第9章 高斯信道的信道容量
高斯信道
信道容量和带宽的关系
1.5
1
C
0.5
0
0
5
10
15 W
20
25
30
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
12
带宽有限信道的信道容量
香农公式的物理意义为：当信道容量一定 时，增大信道的带宽，可以降低对信噪功 率比的要求；反之，当信道频带较窄时， 可以通过提高信噪功率比来补偿。香农公 式是在噪声信道中进行可靠通信的信息传 输率的上限值。
定义
6
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
高斯信道信道编码定理的证明
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
7
高斯信道信道编码定理的证明
1. 码簿的生成：令 为i.i.d. ~ ，形成码 字 2. 编码：码簿生成之后，将其告知发送者和接收者。对消 息下标w，发送器发送 3. 译码：联合典型译码
是联合典型的 不存在其他的下标 满足
1. 下标集 2. 编码函数 a。 生成码字 ，且满足功率限制P，
3. 译码函数 4. 平均误差概率：
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 5
高斯信道的信道编码定理
对于一个功率限制为P的高斯信 道，如果存在满足功率限制的一个 码序列，使得最大误差 ，则称码 率R关于该功率限制为P的高斯信道是可 达的。 高斯信道的信道容量即是所有可达码率的 上确界。
转化成离散二元对称信道 离散信道的特点：可纠错，但有量化损失
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》 3
高斯信道的信道容量
功率限制为P的高斯信道的信道 容量定义为：
定义
高斯信道的信道容量为：
最大值在
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》
信道容量计算公式
信道容量计算公式信道容量计算公式是通信领域中最为重要的公式之一。
它用于衡量在给定的信道条件下，所能传送的最大数据速率。
通俗地说，信道容量就是一条通信信道所能传输的最大数据量。
在通信领域中，信道容量是评估通信系统性能的重要指标之一。
信道容量通常用C来表示，它的计算公式是C=B*log2(1+S/N)，其中B代表信道带宽，S代表信号功率，N代表噪声功率。
这个公式表明，信道容量与信道带宽、信号功率和噪声功率都有关系。
信道带宽越大，信道容量就越大；信号功率越高，信道容量也越大；噪声功率越小，信道容量也越大。
在信道容量计算公式中，信噪比是一个重要的概念。
信噪比是信号功率与噪声功率之比。
当信噪比增大时，信道容量也会随之增大。
这是因为信号的功率增大，噪声对信号的影响就相对减小了，从而提高了信道的传输能力。
信道容量计算公式的应用非常广泛。
在无线通信系统中，信道容量是评估无线信道质量的重要指标之一。
在数字通信系统中，信道容量是评估数字通信系统性能的重要指标之一。
在信息论中，信道容量是研究通信系统极限性能的重要概念之一。
在实际应用中，为了提高通信系统的性能，我们需要尽可能地提高信道容量。
一种常用的方法是通过增加信道带宽来提高信道容量。
另外，也可以通过增加信号功率或减小噪声功率来提高信道容量。
在无线通信系统中，还可以采用编码和调制技术来提高信道容量。
信道容量计算公式是通信领域中最为重要的公式之一。
它不仅能够评估通信系统的性能，还能够指导我们在实际应用中如何提高通信系统的性能。
在未来的发展中，信道容量计算公式将继续发挥着重要的作用，促进通信技术的不断发展。
信道容量
信道容量研究通信的科研人员总是逃不过信道容量的计算。
而且会经常使用到C=B\mathrm{Log(1+SNR)}这个公式。
所以这个信道容量到底是什么意思呢，到底是怎么来的？所以信道容量的定义是什么，怎么推导、计算，实际意义又是什么？信道容量有两种:香农容量(遍历容量)和中断容量。
香农容量信道容量是在不考虑编解码延时和复杂度的情况下，误码率趋近于零的最高传输速率。
通道容量是一个上限。
如果要以高于这个的速率传输，就要付出误码率的代价。
香农是这样描述信道容量的:存在一个输入分布，可以最大化传输信息时的互信息。
这个最大互信息就是信道容量。
至于香农为什么可以这样定义，已经严格证明了，这是信息论的内容，后面再说。
互信息那么什么是互信息(这里默认理解为信息熵)？首先互信息是描述一个信息传递过程的一个量，用来刻画这个传输过程传输了多少有价值的信息。
比如说，你暗恋一个姑娘，你想去告白但是你很忐忑，成功了就很棒，失败了可能连朋友都做不成，所以H(X)就表示这种不确定性。
有一天你终于鼓起勇气给他发告白了，正常情况下对方会回复你，可能是“你是个好人”或者“那我们明天一起去看电影吧”或者给你一个尼克杨表情包，所以互信息就是用来刻画这条携带了多少信息量。
显然“好人”和“电影”这两个信息终究是给了你一个答案，解除了你心中的不确定性，携带的信息量就是你心中本来的不确定性。
