陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4
高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修
第一章三角函数章末复习课网络构建核心归纳1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图像定义域R R ⎝⎛kπ－π2，⎭⎪⎫kπ＋π2(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大值、最小值周期性周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝2kπ(k∈Z)周期T＝kπ(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)(k∈Z)轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一任意角的三角函数的定义有关三角函数的概念主要有以下两个方面：(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π2，k ∈Z ；当θ＝2k π＋π2时，sin θ＝1，tan θ不存在；当θ＝2k π－π2时，sin θ＝－1，tan θ不存在．(2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. 当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m2m.(4)当θ在第三、四象限时， sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m2m.训练1 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153.要点二 诱导公式的应用(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”． (2)对于π2±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．注意：①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化． ②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号． ③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．例2 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－2sin π＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．解析 (1)1－2sin π＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1， ∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β) ＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案 (1)A (2)1训练2 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π·tan α－πcos 3π－α的值．解 (1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.要点三 三角函数的图像及变换1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π，2π.2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别． 例3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0. 又|φ|＜π2，故φ＝－π10，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图像向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．训练3 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.答案 C要点四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴y ＝f (x )的周期为2.∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减． ∵f (x )是偶函数，∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.② 由①②，得f (sin α)>f (cos β)．训练4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .要点五 三角函数的综合应用(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法； (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．例5 已知函数f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)求它的定义域和值域、单调区间；(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解 令u (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)要使f (x )有意义，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≤2，所以f (x )＝log 12u (x )≥－12.所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12u (x )是减函数．所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数．同理可求得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数． (2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． 又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (x )，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π. 训练5 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围． 解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.基础过关1．sin(－60°)的值是( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 C2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)． ∴x ＜0. cos α＝x x 2＋42＝x5，x ＝－3.则P (－3,4)． ∴tan α＝4－3＝－43. 答案 D3．