平面间的夹角
2.5.1 直线间的夹角、平面间的夹角 课件(北师大选修2-1)
2 3 1 ∴P0，0， ，E0， a， a 3 2
3 a . 2 1 3 2 3 (1)证明： BE ＝－a， a， a， PD ＝0，2a，－ a， 2 2 3 ∴ BE · ＝0＋a2－a2＝0. PD ∴ BE ⊥ PD ，∴BE⊥PD. 1 3 (2) AE ＝0， a， a， CD ＝(－a，a,0)． 2 2 1 2 a 2 2 AE · CD ＝ 则cos〈 AE ， CD 〉＝ ＝ ， 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴ BA · ＝0， BB1 · ＝0， BB1 · ＝0， AB BC BC ∴ BA1 · ＝－a2. AC
又∵ BA1 · ＝| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 ， AC 〉， AC －a2 1 ∴cos〈 BA1 ， AC 〉＝ ＝－ . 2 2a· 2a ∴〈 BA1 ， AC 〉＝120° .
(4分)
x，y，z· 0，0，1＝0， ∴ x，y，z· 2，1，0＝0. y＝－ ∴ z＝0.
2x，
(6 分) ，0)，
平面两直线夹角公式
平面两直线夹角公式在我们学习数学的过程中，平面两直线夹角公式就像是一个神秘的小魔法，虽然看起来有点复杂，但只要掌握了，就能轻松解决好多难题。
先来说说啥是平面两直线夹角。
想象一下，在一个大大的平面上，有两条直线，它们就像两个调皮的小伙伴，有时候靠得很近，有时候又离得远远的。
它们之间形成的那个角，就是我们要研究的夹角啦。
平面两直线夹角公式是：tanθ = |(k₂ - k₁)/(1 + k₁k₂)| ，这里的 k₁和 k₂分别是两条直线的斜率。
那这个公式到底咋用呢？比如说，有两条直线，一条直线的方程是y = 2x + 3 ，另一条是 y = -0.5x + 1 。
咱们先求出它们的斜率，第一条直线的斜率 k₁是 2 ，第二条直线的斜率 k₂是 -0.5 。
然后把这两个数带进公式里，tanθ = |( -0.5 - 2)/(1 + 2×(-0.5))| ，经过计算就能得出夹角的正切值，再通过反正切函数就能求出夹角的大小啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷茫地看着我，问：“老师，这公式到底有啥用啊？”我笑着对他说：“孩子，你想想啊，假如你是个建筑师，要设计一个漂亮的大楼，大楼的两边得有好看的线条吧，如果不懂得计算两直线的夹角，那这线条可能就歪歪扭扭的，多难看呀！”这孩子眨眨眼睛，好像有点明白了。
在实际生活中，平面两直线夹角公式的应用可多啦。
比如道路的设计，工程师们得计算道路之间的夹角，保证车辆行驶的安全和顺畅；还有美术设计中，画家们要确定线条的角度，才能画出美丽的图案。
再深入想想，这个公式其实反映了数学的一种美，一种严谨和精确的美。
它就像一把钥匙，能打开很多知识的大门。
学习这个公式的时候，大家可别害怕出错，多做几道练习题，多琢磨琢磨，慢慢就会熟练掌握啦。
总之，平面两直线夹角公式虽然看起来有点难，但只要我们用心去学，它就能成为我们解决问题的有力武器。
相信大家都能学好它，在数学的海洋里畅游！。
《两平面的夹角》课件
欢迎来到《两平面的夹角》的PPT课件。本课程将带您深入了解夹角的概念、 定义、测量方法以及它们在现实生活中的应用。让我们开始吧！
什么是夹角
夹角是指由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。
夹角的定义
夹角的定义是两条相交直线边上的两个邻补角之一。
如何测量夹角
可以使用量角器或者正弦、余弦、正切等三角函数来测量夹角。
位和距离。
3
电路设计
夹角的概念在电路设计中常用于确定电 路中元件的安装角度。
总结
• 夹角是由两条直线在同一平面内相交而形成的角度。 • 夹角可以通过量角器或者三角函数来测量。 • 夹角的种类包括锐角、直角、钝角和平角。 • 夹角具有一些特殊的性质和应用。
夹角的种类
