(完整版)八年级上专题讲义： 旋转模型与方法

E

E

A

E

模型特点：

专题讲义 旋转模型与方法

【引例】已知：如图 1, 在△ABC 和△ADE 中，AB = AC ，AD = AE ，且∠CAB = ∠EAD=α，

（1） 求证： CE = BD ；求 CE 与 BD 的夹角。 （2） 当点 C 、E 、D 在一条直线时, 上述结论是否成立?

（3） 如图，上述结论是否成立?若成立请说明理由?

A

A

D

D

D

C

B

C

B

C

B

图一

图二 图三

模型应用：构造旋转模型解决“对补型”，寻找“等线段，共端点” 【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，∠BAD=60°，求证：AC=BC+CD.

C

【例 2】如图，等腰 Rt △ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上

一点，F 为 BC 上的点，且 ED ⊥DF 。 （1）求证：DE = DF ；

A

D

B

E

（2）若 E 为 AC 延长线上一点，F 为 CB 延长线上的点， 且 ED ⊥DF 。则（1）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

A

F

E

F

C

M

B

D

A

F

图 1 E

A

F

E 图 2

B

F 图 3

C

D

A

E

【例 3】如图， 已知△ABC 中，∠B=300，现将△ABC 绕点 A 顺时针旋转角度

α 至△ADE ，

直

线 BC 与直线 DE 交于点 F ，连结 AF 1）若 α=600（如图 1），则∠AFB=

；若 α=900（如图 2），则∠AFB=

，

2）若 00＜α＜1200（如图 3），则∠AFB=

（用 α 表示）

3）若 1200＜α＜1800（如图 4），则∠AFB 与 α 的数量关系是

，并给予证明. D

D

B

C

B

C

D

A

F

B

C

图 4

E

〖练〗如图，任意△ABC，分别以 AB 、AC 为腰，以 A 为顶角的顶点向△ABC 的两侧作等腰△ ABM ，等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM，MC 与 NB 的延长线交于点 O. （1）如图 1，若∠ANC=∠ABM=30°，则∠O= ； （2）如图 2，若∠ANC=∠ABM=45°，则∠O= ；

（3）如图 3，若∠ANC=∠ABM=

α (0︒ < α < 90︒) ，猜想∠O 的度数（用含的式子表示）， 并证明你的结论.

N

A

N

N

M

M

M

B C

O

O

图 1 图 2 图 3

A

B

C

A

B

C

D F

E

G

D

图

【例 4】如图，已知在 Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BD 为斜边

AC 上的中线，E 为 DC 上的一点，AG ⊥BE 于 G ，BD 交 AG 于 A

点 F.

（1） 求证：△ABF ≌△BCE ；

（2） 若点 E 在 DC 的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还

成立吗？若成立，请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理 由.

B

C

手牵手模型

【例 5】（1）如图 1，△ABC 和△ECD 都是等边三角形；写出你认为正确的结论，并证明。

① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥ ；

（2）在（1）中，将△ECD 绕 C 点任意旋转一个角度得如图 2，结论仍然成立的有：

A

练习：如图，等边△ABC 和等边△CDE ，

（1） 求证：BD ＝AE 。

E

（2） 若等边△CDE 绕点 C 旋转到 BC 、EC 在一条直线上时（1）中

D

结论成立吗，请给予证明。

（3） 旋转到如图位置时，若 M 为 BD 中点，N 为 AE 中

A B

C

点，求证：①△CMN 为等边三角形；② FG ∥BC 。

图

【例6】如图1，已知△ABC 是等边三角形，D,E 分别式AB，BC 上的点，且BD=CE，AE,CD 交于点F。

（1）求证：△ACE➴△CBD；

（2）过A 作AG⊥CD 于G，求证：AF=2FG；

（3）如图2，若BF⊥AF，求CF

的值。AF

【例7】如图1，OA=2，OB=4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C 点的坐标；

（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt△APD，过D 作DE⊥x 轴于E 点，求OP-DE 的值；

（3）如图3，已知点F 坐标为（-2，-2），当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG 与y 轴负半轴交于点G（0，m），FH 与x 轴正半轴交于点H（n，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n 为定值；②m+n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．