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析 ∵2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1， ∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12，故选B.答案 B4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________． 解析 由2R ＋l ＝6，l R＝1，得R ＝l ＝2， ∴S ＝12×2×2＝2.答案 25．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________. 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的最大值为1，∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12. 答案 15π126．计算3sin －1 200°tan11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 原式＝－3sin120°tan2π3＋cos 5°tan π4＝－3cos π6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22. 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1，x ∈R ，求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )，即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4k π－3π2，k ∈Z. (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像；②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像；④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1的图像．能力提升8．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34D.14或34解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2.由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n4， 又－1≤k ≤1. ∴k ＝14或k ＝－34.答案 C9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12，故选A.答案 A10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案 －211．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)． 解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.故③④正确．答案 ③④12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4的值．解 (1)由图像可知A ＝2， 周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由图像过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，取π6＋φ＝π2得φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由(1)可知f (x )的周期为π，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 ＝0×503＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的特征.2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_________________________________________________为正角；______________________________________为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的角不一定__________.S5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=____________________________________.6. 与 490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最 小的角是________，它们是第______象限角.【合作探究】1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1） 120-； （2） 640； （3）'8950 -.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β 的元素β写出来.（1） 60； （2） 225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于 90的角是锐角D. 0到 90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z } 第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1.276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。
高一数学北师大版必修学案：三角函数《正弦函数的图像》
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》5正弦函数的图像导学案 北师大版必修4【学习目标】1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像.2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.【重点难点】重点：“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像.难点：利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像.【使用说明】首先从单位圆中观察正弦函数x y sin =的简单性质（定义域、值域、周期、区间]2,0[π上的单调性等），然后了解正弦函数图像的三种画法：描点法，几何法，五点法，特别是“五点法”应予以重视，最后通过完成合作探究进一步加深对“五点作图法”的理解.【自主学习】3. 正弦函数的图像（1）描点法：按照_______，________，________的顺序可作出正弦函数的图像.