根据夹角的大小和性质，夹角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
夹角的性质
1 对角相等
夹角的对角是相等的。
3 互补角
夹角的互补角之和为90度。
2 邻补角
夹角的邻补角之和为180度。夹的应用1建筑设计
夹角的概念在建筑设计中常用于确定墙
地理测量
2
壁、屋顶等部分的角度。
地球上两点之间的夹角可以用来计算方
平面与平面夹角的正切值公式
全部作文
平面与平面夹角的正切值公式
平面与平面夹角的正切值公式（Tan）是用来表示两个平面夹角的正切值，也就是当两个平面夹角的正切值为1时，它们之间的夹角为45°。
它是一个有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间夹角的大小。
正切值公式的基本原理是，如果两个平面夹角的正切值为1，那么它们之间的夹角就是45°。
另外，如果两个平面夹角的正切值为0，那么它们之间的夹角就是0°。
此外，如果两个平面夹角的正切值大于1，那么它们之间的夹角就会大于45°；如果两个平面夹角的正切值小于1，那么它们之间的夹角就会小于45°。
正切值公式可以用来计算任意两个平面之间夹角的大小，只要知道它们之间正切值就可以。
此外，正切值公式还可以用来解决其他各种角度和距离的问题，比如两条直线的夹角和距离，这些都可以用正切值公式来计算。
总之，平面与平面夹角的正切值公式是一个很有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间的夹角大小，也可以用来解决其他各种角度和距离的问题。
直线与平面夹角的公式
直线与平面夹角的公式直线与平面夹角是几何学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍直线与平面夹角的定义、性质以及计算公式。
一、直线与平面夹角的定义直线与平面夹角是指一个直线与平面之间的夹角。
具体来说，如果一条直线与一个平面相交，那么直线与平面之间的夹角就是这条直线与平面的法线之间的夹角。
法线是指垂直于平面的直线，也就是与平面上所有点的切线都垂直的直线。
因此，直线与平面夹角的定义可以简单地表示为：直线与平面之间的夹角等于这条直线与平面的法线之间的夹角。
二、直线与平面夹角的性质1. 直线与平面夹角的大小范围为0到90度之间。
2. 直线与平面夹角的大小与这条直线在平面上的位置有关。
如果直线与平面的交点在平面内部，那么夹角的大小为锐角；如果直线与平面的交点在平面上，那么夹角的大小为直角；如果直线与平面的交点在平面外部，那么夹角的大小为钝角。
3. 直线与平面夹角的大小与平面的倾斜程度有关。
如果平面与直线的夹角越小，那么夹角的大小就越小；如果平面与直线的夹角越大，那么夹角的大小就越大。
三、直线与平面夹角的计算公式直线与平面夹角的计算公式可以通过向量叉积来推导。
具体来说，设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线与平面的夹角θ可以表示为：θ = arccos (a·n / |a||n|)其中，a·n表示向量a和向量n的点积，|a|和|n|分别表示向量a和向量n的模长。
另外，如果直线的方向向量已知，平面的法向量也已知，但是两者不一定垂直，那么可以先求出平面上的一条切线，然后再计算切线与直线之间的夹角。
切线的方向向量可以通过向量叉积来计算，即： t = a × n其中，×表示向量叉积。
然后，再求出切线与直线之间的夹角，就可以得到直线与平面的夹角了。
四、应用举例1. 计算直线与平面夹角假设有一条直线L，其方向向量为a = (1, 2, 3)，并且与平面P相交，平面P的法向量为n = (2, 3, 4)。
高等数学：第八讲 空间两平面的夹角
A2 B2 C 2
因为
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
P1
——点到平面的距离公式
n P0
d
谢谢
23
例题讲解
例2. 一平面通过两点 M1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且垂直于平面1：
x + y + z = 0，求其方程 .
