多因素方差分析..
多因素方差分析
因子A 出生时
对照组 6.20 5.80 8.25
围产期 23.06 窒息组 21.46
11.43
因子B
出生后20分钟
11.50 13.37 24.10 25.56 30.40 18.19
出生后30分钟
14.53 11.40 12.37 10.52 13.66 18.20
用混合效应作方差分析时，离
不论协同或拮抗作用均意味着
A、B药同时使用的作用不等于单 独作用之和。两药有无协同作用或
拮抗作用，只要检验假设：
H03： - = 或H03： - = -
A药
不用 (a=1)
例题的统计量
B药 不用 （b=1） 用(b=2)
y111=0.8 y112=0.9 y113=0.7
y121=0.9 y122=1.1 y123=1.0
Error
2.685
16
.168
Total
775.984
24
Corrected Total
6.903
23
a. R Squared = .611 (Adjusted R Squared = .441)
F 3.591 4582.977 .012 .459 4.763 11.346 .311 7.954 .290
B
s A s B s 处 s s A 理 s s B s 2 . 9 6 1 . 92 6 0 . 9 5 7 0 0 . 0 . 5 3 76
各自的自由度分别为：
df总 N 1 12 1
df处理 nAnB 1 2 2 1 3
dfA nA 1 2 1 1
dfB nB 1 2 1 1
方差分析变异来源：
CxN 21.532121.95075
方差分析(单因素、多因素方差分析)
单因素方差分析1.基本理解方差分析：是一种利用实验获取数据并进行分析的统计方法，经常用于研究不同效应对指定实验的影响是否显著。
方差分析用于检验连续型随机变量在三及以上分类数据不同水平上的差异情况。
方差分析包括：单因素方差分析、多元素方差分析、多元方差分析、协方差分析、重复测量方差分析。
在问卷数据中：单因素方差分析使用较多。
单因素方差分析：用于检验单个因素取不同水平是某因变量的均值是否有显著的变化，也可进一步用于因变量均值的多重比较（检验某些水平下的实验结果具体区别于其他水平的显著差异）。
图1检验步骤2.单因素方差分析操作步骤操作步骤第一步：首先将数据导入spss中并进行赋值后，点击分析、比较平均值、单因素ANOVA检验。
图2单因素方差分析第一步操作步骤第二步：进入图中对话框后将需检验的变量放入因变量列表中，在因子中放入分类变量，点击事后比较勾选假定等方差（LSD），不假定等方差（塔姆黑泥T2）点击继续。
图3单因素方差分析事后比较勾选3.当因素方差分析结果后点击线性进入图中下方选项框、勾选描述、方差齐性检验点击继续、确定。
图4单因素方差分析选项勾选然后单因素方差分析的描述、方差齐性、假设检验就出来了。
图5单因素方差分析结果单因素方差分析事后两两比较结果。
图6事后比较结果4.结果整理将首先将描述统计的结果粘贴复制到Excel表格中进行整理，保留均值和标准差及前面的内容，后在后面加入ANOVA表中的F和p值，将整理好的两两比较结果粘贴到表格的最后，最后将整理好的结果粘贴到Word文档中进行整理。
可参考图中结果整理。
（注：一般在看结果时首先看ANOVA表的结果，看显著情况，显著（p<0.05）看方差齐性检验的结果，若方差齐性检验的结果方差齐（p>0.05），然后再看事后比较的结果，方差齐看LSD，方差不齐看塔姆黑泥的结果，同样差异的显著看事后比较每行对应的显著性（若p<0.05，代表比较的对象显著。
多因素方差分析
目的：比较多个因素对因变量 的影响程度，确定显著因素
应用场景：如心理学、经济学、 社会学等领域的实验数据分析 和调查数据分析
数据清洗：去除 异常值、缺失值 和重复值
数据转换：对数 据进行标准化、 归一化或中心化 处理
描述性统计：计 算各因素的平均 值、标准差、偏 度、峰度等统计 指标
数据可视化：制 作箱线图、直方 图等图表，直观 展示数据分布情 况
构建模型：根据研究目的和数据特征，选择合适的方差分析模型，包括单因素方 差分析、多因素方差分析和协方差分析等。
检验各因素间的交互作用
检验模型假设是否满足
进行方差分析并解释结果
描述统计：对各组数据的均值、方差等统计指标进行描述。 检验假设：检验各组数据之间是否存在显著性差异。 因素分析：分析各因素对数据的影响程度。 结论：根据分析结果得出结论，并给出相应的建议或策略。
