高二下学期期中考试理科数学试题及答案

2013—2014学年下学期期中考试

高二理科数学试题

班级 姓名 学号

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1．函数x x x f cos )(2=的导数为（ ） A. x x x x x f sin cos 2)(2'-=

B.x x x x x f sin cos 2)(2'+=

C. x x x x x f sin 2cos )(2'-=

D.x x x x x f sin cos )(2'-=

2. 复数

3－i

1－i

等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i

3. dx

x e x )2(1

+⎰

等于（ ）

A ．e

B ．1e -

C ． 1

D ．1e +

4.设

x x x x f ln 42)(2

--=，则()0f x '>的解集为( ) A.),0(+∞ B. (1,0)(2,)-⋃+∞ C. (2,)+∞ D.(1,0)-

5. 若复数

i a a z )1(12

-+-=是纯虚数，则｜z ｜= ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.函数()f x 的导函数为()f x '，满足关系式()()2=32ln f x x xf x

'++，则()2f '的值等于（ ）

A.2

B.2-

C.94

D.9

4-

7. 对于函数2

3

3)(x x x f -=，给出下列四个命题：

①)(x f 是增函数，无极值； ②)(x f 是减函数，有极值；

③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；

④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

8.下列命题错误的是 ( )

A.命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为“若,1≠x

0232

≠+-x x 则” B. “2>x ”是“0232

>+-x x ”的充分不必要条件

C. 对于命题

,01,2

<++∈∃x x R x p 使得：则 均有,:R x p ∈∀⌝012≥++x x D. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题

9． 在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则

点C 对应的复数是（ ）

A.48i +

B.82i +

C. 4i +

D. 24i +

10. 已知命题:,23x x p x R ∀∈<；命题32

:,1q x R x x ∃∈=-，则下列命题中为真命题

的是 ( )

A.p q ∧

B.p q ∧⌝

C.p q ⌝∧

D.p q ⌝∧⌝ 11．如图)(x f y =的导函数的图象，现有四种说法：

(1))(x f 在(－3,1)上是增函数 ； (2)x ＝－1是f(x)的极小值点；

(3)()f x 在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； (4)x ＝2是()f x 的极小值点；以上正确的序号为 ( ) A. (1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D. (4)

12.函数3()1f x x ax =-+在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤3

B ．a ＞3

C ． a ＜3

D ．a ≥3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答

案填在题中横线上。）

13．若函数

3

()3f x x x =-,则函数()f x 在]2,0[上的最小值 为 .

14．如图阴影部分是由x

y 1

=,x y =2与直线x ＝2, y ＝0围成，

则其面积为________．

15. 已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线

33+-=x y 在点

（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __. 16．观察下列等式_ 2

33332333233104321.6321.321=+++=++=+根据上述规律，

第五个式子为 .

三、解答题（本大题共6题，70分，请写出必要的解答过程）。 17．（本题10分）计算曲线322+-=x x y 与直线3+=x y 所围图形的面积．

18.（本题12分）已知复数R m i m m m m z ∈-++-+=,)2()232(22根据下列条件，求

m 值。

（1）z 是实数； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数； （4）z ＝0

19．（本题12分）如图在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，

N M ,分别是BC PA ,的中点，且1==AD PD .

(1)求证：MN ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PBD ； (3)求三棱锥ABC P -的体积．

20（本题12分）.设1)(23+++=bx ax x x f 的导函数)(x f '满足,)2(,2)1(b f a f -='=' （1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; （2）设x e x f x g )()('=，求函数)(x g 的单调区间.

21. （本题12分） 函数()cx bx ax x f ++=23的极小值为-8，其导函数的图象过点

()⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,3

2,0,2，如图所示：

（1）求()x f 的解析式；

(2)若对[]3,3-∈x 都有()m m x f 142-≥恒成立，求实数的m 取值范围.

22. （本题12分）已知函数21

()(21)2ln (0)2

f x ax a x x a =-++≥.

(1)当 0a =时，求()f x 的单调区间； (2)求()y f x =在区间(0,2]上的最大值.

2

-3

2