（2）几何法：①在x 轴上点)0,1(-的左侧任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆；②从圆1O 与x 轴交点A 起把圆1O 分成16等份；③过圆上各分点作x 轴的垂线，可得对应于角πππππ2,,2,83,4,8,0Λ的正弦线；④相应的再把x 轴上从原点O 开始，把π2~0这段分成16等份；⑤把各角的正弦线平移，使正弦线的起点与x 轴上的对应的点重合；⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就可以得到函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像；⑦利用函数的周期就可以得到函数x y sin =，R x ∈的图像.（3）五点法：函数x y sin =在]2,0[π∈x 上的图像有五个关键点非常重要，分别是与x 轴的三个交点（可称为平衡点）、最高点、最低点，即：)0,0(， )1,2(π，)0,(π，)1,23(-π，)0,2(π.只要描出这五个点后，函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图像的形状基本上就确定了. 因此，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图.【课堂检测】1. x y sin 1+=，]2,0[π∈x 的图像与直线23=y 的交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32.利用正弦线比较83sin ,8sin ,6sin πππ的大小关系是（ ） A. 83sin 6sin 8sin πππ<< B. 83sin 8sin 6sin πππ<< C. 8sin 6sin 83sin πππ<< D. 6sin 8sin 83sin πππ<<【课堂小结】【课后训练】1. 用五点法画出函数x y sin 2-=在区间]2,0[π上的简图.2. 令)18sin(π-=a ，)10sin(π-=b ，则b a ,的大小关系是_________.。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像导学案北师大版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数１．8 函数y=Asiｎ（ωx+φ）的图像导学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第一章三角函数 1.8 函数y=Ａｓｉn(ωx＋φ)的图像导学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第一章三角函数 1.8 函数y＝Asin（ωx+φ)的图像导学案北师大版必修4的全部内容。
１。
８函数y＝A sin（ωｘ＋φ)的图像问题导学1.用“五点法”作正弦函数ｙ=A siｎ（ωx+φ）的图像活动与探究1用“五点法”作出函数y＝２siｎ错误!的简图,并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．迁移与应用用“五点法”作出函数y＝３sin错误!的图像,并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位.“五点法”作图，要抓住要害,即要抓住五个关键点,使函数式中的ωｘ+φ分别取0,错误!,π,错误!，２π,然后求出相应的x,ｙ值，作出图像．2．图像变换活动与探究2用两种方法将函数y＝ｓiｎx的图像变换为y=2sin错误!的图像.活动与探究3将函数y=ｆ(x）的图像上每一点的纵坐标变为原来的＼f(１，2),再将横坐标变为原来的错误!,最后将整个图像向左平移错误!个单位，可得y=sin x的图像，求函数f(x)的解析式.迁移与应用函数y=错误!sin错误!的图像可以看作把函数y＝错误!sｉｎ 2x的图像向＿_____＿＿＿＿平移__＿__＿____个单位得到.函数y＝A sｉn(ωｘ＋φ)（A＞0，ω＞0）的图像与y=sｉn x的图像的关系;(1)函数y=A sin(ωｘ＋φ)＋k(A>０，ω>0）中的A,ω,k,φ变化时,函数图像的形状和位置会相应地发生变化,其中Ａ和ω确定图像的形状，φ和k确定图像与坐标轴的相对位置关系，图像的基本变换有以下几种:a.振幅变换:由A的变化引起.b．周期变换:由ω的变化引起.ｃ．相位变化：由φ的变化引起.d．上下变化：由ｋ的变化引起.(２)图像变换的两种途径的差异：ａ．先相位变换后周期变换；ｂ．先周期变换后相位变换．①y=sin x错误!y=sｉn(x＋φ)y=ｓｉｎ(ωx+φ)错误!y=A sin(ωx＋φ)．②ｙ＝sin ｘy＝sin ωx y=sｉn(ωx＋φ）错误!y＝Ａsin(ωｘ＋φ)．3.根据图像确定函数解析式活动与探究4如图,它是函数y＝A sｉn(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0，|φ|<π)的图像,由图中条件写出该函数的解析式．迁移与应用１.函数f（ｘ)＝A sin(ωx+φ)(0<φ＜2π,A>０,ω＞0)的部分图像如图所示,则f(0）的值是_＿＿_＿_＿__＿.2．函数ｆ（x)＝A sin（ωx＋φ)(Ａ＞0,ω>0,｜φ｜<＼ｆ（π,2),x∈R)的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y=Aｓin(ωx+φ)的解析式,主要从以下三个方面来考虑:（1）A的确定：根据图像的“最高点,最低点”确定Ａ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T，然后由T＝错误!（ω＞0）确定ω;(3)φ的确定：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x轴的交点代入（此时,Ａ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法:确定φ的值时，往往以寻找“五点"中的第一个“零点”错误!作为突破口．“五点"中的ωx+φ的值具体如下:“第一点"(即图像上升时与ｘ轴的交点)为ωx＋φ＝0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωｘ+φ=错误!；“第三点”(即图像下降时与ｘ轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点"(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝错误!;“第五点”为ωx+φ=2π.4．y＝Aｓｉｎ（ωｘ+φ)＋b的性质及综合应用活动与探究５已知函数f（x）＝２ｓin错误!+１（0<φ＜π，ω>０）为偶函数，且函数y＝f(ｘ）图像的两相邻对称轴间的距离为π２．（1)求ｆ错误!的值；（2）将函数y＝f(ｘ）的图像向右平移＼ｆ（π，6)个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g（x)的图像，求g（x)的单调递减区间.迁移与应用已知函数f(x）=Ａsｉn(ωx＋φ）错误!在一个周期内，当x=错误!时，y有最大值为2，当ｘ＝错误!时，y有最小值为-2．（1)求函数ｆ(x）表达式;(2)若g（x)＝f(-ｘ),求g(x）的单调递减区间．（１)函数ｙ=Aｓｉn(ωx+φ)(Ａ＞0,ω>0）为偶函数⇔φ=kπ+错误!(ｋ∈Z）；为奇函数⇔φ＝ｋπ(ｋ∈Z)．同理,函数y＝A cos（ωx＋φ）（A>０,ω>０)为偶函数⇔φ=ｋπ(k∈Z)；为奇函数⇔φ=kπ＋错误!（ｋ∈Ｚ)．(2)求y=Ａsｉｎ（ωx+φ)或ｙ=A cos(ωx＋φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把ωx+φ代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围.当堂检测1．函数y＝2sin错误!