但是如果他把你当备胎，回复你一个表情包，当然表情包也是可以看出来一点点她对你的态度，所以你心中的不确定性可能减小了一点，你能感受到对方的态度是有机会的还是没有机会的，所以这个表情包的携带的信息量可能就很小，因为虽然知道了一点对方的态度，但是你还是搞不清楚对方怎么想的。
X,Y分别表示两个随机变量，因为信源发送什么信息是一个随机事件，信息熵H(X)量化了信源的平均不确定性，而接收的信息经过信道的污染，也是随机的，所以H(Y)也量化了接收信息的平均不确定性。
虽然X,Y是两个变量，但是接收到的Y 肯定和X有点关系，并不是完全独立的，那么我们就可以根据Y猜X，能缩小一些X范围，能减小一些不确定性（互信息），这个互信息用I(X,Y)表示。
信道容量基本原理的应用
信道容量基本原理的应用1. 什么是信道容量？信道容量是指信道能够传输的最大信息速率，也称为信息传输速率上限。
在信息论中，信道容量被用来衡量信道的质量和可靠性。
2. 信道容量的计算方法信道容量的计算方法根据不同的信道模型和条件而有所不同，以下是几种常见的计算方法：•高斯信道容量计算–对于高斯信道，信道容量可以通过香农公式进行计算。
香农公式的表达式为：C = B * log2(1 + S/N)，其中C为信道容量，B为信道的带宽，S为信道中的信号功率，N为信道中的噪声功率。
•多径信道容量计算–对于多径信道，信道容量的计算比较复杂。
通常需要考虑多径传播导致的信号衰减、时延扩展以及相关性等因素。
•天线阵列信道容量计算–对于天线阵列系统，信道容量的计算需要考虑信号的幅度、相位和天线之间的相关性。
3. 信道容量的应用信道容量的基本原理在通信系统中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：•码率控制–在数据通信中，为了提高信道的利用率和系统的可靠性，常常会根据信道容量进行码率控制。
通过控制发送端的编码速率，可以适应信道的变化，提高系统的性能。
•功率分配–在无线通信系统中，多个用户共享有限的频谱资源。
为了提高系统的容量和性能，需要根据信道容量进行功率分配。
通过将更多的功率分配给信道质量好的用户，可以提高系统的整体性能。
•天线设计–在无线通信系统中，天线设计对信号的传输质量和容量有很大影响。
根据信道容量的计算结果，可以优化天线的配置和布局，提高系统的容量和覆盖范围。
•无线网络规划–在无线网络规划中，信道容量是一个重要的指标。
根据信道容量的计算结果，可以确定网络的规模和布局，优化网络的覆盖范围和用户体验。
4. 信道容量的局限性虽然信道容量在通信系统中有重要的应用，但是它也存在一些局限性：•复杂性–信道容量的计算需要考虑多个因素，涉及到复杂的数学模型和计算方法。
这对于系统的设计和优化需要专业的知识和技能。
•理论上的极限–信道容量的计算结果是基于理论模型和假设的。
高斯信道
最大信息传输速率一定时，增大所传输信号 的有效带宽，可以降低对信噪功率比的要求， 反之亦然 当所传输信号的有效带宽趋于无穷时，最大 信息传输速率趋于有限值
c d
2、时不变连续信道的噪声熵
①噪声熵
H(Y / X) = lim {−∑∑ p( x i y j )∆x∆y log[ p( y j / x i )∆y]}
n , m →∞ ∆x , ∆y →0 m n j=1 i =1 m n
= − lim
n , m →∞ ∆x , ∆y →0 j=1 i =1
第9章 高斯信道
一、时不变连续信道及信道容量 1、时不变连续信道 定义
对应于时不变连续信源和时不变连续信宿的信道 为时不变连续信道。
表示
信源符号X取值于集合[a , b] 信宿符号Y取值于集合[c , d] X p(y/x) Y
p(y/x)为信道转移概率密度函数
且满足 ∫ p( y / x )dy = 1
1 1 2 max h(Y) = log( 2πeσ Y ) = log[ 2πe(PX + PN )] p(x) 2 2
高斯信道的信道容量
1 1 1 PX C = log[ 2πe(PX + PN )] − log( 2πePN ) = log( 1 + ) 2 2 2 PN
PX 其中 为信噪功率比SNR PN
h (Y / X) − h (Y)
= −∫
=∫
c
d b
c
∫
a
p( xy ) log p( y / x )dxdy + ∫ p( y) log p( y)dy
不同调制方式下高斯信道容量的计算
不同调制方式下高斯信道容量的计算高斯信道通常是指在无线通信系统或数字通信系统中使用的一种常见的信道类型。
在通信系统中，调制方式是指在信号传输过程中，信号的模式发生变化的过程。
而不同的调制方式可能会对高斯信道容量的计算产生影响。
一、背景介绍高斯信道容量是指在高斯信道中，最大的可靠数据传输速率。
而高斯信道是指在系统中，存在高斯噪声的信道类型。
计算不同调制方式下高斯信道容量对于通信系统的设计和性能优化具有重要意义。
在无线通信系统中，常见的调制方式包括二进制调制、4QAM调制、16QAM调制、64QAM调制等。
这些调制方式对于数据传输速率的影响不同，因此计算不同调制方式下高斯信道容量具有一定的复杂性和挑战性。