PART FOUR
正态性检验：确保数据符合正态分布，可以使用图形或统计检验方法进行验证。
考虑交互效应：在多因素方差分析中，需要考虑交互效应对结果的影响，这可以通过在模型中添加交互项来实现。
控制其他因素：在多因素方差分析中，需要注意控制其他潜在因素的影响，以确保结果的准确性和可靠性。
结果解释：正 确理解各因素 对结果的影响 程度和显著性
结果解释：注 意结果的稳健
性和可靠性
报告撰写：清 晰明了地呈现 分析过程和结
检验假设：在模型构建后，需要检验各组之间是否存在显著差异，即检验假设是 否成立。常用的检验方法有F检验和Welch's F检验等。
多因素方差分析结果解读
多因素方差分析结果解读多因素方差分析（MultivariateAnalysisofVariance，简称MANOVA）是一种用于检验多个自变量对一个因变量的影响的统计分析方法，它主要应用于研究多个自变量的整体影响，以及多个自变量之间的交互影响。
在多因素方差分析中，研究者需要对自变量、因变量、因素、水平、抽样设计和拟合统计模型等参数进行合理安排并给出具体分析方法、统计检验方法以及分析结果解读方法，以便得出准确的分析结果。
本文主要就如何正确解读多因素方差分析结果做一个讨论。
首先要明确的是，多因素方差分析结果从两个角度进行解读：整体的影响和交互的影响。
在解读多因素方差分析结果的整体影响时，关键是检验多个自变量对因变量的影响，这通常是通过检验拟合模型的F统计量来实现的，如果F统计量达到显著性水平（一般认为是α=0.05），则可以得出多个自变量对因变量有统计学意义的整体影响的结论，但不能准确判断具体哪个自变量对因变量最有影响力，需要进一步解读它们之间的交互影响。
多因素方差分析的另一个重点是检验多个自变量之间的交互影响，它是检验多个自变量对因变量的影响的补充，可以更精确地判断出多个自变量之间的某种特定关系。
这里有几种常用的检验交互影响的方法：F检验、Wilks’检验、Hotelling-Lawley Trace检验以及Bartlett-Box F检验、Roy’s大F检验等，其中F检验用于检验各个因素与交互因素之间的关系；Wilks’检验和Hotelling-Lawley Trace检验用于检验因素之间以及因素与交互因素之间的关系；Bartlett-Box F检验和Roy’s大F检验则用于检验因素、交互因素与因变量之间的关系。
总的来说，在解读多因素方差分析结果时，要同时检验多个自变量对因变量的影响和多个自变量之间的交互影响，不仅要给出准确的分析方法和统计检验方法，而且要根据检验结果准确解读分析结果，以便正确地概括出多个自变量对因变量的整体影响及多个自变量之间的具体关系，以达到准确仿真分析实际情况的目的。
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式
方差分析公式单因素方差分析多因素方差分析的计算公式方差分析公式计算单因素和多因素方差分析的方法是统计学中常用的数据分析技术。
方差分析可以用来比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
在本文中，将介绍单因素方差分析和多因素方差分析的计算公式和步骤。
一、单因素方差分析的计算公式单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异。
在进行单因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和表示各组数据与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SST = Σ(xi - x)²其中，xi为每个观察值，x为所有观察值的均值。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和表示各组数据与各组均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSW = Σ(xi - x i)²其中，xi为每个观察值，x i为各组观察值的均值。
3. 组间平方和（SSB）：组间平方和表示各组均值与整体均值之间的偏差总和。
其计算公式如下：SSB = Σ(ni * (x i - x)²)其中，ni为每个组的观察次数，x i为各组观察值的均值，x为所有观察值的均值。