的周期、振幅各是( ）.A.4π,－2 B．4π,２C.π,2 Ｄ.π,-２2．要得到y=sｉｎ错误!的图像，只要将y=siｎ２ｘ的图像( ）．Ａ．向左平移错误!B．向右平移错误!C.向左平移错误!Ｄ．向右平移错误!３．如图所示，已知函数y=2sin(ωx+φ)错误!的图像,那么( ).A．ω＝错误!,φ=错误! B．ω=错误!，φ=-错误!C.ω=２,φ=错误!D.ω=2,φ=-错误!4．函数y＝２ｓin错误!在［０,π］上的单调减区间是_________＿.5．已知函数f(x）=Aｓｉn(ωｘ+φ）(A＞0,ω＞0,|φ｜＜错误!）上的最高点为(２，错误!），该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(６,０)，求函数解析式,并求函数在x∈[－6，0]上的值域.答案：课前预习导学 【预习导引】１.0,＼f （π，2)，π,错误!,2π预习交流１ －错误!,错误!,错误!,错误!，错误! 2.值域 最大值 最小值 振幅 初相 ωx +φ 周期 T =错误! 错误!=错误!预习交流2 错误! 错误! 错误! －错误! 预习交流3 Ｄ４．R ［-Ａ，A ] 错误! ｋπ＋错误!,k ∈Z 错误! k π,k ∈Z 错误! ２k π-错误! 2k π＋错误! 2k π＋错误! 2k π＋错误!预习交流4 略 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：（1)列表:列表时2x +错误!取值分别为0，错误!，π，错误!，2π,再求出相应的ｘ值和ｙ值．x －错误! 错误! 错误! 错误! 错误! ２x ＋错误!错误! π 错误! 2π y 0２ 0 －2 0(2）描点:在直角坐标系中描出点错误!，错误!,错误!，错误!,错误!。
高中数学 第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ； （2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程 及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区 间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（ ）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。
高中数学 第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式(2)导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》4单位圆与诱导公式（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1.借助三角函数的定义及单位圆推导角απ±2的正、余弦函数的诱导公式，并会 用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.2. 掌握诱导公式的结构特征及其作用，能灵活使用诱导公式.3. 通过诱导公式的推导和分析公式的结构特征，体会从特殊到一般的数学思想.【重点难点】 重点：诱导公式的应用.难点：诱导公式的推导及其结构特征的认识.【使用说明】1.首先回忆上节所学诱导公式，然后在此基础上借助单位圆推导角α与απ+2的 正弦、余弦函数关系，最后总结所学诱导公式的结构特征.2.通过小组讨论、合作交流，完成合作探究问题，进一步加深对诱导公式及其结构特征的理解.【自主学习】2. 锐角α的终边与απ+2的终边位置关系如何？任意角α与απ+2呢？它们的正 弦、余弦函数之间有什么关系？思考：如何得到下面两个等式？ απαcos )2sin(=+， απαsin )2cos(-=+.2. 化简：)cos()5sin()sin()23cos()cos()2sin(απαπαπαπαπαπ---+--+-.靖边三中2015届数学必修4导学案【课堂检测】1.角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数)0(2≥-=x x y 的图 像上.（1）求αcos 和)sin(απ+的值.（2）能否求出角απαπαπααπ±±--∈+2,,2,),(2Z k k 的正弦函数值、余弦函数值？若能，求出值；若不能，请说明理由.2. 化简： （1）)2(cos 2)sin()2sin(12απαππα+-+-+；（2）.)23sin()3cos()2(sin 2αππαπα+--【课堂小结】【课后训练】1. =-)1920sin( ___________.2.已知31)sin(=+απ，则)3sin(απ+-=___________.3.已知31)2sin(-=-απ，分别求下列函数值： （1）αcos ；（2）)cos(απ+；（3）)cos(α-；（4）)2cos(απ-；（5）)2sin(απ+.。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像(1)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义.2. 通过作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，理解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.3. 会用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.【重点难点】重点：ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响.难点：)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =的图像间的关系.【使用说明】通过数形结合和由特殊到一般的思想方法，理解参数ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响，然后总结)sin(ϕω+=x A y 的图像与x y sin =的图像间的关系.【自主学习】1. 作函数x y sin 2=和x y sin 21=的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x A y sin =)0(>A 的图像？2. 画出函数)4sin(π+=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x y ωsin =)0(>ω的图像？4. 函数)sin(ϕω+=x A y ，R x A ∈>>,0,0ω的振幅为_______，周期=T _______， 频率=f __________，初相为________.【合作探究】1.阅读课本第49—51页，说明如何由x y sin =的图像变换得到1)62sin(3++=πx y的图像.思考：如何由x y sin =的图像变换到b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像？ 方法一： x y sin = x y ωsin = )sin(ϕω+=x y)sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω 方法二： x y sin = )sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω2. 利用“五点法”作出函数1)62sin(3++=πx y 在一个周期内的简图.【课堂检测】1.