二、不同调制方式下高斯信道容量的计算1. 二进制调制在二进制调制方式下，信号可以采用两种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，可以采用香农公式来进行计算。
香农公式表达了在存在高斯噪声的信道中，最大的可靠数据传输速率。
2. 4QAM调制在4QAM调制方式下，信号可以采用4种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
3. 16QAM调制在16QAM调制方式下，信号可以采用16种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要考虑到信号的复杂度和噪声的影响对数据传输速率的影响。
4. 64QAM调制在64QAM调制方式下，信号可以采用64种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
此时需要考虑到更多的信号状态和更大的信号空间对于数据传输速率的影响。
三、总结回顾在不同调制方式下高斯信道容量的计算可以得出以下结论：随着调制方式的复杂度的增加，高斯信道容量通常会随之增加。
因为复杂的调制方式可以为信号传输提供更多的离散状态，从而提高了数据传输速率。
但是，复杂的调制方式也同时带来了更大的挑战，需要更高的系统性能和更复杂的调制解调设备。
第9章高斯信道的信道容量-PPT精品文档
信源平均功率受限下，信宿高斯分布是否可达？
2 2 2 高斯分布，且均值 0 ，方差 P N Y Y X Z
2 信源取均值 0 ，方差 P 的高斯分布，信 X X
高斯信道的信道容量
信道容量 1 1 1 P C log[ 2 e ( P N )] log( 2 eN ) log( 1 ) 2 2 2 N P 式中— —信噪功率比 SNR N 达到信道容量的信源概率密度函数
1 p(x) e 2P
x2 2P
高斯信道的信道容量
9.2 带宽有限高斯信道的信道容量
1、波形信道
定义
对应于波形信源和波形信宿的信道
表示
信源——连续型随机过程X(t) 信宿——连续型随机过程Y(t)
高斯信道的信道容量
X ( t ) x ( t ) [ a ,b ] dP [ X ( t ) x ( t )] p [ X ( t ) x ( t )] p [ x ( t )] dX ( t )
p (z )dz p(z)log
1 h ( Z ) log( 2 eN ) 2
高斯信道的信道容量
3、高斯信道的信道容量 单符号连续信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密 度函数p(x) 严格上凸——总能找到一种信源概率 密度函数p(x)，使I(X;Y)达到最大
定义
信道固定时平均互信息I(X;Y)的最大值，用C表示
其中T为平均传输一条消息所需的时间
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
高斯信道的信道容量
2、香农公式
T=1/2W C 1 P1 P P C log( 1 ) / W log( 1 ) W log( 1 ) t T 2 N 2 W N N W 0 N 式中 N — — WGAN 的单边功率谱密度 0 W
信道容量的公式
信道容量的公式信道容量是通信领域中的一个重要概念，它描述了在给定噪声条件下，信道能够可靠传输信息的最大速率。
信道容量的公式是由克劳德·香农（Claude Shannon）提出的，这个公式为 C = B * log₂(1 + S/N) ，其中 C 表示信道容量，B 表示信道带宽，S 表示信号功率，N 表示噪声功率。
咱们先来说说这个信道带宽 B 。
想象一下，信道就像是一条公路，带宽呢，就好比公路的宽度。
公路越宽，能同时通过的车辆就越多；同理，信道带宽越大，能同时传输的信息也就越多。
比如说，我们现在的 5G 网络，它的信道带宽可比之前的 4G 大多了，所以传输速度那叫一个快。
再来说说信号功率 S 和噪声功率 N 。
这俩就像是在公路上行驶的车辆，信号是正常行驶的车，噪声就是捣乱的车。
信号功率越大，就相当于正常行驶的车越多，信息传输就越顺畅；而噪声功率越大，就像捣乱的车越多，会干扰正常的信息传输。
我记得有一次，我家里的网络出了问题，看个视频老是卡顿。
我就琢磨着，这是不是信道容量不够啊。
于是我开始研究，发现原来是周围太多人同时使用网络，导致噪声功率增大，影响了我家的网络速度。
就好像公路上突然涌入了好多乱开的车，把路都堵了，我正常的信息传输也被堵住了。
那这个信道容量的公式有啥用呢？比如说，在设计通信系统的时候，工程师们可以根据这个公式来确定需要多大的带宽，以及如何控制信号功率和噪声功率，以达到期望的信道容量，保证信息能够快速、准确地传输。
在实际应用中，比如卫星通信。
卫星在太空中向地球发送信号，由于距离远，信号会衰减，噪声也会增加。
这时候，就得用信道容量的公式来计算，怎样调整参数，才能让我们在地球上能清晰地接收到卫星传来的信息，像看电视直播、导航定位啥的。
还有无线局域网，像咱们家里的Wi-Fi。