4. 平均平方和（MSW和MSB）：平均平方和表示各组之间的平均差异程度。
其计算公式如下：MSW = SSW / (n - k)MSB = SSB / (k - 1)其中，n为总观察次数，k为组的个数。
5. F统计量：F统计量用于检验组间均值是否存在显著差异。
其计算公式如下：F = MSB / MSW二、多因素方差分析的计算公式多因素方差分析适用于两个或更多个自变量（因素）的情况下比较多个组的均值是否存在差异，并确定各因素之间的交互影响。
在进行多因素方差分析时，需要计算以下几个统计量。
1. 总平方和（SST）：总平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
2. 组内平方和（SSW）：组内平方和的计算方式与单因素方差分析相同。
第6讲多因素试验资料的方差分析
第六讲 多因素试验资料的方差分析M ULTIFACTOR ANALYSIS OF V ARIANCE多因素试验是指同时研究n 个因素对试验指标的作用，以及它们的共同作用。
多因素试验的最大优点首先在于除了一次试验可以同时明确多个因素的效应，还可以分析出因素间的相互作用（互作），便于选定最优处理组合。
其次，多因素试验可增加误差项的自由度，降低试验误差。
因此比单因素试验精确度更高。
最后，多因素实验所得的结论确切、具体、论据充足。
如单独进行品种对比试验，结果只能粗略地明确品种间的优劣，如果与饲料水平、饲喂方式结合进行三因素试验，可具体明确用一定的饲喂方式在特定的饲料水平下，哪个品种优于哪个品种。
论据、内容都比单因素试验结果丰富。
田间试验中也常要考察哪个品种在何时播种以及在何种密度下的产量表现，同时还可以采用区组设计来安排重复，以便控制系统误差，提高试验的准确性。
现以三因素试验的资料介绍其方差分析方法。
第一节 线性模型与期望均方一、线性数学模型设A 、B 、C 三个因素各含a 、b 、c 个水平，共abc 个处理组合，每个处理组合重复数为r 。
则其任一观察值的线性数学模型为：kl j i l ijk jk ik j i k j i kl j i e y +++++++++=ραβγβγαγαβγβαμ)()()()(其中kl j i l ijk jk ik j i k j i e ,,)(,)(,)(,)(,,,,ραβγβγαγαβγβαμ依次表示总体平均数、A 、B 、C 主效应， A ×B 、A ×B 、B ×C 、A ×B ×C 互作效应，重复(区组)效应和随机误差。
在样本资料中依次分别由),(,x x x A -)(x x B -，)(x x C -，)(x x x x B A AB +--，)(x x x x C A AC +--，)(x x x x C B BC +--，)(x x x x x x x x BC AC AB C B A ABC ----+++，)(x x R -，)(x x x x R ABC ijkl +--进行估计。
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
多因素方差分析
a i b j c
总离差平方和：SST yijk y
i j k
k
1 c yij. yijk c k 1 1 a c y. j . yijk ac i 1 k 1
y111 y112 …y11c y121 y122 …y12c y211 y212 …y21c y221 y222 …y22c … … y1b1 y1b2 …y1bc y2b1 y2b2 …y2bc ⁞ … yab1 yab2 …yabc
⁞
⁞ ya11 ya12 …ya1c
⁞ ya21 ya22 …ya2c
ij 0, i 1,2,, a, j 1,2,..., b
i j 0
FA
MS A MS B FB MS E MS E
FAB
MS AB MS E
FA F a 1, ab c 1
FB F b 1, ab c 1 FAB F a 1 b 1 , ab c 1
SS A ， 的自由度是a-1 a 1 SS MS B B ， 的自由度是b-1 因素B的均方： b 1 交互作用的均方： ， 的自由度是(a-1)(b-1) SS E MS E ab c 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab c 1 abc 1
