椭圆标准方程的求法举例
题型求椭圆的标准方程
题型一、求椭圆的标准方程例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-； （3）焦距为6，1a b -=； （4）椭圆经过两点35(,)22-，。
例2、（1）与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为______________．（2）已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为题型二、椭圆的几何性质的应用例3、（1）椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍（2）如图，A 、B 、C 分别为椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的顶点和焦点，若∠ABC=900，则该椭圆的离心率为例4、已知点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.()1求椭圆离心率e 的取值范围；()2求12PF F △的面积 答案：（1）)1,21[ （2）233b题型三、直线与椭圆的综合应用例5．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF例6、已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =(1)求椭圆1C 的方程;(2)已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动 直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,(0λ≠且1λ≠±). 求证:点Q 总在某定直线上.例7、已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－31。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程\(\frac{(x h)^2}{a^2} + \frac{(y k)^2}{b^2} = 1\)。
其中，\(h\)和\(k\)分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，\(a\)和\(b\)分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的标准方程是通过平移坐标系和缩放轴的长度得到的。
通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长和长短轴的方向。
接下来，我们将详细解释椭圆的标准方程及其相关概念。
首先，椭圆的中心坐标为\((h, k)\)，其中\(h\)和\(k\)分别代表椭圆中心在x轴和y轴上的坐标。
通过平移坐标系，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点，即\((0, 0)\)，这样椭圆的标准方程可以简化为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
接下来，我们来解释椭圆的半轴长\(a\)和\(b\)。
在椭圆上任意一点\((x, y)\)，其到两个焦点的距离之和等于常数，即\(2a\)。
因此，\(a\)代表椭圆在x轴上的半轴长，而\(b\)代表椭圆在y轴上的半轴长。
通常情况下，\(a > b\)，因此椭圆在x轴上的半轴长大于在y轴上的半轴长。
此外，椭圆的标准方程还能告诉我们椭圆的长短轴的方向。
如果\(a > b\)，则椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行；如果\(a < b\)，则椭圆的长轴与y轴平行，短轴与x轴平行。
最后，我们来看一个例子。
假设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，我们可以通过比较标准方程和实际方程的形式，得出椭圆的中心坐标为\((0, 0)\)，长轴在x轴上，长轴的长度为\(2 \times 4 = 8\)，短轴在y轴上，短轴的长度为\(2 \times 3 = 6\)。
通过以上的解释，我们对椭圆的标准方程及其相关概念有了更深入的理解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的基本知识，加深对数学的理解和应用。
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和为常数的点的集合。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
接下来，我们将推导椭圆的标准方程。
首先，考虑椭圆的定义，设椭圆上一点P的坐标为(x, y)，两个固定点分别为F1和F2，它们的坐标分别为(-c, 0)和(c, 0)。
根据定义，点P到F1和F2的距离之和为常数2a，即：\[PF_1 + PF_2 = 2a\]根据点到定点的距离公式，可以得到：\[\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a \sqrt{(x c)^2 + y^2}\]对上式两边进行平方运算，得到：\[(x + c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x c)^2 + y^2})^2\]展开并整理得到：\[x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x c)^2 + y^2} + (x^2 2cx + c^2 + y^2)\]化简可得：\[4a\sqrt{(x c)^2 + y^2} = 4a^2 x^2 2cx c^2 y^2\]再次整理得到：\[16a^2((x c)^2 + y^2) = (4a^2 x^2 2cx c^2 y^2)^2\]继续展开并整理，最终可以得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，\[a^2 = c^2 + b^2\]，\[b^2 = a^2 c^2\]。
通过以上推导，我们得到了椭圆的标准方程。
这个方程可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和特点，对于进一步的椭圆相关问题的研究和应用具有重要意义。
核心考点八 求椭圆标准方程的方法
核心考点八 求椭圆标准方程的方法方法一：定义法解法突破：由题目条件能够确定出所求点的轨迹符合椭圆、双曲线、抛物线的定义，然后由题设求出方程中的系数。
例1、一动圆与圆1)1(:221=+-y x O 外切，与圆9)1(:222=++y x O 内切，求动圆圆心的轨迹的方程。
变式1、已知)0,22(),0,22(B A -为平面内两定点，动点P 满足2||||=+PB PA ，求动点P 的轨迹方程。
变式2、已知动圆P 与圆16)1(:22=++y x M 相切，且经过圆M 内的定点)0,1(N ，求动圆的圆心P 的轨迹方程。
变式3、已知定点)0,2(-A ，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上的一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程。
变式4、在平面直角坐标系xOy 中，已知动点)0)(,(≤y y x P 到点)2,0(-F 的距离为1d ，到x 轴的距离为2d ，且221=-d d ，求动点P 的轨迹方程。
方法二：待定系数法解法突破：本类问题是已经确定曲线类型为椭圆或其他图形，只需通过题中条件列方程组解方程组即可。
例2、设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，过点)1,6(),2,2(N M ，O 为坐标原点，求椭圆E 的标准方程。
变式1、已知抛物线y x 42=的焦点是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的一个顶点，且椭圆C 的离心率为23，求椭圆C 的标准方程。
