第3章 模糊集合的度量
第三章__模糊关系
第三章 模糊关系在第二章中介绍了模糊集合的基本概念，本章将进一步讨论集合之间，或集合中元素之间的模糊关系。
事实上，模糊关系是普通关系概念的扩展。
3.1 模糊关系基本概念由普通关系的讨论可知它们都是二值的，换言之，对于任意两个元素，在它们之间或者存在关系，或者不存在关系，两者必居且仅居其一。
这种关系适合于描述“清晰确定”的关系。
但是，在实际中，有不少关系很难简单的用“有”或“无”来衡量，而必须引入一定的量来表示两元素间具有这种关系的程度。
例如，正常人的身高与体重之间是有一定关系的，但这个关系是不清晰的。
譬如对于一个169厘米高的健康人来说，一般不能断定他的体重必定是多少，而只能根据正常人身高与体重的关系表估计他的体重大约是多少。
又如，正方形的四边是等长的，但在日常生活中，我们判断一个四边形物体的形状通常并不总是用尺子度量四条边后才给出是否为正方形的结论的。
当四条边的长度在一定范围内有差异时，很可能不同的人会得出不同的结论。
另外，“远远大于”、“充分小”等都是些“不清晰”的关系。
这类需要有描述关系程度的量来补充描述的关系就是模糊关系，而其中的关系程度通过隶属度来表示。
定义3-1 集合X 到集合Y 的一个“二元模糊关系”R 是给定论域X ×Y 中的模糊集合，并可记为：Y X R−→−模糊关系R 的隶属函数R （x , y ）是X ×Y 到实数区间[0 , 1]的一个映射。
特别的，当Y=X时，称R 为“论域X 中的模糊关系”。
对于任意x ∈X ，y ∈Y ，隶属函数R （x ，y ）事实上表示了x 、y 之间存在关系R 的程度。
在同一个论域上，可以存在着各种各样的模糊关系。
例如，在人与人的关系中，可以有“相互理解”、“友好”、“性格相似”、“程度相当”等模糊关系。
例3－1 设X 、Y 均为实数集合，对于任意x ∈X ，y ∈Y ，“x 远大于y ”是X 到Y 的一个模糊关系R ，它的隶属函数可以描述为：R （x ，y ）⎩⎨⎧-+≤-yx y x y x 12)/(1001[0例3－2 在医学上通常用公式体重（公斤）＝身高（厘米）－100来描述正常人的体重与身高间的关系。
模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量
模糊数学中的模糊拓扑与模糊度量模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学方法。
在现实世界中，许多问题往往不能用精确的数值进行描述，而是存在模糊性。
模糊拓扑和模糊度量是模糊数学中重要的两个概念，它们在解决模糊性问题和形式化模糊集合论中起着重要的作用。
一、模糊拓扑模糊拓扑是研究模糊空间和模糊集合之间关系的数学分支。
它将传统拓扑学中的集合、映射和连续性等概念推广到模糊集合上，以适应处理模糊性问题的需求。
模糊拓扑中的基本概念包括模糊邻域、模糊开集、模糊闭集等。
模糊邻域是模糊拓扑研究的核心概念之一。
传统拓扑学中的邻域是用确定的集合表示的，而模糊邻域则是用隶属函数表示的。
隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度，它可以是一个取值在[0,1]上的实函数。
模糊邻域的定义使得我们能够在不确定的情况下，通过隶属函数的取值确定元素在模糊集合中的位置关系。
模糊拓扑中的模糊开集和模糊闭集分别对应了传统拓扑学中的开集和闭集。
模糊开集是一个隶属函数，它描述了一个模糊集合中的元素在该开集中的隶属程度。
模糊闭集则是相对于模糊开集的补集，描述了元素不属于该闭集的程度。
通过模糊拓扑可以定义模糊收敛和模糊连通性等概念。
模糊收敛描述了模糊空间中一列模糊集合的极限行为，模糊连通性则描述了模糊拓扑空间中的连接性。
二、模糊度量模糊度量是模糊数学中描述模糊集合之间相似性和距离的度量方法。
传统度量空间中的距离公式无法直接用于模糊集合，因为模糊集合的元素隶属于集合的程度不是确定的，而是模糊的。
模糊度量的目标是通过定义一种适用于模糊集合的距离函数，来衡量模糊集合之间的相似性或距离。
模糊度量的定义通常基于模糊集合之间的集合运算和隶属函数的运算。
其中，模糊相似度度量是一种常见的度量方法，它可以通过计算模糊集合的交集和并集来衡量模糊集合之间的相似性。
除了模糊相似度度量外，还存在其他一些度量方法，如模糊欧氏距离、模糊马氏距离等。
这些度量方法通过将模糊集合的隶属函数映射到实数域上，从而实现模糊集合之间的距离计算。