两因素非重复试验的方差分析
3.1 与两因素等重复试验的方差分析差异
1 在因素A和因素B的每个水平组合上 Ai , B j 仅做一次试验，从而仅有一个观测数据，即 c 1 模型为：
B
多因素方差分析简介
SSw SSt SSb 579.8333 331.3333 248.5000
于是A因素组间平方和为：
2 2 （X a） （X a） SSA na na K a
7082 6962 7182 21222 30.3333 8 8 3
B因素平方和为：
所以 A因素F=1.10<3.55= B因素F=0.77<4.41=
F( 2， )0。 6.01 18 01
F(1， )0。 8.29 18 01
F( 2， ) 0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F(1， )0。 ，p>0.05，保留零假设 18 05
F( 2， )0。 ，p<0.01，拒绝零假设 18 01
MS B 10.6666 F 0.7726 MSW 13.8056
MS AB 145.1667 F 10.5151 MSW 13.8056
第三步：统计决断
根据分子自由度、分母自由度查附表3，找到各 个临界值，即
F( 2， )0。 3.55 18 05
F(1， )0。 4.41 18 05
解：第一步：提出假设
首先，提出关于A因素的假设：
H 0 a a a
1 2
3
H1
A因素至少有两个水平的总体平均数不相等 然后，提出关于B因素的假设：
1
2
最后，提出关于A、B两个因素交互作用是否显著 的假设：
H0
A、B两个因素交互作用不显著 A、B两个因素交互作用显著
MS B F MSW
对于A因素与B因素的交互作用，检验统计量的计算 公式为：
MS AB F MSW
第三步：统计决断 根据分子和分母自由度及=0.05和=0.01两个 显著性水平查附表3寻找F临界值。然后，将实际计 算出的F值与这两个临界值相比较，若实际计算出的
多因素方差分析
多因素⽅差分析01.前⾔在前⾯我们讲过简单的单因素⽅差分析，这⼀篇我们讲讲双因素⽅差分析以及多因素⽅差分析，双因素⽅差分析是最简单的多因素⽅差分析。
单因素分析就是只考虑⼀个因素会对要⽐较的均值产⽣影响，⽽多因素分析是有多个因素会对均值产⽣影响。
需要注意的是⼀个因素可能会有不同的⽔平值，即不同的取值。
⽐如要判断某⼀款药对某种病症有没有效果，服⽤不同的剂量效果应该是不⼀样的，虽然因素都是服药这⼀个因素，但是不同的药剂量代表不同的⽔平。
双因素（多因素）⽅差分析⼜可以分为两种，⼀种是有交互作⽤的，⼀种是没有交互作⽤的。
啥意思呢？什么是交互作⽤呢？⽐如我们⼤家所熟知的，⽜奶和药是不可以⼀起吃的，如果单独喝⽜奶有助于⾝体蛋⽩质的补充，如果单独吃药可以有助于治疗病症，但是⽜奶和药同时吃就会把两者的作⽤抵消掉。
这种两者之间的相互作⽤就可以理解成是交互作⽤，当然了，有的时候交互是正向呢，有的时候是负向的。
02.⽆交互作⽤⽅差分析现在有如下⼀份不同品牌不同地区的产品销量数据表，想要看⼀下不同品牌和不同地区这两个因素是否对销量有显著性影响：我们先来看看⽆交互作⽤的双因素⽅差分析具体怎么做呢，所谓的⽆交互也就是假设品牌和地区之间是没有交互作⽤的，相互不影响，只是彼此单独对销量产⽣影响。
前⾯单因素⽅差分析中，我们是⽤F值去检验显著性的，多因素⽅差分析也同样是⽤F值.F = 组间⽅差/组内⽅差。
对于没有交互作⽤的多因素，可以单纯理解为多个单因素。
也就是你可以单独去看品牌对销量的影响，然后再单独去看地区对销量的影响。
那单独怎么看呢？这就回到了我们前⾯讲过的单因素⽅差分析。
我们先来计算品牌的组内平⽅和:SSA = (每个品牌的均值 - 全部销量均值)^2*每个品牌内样本数 = (344.20-328.45)^2*5 + (347.80-328.45)^2*5 + (337.00-328.45)^2*5 + (284.80-328.45)^2*5 = 13004.55我们再来计算地区的组内平⽅和:SSB = (每个地区的均值 - 全体销量均值)^2*每个地区内样本数 = (339.00-328.45)^2*4 + (330.25-328.45)^2*4 + (339.25-328.45)^2*4 + (318.25-328.45)^2*4 = 2011.7接着我们来计算全部平⽅和：SST = (每个值-总体均值)^2 = 17888.95除此之外还有⼀个平⽅和：SSE = SST - SSA - SSB这部分是除品牌和地区以外的其他因素所产⽣的，称为随机误差平⽅和。