解 假设平面有一法向量为
则
，
n
M1
n1 1
M2
故取
所以该平面方程为
即
例题讲解
例3. 设
是平面
P0 到平面的距离d .平面的夹角
设平面1的方程为 A1x B1 y C1z D1 0
则其法向量为
n1
A1 ,
B1, C1
设平面 2的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0
则其法向量为
n2
A2 ,
B2 , C2
n1
n2
2
1
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2
1
n1
2
n1
1
n2
2
例题讲解
例1. 求平面 2x y z 3 和平面 x y 2z 9 夹角。
解
根据空间两个平面的夹角公式
cos | 211 (1) 1 2 |
22 12 12 12 (1)2 22
31 62
所以
arccos 1
解
设平面法向量为
n
A, B, C ,
在平面上取一点
P1 ( x1 , y1 , z1 ), 则P0 到平面的距离为
高中数学选修2-1《平面间的夹角》
n1, n2
;
当
2
n1, n2
时,
n1, n2
.
例1、如图，在空间直角坐标系中有单位
正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1
与平面ABCD的夹角. z
解 : 设平面BCD1A1与 平面ABCD的法向量
分别是n1和n2 , 则n2 (0,0,1)
A1 D1
cos n1, n2 n1 n2 | n1 || n2 |
2. 2
此时
n1, n2
4
z A1
因此，平面BCD1A1与 D1
平面ABCD的夹角
n1, n2
4
A
D
O
x
B1
C1 y
B C
若取平面BCD1A1的法向量n1 (0,1,1),则
cos n1, n2 n1 n2 | n1 || n2 |
2
时,
n1, n2
;
当
2
n1, n2
时,
n1, n2
.
0
z D1
C1
x y1z 2
B1
A1
y
n ( z , z , z) z (1,1,2),
D
22 2
C
其中z 0
A
O
EB x
取n0 (1,1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量,
向量AA1 (0,0,2)与平面CDE垂直,
n0与AA1所成的角为二面角C DE C1的平面角
两平面夹角的取值范围
两平面夹角的取值范围以两平面夹角的取值范围为标题，我们来探讨一下这个话题。
两平面夹角是指由两个平面所形成的夹角，它在几何学中扮演着重要的角色。
在解决各种几何问题时，我们经常需要考虑两平面之间的夹角，因此了解夹角的取值范围对我们的学习和解题过程非常有帮助。
我们来回顾一下夹角的定义。
夹角是由两条射线所形成的角度，其中一条射线叫做夹角的边，另一条射线叫做夹角的始边。
夹角通常用符号“∠”来表示，例如∠ABC表示由射线AB和射线BC所形成的夹角。
对于两平面夹角来说，我们首先需要知道的是两平面之间的夹角是指两个平面的法线之间的夹角。
两个平面的法线是与平面垂直的直线，它们的夹角就是两平面的夹角。
夹角的度数通常用度（°）来衡量，取值范围是0°到180°之间。
那么，两平面夹角的取值范围是多少呢？根据几何学的原理，两个平面可以分为三种情况：平行、垂直和一般情况。
当两个平面平行时，它们的法线之间的夹角为0°。
这是因为平行的两个平面的法线是重合的，它们之间没有夹角。
当两个平面垂直时，它们的法线之间的夹角为90°。
这是因为垂直的两个平面的法线是相互垂直的，它们之间的夹角为直角。
对于一般情况，两个平面的法线之间的夹角可以是任意的，取值范围是0°到180°之间。
这是因为一般情况下，两个平面可以存在各种夹角，它们的法线可以有不同的倾斜角度。
在实际问题中，我们经常需要计算两平面夹角的大小。
对于平行和垂直的情况，夹角的大小是固定的，可以直接得出。
但是对于一般情况，我们需要利用几何学的知识和计算方法来求解。
常见的求解方法有几何解法和向量解法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
总结起来，两平面夹角的取值范围是0°到180°之间。
在解决几何问题时，我们需要根据具体情况来确定夹角的大小，并选择合适的计算方法进行求解。
