数学专题 高考数学压轴题13

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数

2复合函数

3创新性函数

4抽象函数

5导函数（极值，单调区间）--不等式

6函数在实际中的应用

7函数与数列综合

8数列的概念和性质

9 Sn与an的关系

10创新型数列

11数列与不等式

12数列与解析几何

13椭圆

14双曲线

15抛物线

16解析几何中的参数范围问题

17解析几何中的最值问题

18解析几何中的定值问题

19解析几何与向量

20探究性问题

13．椭圆

例1．如图：直线L ：1y mx =+与椭圆C ：

222(0)ax y a +=>交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。

求证：椭圆C ：22

2(0)ax y a +=>与直线L ：1y mx =+总有两个交点。

当2a =时，求点P 的轨迹方程。

（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。

解：(1)由2

212y mx ax y =+⎧⎨+=⎩得22()210a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>

∴椭圆C ：22

2(0)ax y a +=>与直线L ：1y mx =+总有两个交点。

(2)设(,)P x y ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 与OP 交于点M ，则有1212,2222x x y y x y ++== 即1212

,x x x y y y =+=+，又由（1）得

12222m x x m +=-

+，12

21

x x a m ⋅=-+

12122

22

224

(1)

(1)(1)()2()2222m

m x y mx mx m x x m m m m ∴=-

=+++=++=-

+=+++ （2）

(1)(2)÷得22x m x

m y y =-⇒=-

（3）

将（3）代入（2）得

22

2

2

422042y x y y x y =

⇒+-=+(0,0)x y ≠≠

∴点P 的轨迹方程为

22

220x y y +-=(0,0)x y ≠≠ 121212122121200(1)(1)0(1)()10OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ⋅=⇒+=⇒+++=⇒++++=

222

222212(1)()()1012021

m

m m a m a m m m a m m a -∴+-

++=++⇒---++=⇒=-

∴当01a <<时，这样的直线不存在；当1a >时，存在这样的直线，此时直线l 为

1

12a y x -=±

+

例2. 设椭圆1

122

=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ，且椭圆上存在一点P ，使

得直线1PF 与2PF 垂直. （1）求实数m 的取值范围；

（2）设L 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与L 相交于点Q ，若322

2

-=PF QF ，求直线2PF 的

方程.

解：（Ⅰ）由题设有.,0m c m => 设点P 的坐标为),

,(00y x 由PF1⊥PF2，得,

100

00-=+⋅-c x y c x y

化简得

.

2

020m y x =+ ①

将①与112020=++y m x 联立，解得

.

1,12022

0m y m m x =-= 由.

1,01

,022

≥≥-=>m m m x m 得 所以m 的取值范围是1≥m .

（Ⅱ）准线L 的方程为

.

1

m m x +=

设点Q 的坐标为),(11y x ，则 .

1

1m m x +=

.

1

||||00

122x m m

m

m x c c

x PF QF --+=--= ②

将

m m x 120-=

代入②，化简得 .

111||||2222-+=--=m m m m PF QF

由题设 32|||

|22-=PF QF ，得 3212

-=-+m m ， 无解. 将 m m x 120--

=代入②，化简得 .111||||2222--=-+=m m m m PF QF

由题设 32|||

|22-=PF QF ，得 3212

-=--m m .

解得m=2. 从而

2,22

,2300=±=-

=c y x ，

得到PF2的方程 ).2)(23(--±=x y

例3.（08安徽）设椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 过点)1,2(M ，且左焦点为)0,2(1F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ)当过点

()

4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

||||||||PB AQ QB AP ∙=∙。证明：点Q 总在某定直线上。

解：（Ⅰ）由题意：222222

2

111

c a b c a b ⎧=⎪

⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得

224,2a b ==. 所求的求椭圆C 的方程22

1

42x y +=.

（Ⅱ)方法一：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)

B x y ，由题设，PA

、PB

、AQ

、QB

均不为0，

且PA PB AQ QB = ，又,,,P A Q B 四点共线，可设PA AQ λ=- ，(0,1)PB BQ λλ=≠± ，于是

141x x λλ-=

-，111y

y λλ-=

-…………………………………①

241x x λλ+=

+，211x

y λλ+=

+…………………………………②

由于11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，将①②分别带入C 的方程22

142x y +=，整理得： 222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=………………③ 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+=………………④

由④-③得 8(22)0x y λ+-=.

∵0λ≠，∴220x y +-=.即点(,)Q x y 总在直线220x y +-=上.

方法二：设点(,)Q x y ，11(,)A x y ，22(,)

B x y ，由题设，PA 、PB 、AQ 、QB 均不为0，记