多因素方差的分析心得
多因素方差的分析心得
多因素方差的分析是一种用来研究多个因素对于一个变量的影响的统计方法。
通过对数据的方差分解，我们可以确定每个因素对于总体方差的贡献程度，从而找到主要影响因素。
在进行多因素方差的分析时，需要考虑各个因素之间的交互作用，以及它们与变量之间的关系。
通过比较各个因素的影响大小，我们可以确定哪些因素对于变量的影响最为显著。
通过多因素方差的分析，我们可以得到多个结论。
首先，我们可以确定主要影响因素。
这对于科学研究和实际应用都具有重要意义，可以帮助我们理解问题的本质及其成因。
其次，在实际应用中，我们可以根据这些影响因素来做出相应的调整和改进，以提高产品质量或优化过程。
然而，多因素方差的分析在实践中也存在一些挑战。
例如，在数据收集过程中，可能会存在一些误差或者偏差，这可能会对结果产生影响。
此外，如果样本容量较小，可能会限制对结果的推广性。
总之，多因素方差的分析是一种有力的统计方法，可以帮助我们确定影响变量的主要因素。
然而，在进行分析时需要注意数据的收集和处理过程，以克服一些潜在的问题。
利用这一方法得到的结论可以为科学研究和实际应用提供有价值的指
导和决策支持。
06_多因素方差分析
比较(comparison): 对各处理水平平均数之间差异的估 价。当一个处理的主效应显著，且处理的水平多于2 时，需要进一步揭示主效应显著的意义，即那些水平 之间比较是差异显著的。 组间变异(between-group variation):接受不同处理的被 试的分数围绕总平均数的变化。 组内变异(with-group variation):每个组内被试分数围 绕组平均分数的变化。这个变异是由随机误差造成的， 将各处理组内的变异相加，即是整个实验的实验误差。 无关变量：指一个研究中除了自变量以外所有可能对 因变量产生影响的因素。
完全随机实验设计的方差分析
• 适用条件:一个自变量，自变量有两个或多 于两个水平（P2） • 被试分配
A1 S1 S5 S9 S13 A2 S2 S6 S10 S14 A3 S3 S7 S11 S15 A4 S4 S8 S12 S16
（3）检验的假设和实验设计模型
H 0 : 1 2 p 或 H 0 : j 0, j 1,2,, p 即无处理效应 模型： ij j ij , i 1,2,, n, j 1,2,, p y
两因素完全随机实验设计的计算表
a1 b1 3 6 4 3 a1 b2 4 6 4 2 a1 b3 5 7 5 2 a2 b1 4 5 3 3 a2 b2 8 9 8 7 a2 b3 12 13 12 11
* two-factors randomized experiment anova. DATA LIST/ A 1 B 3 Y 5-6. BEGIN DATA 113 116 114 113 124 126 124 122 135 137 135 132 214
多因素方差分析
多因素方差分析定义:多因素方差分析中的控制变量在两个或两个以上，研究目的是要分析多个控制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及其他随机变量是否对结果产生了显著影响。
前提：1总体正态分布.当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性.3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时,各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验.多因素方差分析的三种情况：只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量；考虑主效应和交互效应，但不考虑协变量；考虑主效应、交互效应和协变量。