为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，只需将x y 21sin =的图像上每一点（ ） A.横坐标向左平移3π个单位长度 B.横坐标向右平移3π个单位长度 C.横坐标向左平移32π个单位长度 D.横坐标向右平移32π个单位长度 2.将函数)542cos(π+=x y 的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩 短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为______________________.3. 已知函数)34sin(8)(π+=x x f ，求函数)(x f 的周期、振幅、相位与初相.【课堂小结】。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像(2)导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1.理解函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，并能灵活的用其解决相关问题.2.掌握如何根据函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及性质求函数的解析式.【重点难点】 函数)sin(ϕω+=x A y 的性质及其应用.【使用说明】类比正、余弦函数的性质，试着总结函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，然后利用性质解决相关问题.【自主学习】1. 对于函数)sin(ϕω+=x A y ),0,0(R x A ∈>>ω，有以下性质：①值域：___________； ②周期性：=T _______；③奇偶性：当Z k k ∈=,πϕ时，是奇函数，当Z k k ∈+=,2ππϕ时，是偶函数； ④单调性：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤+-ππϕωππ可求出单调增区间，由__________________________________________可求出单调减区间；⑤对称性：图像的对称轴方程可由)(2Z k k x ∈+=+ππϕω求出，图像的对称中心的横坐标可由__________________________求出.【合作探究】1. 求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大值、最小值时x 值的集合.（1）12sin 21+=x y ； （2）1)12cos(6-+-=x y .2.（1）求函数)43cos(21π+=x y 的递增区间； （2）求函数)3sin(3x y -=π的递减区间.3.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如下图. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）令)67()(π+=x f x g ，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.【课堂检测】1. 同时具有下列性质：“①对任意)()(,x f x f R x =+∈π恒成立；②图像关于直线 3π=x 对称；③]3,6[ππ-上是增函数”的函数可以是（ ） A. )62sin()(π+=x x f B. )62sin()(π-=x x f C. )32cos()(π+=x x f D. )62cos()(π-=x x f 2.（1）函数))(63sin(53R x x y ∈-=π的递增区间是_____________________； （2）函数])2,0[)(3221cos(3ππ∈+=x x y 的递减区间是___________________. 3. 函数)sin(ϕω+=x A y )20,0,0(πϕω<<>>A 一个周期的图像如图所示，试确定 ϕω,,A 的值.【课堂小结】【课后训练】1.函数)435sin(2π-=x y 的周期是________，最小值为_____，取最小值时的x 的取值集合为______________________.2. 判断下列函数的奇偶性.（1）))(23cos(R x x y ∈+=π； （2）))(22sin(3R x x y ∈-=π.。
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的性质与图像导学案北师大版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数1.５正弦函数的性质与图像导学案北师大版必修４编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章三角函数１.5 正弦函数的性质与图像导学案北师大版必修４)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1.5 正弦函数的性质与图像问题导学１．正弦函数的图像活动与探究1(1）用“五点法”作y＝2－sｉn x的图像时,首先描出的五个点的纵坐标是( )．Ａ.0,１，０，－１,0B．0,2，０，－２，0C.２，1,2,３,2D．2,3,2，-３,2（2）用“五点法”作函数y=－1+sin x（x∈[0,2π])的简图．迁移与应用1.正弦函数y＝sｉn ｘ(ｘ∈R)的图像的一条对称轴是（).A.x轴B．y轴C.直线x＝错误!D.直线ｘ=π2.用“五点法"作出y＝2sin x，x∈[０，２π]的简图．作函数y=a siｎｘ+b的图像的步骤2.正弦函数的定义域问题活动与探究２求函数ｙ=错误!的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域:(1)y＝＼r(1－2sin x）;(2)y=loｇ2siｎx;(3)y=log错误!错误!.含正弦函数的复合函数的定义域的求法:(1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2）列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x的不等式，利用数形结合,在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域:(1）y＝3-2siｎ 2x;(２）y＝sin2ｘ－sin ｘ+1，ｘ∈错误!.迁移与应用求函数y＝7４＋ｓin x－sin2x(x∈R）的值域.有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如ｙ＝Ａｓｉn（ωx+φ)＋k的求最值或值域问题,利用正弦函数的有界性,即｜sｉn ｘ|≤1；(２)形如ｙ＝ｐsiｎ2ｘ＋ｑｓin ｘ＋r(p≠0）的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[ｍ，ｎ］上的二次函数的最值问题,必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定"或“轴定区间变”问题求解;(3)形如y=错误!的函数求最值或值域问题，可化为ｓin x=f(y)的形式,通过|f（y)｜≤1求解，或利用分离常数法求解．4.正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性,比较下列各对正弦值的大小.（1）sin 190°与sin ２0０°；(2)sin错误!与sin错误!;(3）sin错误!与sin错误!．