变式2、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为4，且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率，求椭圆C 的标准方程。
变式3、已知椭圆)2(12:2>=+a a C 的左右焦点分别为21,F F ，点P 在第一象限内且在椭圆上，又2PF 与x 轴垂直，且51=⋅OP P F ，求椭圆C 的标准方程。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ．∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值b a ,：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线垂l 直于x 轴，且交椭圆于12422=+y x Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段l AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直l 于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解1=∙PB PA ．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为轴x ，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的x 两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为的重心ABC ∆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在轴上x 的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠A Q B ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
接下来，我们将推导椭圆的标准方程。
首先，设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为焦距。
设椭圆上任意一点为P（x,y），则根据椭圆的定义，有：\[PF_1 + PF_2 = 2a\]根据点到定点的距离公式，可以得到：\[\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[(x-c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2\]展开并整理得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2\]化简得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 + y^2\]消去相同的项并整理得到：\[4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 2cx\]两边平方得到：\[16a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = (4a^2 2cx)^2\]展开并整理得到：\[16a^2x^2 + 32a^2cx + 16a^2c^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2cx + 4c^2x^2\]化简得到：\[16a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2 4c^2x^2\]移项并整理得到：\[20a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2\]将等式两边同时除以16a^4得到：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(a^2 c^2)} = 1\]由于椭圆的半轴长满足a > c，所以可以令b = √(a^2 c^2)，代入得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]至此，我们成功推导出了椭圆的标准方程。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆的标准方程典型例题
典型例题一例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ． 因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．典型例题二例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．典型例题三例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．典型例题四例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2a 和2b ）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴， 所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．典型例题五例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，， 由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ② 则－①②2得αc o s12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan2αb =．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ． ⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，故0342=-+y x 即为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得()2222212221=+++y y x x ， ⑦ 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+， ⑧ 212222124y y y y y -=+， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．典型例题七例7 已知动圆P 过定点()03，-A ，并且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．典型例题八例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出m ．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*******22≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ． 解得0=m ．因此，所求直线的方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．典型例题九例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．典型例题十例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 分析：根据椭圆方程的特征求解．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．典型例题十一例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ． 因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．