一、多因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”和“性别”是否对观察变量“数学”有显著性影响，而控制变量只有两个，即“组别”、“性别”，所以本题采用双因素分析法,但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2建立数据文件在SPSS17.0中建立数据文件，定义4个变量:“人名”、“数学”、“组别”、“性别”。
控制变量为“组别”、“性别”,观察变量为“数学”。
在数据视图输入数据，得到如下数据文件：3正态检验（P>0。
05，服从正态分布)正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别"、“性别”放入“因子列表",将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制"，出现“探索:图"窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定"，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图(Normality plots with test，复选框）:选择此项，将进行正态性检验,并生成正态Q —Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
表1 控制变量为“组别"的正态性检验结果，Shapiro-Wilk的p值0.884、0。
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式方差分析是一种统计方法，用于比较不同因素对变量的影响是否显著。
通过方差分析，我们可以确定不同因素之间是否存在统计学差异，并进一步研究这些差异的来源。
在方差分析中，单因素与多因素方差分析是两种常见的方法。
本文将介绍这两种方差分析中的关键公式。
一、单因素方差分析公式在单因素方差分析中，我们只考虑一个因素对变量的影响。
假设我们有k个水平（或组），每个水平下有n个观测值。
那么总观测值的个数为N=k*n。
在进行单因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SST = Σ(Σ(x_ij - X¯)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯表示所有观测值的均值。
2. 组间平方和（SSB）：表示各组均值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSB = Σ(n_i * (X¯_i - X¯)^2)其中，n_i表示第i组的观测值个数，X¯_i表示第i组的均值。
3. 组内平方和（SSW）：表示每组内个体与组内均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSW = Σ(Σ(x_ij - X¯_i)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯_i表示第i组的均值。
根据以上统计量，我们可以计算方差分析的F值，来判断组间差异是否显著。
F值的计算公式为：F = (SSB / (k-1)) / (SSW / (N - k))其中，k表示组数，N表示总观测值的个数。
二、多因素方差分析公式在多因素方差分析中，我们考虑两个或两个以上的因素对变量的影响。
假设我们有r个因素，每个因素有k个水平（或组）。
那么总观测值的个数为N = k^r。
在进行多因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
多因素方差分析
∑ ai = ∑ b j = 0
i =1 j =1
I
J
∑ cij = 0 ∀j
i =1
I
∑c
j =1
J
ij
= 0 ∀i
目的是估计或检验
的分布参数 、 和 的值。
明确假设检验问题
表述三个平方和假设，确保所有的 ， ， 都是 0：
在数据平方和的基础上得到检验统计量。
平方和计算
定义处理均值和总样本平均值：
练习：双因素 相关的 函数：norm
2003 年
最后修改日期 2003 年 10 月 8 日
双因素 来源 因素 A