通过深入研究和理解两平面夹角的概念和性质，我们可以更好地应用几何学知识，解决各种几何问题。
两平面的夹角取值范围
两平面的夹角取值范围哎，今天咱们来聊聊两平面的夹角，真的是个有趣的话题啊。
你想想，生活中有多少地方都能看到平面，比如桌子、地板，甚至是墙壁。
这些平面之间的夹角，不仅关系到我们空间的布局，还能影响到各种设计和建筑。
想象一下，一个房间的角度如果不对，那可就麻烦大了，家里没法好好放东西，别提有多尴尬了。
夹角的取值范围可真有意思。
从0度到180度，简直像是一个大大的舞台，平面们在上面翩翩起舞。
0度，哎，那是最紧密的拥抱，两个平面就像好朋友一样，贴得紧紧的。
而当夹角逐渐增大，到了90度，那可真是个典型的“直角”，直挺挺的，给人一种干脆利落的感觉。
可一旦超过90度，夹角就开始慢慢张开，像是两位朋友开始有点小争执，虽说还能聊聊，但明显有点距离。
如果再往大了说，180度，那就是两个平面完全对立，像极了两个死敌，谁也不想靠近谁。
你说，这样的角度真是“寸步不让”啊。
不过，生活中其实很多时候，我们希望能有点小角度，既能保留亲密感，又不会太过亲密，找到那个平衡点，真是一门艺术。
咱们再说说这些夹角在实际应用中的意义。
设计师、建筑师们常常要考虑这些问题，比如说房子的结构、家具的摆放，甚至是装修风格，都是和这些夹角息息相关的。
想象一下，如果墙壁的角度不对，可能就会让家具放得很别扭，影响整体美观。
人家说得好，“巧妇难为无米之炊”，设计师也需要好的角度来发挥创意啊。
说到这，夹角的测量也并不是那么简单。
你以为拿个量角器就行了？可千万别小看这工具，实际操作时，你得考虑到平面的倾斜度、光线的变化等等。
这就像你在生活中遇到的困难一样，有时候看似简单的事，背后却藏着不少门道。
这让我想起了我朋友的装修经历。
他们家刚装完新房，墙壁的夹角没处理好，结果电视架放上去后，居然整个斜着，简直让人哭笑不得。
后来他们请了专业人士来调整，结果把原本狭小的空间变得宽敞多了。
你看，夹角的影响可真大啊，平面之间的小关系，竟然能引发如此大的变化。
夹角还在几何学中有着举足轻重的地位。
平面与平面的夹角
uuur B 1O(1， 1， 2)
D O
C1 B1
y
C
A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， M(0， 0， 1)， A
B
B1(2， 2， 2)， O(1， 1， 0)。
x
u u u r u u u r
u u u r u u u u r
B 1 O M A 2 0 2 0 ， B 1 O M C 0 2 2 0
PPT学习交流
16
例题选 三棱讲锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC
（1）求二面角A-PC-B的大小
P
BD= 5 3
2
D DE= 15 8
AE
C
3 COS =
4
B
PPT学习交流
17
例题选 四棱讲锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，
C uuD ur2(C uuA u ru A uB uru B uD ur)2
D
A
uuu ruuur uuu ruuur
B
(217)26242822CABDcosCA,BD C
E
cos
uuur CA,
uuur BD
1
2
cos
uuur uuur AC, BD
1
3
2
PPT学习交流
29
例.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点， 当AB1 BC1时，求二面角DBC1C的余弦值。
By
在 RtCC1B中，CE1BE
CC
2 1
BC 2
b2 a2
1 2
x
DA
立体几何中夹角范围
立体几何中夹角范围
在立体几何中，夹角是指两条直线、两个平面或者一条直线和一个平面之间的角度。
夹角的范围取决于夹角所在的几何形状和空间位置。
以下是一些常见情况下夹角的范围：
1. 直线夹角范围，在平面几何中，两条直线之间的夹角范围是0度到180度之间。
夹角为0度时表示两条直线重合，夹角为180度时表示两条直线平行但不重合。
2. 平面夹角范围，在三维空间中，两个平面之间的夹角范围是0度到180度之间。
夹角为0度时表示两个平面重合，夹角为180度时表示两个平面平行但不重合。