典型例题十二例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 说明：此类题目中已存在直角坐标系，所以就不用建立直角坐标系了，但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系．求椭圆的标准方程，一般是先定位（焦点位置），再定量（a ，b 的值），若椭圆的焦点位置确定，椭圆方程唯一；若椭圆的焦点位置不确定，既可能在x 轴，又可能在y 轴上，那么就分两种情况进行讨论．方法是待定系数法求椭圆的标准方程，求解时是分为根据椭圆的焦点在x 轴上或y 轴上确定方程的形式、根据题设条件列出关于待定系数a ，b 的方程组、解方程组求出a ，b 的值三个步骤，从而得到椭圆的标准方程．对此题而言，根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴，那么就分情况讨论，这种方法解此题较繁．另一种方法直接设出椭圆的方程，而不强调焦点在哪一个坐标轴上，即不强调2x 和2y 的系数哪一个大，通过解题，解得几种情况就是几种情况．在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候，可以根据焦点坐标，也可以根据准线方程．若不能确定焦点在哪一个坐标轴上，就用上述两种方法．典型例题十三例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ． 又因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则 m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ． (法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=． 说明：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：0<∆，无解则相离；0=∆，一解则相切；0>∆，两解则相交．直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦．典型例题十四例14 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ， 则20x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．这种题目还要注意题目的问法，是求“轨迹”还是求“轨迹方程”．若求轨迹方程，只要求出关于x ，y 的关系化简即可；若求轨迹，当求出轨迹方程后，还要说明由这种方程所确定的轨迹是什么．这在审题时要注意．典型例题十五例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( )A ．4B ．2C ．8D ．23 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．典型例题十六例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41． 由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ① ∴13821n x x =+． 于是1342210n x x x =+=，13124100n n x y =+-=， 即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +⨯=1344． 解得m n 413-=． ② 将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-⨯-=∆m m ． 解得1313213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-=，∴m m x -=-=)413(1340， m m m m x y 3413)(414134100-=--⨯-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --． ∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部， ∴13)3(4)(22<-+-m m ． 解得1313213132<<-m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．∵A ，B 在椭圆上，∴1342121=+y x ，1342222=+y x ． 两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ． ∴)(4321002121x x y x x x y y ≠-=--． 又∵直线l AB ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，∴144300-=⋅-y x ， 即003x y = ①又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用以下方法列参数满足的不等式：(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>∆，建立参数方程．(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，0x ，0y 满足不等式12020<+by a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等式． 典型例题十七例17 在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．分析：本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立．通过适当坐标系的建立，选择相应椭圆方程，再待定系数．适当坐标系的建立能达到简化问题的目的．解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ． 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x y c x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且 即)32,325(P ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键．建立适当坐标系，需对题设所给图形进行观察、分析，做好数与形的结合，本题也可以以MN 的中点为原点，MN 所在直线为y 轴建立直角坐标系，再求椭圆方程．典型例题十八例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ． ∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①36)4(4)8(22=-+-y x ②从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条， ∴所求直线方程为082=-+y x ．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1椭圆的一个顶点为02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A 为长轴端点时，2a ，1b ，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A 为短轴端点时，2b ，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223a c，∴3331e．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax ，由101222yaxy x ，得021222xa x a ，∴222112a a x x x M，2111ax y MM ，4112ax y k MM OM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522y x上不同三点11y x A ，，594，B ，22y x C ，与焦点04，F 的距离成等差数列．