第3章 模糊集合的度量

∑ ( A ( x ) ∧ B ( x )) ∑ ( A ( x ) ∨ B ( x ))
i =1 i i i =1 n i i
n
σMM
( A(x) ∧ B(x))dx ∫ ( A, B) = ∫ ( A(x) ∨ B(x))dx
a b a
b
• 格贴近度 设A, B∈F(X), 且A,B均非空集, SuppA≠X, SuppB≠X, 称如下定义的σ: F(X) × F(X) →[0, 1]为格 贴近度：
1 p
dM ( A, B) =
(∫
b
a
| A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 特别地, 当p=1时dM(A, B)称为模糊集A, B之间的海 明(Hamming)距离;当p=2时dM(A, B)称为模糊集A, B 之间的欧几里德(Euclid)距离。 • 有时为了方便, 需要限制模糊集间的距离为[0,1]中的 数, 因此定义相对Minkowski距离如下：
⎛ n p ⎞ d M w ( A , B ) = ⎜ ∑ w ( xi ) | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
dMw ( A, B) =
1 p
(∫
b
a
w( x) | A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 假设在无限论域X中有两个模糊集合A, B, 并且它们 的隶属函数都是连续的, 则绝对海明距离的几何意义 是两隶属函数间的面积:
3.1.2 贴近度
• 除了用距离来度量模糊集合之间关系的密切程度, 我 国学者汪培庄等人引入贴近度概念, 以表示两个模糊 集的接近程度。 • 定义3.1.3 若映射σ : F(X) ×F(X)→[0, 1]满足以下条 件：∀A, B, C∈F(X), • (1) σ(A, A)=1; • (2) σ(A, B)= σ(B, A); • (3) A⊆B⊆C⇒ σ(A, C)≤ σ(A, B)∧σ(B, C)。 • 则称σ为F(X)上的贴近度函数, σ(A, B)为A与B的“贴 近度 ” 。性质 (3) 描述了两个较 “ 接近 ” 的模糊集合的 贴近度也较大。
• dHw(A, B) • =0.5×|0.8−0.9|+ 0.23×| 0.4 −0.5|+0.27×|0.6−0.3| • =0.154。 • dHw(A, C) • =0.5×|0.8−0.6|+ 0.23×| 0.4 −0.6|+0.27×|0.6−0.5| • =0.173。 • 由于dHw(A, B)<dHw(A, C), 说明A, B两地环境比较相 近, 该农作物宜于移植到B地。
• 再讨论一个具体问题：假设有A, B两位顾客选购家 具, 并且他们主要考虑的因素是: • x1: 美观程度; x2: 耐用程度; x3: 价格高低。 • 在选购时, 两位顾客将根据自己的观点, 分别给这三 因素“评分”。事实上, 这种评分是模糊的, 用模糊数 学的术语讲, 是要确定对这些因素“满意”的隶属度。 然而, 由于两位顾客个人的经验、审美观、经济状 况等都可能不尽相同, 所以他们对某件家具的评分 结果很可能是不一致的, 比如:
• 定义3.1.1 设X={x1, x2, …, xn}或X=[a, b], A, B∈F(X), p为正实数。则称如下定义的dM(A, B)为A, B之间的 闵可夫斯基 (Minkowski) 距离:
⎛ n p ⎞ d M ( A , B ) = ⎜ ∑ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
• 例 以前面两顾客购家具为例, 求模糊集合A, B的距离。 • A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.7)}, • B={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)}。 • • • • • • (1) 海明绝对距离和相对距离分别为： dH(A, B) =|0.8−0.6|+|0.4 −0.6|+|0.7−0.5| =0.6, dH′(A, B)=dH(A, B)/3 = 0.2。 (2)欧几里得绝对和相对距离分别为： dE(A, B) =(|0.8−0.6|2+|0.4 −0.6|2+|0.7−0.5|2)½ =0.346, dE′(A, B)=dE(A, B)/3½= 0.1998。