3. 空间夹角范围，在三维空间中，一条直线和一个平面之间的夹角范围是0度到90度之间。
夹角为0度时表示直线在平面上，夹角为90度时表示直线垂直于平面。
总的来说，夹角的范围取决于几何体的维度和位置关系，但通常夹角的范围都是在0度到180度之间。
希望这些信息能够帮助你更好地理解立体几何中夹角的范围。
平面与平面所成夹角的范围
平面与平面所成夹角的范围你知道平面和平面之间是怎么相互“对话”的吗？它们是通过夹角来表达自己对彼此的看法的！看起来有点抽象对吧？但想象一下两个大平面，像是你家客厅的地板和墙壁。
它们的交点，就是一个角。
我们常常说“角度”这个词，其实就是在讲这两块“平面”之间的关系。
你要说夹角的范围是什么嘛，其实也没啥复杂的，简单来说，就是它们之间的角度从0°到90°之间变化的那个范围。
而且这个范围是可以很灵活的！我们不说“死角”，也不是“固定的死板角度”，毕竟几何的世界可没这么简单。
你就想，平面和平面之间，最小的夹角就是0°，那就像你跟朋友在一起完全不吵架，心意完全一致、和和气气地待在一起一样，简直是和谐得不能再和谐了。
说到这个0°，不就是两者完全重合在一起吗？像两条平行线，不会有任何交集，简直是“心有灵犀”。
你看，这个0°的情况，完全是零摩擦、绝对合作。
但这只是其中的一种可能，它只是最极端的一个例子而已。
反过来说，如果角度越来越大，两个平面“心生分歧”的时候，它们就开始逐渐偏离，感觉就像两个人刚开始还勉强聊得来，到后来话题越来越远，甚至有些地方开始不和谐了。
夹角增大的时候，就从0°慢慢发展到45°、60°、70°，一直到90°。
这个90°，就像是朋友之间突然大吵一架，完全分开，什么都不能再说了，互不相干！这90°就有点儿像我们说的“关门打狗”那种局面，完全不想再搭理对方了。
也许你觉得90°已经很极端了，觉得“哇，已经够大了”。
但这个角度并不是终点。
为什么呢？因为几何里还有更大的范围！你想啊，两个平面如果角度超过90°，就变成了锐角和钝角的组合。
实际上，平面之间的夹角最大也不过是180°，也就是两者在“完全倒过来”的状态下完全分开，完全成了对立的两方。
你可以想象成，两个巨大的平面就像是两只巨大的船，各自有着不同的航线，朝着各自的方向航行，碰撞不可能发生。
两个平面的夹角的取值范围
两个平面的夹角的取值范围《两个平面的夹角的取值范围》随着社会科学的发展，夹角在现今已成为一门热门的科学研究课题。
在数学的应用过程中，对各种夹角的解析分析和应用研究变得越来越重视，而两个平面的夹角的取值范围又是其中非常重要的一部分。
假设存在平面A和平面B两个平面，它们之间的夹角一般称为两个平面的夹角，它是指平面A与平面B之间的夹角大小。
由于受到空间坐标系的限制，两个平面之间的夹角取值范围受到一定的限制，其取值范围一般为[0, π]，这意味着在该范围内，夹角的取值可以从0开始增大到π。
两个平面夹角的取值范围自然包括一个特殊的夹角，即0°，一般指的是两个平面之间的夹角是0°，表示两个平面平行或重合。
此外，两个平面夹角取值范围还包括整数倍夹角180°，即两个平面垂直或共面夹角。
在实际研究过程中，通常也关注三种特殊的角度的情况，即60°、90°、120°。
由于两平面的夹角是影响空间位置信息的关键因素，因此，在日常生活中，我们认识到，它在许多不同的应用领域都有重要的应用，包括建筑学、土木工程、机械制造等。
例如，在建筑施工中，两个平面的夹角的取值范围具有重要的意义，如座椅的设计、墙体的角砌等；在机械制造中，比如传动系统、机械拆装作业等，也会应用到夹角来完成操作。
此外，夹角也可以应用到计算机技术、网络和数字处理，用于目标检测、模式识别等技术。
总之，两个平面的夹角的取值范围是在数学角度上非常重要的概念，其取值范围受到空间坐标系的限制，一般为[0, π]。
在不同的应用场景下，两个平面的夹角的取值也有着重要的作用，因此它也成为众多研究者们竞相探索的热点方向。
在未来，两个平面的夹角的取值范围会更多的得到研究，为我们的社会发展做出更多的贡献。
两平面夹角公式
两平面夹角公式在我们学习空间几何的时候，两平面夹角公式可是个重要的知识点。
咱们先来说说啥是两平面夹角。
想象一下，有两个平面，就像两扇斜着摆放的窗户，它们之间形成的那个“角度”，就是我们要研究的两平面夹角啦。
那这两平面夹角公式到底是啥呢？其实就是用来计算这两个平面之间夹角大小的工具。