（1）求证821x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5a ，3b ，4c ．由圆锥曲线的统一定义知：ac x caAF 12，∴ 11545x ex a AF ．同理2545x CF ．∵ BF CFAF2，且59BF，∴ 51854554521x x ，即821x x ．（2）因为线段AC 的中点为2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为42212121xy y x x y y y．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为00，x ，代入上式，得21222124x x y y x 又∵点11y x A ，，22y x B ，都在椭圆上，∴ 212125259x y 222225259x y ∴ 21212221259x x x x y y．将此式代入①，并利用821x x 的结论得25364x ∴ 454059x k BT．典型例题五例5已知椭圆13422y x，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设11y x M ，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e ．∵左准线l 的方程是4x，∴14x MN．又由焦半径公式知：111212x ex a MF ，112212x ex a MF ．∵212MF MF MN ，∴11212122124x x x ．整理得048325121x x ．解之得41x 或5121x ．①另一方面221x ．②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设sin3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为2121xk y ．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxk kxk ．由韦达定理得22212122kkkx x ．∵P 是弦中点，∴121x x ．故得21k ．所以所求直线方程为0342y x ．分析二：设弦两端坐标为11y x ，、22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y ．解法二：设过2121，P 的直线与椭圆交于11y x A ，、22y x B ，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121y y x x y x yx ，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121x x y y ，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222by ax 求出1482a ，372b ，在得方程13714822yx 后，不能依此写出另一方程13714822xy ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222by ax 或12222bx ay ．由已知b a2．①又过点62，，因此有1622222ba或1262222ba．②由①、②，得1482a，372b或522a，132b．故所求的方程为13714822yx或1135222xy ．（2）设方程为12222by ax ．由已知，3c ，3c b ，所以182a．故所求方程为191822yx ．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222by ax 或12222bx ay ．典型例题八例8椭圆1121622yx的右焦点为F ，过点31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl ：．过A 作l AQ ，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2．显然MF AM 2的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3My ，且M 在椭圆上．故32M x ．所以332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为.sin cos 3yx ，设椭圆上的点的坐标为sincos 3，，则点到直线的距离为263sin226sin cos3d．当13sin时，22最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23e，已知点230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222by ax ，其中0b a 待定．由222222221ab ab a ac e 可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222yyby a yxd34213493342222byyyb其中b yb．如果21b，则当b y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾．因此必有21b 成立，于是当21y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得34722b ，可得1b ，2a．∴所求椭圆方程是11422yx．由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，，点213，到点230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincos b ya x ，其中0b a ，待定，20，为参数．由22222221ab ab aac e可得2143112eab ，即b a 2．设椭圆上的点y x ，到点230，P 的距离为d ，则22222223sin cos23b a yxd49sin3sin34222b b b 3421sin3222bbb 如果121b ，即21b，则当1sin 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得22237b，由此得21237b ，与21b矛盾，因此必有121b成立．于是当b 21sin 时2d （从而d ）有最大值．由题设知34722b，∴1b ，2a．∴所求椭圆的参数方程是sincos 2yx ．由21sin，23cos ，可得椭圆上的是213，，213，．典型例题十一例11设x ，R y，x y x 63222，求x yx 222的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222与椭圆方程的结构一致．设m xyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222，得123492322y x可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x 222，则1122m yx 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为11mm ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m ，此时0m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41m ，∴15m ．∴x yx222的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12已知椭圆012222baby axC ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ，求证：不论a 、b 如何变化，120APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120AQB，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB 和AQB 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x，b y，根据120AQB得到32222ayxay ，将22222y ba ax代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设0，c F ，0，a A ，0，a B ．