表 SS SSA df νΑ = I 1 因素 B AB相互 作用 误差 SSB νΒ = J 1 SSAB νΑΒ = (I-1)(J-1) SSE νΕ = IJ(K-1) 总和 SST νΤ = IJK-1 MS MSA= SSA/νΑ MSB= SSB/νΒ MSAB= SSAB/νΑΒ MSE= SSE/νΕ F FA = MSA/MSE FB = MSB/MSE FAB = MSAB/MSE p p= 1-FF ,νΑ,νE(F ) p= 1-FF ,νB,νE(F ) p= 1-FF ,νAB,νE(F )
是由处理组合 描述 为：
得到的样本容量为 K 的随机样本。 用双因素模型
＝未知的
的平均值（对于所有的 k）
未知的总平均值（所有 的平均数） 未知，因素 A 的主要影响 未知，因素 B 的主要影响 未知，因素 A 和因素 B 的相互作用 处理 i 和副本 j 的参差 对于所有的 注意：只有当复本数量 K>1 时，才能将 约束条件： 和 区分开。
第 21 课 多因素方差分析
多因素模型
多因素方差分析
6.3.1 统计学上的定义和计算公式
定义：多因素方差分析中的控制变量在两 个或两个以上，它的研究目的是要分析多个控 制变量的作用、多个控制变量的交互作用以及 其他随机变量是否对结果产生了显著影响。例 如，在获得教学效果的时候，不仅单纯考虑教 学方法，还要考虑不同风格教材的影响，因此 这是两个控制变量交互作用的效果检验。
组别 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
性别 male female male male female male male female male male female male female male female male female male
? 实现步骤
多因素方差分析
(五)应用举例
? 不同广告形式和地区对销售的影响分析
注意数据的组织方式 total以0为均值的离差平方和
注意对结果的解释 Intercept
对交互作用的图形观察
pq r
? ? ? ?
x2 ijk
?
SST
i?1 j?1 k?1
? Plots 选项
预测值的保存及残差分析 ? Save和options 选项(线性模型的体现)
以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算 F值，并根据F分布表给出相应的相伴概率值。
多因素方差分析
(三)说明
? 多因素方差分析中因素的划分 固定效应因素：人为能够准确控制其各个不同的水平 值；如：施肥量、品种、温度。 ----固定效应模型 随机效应因素：人为无法对其水平值进行准确控制， 只是能够直观观测到。如：城市规模、教育水平等。 ---随机效应模型 ---混合效应模型
6.3.2 SPSS 中实现过程
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配对设计是将实验对象按某些特征或条件配成对 子(非随机)，再将每对中的两个实验对象随机分 配到两个处理组中，给予不同的处理。 配对的因素一般是可能影响研究结果的主要非处 理因素。 配对结果：组内可不一致，而组间尽可能一致。 这样可严格控制非研究因素对实验结果的影响， 同时两组间均衡可比性增大， 减小实验误差，提 高实验效率。
第六步：设置两两比较。将组别选入两两比较 检验。勾上LSD、S-N-K、Dunnett。
• 第七步：设置选项。勾上“描述统计”。
• 第八步：完成，解读结果
• 结果解读1
• 结果解读2
• 组间F=195.958， p=0.000； • 区组间F=3.031， p=0.023。
• 结果解读3：组间两两比较
重复测量设计是指对同一观察对象(如人、 动物等)的同一观察指标在不同时间点上或 在同一受试对象的不同部位进行多次测量， 用于分析该观察指标的规律。 同一受试对象在不同时间或不同部位的观 察值之间往往彼此不独立，存在一定的相 关性，而且越是相邻的时间点或部位，数 据之间的相关性越大。 因此，这类资料的分析具有一定的特殊性。
随机区组设计也称为随机配伍设计，是配 对设计的扩展，将几个受试对象按窝别、 性别、体重等条件配成区组，再将每一区 组的受试对象随机分配到各个处理组中。 同一区组内要求各试验对象尽可能一致， 不同区组间的试验对象允许存在差异，每 一区组内试验对象的随机分组要独立进行， 每种处理在一个区组内只能出现一次。
拉丁方设计是按拉丁字母组成的方阵安排 实验的第三个因素(一般是一个处理因素、 两个配伍因素)等水平设计。