如果同时连接的设备太多，就可能会导致信道容量不足，网速变慢。
这时候，我们可以通过优化路由器的设置，增加带宽，或者减少周围的干扰源，来提高信道容量，让网络更顺畅。
《信道容量及其计算》课件
熵的定义
熵是衡量信息不确定度的物理量，也可以理解为信 息源的不确定程度。
信息量的定义
信息量是用来衡量某个事件的信息量大小，它与事 件发生的概率成反比。
熵与信息量的关系
熵与信息量成正比，即熵越大，则信息量越多。
信道容量的计算公式
1
离散无记忆信道
不同信源符号对应不同码字，使用香农公式进行计算。
2
连续无记忆信道
总结
1 信道容量的意义
信道容量是衡量信息传输 速率的重要指标，可以优 化传输效率和提高通信质 量。
2 信道容量的应用
信道容量应用广泛，包括 无线通信、光通信、数据 传输等领域。
3 未来的发展趋势
随着技术的发展，信道容 量会越来越高，将大幅提 高信息传输的效率和可靠 性。
信宿接收到的信号是连续的，用瑞利公式计算。
3
大信噪比近似
在大信噪比的情况下，信道容量计算公式可以近似为香农公式。
应用举例
无线通信系统中的信道容量
采用MIMO技术和Turbo编码，可以大幅度提高无线 传输的速率和可靠性。
光通信系统中的信道容量
采用波分复用技术和波分多路复用技术，可以大幅 度提高光纤的传输速率。
信道容量及其计算
本次课件将介绍信道容量的基本概念和计算公式，以及其在无线通信和光通 信等领域的应用举例。
什么是信道容量
信道的定义
信道是信息传输的媒介，以某种信号作为信息的表现形式，通过某种物质媒介进行传播。
信道容量的定义
信道容量是在满息量。
熵与信息量
不同调制方式下高斯信道容量的计算
不同调制方式下高斯信道容量的计算在通信领域中，高斯信道是一种常见的信道模型，它被广泛应用于无线通信系统中。
而计算高斯信道容量是评估通信系统性能的重要指标之一。
不同的调制方式会对高斯信道容量产生影响，本文将探讨不同调制方式下高斯信道容量的计算方法。
首先，我们需要了解高斯信道的特点。
高斯信道是一种连续的信道模型，其噪声服从高斯分布。
在高斯信道中，信号的传输受到噪声的干扰，因此信号的传输速率受到限制。
高斯信道容量表示在给定信噪比条件下，信道能够传输的最大信息速率。
对于不同的调制方式，我们可以使用不同的调制技术来提高信道容量。
常见的调制方式包括调幅调制（AM）、调频调制（FM）和相位调制（PM）。
这些调制方式在信号的幅度、频率和相位上进行调整，以适应不同的传输需求。
在计算高斯信道容量时，我们需要考虑信道的带宽和信噪比。
信道带宽表示信道能够传输的频率范围，而信噪比表示信号与噪声的比值。
信噪比越高，信道容量越大。
对于调幅调制（AM）方式，我们可以使用香农公式来计算高斯信道容量。
香农公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的对数成正比。
具体计算公式为：C = B * log2(1 + SNR)其中，C表示高斯信道容量，B表示信道带宽，SNR表示信噪比。
对于调频调制（FM）方式，我们可以使用带宽效益公式来计算高斯信道容量。
带宽效益公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的平方根成正比。
具体计算公式为：C = B * sqrt(1 + SNR)对于相位调制（PM）方式，我们可以使用相位调制指数公式来计算高斯信道容量。
相位调制指数公式表示高斯信道容量与信道带宽和信噪比的对数成正比。
具体计算公式为：C = B * log2(1 + SNR)通过以上计算公式，我们可以根据不同的调制方式计算高斯信道容量。
在实际应用中，我们可以根据具体的通信系统需求选择合适的调制方式，以提高信道容量和传输效率。
总之，不同调制方式下高斯信道容量的计算方法有所不同。
信道及信道容量
信道容量的一般计算方法
信道容量的一般计算方法
信道容量是指在给定带宽条件下，信道可以传输的最大数据速率。
信道容量的计算是通过信道的带宽和信噪比之间的关系来确定的。
Step 1: 确定信道带宽（B）
信道带宽是指信道能够传输信号的频率范围，通常以赫兹（Hz）为单位。
确定信道带宽是计算信道容量的第一步。
Step 2: 确定信噪比（SNR）
信噪比是指信号和噪声的比例，以分贝（dB）为单位。
信噪比越高，信道传输的可靠性越高。
信噪比的计算需要根据具体信道的特性和环境条件进行。
Step 3: 计算信道的最大传输速率（C）
根据香农定理（Shannon's theorem），信道的最大传输速率（C）可以通过以下公式计算：
C = B * log2(1 + SNR)
其中，B为信道的带宽，SNR为信噪比。
这个公式表明，信道容量与信道带宽和信噪比的对数成正比。
Step 4: 优化信噪比以提高信道容量
为了提高信道容量，可以采取一些措施来优化信噪比，例如增加发射功率、减少噪声源、改善接收设备等。
Step 5: 考虑误码率和纠错编码
实际的信道容量还需要考虑误码率和纠错编码。
误码率是指在信道传
输过程中出现错误比特的概率，而纠错编码是一种冗余编码技术，可以在
接收端纠正部分错误。