智能控制第三章 模糊集合与模糊推理
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第三章 模糊集合与模糊推理
目录
1 3 2
模糊集合及其运算 模糊关系与模糊推理
3
基于规则库的模糊推理
3.1 模糊集合 设A是集合X到[0，1]的一个映射，A： X→[0，1]，x→A(x) 则称A是X上的模糊 集，A(x)称为模糊集A的隶属函数，或称 A(x)为x对模糊集A的隶属度。
一、 模糊关系的定义及表示方法 1.定义
设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡 尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系。 若 U = V，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R(x,y) = α，则称 x 与 y 具 有关系 R 的程度为 α。特别地： 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记 为0 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系， 记为 E
3.3 基于规则库的模糊推理
二、模糊推理的性质 性质一：
性质二：
3.3 基于规则库的模糊推理
三、模糊控制中的几种常用模糊推理
Mamdani 模糊推 理法 Larsen推理法
1
2
4
Zadeh 推理法
3
Takagi－Sugeno 模糊推理法
模糊控制中的几种常用模糊推理
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模糊集合运算法则
模糊集合运算法则模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型，它允许从集合中提取成员元素，以及使用模糊函数对多个集合之间进行运算，而且能够考虑运算结果的不确定性。
模糊集合运算法则也是一种测量数据归纳和推理的重要手段。
它的应用在很大程度上可以用于解决实际问题。
本文将介绍模糊集合运算法则的定义，以及它的几种应用。
一、模糊集合运算法则的定义模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型。
它研究的是具有特定元素的及其概率的模糊集合，以及它们之间的运算关系。
模糊集合运算法则是用来描述微妙的数学关系，给出了一种以概率定义的一组模糊集合的方法，并根据这组模糊集合的特征，构造一组运算关系，以便可以进行复杂的数学运算。
模糊集合运算法则的基本思想是：在模糊集合中，不同的元素有可能出现同一概率的元素，而不同的概率可以由不同的运算关系来表示，比如可以使用集合交、并、补和差运算表示。
使用模糊集合运算法则，就可以形成概率模型，以实现集合之间的运算，其中最重要的是模糊函数。
二、模糊集合运算法则的应用（1）多属性决策分析多属性决策分析是指利用多个指标分析决策问题。
使用模糊集合运算法则可以在模糊环境下进行多属性决策分析。
利用模糊函数可以得出多个指标之间的关系，以此来帮助做出合理的决策。
（2）模糊推理模糊推理是一种以概率推断的知识表示形式，是从特定假设及概率模型中推断出结论的过程。
模糊集合运算法则可以帮助计算各种概率，并利用模糊函数计算不同概率的结果，来帮助做出合理的推断。
（3）数据归纳模糊集合运算法则还可以用于数据归纳，即通过对模糊集合中的元素进行运算，来推断出新的信息。
这种方法可以用于统计抽样，计算概率等方面，可以很好地帮助收集和分析数据，以便更好地确定最优策略。
综上所以，模糊集合运算法则是一种有效的处理模糊环境下数据的工具，可以有效地解决实际问题。
模糊集合运算法则通过模糊函数来描述和处理模糊环境，分析数据归纳和推理，以及多属性决策分析等。
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一种基于模糊集合理论的数学方法，用于处理含有不确定性和模糊性的问题。
在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是两个核心概念。
一、模糊集合
模糊集合是对现实世界中不确定性和模糊性的数学描述。
与传统的集合论中的集合不同，模糊集合允许元素以不同的程度属于或不属于集合。