迁移与应用不通过求值,指出下列各式大于零还是小于零．(１）ｓin １35°－sin 144°；(2)sin错误!-sin错误!；（3）sin错误!－sin错误!．１．对正弦函数单调性的理解:(1）正弦函数在定义域R上不是单调函数.(２）因为正弦函数是周期函数,周期为２π,所以研究正弦函数的单调性,只要研究一个周期内（如[0,2π]）的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤:(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上.(３)利用函数的单调性比较大小.3.求函数的单调区间时,要充分利用正弦函数的递增、递减区间.在求复合函数的单调区间时，要先求定义域,同时还要注意内层、外层函数的单调性．5.三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝ｘsｉｎ(π＋x);（2）f(x)＝错误!；(3)f（x)＝lg(sin x+错误!)．迁移与应用已知f（x)=ａx＋b sin３x＋１(a,b为常数)．（1）若ｇ(ｘ）＝ｆ（x）－1，试证明g（ｘ)为奇函数;(２）若f（5）＝７,求f(－5).（１)判断函数奇偶性的方法特别提醒:对于正弦函数要注意诱导公式ｓiｎ(-ｘ）＝－ｓiｎx的应用.(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1.函数f（x)=１+sin ｘ的最小正周期是( ).A.＼ｆ(π，2） B．π C.错误! D．２π2.函数ｙ=siｎ＼ｆ(ｘ,3）的定义域是（ )．A.R B．［-1,１］Ｃ.错误! D．[-３,3］３．函数y=ｓin x错误!的值域是( ）.A.[-1,1]B.错误!C.错误!Ｄ.错误!4．函数f（x)=错误!是( )．A．奇函数B．偶函数Ｃ.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数5．令a＝sin错误!，ｂ＝sｉn错误!π,则a与b的大小关系是_＿＿_＿＿＿___．6.用五点法作出函数y=sin x－2在x∈[－2π，2π]上的图像.答案:课前预习导学【预习导引】１．(２）(0,0) 错误!(π，0) 错误! (２π，0）预习交流1略预习交流2(1)错误!和错误!错误!－错误!１错误!－1（2)错误!［-2,4］错误!(k∈Z)课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 (１）Ｃ (2)略迁移与应用1．C2.解:①列表:②描点绘图,如下图活动与探究2 解：为使函数有意义,需满足错误!即错误!由正弦函数的图像（见图（1))或单位圆（见图（2)）可得，如图所示．所以函数的定义域为错误!错误!。
高中数学 第1章(三角函数)3弧度制导学案 北师大版必修4 学案
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》3弧度制导学案 北师大版必修4【学习目标】1.通过计算弧长与半径的比值理解弧度的定义.2.掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度的互化.3.能初步运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式，解决相关问题. 【重点难点】重点：弧度与角度之间的换算. 难点：弧度制的理解. 【自主学习】1. 先选定一个特殊的角，即周角，将它分为360等份，把1等份确定为一个度 量单位，称为__________，这种度量角的方法叫___________.2. 在度量和计算时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数，称这个常数 为该角的______________.3. 规定：在单位圆中，单位长度的弧所对的圆心角为______________， 它的 单位符号是________，读作___________.4. =360________rad ； =180________rad ； =1________rad ≈________rad ； 1rad =()≈__________=___________.5. 一般地，任一正角的弧度数都是一个________数；任一负角的弧度数都是一 个______数；零角的弧度数是_________.这种以弧度作为单位来度量角的单位制， 叫作________.注：在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即 每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个 实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.6.弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积，即________________.7.在弧度制下，扇形面积公式为：=S _______________.8.把下列各角从度化成弧度.（1）135； （2）90； （3）60.【合作探究】1.把下列各角化成π2~0间的角加上)(2Z k k ∈π的形式，并指出它们是哪个象限的角. （1）672； （2）718π-； （3）1500-； （4）236π.2. 已知一扇形的圆心角为72，半径等于cm 20，求扇形的面积.【课堂检测】1. 与32π终边相同的角是（ ） A. 311π B. 322ππ-k （Z k ∈）C. 3102ππ-k （Z k ∈）D. 32)12(ππ++k （Z k ∈）【课堂小结】【课后训练】1. 下列叙述中错误的是（ ）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的3601，1弧度上的角是周角的π21 C. 1弧度是长度等于半径的弧 D. 根据弧度的定义，180等于π弧度2. 把1485-写成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式是__________________.3. 若一扇形弧长为18cm ，半径为12cm ，则扇形的面积为___________.。
高中数学 第一章 三角函数 1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案 北师大版必修4(2021年整
高中数学第一章三角函数1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.9 三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数的简单应用整体设计教学分析我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型。
在这一节，我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。
本节教材通过例题及变式训练，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性）的应用。
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。
培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1。
能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系。
