
解 I
2
0
a cos sin k a 2 k 2 d
2
1 2 2 2 ka a k 2
23
对弧长的曲线积分
例6 已知螺旋形弹簧一圈
的方程:
x a cos t y a sin t , 0 t 2 z bt
弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求 (1) 它的质量; (2) 它的重心;
(3) 它关于z轴的转动惯量.
24
对弧长的曲线积分
0
i 1
对弧长的曲线积分
二、对弧长的曲线积分的概念
设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列
M1, M 2 , , M n1 把L分成n个小段. 设第i个小段的
y
1.定义
长度为 si ,又( i ,i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f ( i ,i ) si , 一点, ③ 并作和 f ( i ,i ) si ,
L
R 0
| y | ds AB ⌒ | y | d s ⌒ | y | ds BC
R R R | y | dx | y | d x 2 R 2 0 | y| | y|
16
对弧长的曲线积分
计算 | y | ds, 其中L是右半圆周 ,即 L 2 2 2 x y R ( x 0). 解此题时也可用 对称性质 y
物理意义
(1) 当 ( x , y )表示 L的线密度时
M ( x , y )ds
L
(2) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
I x y ds , I y x 2 ds L
2
L
( 3) 曲线弧的质心坐标
x ds x L , L ds
y ds y L L ds
O
A
B
y
L
( i , i ) M i
M1 M 2
M n1
M i 1
si
取近似 取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si
x
求和
M ( i ,i ) si
i 1 n
n
近似值
精确值
3
取极限 M lim ( i ,i ) si
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
对弧长的曲线积分要求 ds 0 (1)化为定积分的下限 一定要小于上限 (2) 积分值与曲线方向无关.
注意
( )
11
对弧长的曲线积分
L
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 13
f ( x , y , z )ds
对弧长的曲线积分
如果积分路径 L是两个曲面的交线
1 ( x , y, z ) 0 z f ( x, y ) 或 z g( x , y ) 2 ( x, y, z ) 0
2 (t ) 2 (t )dt
( )
f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d
L f ( x , y )ds
推广 : x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )
第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral
1
第一节
第一类曲线积分
问题的提出
对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算
几何意义与物理意义
小结 思考题 作业
2
第十章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 ,, M n1
i 1 n
( i , i ) M i
O
A
M1 M 2
L
B
M n1
M i 1
si
④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
x
4
对弧长的曲线积分 n
注意: 被积表达式都定义在曲线上, f ( i ,i ) si 即满足曲线的方程. i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c
12
d
ds 1 2 ( y )dy
对弧长的曲线积分
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t )
L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形 (3) L : ( ),
(2)
L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数)
L ⌒ f ( x, y )ds
( AB )
L (⌒ BA)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
f ( x , y )ds
8
对弧长的曲线积分
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 , y ) 在一条光滑(或分段光滑)的 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则 分曲线L的对称性.
L
20
对弧长的曲线积分
设平面曲线 L为下半圆周 y 1 x ,则
2
曲线积分 ( x 2 y 2 )ds (
L
).
解 设下半圆周的参数方程 x cos , y sin
则
L
( x 2 y 2 )ds
2 2 ( sin ) (cos ) d (cos sin )
3. 推广
L f ( x , y )ds 存在.
函数 f ( x , y, z )在空间曲线弧 上 对弧长的曲线积分为
f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si
0
i 1
n
6
对弧长的曲线积分
注意
(1) 若 L (或 )是分段光滑的, ( L L1 L2 )
特殊情形 (1) L : y ( x ), a x b
( )
L f ( x, y )ds
L
b
a
f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx ( a b )
ds 1 2 ( x )dx (2) L : x ( y ), c y d
1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
(x
y )ds
2
19
对弧长的曲线积分
四、几何意义与物理意义
几何意义 (1) 当 f ( x , y ) 1时, L 弧长
L ds
L
(2) 当 f ( x, y)表示位于L上的
z f ( x, y)
柱面在点( x , y )处的高时,
s
S柱面面积 f ( x , y )ds
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
五、小结
对弧长曲线积分的概念
(四步:分割、取近似、求和、取极限） 对弧长曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式) 对弧长曲线积分的应用
(曲线的质量、质心、转动惯量、引力)
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
Hale Waihona Puke Baidu
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L
L f ( x , y )ds, 即
n
f ( i ,i ) si L f ( x , y )ds lim 0 i 1
积分弧段
弧元素
L
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x , y )ds
5
对弧长的曲线积分
2. 存在条件
当 f ( x , y )在光滑曲线弧L上 连续,
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
L关于x轴对称, | y | 为y的偶函数,
故
A
L
B x
L | y | ds 2 ⌒ yds
AB
O
C
2
R
0
R y dx y
2R2
17
对弧长的曲线积分
例4 求I x 2ds ,
x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0. 解 由于 的方程中的x, y, z的地位完全对称, 有
L f ( x, y )ds
1
当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的奇函数 0 , 2 f ( x , y )ds, 当 f ( x , y ) 是L上关于x (或y)的偶函数
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分.