例子：假设我们要描述一个人的年龄，一般的集合描述方法是“20岁”或者“30岁”。
但是在模糊集合中，我们可以用隶属度函数来描述一个人的年龄，如“年轻”、“中年”、“老年”等。
二、隶属度函数
隶属度函数是衡量一个元素对于某个模糊集合的隶属程度的函数。
它定义了元素在0和1之间的值，代表了元素对于该模糊集合的属于程度。
例子：假设我们定义了一个模糊集合“年轻人”，它的隶属度函数可以表示为：
{1, 0≤x≤25
μ(x)= {
{50-2x, 25<x<37.5
其中x表示人的年龄，μ(x)表示年龄x对于“年轻人”的隶属度。
当x 为25岁时，μ(x)的值为1，表示完全属于“年轻人”；当x为37.5岁时，μ(x)的值为0，表示不属于“年轻人”。
通过隶属度函数，我们可以量化元素属于某个模糊集合的程度，从
而进行模糊推理和决策。
结语
模糊集合和隶属度函数是模糊数学中的重要概念，它们为处理现实
世界中的模糊和不确定性问题提供了有力的工具。
通过合理定义模糊
集合和隶属度函数，并运用模糊数学的方法，我们可以更好地处理模
糊问题，提高决策的准确性和可靠性。
模糊集合的模糊程度模糊熵
，所a以i bi*
故 B* A B
。
bi* bi
所
min(ai , bi ) bi*
B*是具有双重优化特征旳点，它既是离A近来旳B 旳子集，也是离B近来旳A旳子集A*:
d (B, F (2A)) d (B, A*) d (B, B*) d ( A, B*) M ( A) M ( A B)
图7.7
五、模糊集合间旳包括关系——包括度定理
d ( A, B) d ( A, B*) d (B, B*)
AB p
A B*
p
B* B p
n ai bi p n ai bi* p n bi* bi p
i 1
i 1
i 1
寻找B*(A位于F(2B)外):
经过F(2B)边线旳直线延伸，将 超立方体In分割成2n个超长方形。 他们分为混合旳或是纯旳主值隶属 度。非子集A1, A2 , A3, 分别位于 不同旳象限。经过F(2B）与A1, A3 旳范数距离，分别找到与西北和东 南象旳点A1, A3距离近来旳点B1* 和B3*。而离东北象限中旳点A2距 离近来旳点B*就是B本身。由此可 证得一般性勾股定理。且这种“正 交”优化情况表白d(A,B)就是lp直 角三角形旳斜边。
i 1
假定p=1，令ai mA( xi ), bi mB ( xi )
正交性表白： bi* ai
设 bi* a其i 充要条件是没有失配现
象发生，恒有
ai 。 bi 所以
max(0, ai bi ) 0 ai bi*
设 bi* 其ai 充要条件是有失配现象 发生，ai 这 b时i ，
bi* bi max(0, ai bi ) ai bi ai bi*
3), 4
模糊集合的运算与运用
模糊集合的运算与运用随着信息技术的飞速发展，模糊集合理论逐渐在各个领域得到广泛的应用。
模糊集合是一种用来处理不确定性和模糊性的数学工具，它的运算和应用可以帮助我们更好地理解和解决复杂问题。
本文将探讨模糊集合的基本概念、运算方法以及在不同领域的实际运用。
## 模糊集合的基本概念模糊集合是一种集合论的扩展，它允许元素具有不同程度的隶属度。
在传统的集合中，一个元素要么属于这个集合，要么不属于；但在模糊集合中，一个元素可以以一个0到1之间的值来表示其隶属度，0表示不属于，1表示完全属于，而在这两个极端之间的值表示不确定的隶属度。
例如，考虑一个集合“高矮”的情况，传统集合只能用“高”或“矮”来描述一个人的身高，而模糊集合可以使用0.7来表示某人的身高在“高矮”这个集合中的隶属度，这意味着这个人的身高在高和矮之间有一定的不确定性。
## 模糊集合的运算模糊集合的运算包括交集、并集、补集和差集等操作，与传统集合运算类似，但隶属度的考虑使得这些运算更加灵活和适用于处理模糊信息。
以下是一些基本的模糊集合运算：### 1. 交集模糊集合A和B的交集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最小值。
这可以用来表示两个模糊集合的共同特征。
### 2. 并集模糊集合A和B的并集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最大值。
这用于表示两个模糊集合的综合特征。