认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力。
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.3. 理解正切函数的性质.【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质.难点：正切函数性质的应用.【使用说明】 类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质.【自主学习】1. 正切函数的定义（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2Z k k ∈+≠ππα，那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b，根据函数的定义，比值a b是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2,ππαα.（比值b a叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα）（2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负.（3）由x x xk x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ）可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期.2. 正切函数图像的画法（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于T点，线段AT成为角α的正切线.（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数xy tan=，)2,2(ππ-∈x的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.3.正切函数的性质函数xy tan=（ZkkxRx∈+≠∈,2,ππ）定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】1.若角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线xy4-=上，求αααtan,cos,sin的值.靖边三中2015届数学必修4导学案2. 解下列不等式：（1）0tan <x ； （2）1tan -≥x .3. 设α是锐角，利用单位圆证明：（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.【课堂检测】1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？（2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且53tan -=θ，求x 的值.【课堂小结】。
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数课堂导学案北师大版必修4(2021学年)
高中数学第一章三角函数1.５正弦函数课堂导学案北师大版必修4 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.5 正弦函数课堂导学案北师大版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
5 正弦函数课堂导学三点剖析1。
正弦函数的定义及诱导公式【例1】 sin(－2 ０10°)的值是（ ) A.—21 Ｂ。
23 Ｃ。
21 D.23-解析:∵-2 ０１0°=-６×360°+15０°, ∴-2 010°的终边与１50°角的终边相同.∴sin(-２ 010°)=siｎ１50°=ｓin （1８０°—3０°） =s ｉn ３0°=21. 答案:C 友情提示求解任意角的三角函数值时，应先将该任意角化负为正,化大为小（在0°-3６0°内）,再利用诱导公式求值. 各个击破 类题演练 １求下列各式的符号：(1)sin(4π-)；(２)sin311π。
解:(1)∵4π-是第四象限角,∴ｓi ｎ(4π-)＜０．(2)∵sin(311π）＝sin(2π+35π），而35π是第四象限角,∴sin 311π<0变式提升 1已知ｘ∈［0，6π],且sin ｘ=２m+１,则m 的取值范围是_＿____＿______。
解析：由于0≤x≤6π,且y ＝s ｉnx 在[0，6π］上为增函数,∴siｎ０≤ｓi ｎx≤sin 6π，即0≤ｓｉｎx≤21.∴0≤2m+1≤21, 从而—21≤ｍ≤-41。
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陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北
师大版必修4
【学习目标】
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2
,2(π
π-
上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.
4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数
ϕω,,A 对函数图像的影响.
2.弧度制
（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：
（2）三角函数值的符号：
（3）诱导公式的口诀：
4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数
x y sin =
x y cos =
x y tan =
图像
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性
【合作探究】 1. 已知角α的终边在函数x y 2
1-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α
2. )
sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+
---=
f .
（1）化简)(αf ； （2）若3
31π
α-
=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6
π
=x 时，y 取
最小值1；当6
5π
=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.
4. 求下列函数的值域： （1）)3
4cos(32π
--=x y ； （2）2
sin 1
sin 3-+=
x x y .
【课堂检测】 1. 求函数)3
43sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.
2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2
+=；（2）x y sin 2
1=；
（3）x x y sin 2
=；（4）x x y tan cos -=.
3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.
4. 比较下列各组函数值的大小：
（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos(
-和 852cos ； （3）)718tan(π-和)8
43tan(π
-.
【课后训练】。