9
对弧长的曲线积分
例
计算 L ( x y )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R2 .
15
对弧长的曲线积分
例3 计算 L | y | ds, 其中L是右半圆周, 即
2
⌒ 解 由曲线 L(半圆周 ABC如图 )的 2 2 2 方程x y R , 得
ds 1 y 2 dx
x y R ( x 0).
2 2
y
A
L
B x
O
C
R x2 y2 dx dx 2 | y| y
10
L
对弧长的曲线积分
三、对弧长曲线积分的计算
解法 化为参变量的定积分计算
定理 设 f ( x , y )在曲线弧L上 有定义且连续,
x (t ) L的参数方程为 ( t ),其中 y (t ) ( t ), ( t )在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
L L
1
2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds
L1 L2
(对路径具有可加性)
( 2) 函数f ( x, y )在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
记作
L f ( x, y )ds
7
对弧长的曲线积分
4. 性质 (1)
L[ f ( x, y ) g( x, y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds L L
y
y2 2x
( 2,2)
O
x
例2 求I xyzds , 其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段 . (0 2 )
解 I
2
0
a cos sin k a 2 k 2 d
2
1 2 2 2 ka a k 2
23
对弧长的曲线积分
例6 已知螺旋形弹簧一圈
的方程:
x a cos t y a sin t , 0 t 2 z bt
弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求 (1) 它的质量; (2) 它的重心;
(3) 它关于z轴的转动惯量.
24
对弧长的曲线积分
0
i 1
对弧长的曲线积分
二、对弧长的曲线积分的概念
设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列
M1, M 2 , , M n1 把L分成n个小段. 设第i个小段的
y
1.定义
长度为 si ,又( i ,i )为 第i个小段上任意取定的 ②作乘积 f ( i ,i ) si , 一点, ③ 并作和 f ( i ,i ) si ,
L
R 0
| y | ds AB ⌒ | y | d s ⌒ | y | ds BC
R R R | y | dx | y | d x 2 R 2 0 | y| | y|
16
对弧长的曲线积分
计算 | y | ds, 其中L是右半圆周 ,即 L 2 2 2 x y R ( x 0). 解此题时也可用 对称性质 y
物理意义
(1) 当 ( x , y )表示 L的线密度时
M ( x , y )ds
L
(2) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量
I x y ds , I y x 2 ds L
2
L
( 3) 曲线弧的质心坐标
x ds x L , L ds
y ds y L L ds
O
A
B
y
L
( i , i ) M i
M1 M 2
M n1
M i 1
si
取近似 取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si
x
求和
M ( i ,i ) si
i 1 n
n
近似值
精确值
3
取极限 M lim ( i ,i ) si
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
对弧长的曲线积分要求 ds 0 (1)化为定积分的下限 一定要小于上限 (2) 积分值与曲线方向无关.
注意
( )
11
对弧长的曲线积分
L
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t ) f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t ) ] 2 (t ) 2 (t )dt
f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( ) 13
f ( x , y , z )ds
对弧长的曲线积分
如果积分路径 L是两个曲面的交线
1 ( x , y, z ) 0 z f ( x, y ) 或 z g( x , y ) 2 ( x, y, z ) 0
2 (t ) 2 (t )dt
( )
f [ ( ) cos , ( ) sin ] 2 ( ) 2 ( )d
L f ( x , y )ds
推广 : x ( t ), y ( t ), z ( t ) ( t )
第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral
1
第一节
第一类曲线积分
问题的提出
对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算
几何意义与物理意义
小结 思考题 作业
2
第十章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 ,, M n1
i 1 n
( i , i ) M i
O
A
M1 M 2
L
B
M n1
M i 1
si
④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
x
4
对弧长的曲线积分 n
注意: 被积表达式都定义在曲线上, f ( i ,i ) si 即满足曲线的方程. i 1 这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x , y ) 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 记作 第一类曲线积分. 被积函数
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy (c d ) c
12
d
ds 1 2 ( y )dy
对弧长的曲线积分
x (t ) L的参数方程为 ( t ), y (t )
L f ( x, y )ds f [ (t ), (t ) ] 特殊情形 (3) L : ( ),
(2)
L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k为常数)
L ⌒ f ( x, y )ds
( AB )
L (⌒ BA)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
f ( x , y )ds
8
对弧长的曲线积分
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
设函数f ( x运用对称性简化对弧长的曲线积分 , y ) 在一条光滑(或分段光滑)的 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x , y )与积 曲线L上连续, L关于x=0 (或y=0) 对称, 则 分曲线L的对称性.
L
20
对弧长的曲线积分
设平面曲线 L为下半圆周 y 1 x ,则
2
曲线积分 ( x 2 y 2 )ds (
L
).
解 设下半圆周的参数方程 x cos , y sin
则
L
( x 2 y 2 )ds
2 2 ( sin ) (cos ) d (cos sin )