### 3. 补集模糊集合A的补集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于1减去A中对应元素的隶属度。
这可以用于表示与A相反的特征。
### 4. 差集模糊集合A和B的差集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A中对应元素的隶属度减去B中对应元素的隶属度。
这可以用于表示A相对于B的特征。
## 模糊集合的应用模糊集合理论在各种领域有着广泛的应用，包括人工智能、控制系统、决策分析、模式识别等。
以下是一些具体的应用示例：### 1. 模糊逻辑控制模糊逻辑控制是一种基于模糊集合的控制方法，它允许系统根据模糊规则来进行决策和控制，特别适用于那些难以用传统逻辑方法精确描述的系统，如温度控制、汽车驾驶等。
模糊逻辑中的模糊关系与模糊度量
模糊逻辑中的模糊关系与模糊度量在模糊逻辑中，模糊关系和模糊度量是两个核心概念。
它们帮助我们处理那些不确定和不精确的信息，并在现实世界中具有广泛的应用。
本文将从理论和应用两个方面来探讨模糊关系和模糊度量。
一、模糊关系1. 定义与性质模糊关系是指一种在数学上能够描述两个变量之间模糊联系的方法。
在模糊关系中，变量的取值不再是明确的“是”或“否”，而是介于0和1之间的一个实数。
这一实数表示了变量之间的模糊程度，越接近1表示变量之间的关系越强。
模糊关系具有三个基本性质：模糊自反性、模糊对称性和模糊传递性。
模糊自反性表示变量与其自身之间的关系，模糊对称性表示关系在两个变量之间是相互的，模糊传递性表示如果两个变量之间存在关系，那么它们之间的传递关系也是模糊的。
2. 结构与表示模糊关系可以通过矩阵或者图来表示。
在矩阵表示中，每个元素表示两个变量之间的模糊程度。
在图表示中，节点表示变量，边表示两个变量之间的模糊关系。
3. 运算与合成模糊关系之间可以进行多种运算，如交、并、补和合成等。
交运算表示两个模糊关系的最小值，即两个变量之间的最小模糊程度。
并运算表示两个模糊关系的最大值，即两个变量之间的最大模糊程度。
补运算表示取模糊关系的补集，即将模糊关系的模糊程度取反。
合成运算表示将多个变量的模糊关系进行组合，得到一个新的模糊关系。
二、模糊度量1. 定义与分类模糊度量是对模糊集合或模糊关系进行模糊程度评价的方法。
模糊度量可以分为基于特征、基于相似性和基于距离等多种类型。
基于特征的模糊度量是通过对模糊集合或模糊关系的特征进行评估，如模糊熵、模糊重要度等。
基于相似性的模糊度量是通过比较不同模糊集合或模糊关系之间的相似程度进行评估。
基于距离的模糊度量是通过计算不同模糊集合或模糊关系之间的距离进行评估。
2. 应用与意义模糊度量在模糊逻辑和模糊控制中有着广泛的应用。
在模糊控制中，模糊度量可以帮助我们评估模糊规则的条件和输出之间的模糊程度，从而确定控制器的行为。
模糊集合
设A、B为论域U上的模糊集 A=φ 对任何 u∈U，μA(u) = 0
A = B 对任何 u∈U，μA(u) =μB(u)
A ∪ B 对任何 u∈U，μA(u) ∨μB(u) A ∩ B 对任何 u∈U，μA(u) ∧μB(u) Ac 对任何 u∈U，1－μA(u)
1 Y x x[25,100] x[0,25]
[1 (
x 25 2 1 ) ] 5 x
x 50 2 1 [1 ( ) ] 0 5 O x x[50,100] x x[0,50]
二、模糊子集的运算
1、定义
定义模糊集合的运算方法，与定义普通集合的 运算方法一样，是利用参与模糊集合的隶属函 数来定义运算结果所得新模糊集合的隶属函 数。 两模糊集合的具体运算，实际上就是逐点地对 隶属度作相应的运算。包括： 交 并 补
2 1 0 x 25 c B 1 1 x 5 0 x 25 x 25 x 100
3、模糊集合运算性质
（1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; （2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; （3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B ∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
6、模糊集合的表示-无限集
当论域U为无限集时，A = ∫x∈U μA(x) / x
注意：这里的积分号不表示积分，也不表示求