综上所述，信道容量的计算方法主要包括确定信道带宽、信噪比和使
用香农定理计算最大传输速率。
通过优化信噪比和考虑误码率和纠错编码，可以进一步提高信道容量。
这些方法可以用于计算各种无线通信系统、光
纤通信系统等的信道容量，并对系统性能进行评估和优化。
信道容量知识总结
信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量，其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布，互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后，信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布，但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源，对不同的试验信源，互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。
通信的目的是为了获得信息，为度量信息的多少（信息量），我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中，我们涉及到了两个熵，发射端处信源熵——即发端信源的不确定度，接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
接收到了信号，不确定度小了，我们也就在一定程度上消除了发端信源的不确定性，也就是在一定程度上获得了发端信源的信息，这部分信息的获取是通过信道传输信号带来的。
如果在通信的过程中熵不能够减小（不确定度减小）的话，也就没有通信的必要了。
最理想的情况就是在接收信号条件下信源熵变为0（不确定度完全消失），这时，发端信息完全得到。
通信信道，发端X，收端Y。
从信息传输的角度看，通过信道传输了I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) ,( 接收Y前后对于X的不确定度的变化)。
I该值与两个概率有关，p(x),p(y|x)，特定信道转移概率一定，那么在所有p(x) 分布中，max I(X;Y)就是该信道的信道容量C(互信息的上凸性）。
入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
[3]X代表已传送信号的随机变量空间，Y代表已收到信号的随机变量空间。
代表已知X的情况下Y的条件机率。
我们先把通道的统计特性当作已知，p Y | X(y | x)就是通道的统计特性。
第9章 高斯信道的信道容量
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
高斯信道的信道容量
2、香农公式
T=1/2W
Ct
C T
1 2
log( 1
P)/ N
1 2W
W log(1
P) N
W log(1
P) N0W
式中N0
N W
—
— WGAN 的单边功率谱密度
高斯信道的信道容量
3、香农公式的意义
信噪功率比小于1时最大信息传输速率仍大 于0
dX(t) 随机过程X(t)在t时刻的取值x(t)为信源发出的消息 Y(t) y(t) [c, d] 通常[c, d] [a, b] dP[Y(t) y(t)] p[Y(t) y(t)] p[y(t)]
dY(t) 随机过程Y(t)在t时刻的取值y(t)为信宿收到的消息
高斯信道的信道容量
高斯信道的信道容量
第9章 高斯信道的信道容量
高斯信道可靠传输信息的能力如何度量？
高斯信道的信道容量
9.1 高斯信道的信道容量
1、高斯信道 加性噪声——信道中噪声与信号相互独立且对信 号的作用表现为线性叠加
定义
均值 0、方差2 N的白色高斯加性噪声WGAN 作用下的单符号连续信道
高斯信道的信道容量
表示
X
Y=X+Z
Z
X x (,) dP(X x) p(X x) p(x)
dX Y y (, ) dP(Y y) p(Y y) p(y)
dY
高斯信道的信道容量
Z z (,) dP(Z z) p(Z z) p(z)
lim 1 P log e P log e
信道容量的定义
信道容量的定义
1、信道容量的定义在信息论中，称信道⽆差错传输信息的最⼤信息速率为信道容量，记为。
从信息论的观点来看，各种信道可概括为两⼤类：离散信道和连续信道。
所谓离散信道就是输⼊与输出信号都是取值离散的时间函数；⽽连续信道是指输⼊和输出信号都是取值连续的。
可以看出，前者就是⼴义信道中的编码信道，后者则是调制信道。
仅从说明概念的⾓度考虑，我们只讨论连续信道的信道容量。
信道容量是指信道中信息⽆差错传输的最⼤速率.
是⼀个理想的极限值
Shannon公式在信号平均功率受限的⾼斯⽩噪声信道中,计算信道容量的理论公式为:
C=Blog2(1+S/N) 单位(b/s)
由公式得出的结论:
1.增⼤信号功率S可以增加信道容量,若信号功率趋于⽆穷⼤,则信道容量也趋于⽆穷⼤
2.减⼩噪声功率N或者减⼩噪声功率谱密度可以增加信道容量,若噪声功率趋于零,则信道容量趋于⽆穷⼤.