abc P b a ya xb cx 2222222，于是a c a bk AP 2，aca b k BP2．∵APB 是AP 到BP 的角．∴2222242221tan ca ac a ba c ab ac a bAPB∵22ca∴2tan APB 故3tanAPB∴120APB ．（2）设y x Q ，，则ax y k QA ，ax y k QB．由于对称性，不妨设0y，于是AQB 是QA 到QB 的角．∴22222221tan ayxay ax y a x yax yAQB∵120AQB ，∴32222ayxay 整理得023222ay ayx∵22222yba ax∴0213222ay yba ∵0y ，∴2232caby∵b y ，∴bcab 2232232c ab，222234cca a ∴04444224a c a c，044324e e ∴232e或22e （舍），∴136e ．典型例题十三例13已知椭圆19822y kx 的离心率21e，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82ka，92b ，得12k c．由21e，得4k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92a ，82kb ，得k c12．由21e，得4191k，即45k ．∴满足条件的4k 或45k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(b，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222by bx，得b a 2，b c 3，23e．由椭圆定义，b a PF PF 4221，得b b b PF bPF 34421．由椭圆第二定义，e d PF 11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF 22，2d 为P 到右准线的距离，23ac e，∴b ePF d 33222．又椭圆两准线的距离为b c a 33822．∴P 到左准线的距离为b bb32332338．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆.sin 32,cos 4yx (为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3POx，求P 点坐标．分析：利用参数与POx 之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(P ，由P 与x 轴正向所成角为3，∴cos4sin 323tan，即2tan ．而0sin ，0cos，由此得到55cos，552sin ，∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222by a x )0(ba 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex ar ，02ex ar ．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线caxl 2：的距离，cax PQ 2，由椭圆第二定义，e PQPF 1，∴01ex a PQe r ，由椭圆第一定义，0122ex ar ar ．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA 的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2)求223PF PA的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62a ，)0,2(2F ，22AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221aPF PF ，22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA ，∴26222211AF aAF PF PF PF PA，等号仅当22AF PF PA时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02y x，解方程组4595,0222yxy x 得两交点)2141575,2141579(1P 、)2141575,2141579(2P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA取最小值26，P 点与2P 重合时，2PF PA取最大值26．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3a，2c ，∴32e．由椭圆第二定义知322ePQPF ，∴223PF PQ，∴PQ PAPF PA223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29x．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)sin2cos 3y x )(R ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(为矩形在第一象限的顶点，)2(，则122sin 12sin 2cos 34S 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222by ax （0ba ），),(11y x P （01y ）．思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212PFPF PFPFK K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，化简可得03233212121ccy y x ．又1221221by ax ，两方程联立消去21x 得0323412212bcy b y c ，由],0(1b y ，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF 的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF ，12ex a PF ，在21F PF 中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x ，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF 的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221求解．解：(法1)设椭圆方程为12222by ax （0ba），),(11y x P ，)0,(1c F ，)0,(2c F ，0c，则11ex a PF ，12ex a PF ．在21F PF 中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a ，解得2222134eacx．(1)∵],0(221a x ，∴2222340a eac ，即0422ac．∴21a c e．故椭圆离心率的取范围是)1,21[e ．(2)将2222134eacx 代入12222by ax 得24213cby ，即cby 321．∴22213332212121b cbcy F F S FPF ．即21F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF 1，n PF 2，12F PF ，21F PF ，则120．