和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个 总括。
这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等 各种情况。
模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算
模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算在模糊逻辑中，模糊程度是一个核心概念，它与模糊集合运算密切相关。
本文将探讨模糊逻辑中的模糊程度与模糊集合运算的关系，以及它们在实际应用中的重要性。
一、模糊逻辑与模糊集合概述在传统的布尔逻辑中，一个命题或者说一个陈述要么为真，要么为假，不存在其他可能性。
然而，在现实生活中，很多陈述并不具备确定的真假值，而是具有模糊性质。
模糊逻辑的提出正是为了处理这种模糊性。
模糊逻辑是一种多值逻辑，它引入了“模糊度”的概念，将命题的真假程度表示为0到1之间的连续值。
在模糊逻辑中，模糊程度是用来度量一个模糊命题的不确定性或者隶属度的重要概念。
模糊集合是模糊逻辑的重要工具，它是对现实世界中模糊性质的数学抽象。
模糊集合中的元素具有不完全的隶属度，可以同时隶属于多个集合。
模糊集合运算是对模糊集合进行操作和计算的方法，它包括并、交、补等运算。
二、模糊程度的度量方法在模糊逻辑中，有多种方法来度量一个命题的模糊程度。
下面介绍几种常用的方法：1. 二元关系法二元关系法是一种最为常用的度量模糊程度的方法。
通过建立元素和隶属函数之间的二元关系，来描述隶属度的程度。
通常使用模糊矩阵或者模糊图来表示这种关系。
2. 基于模糊集合的度量法基于模糊集合的度量法是根据模糊集合的属性和特性来度量模糊程度的方法。
例如，可以使用模糊熵、模糊方差等指标来度量模糊程度。
3. 基于模糊推理的度量法基于模糊推理的度量法通过推理过程来度量模糊命题的程度。
它将已知的事实和规则进行推理，得出一个模糊度的结果。
三、模糊程度与模糊集合运算的关系模糊程度与模糊集合运算密切相关，它们之间存在着协同作用。
在模糊逻辑中，模糊程度可以通过模糊集合运算进行增强或者减弱。
1. 模糊并运算模糊并运算是指将两个或多个模糊集合进行合并的操作。
在模糊并运算中，模糊程度通常是通过最大隶属度来确定的。
即对于模糊集合A和B，它们的并运算的模糊程度为max(A(x),B(x))。
第三章模糊综合评价法(FUZZY)
R (rij )m*n
（5）确定权数向量： A (a1, a2 ,, am ) 一种是由具有权威性的专家及具有代表性的人按 因素的重要程度来商定；另一种方法是通过数学 方法来确定。现在通常是凭经验给出权重 。 （6）选择适当的合成算法：常用算法：加权平均 法、最大隶属度法和主因素突出法（查德算子）。 加权平均型算法常用在因素集很多的情形，它可 以避免信息丢失；主因素突出型算法常用在所统 计的模糊矩阵中的数据相差很悬殊的情形，它可 以防止其中“调皮”的数据的干扰。
模糊数学的产生把数学的应用范围，从精 确现象扩大到模糊现象的领域，去处理复 杂的系统问题。模糊数学决不是把已经很 精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的 数学方法来处理过去无法用数学描述的模 糊事物。从某种意义上来说，模糊数学是 架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥 梁，通过它可以把多年积累起来的形式化 思维，也就是精确数学的一系列成果，应 用到复杂系统里去。
二、构造评价矩阵和确定权重
首先对指标集U中的单指标ui（i=1,2,…,m）作单指标 评判，就指标ui着眼，确定该事物对抉择等级 vj(j=1,2,…,n)的隶属度（可能性程度）rij，这样就得 出第i个因素ui的单指标评判集：
ri ri1 , ri 2 ,..., rin
这样，m个指标的评价集就构造成一个总的评 价矩阵R。
R中不同的行反映了某个被评价事物从不同的单指 标来看对各等级模糊子集的隶属程度。用模糊权 向量A将不同的行进行综合，就可得到该被评事物 从总体上来看对各等级模糊子集的隶属程度，即 模糊综合评价结果向量。 引入V上的一个模糊子集B，称模糊评价集，又称 决策集。B=（b1,b2,…bn）。 如何由R与A求B呢？一般地令B=A*R（*为算子符 号），称之为模糊变换。