3.增加信道带宽B 可以增加信道容量.但是不能使信道容量⽆限制增⼤.信道带宽B趋于⽆穷⼤时.信道容量的极限值为
limC=1.44(S/n0)。
高斯信道
非离散随机变量的互信息量
1 H X /Y p ([ X ], [Y ]) log g p ([ ( X ] /[ / Y ]) ) [ X ],[Y ]
p ( sij / tij ) 1 p( X i,Y j) log xi i, j 1 xi y j p ( sij / tij )q (t j ) log p ( sij / tij ) i, j 1 log x p ([ X ] i,[Y ] j ) i i j 1 1 xi y j p ( sij / tij )q (t j ) log p(si )xi log p ( sijj / tijj ) i xi i, j
x m 2 x x 2 x mx y m y 1 1 p XY ( x, y ) exp p 2 2 2 x y 1 x y 2 1 2 y m y y
其中，
Cov( x, y )
x y
1 互信息量I ( X , Y ) ln(1 2 ) nat 2
2010-10-10 17
3.2.1非离散随机变量的熵和互信息量 3.2.2高斯信道容量 3 2 3高斯信道编码定理 3.2.3 3.2.4关于编码增益
2010-10-10
2010-10-10
12
非离散随机变量的互信息量
pX i
qY j
xi x yi 1
j
d x p ( s ) p( x)dx
i i
j j
y j 1
q( y)dy y q(t )
信道容量 香农定理
信道容量香农定理一、信道容量定义信道容量是指信道在特定条件下能够传输的最大信息量。
它通常被表示为每秒传输的比特数（bps）或每秒传输的字节数（Bytes/s）。
信道容量是一个关键的通信参数，它反映了信道传输信息的最大能力。
二、香农定理公式香农定理是通信理论中的基础性理论，它给出了在加性白高斯噪声（AWGN）环境下，无限长二进制对称信道的容量。
香农定理的公式可以表示为：C = 2(1 + S/N)，其中C表示信道容量，W表示信道带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。
该公式由两部分组成：第一部分是2，它表示二进制中只有0和1两个符号，因此信道中每个符号可以携带的最大信息量为1比特；第二部分是(1 + S/N)，它表示在信道中传输每个符号时可以携带的信息量。
当信道中的信号功率S与噪声功率N的比值越大，信道容量就越大。
三、香农定理的意义香农定理的意义在于它提供了评估通信系统性能的重要依据。
香农定理指出，当信道的带宽固定时，随着信噪比（S/N）的增大，信道容量也会相应地增大。
这意味着，为了获得更高的信道容量，需要增加信号功率或者降低噪声功率。
此外，香农定理还指出了通信系统的极限性能。
根据香农定理，当信噪比足够大时，信道容量将达到最大值。
因此，在设计通信系统时，可以根据香农定理来评估系统的性能并确定最佳的参数配置。
四、香农定理的应用1. 无线通信系统设计在无线通信系统中，信号传输会受到多种因素的影响，如多径效应、频带限制等。
因此，需要根据实际情况对信道容量进行评估和优化。
根据香农定理，可以通过调整信号功率、降低噪声功率或者增加信道带宽等方式来提高无线通信系统的性能。
2. 光纤通信系统设计在光纤通信系统中，由于光纤的带宽较大，因此可以通过增加信号传输速率来提高信道容量。
然而，在实际应用中，由于光纤中的信号传输会受到多种因素的影响，如散射、衰减等，因此需要根据实际情况对信道容量进行评估和优化。
根据香农定理，可以通过降低光纤中的噪声功率或者增加光纤的带宽等方式来提高光纤通信系统的性能。
信道容量的概念
由香农公式(3.6 - 7)可以看出：对于一定的信道容量C 来说， 信道带宽B、信号噪声功率比S/N及传输时间三者 之间可以互相转换。若增加信道带宽，可以换来信号噪 声功率比的降低， 反之亦然。如果信号噪声功率比不变，
那么增加信道带宽可以换取传输时间的减少，等等。如 果信道容量C给定， 互换前的带宽和信号噪声功率比分别 为B1和S1/N1，互换后的带宽和信号噪声功率比分别为B2 和S2/N2，则有
s) n0B
s n0
B
n0B S
log2
(1
s n0B
)
s n0
log2
e
1.44 s n0
香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速 率， 达到极限信息速率的通信系统称为理想通信系统。
但是，香农公式只证明了理想通信系统的“存在性”， 却没有指出这种通信系统的实现方法。因此，理想通信 系统的实现还需要我们不断努力。
山农公式又告诉我们，维持同样大小的信道容量，可以通
过调整信道的B及S/N来达到，即信道容量可以通过系统带宽与
信噪比的互换而保持不变。 例如， 如果S/N=7, B=4 000 Hz，则
可得C=12×103b/s；但是，如果S/N=15, B=3 000 Hz，则可得同
样数值C值。这就提示我们，为达到某个实际传输速率， 在系