咱们来看个例子，假设教室的天花板是一个平面，前面的黑板所在的平面是另一个平面。
这两个平面可不是平行的哦，它们之间就有一个夹角。
那怎么计算这个夹角呢？这就用到我们的公式啦。
公式看起来可能有点复杂，一堆符号和式子，但是别害怕，咱们一点点来拆解。
比如说，我们要先找到这两个平面的法向量。
法向量就像是平面的“指南针”，能告诉我们平面的方向。
找到法向量后，再通过一些计算，就能得出夹角啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这法向量到底是啥呀，感觉好抽象。
”我就笑着跟他说：“你就把法向量想象成平面的‘小尾巴’，它直直地指向平面的外面，能帮助我们找到平面的方向。
” 这孩子听了之后，似懂非懂地点了点头。
在做题的时候，有些同学总是容易搞混公式里的符号和计算顺序。
其实啊，多做几道题，多动手画一画，就能慢慢熟悉啦。
还有一次，在课堂上做练习，有个同学算出的夹角居然超过了 90 度。
我一看，原来是他把法向量的方向搞反了。
我就提醒他：“你再好好想想，这法向量的方向对不对呀？”经过我的提示，他终于发现了错误，算出了正确的夹角。
学习两平面夹角公式，不能光靠死记硬背，要理解其中的原理。
多观察身边的事物，像教室里的墙面、桌面，都能帮助我们更好地理解平面和夹角的概念。
总之，两平面夹角公式虽然有点难，但只要我们认真学，多练习，就一定能掌握它！希望同学们在学习的过程中，都能感受到数学的乐趣，不再被这些看似复杂的公式给难倒。
线与面的夹角范围
线与面的夹角范围
在几何学中，线与面的夹角是指一条直线与一个平面之间的夹角。
这个夹角的大小取决于线与平面的相对位置。
在本文中，我们将讨论线与面的夹角范围。
当一条直线与一个平面相交时，它们之间的夹角范围是0度到90度。
这是因为当直线与平面相交时，它们形成的角度不能超过90度。
这个角度可以用余弦定理来计算，即cosθ = a / c，其中a是直线与平面的交点到直线起点的距离，c是直线与平面的交点到平面上的点的距离。
当一条直线与一个平面平行时，它们之间的夹角范围是0度或180度。
这是因为当直线与平面平行时，它们之间没有交点，因此它们之间的夹角只能是0度或180度。
当一条直线与一个平面垂直时，它们之间的夹角范围是90度。
这是因为当直线与平面垂直时，它们之间的角度是一个直角。
需要注意的是，线与面的夹角范围是相对的，取决于线和面的相对位置。
例如，当一条直线与一个平面相交时，它们之间的夹角范围是0度到90度。
但是，如果我们将这条直线旋转180度，它们之间的夹角范围将变为90度到180度。
线与面的夹角范围是一个重要的几何概念，它可以帮助我们理解线
和面之间的关系。
在实际应用中，我们可以利用线与面的夹角范围来解决一些几何问题，例如计算物体的表面积和体积等。
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C1
B1 y C
E B
此时： cos cos - u, v
| u v | 综上： cos | u || v |
u v = cos u, v = u v
例1、如图，在空间直角坐标系中有单位 正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面BCD1A1 与平面ABCD的夹角.
uv 此时： cos cos u, v = = u, v ， 1当0 u, v 时， 2 u v
夹角为，则
u
v
= 2当 u, v 时， 2
u, v ,
此时： cos cos - u, v
z A1 D A D1 B1 C1
1 0 1 0 2 2 6 3 11 4 0 0 4
y C
E B
O
x
布置作业
课本 P47 习题2-5
A组 第2，4题
解 : 以A为原点, AB, AD, AA1分别 为x轴, y轴, z轴的正向建立 空间直角坐标系 , 则有 D(0,3,0) , E (3,0,0) , C1 (4,3,2)
z D1 B1 y D A O E B C x C1
A1
于是DE (3,3,0)EC1 (1,3,2)
设向量n ( x, y, z)与平面C1DE垂直, 则有
4
C
练习 1 、 平面 1的法向量为n1 (1,2,3), 平面 2的法向量为n2 (1,0,2). 求两个平面夹角的余弦值.