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一门研究现实中模糊信息和不完全信息的数学理论。
在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是其核心概念之一。
一、模糊集合模糊集合是对现实世界中模糊或不确定概念的数学抽象。
与传统的集合理论不同，模糊集合并不要求元素的成员关系是确定的，而是通过隶属度函数来描述元素与集合的隶属关系。
一个元素可以同时隶属于多个模糊集合，并且隶属程度可以是连续的。
在模糊集合中，隶属度函数是描述元素与集合之间的隶属关系的数学函数。
它将元素映射到[0,1]的隶属度区间，表示元素与集合的隶属程度。
例如，对于一个模糊集合A来说，元素x的隶属度可以表示为μA(x)，其中μA(x)的取值范围为[0,1]。
二、隶属度函数隶属度函数是描述元素与模糊集合之间隶属关系的数学函数。
它是模糊集合理论中的重要工具，常用于描述概念的模糊性和不确定性。
常见的隶属度函数包括三角形隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。
三角形隶属度函数通过一个三角形的边界来表示元素的隶属度，具有对称性和简单性。
梯形隶属度函数通过一个梯形的边界来表示元素的隶属度，可以更精确地描述元素的隶属度。
高斯隶属度函数使用高斯曲线来表示元素的隶属度，具有光滑性和非对称性。
隶属度函数的选择需要根据具体情况来确定，可以根据实际需求和数学模型来选择最合适的隶属度函数。
三、模糊集合与隶属度函数的应用模糊集合与隶属度函数在实际应用中具有广泛的应用价值。
它们被广泛应用于模糊控制、人工智能、模式识别、决策分析等领域。
在模糊控制中，模糊集合与隶属度函数用于描述输入与输出之间的模糊关系，通过定义模糊规则和模糊推理来实现对系统的控制。
在人工智能中，模糊集合与隶属度函数用于处理模糊和不完全信息，进行模糊推理和模糊分类。
在模式识别中，模糊集合与隶属度函数用于进行特征提取和模式匹配，提高系统对不确定性和噪声的适应能力。
在决策分析中，模糊集合与隶属度函数用于处理决策变量的不确定性和模糊性，提供决策的支持和评估。
模糊逻辑中的模糊关系与模糊度量方法
模糊逻辑中的模糊关系与模糊度量方法在模糊逻辑中，模糊关系与模糊度量方法是非常重要的概念。
本文将介绍模糊关系的基本概念，以及常用的模糊度量方法。
一、模糊关系的概念模糊关系是指在模糊集合的基础上，通过模糊集合上的运算来建立起来的关系。
与传统的二值关系（如等于、不等于等）不同，模糊关系中的元素之间的关系不再是唯一确定的，而是通过模糊集合的隶属度来描述的。
在模糊关系中，有两个基本概念：模糊集合和隶属度函数。
模糊集合是指每个元素都有一定的隶属度，表示该元素与该集合的关系的强度。
隶属度函数则是用来描述元素与模糊集合之间的隶属关系的函数，通常用一个曲线来表示。
二、模糊度量方法模糊度量方法是用来评估模糊关系中元素之间的模糊程度的方法。
常用的模糊度量方法有以下几种：1.隶属度平均法隶属度平均法是指将模糊关系中每个元素的隶属度进行平均，得到整个模糊关系的模糊度量值。
这种方法简单直观，适用于一般情况。
2.隶属度方差法隶属度方差法是指将模糊关系中每个元素的隶属度与平均隶属度的差值进行平方，并求和得到方差值作为模糊度量值。
这种方法可以衡量模糊关系中元素之间的差异程度。
3.最大隶属度法最大隶属度法是指选择模糊关系中隶属度最大的元素作为模糊度量值。
这种方法适用于希望忽略其他元素的情况，只关注最强的隶属度。
4.模糊熵法模糊熵法是指通过隶属度的分布情况来评估模糊关系的模糊度量值。
具体来说，可以通过计算隶属度的熵值来衡量模糊关系中的不确定性程度。
通过以上的模糊度量方法，可以对模糊关系进行量化分析，帮助人们更好地理解和应用模糊逻辑。
总结：模糊关系与模糊度量方法是模糊逻辑中的重要概念。
模糊关系通过模糊集合和隶属度函数来描述元素之间的关系，而模糊度量方法则可以评估模糊关系的模糊程度。
在实际应用中，选择合适的模糊度量方法可以帮助人们更好地理解和分析复杂模糊关系的特性。
模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算
模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算随着人工智能技术的飞速发展，模糊系统在各个领域得到了广泛的应用。