互换前，在3kHz带宽情况下，使得信息传输速率达到 104 b/s，要求信噪比S1/N1≈9 倍。 如果将带宽进行互换， 设互换后的信道带宽B2=10kHz。这时，信息传输速率仍 为
104 b/s，则所需要的信噪比S2/N2=1 倍。
可见，信道带宽B的变化可使输出信噪功率比也 变化，而保持信息传输速率不变。这种信噪比和带 宽的互换性在通信工程中有很大的用处。例如，在 宇宙飞船与地面的通信中，飞船上的发射功率不可 能做得很大，因此可用增大带宽的方法来换取对信 噪比要求的降低。相反，如果信道频带比较紧张， 如有线载波电话信道，这时主要考虑频带利用率， 可用提高信号功率来增加信噪比， 或采用多进制 的方法来换取较窄的频带。
信道容量
3. 信道容量信道容量指信道所能承受的最大数据传输速率，单位为bps或b/s。
信道容量受信道的带宽限制，信道带宽越宽，一定时间内信道上传输的信息就越多。
带宽指物理信道的频带宽度，即信道允许的最高频率和最低频率之差。
按信道频率范围的不同，通常可将信道分为窄带信道（0～300Hz）、音频信道（300～3400Hz）和宽带信道（3400Hz以上）三类。
信道容量有两种衡量的方法：奈奎斯特公式和香农公式。
(1) 奈奎斯特公式（Nyquist）对有限带宽无噪声信道，信道容量可用如下公式计算：其中，C —最大数据速率（信道容量）H —信道的带宽（Hz）N —一个脉冲所表示的有效状态数，即调制电平数例如，若某信道带宽为4kHz，任何时刻信号可取0、1、2和3四种电平之一，则信道容量为：奈奎斯特公式表明，对某一有限带宽无噪声信道，带宽固定，则调制速率也固定。
通过提高信号能表示的不同的状态数，可提高信道容量。
(2) 香农公式（Shannon）对有限带宽随机噪声（服从高斯分布）信道，信道容量可用如下公式计算：其中，H —信道的带宽（Hz）S —信道内信号的功率N —信道内服从高斯分布的噪声的功率S/N是信噪比，通常用表示，单位dB（分贝）例如，计算信噪比为30dB，带宽为4kHz的信道最大容量：由，得出S/N=1000 则，C=4k×log2(1+1000)≈40kbps表示无论采用何种调制技术，信噪比为30dB，带宽为4kHz的信道最大的数据速率约为40kbps。
4. 三个指标之间的关系从上面的分析可以看出，数据速率用于衡量信道传输数据的快慢，是信道的实际数据传输速率；信道容量用于衡量信道传输数据的能力，是信道的最大数据传输速率；而误码率用于衡量信道传输数据的可靠性。
信道带宽与信道容量的区别是什么？增加带宽是否一定能增加信道容量？带宽:信道可以不失真地传输信号的频率范围。
为不同应用而设计的传输媒体具有不同的信道质量，所支持的带宽有所不同。
通信原理信道容量的定义
通信原理信道容量的定义通信原理中，信道容量是指在无干扰条件下，一个信道能够传输的最大信息量。
它是衡量信道传输效率的重要指标，也被视为信息传输的上限。
信道容量的定义最早由香农在他的《通信的数学理论》中给出。
根据香农的理论，信道容量可以通过信息论中的熵来计算。
熵在信息论中的含义是描述一个随机变量的不确定性的度量，可以理解为该随机变量包含的平均信息量。
在通信中，一般将信道表示为一个具有一定带宽或频率范围的传输介质，如电缆、光纤或无线信道等。
信道容量的定义与信道的带宽、信号传输的路徑和环境有关。
通常情况下，信道容量以比特/秒（bps）或奈特（Nyquist）为单位表示。
为了更好地理解信道容量的定义，我们可以用一个简单的例子来解释。
假设有一条带宽为10 kHz的信道，传输过程中只使用两个信号电平进行二进制传输（0V 和1V）。
那么根据奈奎斯特的定理，每秒可以传输的比特数就是10 kHz，即10,000 bps。
信道容量的计算方法有很多，其中最著名的就是香农公式。
香农公式定义了在给定信噪比的情况下，信道容量的上限。
其计算公式为：C = B * log2(1 + S/N)其中，C表示信道容量，B表示信道的带宽，S表示信号的平均功率，N表示噪声的平均功率。
该公式表明，在给定信噪比的情况下，信道容量随着带宽的增加而增加。
从香农公式中可以看出，信道容量的增加有两个途径：增加信道的带宽和提高信号功率与噪声功率之间的比值。
因此，提高信道容量的方法通常包括增加信道带宽或提高信号的传输质量。
在实际通信系统中，为了提高信道容量，常常采用一系列的调制与编码技术，如调幅、调频、调相等，以提高信号传输的效率和信号噪声比。
此外，信道的多路复用技术（如时分复用、频分复用和码分复用）也可以提高信道容量，充分利用信道资源。
总之，信道容量是一个用来描述无干扰条件下信道传输效率的重要指标。
它的计算方法有多种，其中最为著名的是香农公式。
通过提高信道带宽、改善信号传输质量以及利用多路复用技术，可以提高信道容量，实现更高效的信息传输。
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最大信息传输速率一定时，增大所传输信号 的带宽，可以降低对信噪功率比的要求
随机过程X(t)在t时刻的取值x(t)为信源发出的消息 Y ( t ) y ( t ) [ c ,d ] 通常 [ c ,d ] [ a ,b ] dP [ Y ( t ) y ( t )] p [ Y ( t ) y ( t )] p [ y ( t )] dY ( t )
