陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

第七章 习题解答

1. 某种光盘的记录围为径80mm,外径180mm 的环形区域,记录轨道的间距为2um.假设各轨道记录位的线密度均相同记录微斑的尺寸为um,试估算其单面记录容量. (注: 、外径均指直径)

解： 记录轨道数为 25000002.0280180=⨯-=

N 单面记录容量按位计算为

∑=⨯≈⨯+=N

n n M 110107.10006.0)002.040(2π bits = 17 Gb. 按字节数计算的存储容量为 2.1GB.

2. 证明布拉格条件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配= 0的情形， 因而（7-18）式描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。

证明: 将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质) 和入射角 (照明光束与峰值条纹面间夹角)分别记为0和θ0, 则根据布拉格条件式（7-1）有:

2sin θ0= 0

其中为峰值条纹面间距.

对于任意波长a (空气中) 和入射角θr (介质), 由(7-17)式, 位相失配 定义为:

24)cos(n K K a r πλθφδ--= 其中n 0为介质的平均折射率, K = 2/为光栅矢量K 的大小，为光栅矢量倾斜角，其值为 22π

θθφ++=s

r ，r 为再现光束与系统光轴夹角 (参见图7-9)．

当 = 0 时,有

2422cos n K K a r s r πλθπθθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++ 即: Λ

=Λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2422sin 0λππλθθn s r 为介质中的波长. 由于角度2s

r θθ-恰为照明光与峰值条纹面的夹角θ以上结果亦

即布拉格条件2 sin θ = .

当读出光偏离布拉格角θo 和布拉格波长o 的偏移量分别为θ和时，有

[]0200200002044sin )sin(cos )cos( 4)()(cos n K n K K K n K K πλπλθθφθθφπλλθθφδ∆--∆--∆-=∆+-∆+-=

利用布拉格条件式(7-17), 以及θ和很小时的近似关系 cos θ≈1 和 sin θ≈θ, 立即可得:

=K sin(0)

K 2/4n 0 即(7-18)式 原题得证。

3. 用波长为532nm 的激光在KNSBN 晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为30o (空气中).欲用波长为633nm 的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为2.27)

解： 532nm 为空气中激光波长记作a 1, 在晶体外的入射角为θa 1，其在晶体中波长为1, 入射角为θ1；633nm 为空气中激光波长记作a 2, 在晶体外的入射角为θa 2，其在晶体中波长为2，入射角为θa 2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题意, 则波长532nm 和633nm 激光应分别满足布拉格条件：

晶体中： 2sin θ1= 1 2sin θ2= 2 (1) 由折射定律，换算成空气中角度和波长为：

空气中： 2sin θa 1=a 1 2sin θa 2=a 2 (2) 由（2）式得： θa 2 = arcsin (a 2 sin15/a 1 )= arcsin (633 sin15 /532 ) = 17.936

故探针光的入射角应为17.936。

4. 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式. 试对小调制度近似(<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为空气中可测量的值).

解：注意我们将对应着- 曲线的主瓣全宽度定义为选择角, 体光栅晶体中选择角表达式为：

)2sin(cos 222ϕθλπνπs a nd -=∆Θ (1)

<<1时，对非倾斜透射光栅，有：

r a nd θπλνπsin 22-=∆Θr a nd θλsin ≈ (2)

设空气中参考光入射角为r o , 选择角为o . 由折射定律有

sin(o +r o ) = n sin(

+r ) (3)

展开为 ：

sin o cos r o + cos o sin r o = n (sin

cos r + cos sin r ) (4)

因为o 和很小，有如下近似：cos o ≈cos /2≈1, sin o ≈

o , sin ≈. 因此(4)式可化简为：

o cos r o + sin r o = n (

cos r + sin r ) 由折射定律，有sin r o = n sin r ，可得：

o = n

cos r / cos r o = n a cos r / (nd sin r cos r o )

= 2a (n 2-sin 2 r o )1/2 / (d sin2r o )

此式可作为空气中选择角的表达式。当sin 2 r o << n 2时,还可进一步简化为:

020202sin 22sin 12sin 2r a r r a d n n d n θλθθλ≈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-≈∆Θ 以最常用的铌酸锂晶体为例, n =2.2-2.3, 当r o < 45时, 用0

2sin 2r a d n θλ=∆Θ估算空气中的选择角, 误差只有5%左右.

5. 铌酸锂晶体折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息时间常数之比τE /τW = 4, 饱和折射

率调制度n max =510-5, 用 = 532nm 的激光在晶体中记录纯角度复用的全息图, 物光角

度取为θs =30, 参考光角度围θr = 20-40. 若要求等衍射效率记录且目标衍射效率

设定为10-5, 试分析影响存储容量的主要因素.为了提高存储容量, 应当在哪些方面予以改

进?

解：本题仅涉及纯角度复用技术, 且无页面容量的数据, 故主要讨论每个空间区域复用存储的数据页面数即角度复用度. 影响存储容量的主要因素有：

（1）有限的角度选择性及实际选择角增宽

（2）光学系统对存储容量的限制

（3）噪声对存储容量的限制

本题可近似为准对称的透射式光路，以平均的参考光角度θr =θs =30 并利用第4题的结果, 可估算出平均选择角为:

=︒⨯⨯⨯⨯==∆Θ-)

60sin(31053228.222sin 26

0r a d n θλ0.0535 由光学系统决定的参考光入射角围=20, 故允许的角度复用度为：

M a =20/0.0535 = 374

由于系统存在噪声, 要求有一定的目标衍射效率, 而记录材料具有有限的动态围, 因而根据(7-77)式,角度复用度限制为：

M a = min

sat cos ηθλτπτs W E d n ∆ = 4 3.14510-53 / (53210-6cos3010-5/2)

=1293

由以上结果可见，本题中存储容量主要受到有限的角度选择性和光学系统有限的孔径角的限制。要提高存储容量，需首先增大晶体厚度, 适当增大写入光的夹角和光学系统的孔径角, 采用较短的激光波长.