(1)在21F PF 中，由正弦定理得60sin 2sin sinc n m ．∴60sin 2sinsinc n m ∵a n m 2，∴60sin 2sinsin2c a ，∴2cos2sin260sin sinsin 60sin a c e212cos 21．当且仅当时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[e ．(2)在21F PF 中，由余弦定理得：60cos 2)2(222mn n m c mnnm22mnn m 3)(2∵a nm 2，∴mn a c 34422，即22234)(34b c a mn．∴23360sin 2121b mn SF PF ．即21F PF 的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20椭圆12222by ax )0(ba与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是sincos b ya x )0(ba，则椭圆上的点)sin ,cos (b a P ，)0,(a A ，∵AP OP，∴1cossin cossin aa b a b ，即0coscos)(22222ba b a，解得1cos或222cosb ab ，∵1cos1∴1cos （舍去），11222bab，又222cab∴2022ca ，∴22e，又10e ，∴122e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP．如何证明？。
例谈椭圆标准方程的求法
解题宝典椭圆的标准方程分为两种：（1）若椭圆的焦点在x轴上，则方程为x 2a 2+y 2b 2=1；若椭圆的焦点在y 轴上，则方程为y 2a 2+x 2b2=1，其中a 2-b 2=c 2，c 为椭圆的半焦距.要求椭圆的标准方程，往往要先确定焦点的位置，然后求得各个参数的取值.椭圆标准方程的求法很多，如定义法、待定系数法、直接法等.下面结合实例来进行探讨.一、定义法椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点之间的距离）的动点的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点.若发现某个未知曲线上的动点到两个定点的距离之和为常数，就要想到用定义法来解题.在用定义法解题时，要明确两个定点F 1、F 2之间的距离是椭圆的焦距，即||F 1F 2=2c ，动点P 到两定点的距离之和为2a ，其中c 2=a 2-b 2.求得参数a 、b 的值，即可求得椭圆的标准方程.例1.若△ABC 的三边a ,b ,c 成等差数列，且a >b >c ，A ,C 两点的坐标分别为(-1，0)、(1，0).试求顶点B 的轨迹.解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ，即：2||AC =||AB +|BC |，又||AC =2，则||BA +||BC =4，所以顶点B 的运动轨迹是椭圆，且椭圆的焦点是A ，C ，所以B 的轨迹方程为x 24+y 23=1，因为a >c ，即||BC >|AB |，所以(x -1)2+y 2>(x +1)2+y 2，解得：x <0，由于三角形的三个顶点不共线，所以x ≠-2，综上可知，点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1(-2<x <0).我们根据已知条件和椭圆的定义，确定顶点B 的轨迹是椭圆，其中A 、C 为椭圆的焦点，||BA +||BC =4，据此便可以确定椭圆标准方程中参数a 、c 的值，进而求得B 点的轨迹方程.二、待定系数法待定系数法是求椭圆标准方程的基本方法，一般适用于求解已知曲线是椭圆的问题.在运用待定系数法解题时，要先引入待定系数，根据焦点的位置设出椭圆的标准方程；然后将已知的点的坐标、关系式代入椭圆的方程中，求出参数的值.例2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且椭圆经过点P 1(6,1)，P 2(3,2)，试求椭圆的标准方程.解：设椭圆的方程为：mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )，由于椭圆经过点P 1(6,1)，P 2(3,2)，所以将这两点的坐标代入椭圆的方程，得：{6m +n =1，3m +2n =1，解得：ìíîïïm =19，n =13，可得椭圆的方程为：x 29+y 23=1.由于不确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上，所以用待定系数法，设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )，这样能避免分类讨论.三、直接法直接法是指直接从条件中获取信息，根据等量关系建立方程，求出椭圆的标准方程.在解题时，需重点研究题目中的等量关系，据此列出方程，再将方程中的其他变量消去，得到只含有动点坐标的方程，即可求得椭圆的标准方程.例3.若动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆x 24+y 22=1于A 、B 两点，P 在直线l 上，但是在线段AB 外，且||PA ∙||PB =1，求点P 的轨迹方程.解：设P (x ,y )，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意得：x =x 1=x 2，y 1+y 2=0，所以||PA =|y -y 1|，||PB =|y -y 2|，因为P 在椭圆外，所以y -y 1与y -y 2同号，则||PA ∙||PB =()y -y 1()y -y 2=y 2-()y 1+y 2y +y 1y 2=1,y 1y 2=-y 12=-2æèçöø÷1-x 124，可得y 2-2æèçöø÷1-x 24=1，即点P 的轨迹方程为x 26+y23=1(-2<x <2).根据题意设出P 、A 、B 的坐标，并明确三者之间的关系，便可采用直接法，将动点P 、A 、B 的坐标代入等量关系式||PA ∙||PB =1中，再消去A 、B 的坐标，即可得到动点P 的轨迹方程.相比较而言，待定系数法和直接法比较常用，直接法的适用范围较广.在求椭圆的方程时，同学们需选用合适的方法.（作者单位：江西省赣州市南康唐江中学）38Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的形状。
其次，我们需要知道椭圆的标准方程是什么。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
通过椭圆的标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状和大小。
接下来，我们来介绍如何求解椭圆的标准方程。
首先，我们需要知道椭圆的焦点坐标和长轴短轴长度。
如果我们已知椭圆的焦点坐标为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么我们可以通过这些信息来求解椭圆的标准方程。
椭圆的焦点坐标和长短轴长度可以通过椭圆的参数方程来求解。
椭圆的参数方程为：x = acosθ。
y = bsinθ。
其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
通过参数方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而确定椭圆的形状和大小。
通过参数方程得到椭圆上任意一点的坐标后，我们可以利用这些点的坐标来确定椭圆的标准方程。
具体来说，我们可以将参数方程中的x和y代入椭圆的标准方程中，然后整理得到标准方程的形式。
最后，我们需要验证求解得到的标准方程是否正确。
我们可以通过将椭圆上几个特殊点的坐标代入标准方程中，来验证标准方程是否成立。
如果代入后等式成立，那么我们求解得到的椭圆标准方程就是正确的。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的焦点坐标和长短轴长度，然后利用椭圆的参数方程来求解标准方程，最后通过验证来确定求解结果的正确性。
掌握了这些方法，我们就能准确地求解椭圆的标准方程。