随机过程Y(t)在t时刻的取值y(t)为信宿收到的消息
信源平均功率受限下，信宿高斯分布是否可达？
2 2 2 高斯分布，且均值 0 ，方差 P N Y Y X Z
2 信源取均值 0 ，方差 P 的高斯分布，信 X X
信道容量 1 1 1 P C log[ 2 e ( P N )] log( 2 eN ) log( 1 ) 2 2 2 N P 式中— —信噪功率比 SNR N 达到信道容量的信源概率密度函数
Y ( t ) [ X ( t ) Z ( t )] h ( t )
式中 h (t)— —带宽为 W 的理想低通滤波器的 激响应
3、带宽有限高斯信道的信道容量 根据采样定理，不失真传输一条消息的最小时间 T=1/2W [0,T]时间，波形信道→单符号连续信道 信源平均功率受限下 信道容量 1 P / 2 W 1 P C log( 1 ) log( 1 ) 2 N / 2 W 2 N
定义
信道固定时平均互信息I(X;Y)的最大值，用C表示
表示
C max I ( X ;Y )
p (x )
C max I ( X ;Y ) max { h ( Y ) h ( Y /X )}
p ( x ) p ( x )
1 max h ( Y ) h ( Z ) max h ( Y ) log( 2 eN ) p ( x ) p ( x ) 2
Y=X+Z
Z z ( , ) dP ( Z z ) 1 p ( Z z ) p ( z ) e dZ 2 N
2 z 2 N
2、高斯信道的噪声微分熵
设坐标变换 f : x x , f : z y x 1 2
雅可比行列式
f1 x J f1 y f2 x 1 1 1 f2 0 1 y
达到信道容量的信源概率密度函数
1 p(x) e 2P
x2 2P
9.3 香农公式
波形信道习惯于信道单位时间内平均互信息的最 大值——最大信息传输速率/单位时间的信道容量 1、最大信息传输速率
定义
单位时间的信道容量，用Ct表示
表示
C 1 C I ( X ;Y ) t max ( x ) T Tp
3、香农公式的意义
信噪功率比小于1时最大信息传输速率仍大 于0 最大信息传输速率正比于所传输信号的带宽， 正比于信噪功率比 所传输信号的带宽趋于无穷时，最大信息传 输速率趋于有限值
P limCt log e w N 0
1 P P P N0W2 log( 1 ) 1 N0W N0W limCt lim lim loge w w w 1 1 2 W W 1 P P lim loge loge w P N0 N0 1 N0W
其中T为平均传输一条消息所需的时间
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
2、香农公式
T=1/2W C 1 P1 P P C log( 1 ) / W log( 1 ) W log( 1 ) t T 2 N 2 W N N W 0 N 式中 N — — WGAN 的单边功率谱密度 0 W
X(t)
p[y(t)/x(t)]
Y(t)
p[y(t)/x(t)]为信道转移概率密度函数
其中 [ y ( t ) / x ( t )] dy ( t ) 1 p
c d
2、带宽有限高斯信道
定义
作用下带宽限定为 W 的波形信道
2 均值 0 、方差 N 的白色高斯加性噪声 WGAN
表示
1 p(x) eபைடு நூலகம்2P
x2 2P
9.2 带宽有限高斯信道的信道容量
1、波形信道
定义
对应于波形信源和波形信宿的信道
表示
信源——连续型随机过程X(t) 信宿——连续型随机过程Y(t)
X ( t ) x ( t ) [ a ,b ] dP [ X ( t ) x ( t )] p [ X ( t ) x ( t )] p [ x ( t )] dX ( t )
p (x )p (z )log p (z )dxdz
p (z )dz p(z)log
1 h ( Z ) log( 2 eN ) 2
3、高斯信道的信道容量 单符号连续信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密 度函数p(x) 严格上凸——总能找到一种信源概率 密度函数p(x)，使I(X;Y)达到最大
2 z 2 N
p ( xy ) p ( x ) p ( y / x ) p ( xy ) p ( xz ) J p ( xz ) p ( x ) p ( z )
1 p ( y /x ) p ( z ) e 2 N
h ( Y / X ) ( x ) p ( y / x ) log p ( y / x ) dxdy p
第9章 高斯信道的信道容量
高斯信道可靠传输信息的能力如何度量？
9.1 高斯信道的信道容量
1、高斯信道
加性噪声——信道中噪声与信号相互独立且对信 号的作用表现为线性叠加
定义
作用下的单符号连续信 道
2 均值 0 、方差 N 的白色高斯加性噪声 WGAN
表示
X Z
X x ( , ) dP ( X x ) p ( X x )p (x ) dX Y y ( , ) dP ( Y y ) p ( Y y )p (y ) dY