• 前面给出的选购家具例子中的两模糊集合的格贴近 度为: • A·B=0.6∨0.4∨0.5=0.6, • A⊗B=0.8∧0.6∧0.7= 0.6。 • 故可得A与B的格贴近度为 • σ(A, B)=[0.6 +(1−0.6)]/2= 0.5。 • 这表示这两个模糊集合的贴近度不大也不小。 • 不同的贴近度形式各有其优点和缺点, 在实际应用中 应视具体情况合理选择。一般而言, 若隶属函数为连 续函数, 并且满足格贴近度条件时, 采用格贴近度在 计算上较简单。
3.1.1 模糊集合之间的距离
• 度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距 离来描述, 即距离越大, 关系越稀疏; 而距离越小, 关 系越密切。 • 若X={x1, x2, …, xn}, A∈F(X)。则: • A= (A(x1), A(x2), …, A(xn)) • 这时(A(x1), A(x2), …, A(xn))可解释为n维欧氏空间中 的点, 因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间 的距离。 • 当X=[a, b]时A(x)可解释为[a, b]上的有界函数, 从而 可使借鉴函数空间中距离的概念。
• • • • • • • •
定义3.2.1 设映射d:F(X)→[0, 1]满足条件： (1) d(A)=0当且仅当A∈P(X); (2) d(A)=1当且仅当 (A(x)=0.5, ∀x∈X); (3) 若 ∀ x∈X, A(x)≤B(x)≤0.5 或 A(x)≥B(x)≥0.5, 则 d(A)≤d(B)。 (4) d(A)=d(Ac), ∀A∈F(X)。 则称d为F(X)上的模糊度函数, d(A)称为模糊集A的 模糊度。 上述定义的(3), (4) 两个条件可替换成一个条件: (3′) 若 对 任 意 的 x∈X, |A(x)−0.5|≤|B(x)−0.5|, 则 d(A)≥d(B)。
研究生模糊数学
第三章
模糊集合的度量
3.1 模糊集之间的度量
• 在模糊数学实际应用中, 有时需要比较两个模糊集 合之间的差异或相近程度, 例如模糊数学在模糊识 别中的应用。 • 以计算机手写文字识别为例。若将一个标准方块字 分解成为许多小格子, 而这些小格子构成一个标准 字模集合, 所有标准字模集合组成了论域X。将用 手写的一个文字看成为该论域中的一个模糊集合 , 则手写文字识别问题便成为 : 此模糊集合与哪个标 准字模集合最接近? 这个问题需要涉及到模糊集之 间的距离概念。
⎛1 σ E ( A, B ) = 1 − ⎜ ⎝n
⎞ ( A ( x i ) − B ( x i )) ⎟ ∑ i =1 ⎠
n
2
1 2
⎛ 1 b ⎞ 2 ( A(x) − B(x)) dx ⎟ σ E ( A, B) = 1− ⎜ ∫ ⎝ b−a a ⎠
1 2
• 最大最小贴近度
σ MM ( A, B ) =
3.2 模糊度
• 对于经典集合, 能够明确地表明论域中哪些元素属于 集合, 而另一些元素不属于集合, 因此我们认为它们 都是“清晰”的。对于模糊集合, 上述清晰性已经不存 在了, 但有时又需要比较两个模糊集合中哪个模糊性 更大一些 , 这就需要一个量来度量一个模糊集合的 “模糊程度”, 从而产生了模糊度的概念。 • 直观地看来, 一个模糊集合的隶属度值在0.5附近时模 糊度最大; 当模糊集合退化为经典集合时(隶属度值 只取0或1), 模糊度最小。依据这些基本的准则, 可以 给出模糊度如下的形式化定义。
• • 顾客 A • 顾客 B
美观程度x1 0.8 0.6
耐用程度 x2 0.4 0.6
价格高低 x3 0.7 0.5
• 从而根据顾客A, B的评分可得到两个模糊集合: • A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.7)} • B={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)} • 如何描述顾客A, B的评分的接近程度呢？这就要涉 及到模糊集之间接近程度的度量问题。
• 满足上述定义的映射σ有很多种, 所以模糊集合接近 度的具体形式也不惟一, 下面介绍几种常用的贴近 度的具体定义。 • Hamming贴近度 设X={x1, x2, …, xn}或X=[a, b], A, B∈F(X), 称 如 下 定 义 的 σ : F(X)×F(X)→[0, 1] 为 Hamming贴近度：