70 cos cos n1 , n2 . | n1 || n2 | 14 n1 n2
练习2、 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中,已知 AB 4, AD 3, AA1 2, E是AB上的点, EB 1. 求二面角C ED C1的余弦值.
4
y O B
C
若取平面 BCD1 A1的法向量 n1 (0,1,1),则
2 cos n1 , n2 . 2 | n1 || n2 |
3 n1 , n2 4
A1
D1 A D x O C1 y B
n1 n2
z
B1
因此，平面BCD1A1与
平面ABCD的夹角
n1 , n2
x
=∠MRN为两个平面二面角的平面角
2
N
2
N
n1 n2
1
M
n1
n2
R
当0 n1 , n2 时, n1 , n2 ; 2 当 n1 , n2 时, n1 , n2 . 2
C x D A
B
y
3 1 2 ∴ C1 D ( 4 , 4 , 2 )
CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n ＝(1,0,0)为面
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)
3 3 DB ( , ,0) 4 4
CC1 B 的法向量
由 C1 D m, DB m 得 z 3 1 3 3 2 C1 B1 C1D m x y z 0, DB m x y 0 A1 4 4 4 4 2 解得 x 3 y
1
M
R
练习3 ：正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中 点，当 AB1 BC1时，求 平面DBC1与平面CBC1夹角 的余弦值。
C1
A1
B1
C D A
B
解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面 三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 D ( a, a,0) B ( 0 , a , b ) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 1 4 4 2 2
5.2 平面间的夹角
石泉中学：李晓明
知识回顾
直线间的夹角
（1）夹角的定义（画法）： （2）夹角的范围； （3）夹角的计算方法和步骤。
平面的法向量
如何求平面的法向量？
二面角定义：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。
F
O
以二面角棱上任一点为端点，在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.
D x z
A1
C1 A O
B1
y B
C
取n1 (0,1,1),得
2 cos n1 , n2 . 2 | n1 || n2 |
此时 n1 , n2
n1 n2
4
D1 A D x
z
A1
C1
B1
因此，平面BCD1A1与 平面ABCD的夹角
n1 , n2
u v = cos u, v = u v
u v
小结：
设平面 和的法向量分别为u和v， 若两个平面的夹角为，则
1当0 u, v 时， = u, v ， 2 uv 此时： cos cos u, v = u v 2当 u, v 时， = u, v , 2
故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b)
2 2
1 2 2 AB1 BC1, AB1 BC1 a b 0 2 2 b a 2
C1
z
A1
B1
2 则可设 a =1，b ，则B(0,1,0) 2 2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 2 4 4 3 1 2 3 3 C D ( , , ) DB ( , ,0) ∴ 1 4 4 2 4 4
B
A
E
二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是 二面角的度数。我们规定二面角大小的范围为 0，
在两个平面所成的二面角的平面角 0, 中，称 范围在 0, 内的角为这两个平面的夹角。 2
平面间夹角的范围： 0, 2
设平面 和的法向量分别为u和v，若两个平面的
解 : 设平面BCD1 A1与 平面ABCD的法向量 分别是n1和n2 , 则n2 (0,0,1)
D x D1 A O z
A1
C1
B1
y B
C
因为A1(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0),所以
A1B (0,1,1), BC (1,0,0)
n1 A1 B 0 设n1 ( x, y, z ),则 n1 BC 0 D1 y z 0 即 x0
6 z 2
所以，可取 m (3, 3, 6 ) C x D A B
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
y
2 平面DBC1与平面CBC1夹角的余弦值为 2
小
结
取n0 (1,1,2), 则n0是一个与平面C1 DE垂直的向量, 向量 AA1 (0,0,2)与平面CDE垂直, n0与 AA1所成的角为二面角C DE C1的平面角 cos n0 AA1 | n0 | | AA1 |