交叉设计亦称反转实验设计，是在自身配 对设计基础上发展的双因素设计。 是将A、B两种处理先后施加于同一批受试 对象，随机地使半数受试者先接受A后接受 B，而另一半受试对象先接受B再接受A，每 个受试者需经历如下几个研究过程，即准 备阶段、第一研究阶段、洗脱期、第二研 究阶段。在两个研究阶段分别观察二种药 物的疗效和安全性。
区组 1 2 3
I组 3.6 4.5 4.2
II组 3.0 2.3 2.4
III组 0.4 1.7 2.3
IV组 3.3 1.2 0.0
4 5 6 7 8 9 10
4.4 3.7 5.6 7.0 4.1 5.0 4.5
1.1 4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3
4.5 3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5
析因设计是一种将两个或多个因素的各水平交叉 分组，通过不同的组合，评价各因素的主效应、 单独效应和交互作用的实验设计。 若因素间存在交互作用时，表示各因素间不是独 立的，而且一个因素的水平发生变化，会影响其 他因素的实验效应；反之，若因素间不存在交互 作用，表示各因素具有独立性，任一因素的水平 发生变化，不会影响其他因素的实验效应。
SPSS（04） ——多因素方差分析
季聪华 2012.10.23
《中华医学杂志》对来稿统计学处理的有关要求
多因素方差分析
• • • • • • • 随机区组设计的方差分析 拉丁方设计的方差分析 交叉设计的方差分析 析因设计的方差分析 正交设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 协方差分析
常用实验设计方法
多因素方差分析
• • • • • • • 随机区组设计的方差分析 拉丁方设计的方差分析 交叉设计的方差分析 析因设计的方差分析 正交设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 协方差分析
【例1】慢性应激大鼠模型的中医证候研究， SD 雄性大鼠32只，将体重接近的大鼠配成 一个区组，共 8 个区组，然后将各区组的 4 只大鼠随机分配到各组：对照组不给药物， 其余3组分别为四逆散组、逍遥散组和四君 子汤组，分别给予不同的药物，一定时间后， 观察大鼠血清皮质酮含量(nmol/L)，如表， 分析4组大鼠血清皮质酮含量是否相同?体重 对大鼠血清皮质酮含量是否有影响?
正交设计是按照正交表和相应的交互作用表进行 的多因素多水平设计方法，它不仅能明确各因素 的主次地位，而且可以知道哪些因素存在交互影 响，并能找出诸因素各水平的最佳组合。 正交设计亦称部分析因设计，它保留了析因设计 整体考虑、综合比较的优点，避免了析因设计的 全面试验、工作量大的弊病。 正交设计是根据正交性从全面试验中挑选出部分 有代表性的点进行试验，这些有代表性的点试验 具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
区组 1 2 3
对照组 62 60 59
四逆散组 90 92 89
逍遥散组 67 64 69
四君子汤组 65 66 69
4 5 6 7 8
64 65 61 57 58
91 88 87 85 93
71 62 64 62 65
70 60 59 63 61
SPSS软件操作
• 第一步：建立“皮质酮含量”、“组别”、 “区组”三个变量。对组别进行定义。
• 结果解读4：S-N-K
【例2】研究三菱羲术的抑癌作用，将致癌后 的小白鼠40只分成 10个区组，每个区组的 4 只小白鼠的条件相似，I组不加任何处理， II、III、IV组分别注射三棱羲术液0.5ml 、 1.0 ml、1.5 ml，一定时间后解剖小白鼠称 其肿瘤重量，结果如表 ，试分析不同剂量 的三棱获术液抑癌作用是否不同?
• 第二步：将32个数据 及伴随的组别、区组依 次录入SPSS，形成32行 3列的数据集。
• 第三步：选择分析→一般线性模型→单变量
• 第四步：在单变量对话框中，因变量列表处移入 “皮质酮含量”，固定因子处移入“组别”、 “区组”。
• 第五步：点击模型。在单变量：模型对话框中， 选定“设定”后，将“组别”、“区组”移入右 模型框。
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