1 ⎛ d M ′ ( A, B ) = ⎜ ⎝n
∑
n
i =1
⎞ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎠
p
1 p
b 1 ⎛ ⎞ p ′ d M ( A, B) 百度文库 ⎜ | A( x) − B( x) | dx ⎟ ∫ ⎝b−a a ⎠
1 p
• 定义3.1.2(加权距离) 设w:X→[0, 1]满足归一条件, 即 当 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b] 时 , ∑i=1nw(xi) =1 或 ∫abw(x)dx=1. 则称如下定义的dMw(A, B)为模糊集A, B 之间的加权闵可夫斯基距离:
1 n σ H ( A , B ) = 1 − ∑ | A ( xi ) − B ( xi ) | n i =1 1 b σ H ( A, B) = 1− | A(x) − B(x) | dx ∫ b−a a
• Euclid 贴近度 设 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b], A, B∈F(X), 称如下定义的 σ : F(X) ×F(X)→[0, 1] 为 Euclid贴近度：
• • • •
显然, (3), (4)⇒ (3′); (3′)⇒ (3)。下证(3′)⇒ (4)。 ∀A∈F(X)。因为 |A(x)−0.5|=|(1−A(x))−0.5|=|Ac(x)−0.5|, ∀x∈X 所 以 由 条 件 (3′) 得 d(A)≤d(Ac), d(Ac)≤d(A) 。 即 d(A) =d(Ac), ∀A∈F(X)。 • 上述定义的核心是: 模糊集合的隶属度越接近0.5就 越模糊。显然, 满足上述定义的映射有很多种, 所以 模糊度的具体形式是不惟一的。 • 当论域为有限集时, 下述定理给出一个模糊度的一般 构 造 方 法 (S. G. Loo, Measures of fuzziness, Cybernetica, 1977, 20(3): 201-210)。
• 例 欲将在A地生长良好的某农作物移植到B地或C地, 判断B, C两地哪里最适宜。 • 适当的气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件。 因而A, B, C三地的情况可以表示为论域X={x1(气温), x2(湿度), x3(土壤)}上的模糊集。 • 经测定A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.6)}, B={(x1, 0.9), (x2, 0.5), (x3, 0.3)}, C={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)}。设加权 系数为w=(0.5, 0.23, 0.27), 计算A与B, A与C的加权海 明距离如下：
σ L ( A, B) = ( A • B) ∧ (1 − A ⊗ B)
or = [( A • B) + (1 − A ⊗ B)]/ 2 where A • B = ∨ xi ∈X ( A( xi ) ∧ B( xi )), A ⊗ B = ∧ xi ∈X ( A( xi ) ∨ B( xi ))
• 例 设论域X={a, b, c, d, e, f}, 在X中有模糊集合 • A={(a, 0.6), (b, 0.8), (c, 1.0), (d, 0.8), (e, 0.6), (f, 0.4)}, B={(a, 0.4), (b, 0.6), (c, 0.8), (d, 1.0), (e, 0.8), (f, 0.6)}。 则A与B的内积与外积为: • A·B=(0.6∧0.4)∨(0.8∧0.6)∨(1.0∧0.8)∨(0.6∧0.8) ∨(0.4∧0.6)=0.4∨0.6∨0.8∨0.6∨0.4=0.8, • A⊗B=(0.6∨0.4)∧(0.8∨0.6)∧(1.0∨0.8)∧(0.6∨0.8) ∧(0.4∨0.6) • =0.4∧0.6∧0.8∧0.6∧0.4=0.6。 • 从而可得A与B的格贴近度为: • σ(A, B)=[0.8 +(1−0.6)]/2=0.6。