求适合下列条件的椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程
椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆的标准方程为：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a>b。
现在我们来求适合下列条件的椭圆的标准方程：
条件一，椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
对于这个条件，我们可以得出椭圆的标准方程为：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
条件二，椭圆的长轴在x轴上，且长轴的长度为6，短轴的长度为4。
根据条件二，我们可以得出a=3，b=2，代入椭圆的标准方程中得：
x^2/9 + y^2/4 = 1。
条件三，椭圆上的一个焦点为(3,0)，且离心率为1/2。
根据条件三，我们可以得出椭圆的焦点坐标为(F1:3,0)，F2=(-3,0)，离心率
e=1/2，代入椭圆的离心率公式e=c/a中，得到c=a/2。
同时，根据椭圆的定义，c^2=a^2-b^2，代入c=a/2得到a^2/4=a^2-b^2，整理得到3a^2=4b^2。
综合条件二和条件三，我们可以得出适合条件的椭圆的标准方程为：
9x^2 + 16y^2 = 144。
通过以上分析，我们成功求得了适合条件的椭圆的标准方程。
在实际问题中，我们可以根据给定的条件，通过椭圆的定义和性质来求解椭圆的标准方程，从而解决实际问题。
希望本文对你有所帮助，如果有任何疑问或者其他数学问题，欢迎留言讨论。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程例1、已知B ，C 是平面内的两个定点，且||10BC =，ABC ∆的周长等于22，求顶点A 的一个轨迹方程。
例2、已知圆M ：22(2)36x y ++=，N （2,0），A 为圆M 上的动点，AN 的中垂线与AM 交于点P ，求点P 的轨迹方程。
例3、已知圆C 1：22(2)1x y -+=，圆C 2：22(2)81x y ++=，求与圆C 1外切且与C 2内切的圆M 的圆心M 的轨迹方程。
例4、长为9的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，M 在线段AB 上，且有2AM MB = ，求点M 的轨迹方程。
例5、已知椭圆C:221259x y +=的左，右焦点分别为12,F F ，点A ，B 都在椭圆C 上，且直线AB 过点1F ，①求2ABF ∆的周长。
②当1||3,AF =时记AF 1的中点为M ，求OM 的长(O 为原点)。
③求12AF F ∆的周长。
④当12AB F F ⊥时，求2ABF ∆的面积。
⑤若D 点坐标为（2,2），求1ADF ∆周长的最值。
例6、已知椭圆C :221259x y +=的左，右焦点分别为12,F F ， ①点P 在椭圆C 上且P 的横坐标等于2，求12||,||PF PF②动点M 在椭圆C 上，求12|M |||F MF ⋅的最大值。
练1、已知B ，C 是平面内的两个定点，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若有sin sin 2sin ,4C B A a +==，求顶点A 的一个轨迹方程。
练2、已知圆M ：22(1)25x y ++=，N （0,1），A 为圆M 上的动点，AN 的中垂线与AM 交于点P ，求点P 的轨迹方程。
练3、已知圆C 1：22(2)1x y +-=，圆C 2：22(2)49x y ++=，求与圆C 1外切且与C 2内切的圆M 的圆心M 的轨迹方程。
练4、长为9的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，M 在线段AB 上，且有12AM MB = ，求点M 的轨迹方程。
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椭圆标准方程的求法举例
一、定义法
例1．已知圆22
:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。
解：连结AN ，由NM NA =，得22NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22
221(0)x y a b a b
+=>>，222a =，22c =， 所以2a =，1c =，222
1b a c =-=。
因此，所求轨迹方程为2
212x y +=。
评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．
二、待定系数法
例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．
解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22
221x y a b
+=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-⎩
，，解之得2293.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．
三、轨迹法
例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为1414
，求动点P 的轨迹方程．
解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 14()14PA M P x y d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，|，由此得22(1)141414x y y ++=+． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=⨯，即22
11314
x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．
四、奇思妙解法
例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1
(02)32A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，求
该椭圆的标准方程
分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解答繁琐，而且还要舍去不符合题意的．但若设为22
1mx ny +=，则包含了焦点在x 轴上和焦点在y 轴上的两种情况，是一个很好的选择．
解：设所求的椭圆方程为221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，． ∵椭圆经过两点(02)A ，
和12B ⎛ ⎝，∴0411314m n m n ⨯+⨯=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．解得114
m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，． 故所求椭圆的标准方程为2
2
14y x +=． 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22
194
x y +=有相同焦点的椭圆方程． 分析：椭圆22
194
x y +=
的焦点为(．若设所求方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则比较麻烦．但若设为与椭圆22
194
x y +=共焦点的椭圆系方程221(4)94x y λλλ+=>-++就简单得多． 解：设所求椭圆方程为22
1(4)94x y λλλ
+=>-++． ∵椭圆过点(32)-，，∴94194λλ
+=++．解得1266λλ==-，（舍去）． 故所求椭圆的方程为22
11510
x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。