椭圆标准方程的求法举例

椭圆标准方程的求法举例

一、定义法

例1．已知圆22

:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。

解：连结AN ，由NM NA =，得22NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆， 设为22

221(0)x y a b a b

+=>>，222a =，22c =， 所以2a =，1c =，222

1b a c =-=。因此，所求轨迹方程为2

212x y +=。 评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．

二、待定系数法

例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．

解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22

221x y a b

+=(0)a b >>， 由题意得2222321a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-⎩

，，解之得2293.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．

三、轨迹法

例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为1414

，求动点P 的轨迹方程．

解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合 14()14PA M P x y d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，|，由此得22(1)141414x y y ++=+． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=⨯，即22

11314

x y +=为所求． 评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．

四、奇思妙解法

例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1

(02)32A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，，求

该椭圆的标准方程

分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解答繁琐，而且还要舍去不符合题意的．但若设为22

1mx ny +=，则包含了焦点在x 轴上和焦点在y 轴上的两种情况，是一个很好的选择．

解：设所求的椭圆方程为221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，． ∵椭圆经过两点(02)A ，

和12B ⎛ ⎝，∴0411314m n m n ⨯+⨯=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．解得114

m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，． 故所求椭圆的标准方程为2

2

14y x +=． 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆方程． 分析：椭圆22

194

x y +=

的焦点为(．若设所求方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则比较麻烦．但若设为与椭圆22

194

x y +=共焦点的椭圆系方程221(4)94x y λλλ+=>-++就简单得多． 解：设所求椭圆方程为22

1(4)94x y λλλ

+=>-++． ∵椭圆过点(32)-，，∴94194λλ

+=++．解得1266λλ==-，（舍去）． 故所求椭圆的方程为22

11510

x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。