如何准确地描述和计算模糊问题，是模糊系统设计的重要问题。
本文将从模糊度量和相似度计算两个方面探讨模糊系统设计中的关键问题。
一、模糊度量模糊度量是衡量模糊集合内各元素与模糊概念的近似程度的一个指标，也是模糊系统中一个很重要的概念。
1.概念模糊度量的概念是对模糊概念的度量。
模糊概念是指对于一个事物或者一种现象的特征，人们并不能确定其具体的数值或者精确的界限范围，只能依据人的主观经验和感觉模糊地描述该事物或者现象。
2.计算方法常见的模糊度量方法有隶属度函数法、模糊熵法、信息熵法和灰色关联度法等。
隶属度函数法是指根据每个元素对一个模糊概念的隶属度定义模糊集合，通过计算隶属度函数的值来度量模糊集合内各元素与模糊概念的近似程度。
模糊熵法是指通过熵的概念来度量模糊度量的大小，熵的值越大则模糊度量越大，即模糊集合内不确定性程度越高。
二、相似度计算在模糊系统设计中，常常需要对模糊概念进行相似度计算，以便对不同的模糊概念进行综合评价或者进行分类和判别等操作。
1.概念相似度度量是用来刻画两个模糊概念之间的相似或者相异程度的一个指标。
当两个模糊概念之间的相似度达到一定的阈值时，就判定它们是相似的，否则就认为它们是不相似的。
2.计算方法常见的相似度计算方法有基于隶属度函数的相似度计算法和基于模糊熵的相似度计算法。
基于隶属度函数的相似度计算法是指根据模糊集合中各个元素对各个模糊概念的隶属度对隶属度函数进行计算，并将其转换成相似度进行度量。
基于模糊熵的相似度计算法是利用模糊熵的概念来度量模糊概念之间的相似度，当模糊概念之间的熵值越接近，则它们的相似度就越高。
结论模糊系统设计中的模糊度量和相似度计算是模糊系统设计中不可或缺的两个方面。
随着计算机技术的快速发展，模糊系统在各个领域的应用也会越来越多。
因此，对模糊度量和相似度计算进行深入研究，对于优化模糊系统的性能和拓展其应用具有重要意义。
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理的概念与原理
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理的概念与原理模糊逻辑是一种基于模糊集合和模糊推理的数学理论，用于处理存在不确定性和模糊性的问题。
在许多实际应用中，我们常常遇到一些无法精确描述或者没有明确边界的问题，这时候，传统的二值逻辑就显得力不从心了。
模糊逻辑的提出正是为了解决这类模糊和不确定性问题，使我们能够更好地进行推理和决策。
一、模糊集合的概念与原理模糊集合是模糊逻辑的基础，它是一种用来描述模糊性的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素并不只有两种可能，而是存在程度上的模糊和不确定性。
模糊集合使用隶属度函数来表示每个元素与集合的关系强弱程度。
隶属度函数取值范围在[0,1]之间，表示该元素与集合的隶属度。
隶属度为0表示该元素不属于集合，隶属度为1表示该元素完全属于集合。
模糊集合的运算包括模糊交、模糊并、模糊补等。
模糊交运算是指两个模糊集合相交后得到的模糊集合，其隶属度函数取两个模糊集合对应元素隶属度函数的最小值。
模糊并运算是指两个模糊集合并集后得到的模糊集合，其隶属度函数取两个模糊集合对应元素隶属度函数的最大值。
模糊补运算是指对一个模糊集合中的每个元素的隶属度进行取反，得到的新模糊集合。
二、模糊推理的概念与原理模糊推理是模糊逻辑的关键部分，它是通过模糊集合的运算和推理规则来推导出模糊结论的过程。
模糊推理的基本框架是模糊推理机，它由模糊集合和模糊规则库组成。
模糊规则库是一组由若干种模糊条件和结论组成的规则集合。
每条规则包含一个或多个模糊条件和一个模糊结论。
通过对输入的模糊条件进行匹配，模糊推理机可以得出一组模糊结论，然后通过模糊集合的运算来合并这些模糊结论，最终得到一个模糊输出。
模糊推理的主要方法有模糊推理法则和模糊推理网络。
模糊推理法则是一种基于模糊规则的推理方法，通过将输入的模糊条件与规则库中的规则进行匹配，得到一组模糊结论，然后通过运算得到最终的输出。
模糊推理网络是一种基于神经网络的推理方法，通过对输入信号的加权求和和激活函数的处理，得到最终的模糊输出。
模糊控制的数学基础-3(3-16至3-30)模糊推理与模糊度量
3.Fuzzy 函数与Fuzzy 变量综上所述，我们可以在[0,1]闭区间上将Fuzzy 函数分成n 个有限等级。
再采用多值逻辑方法来处理Fuzzy 逻辑的问题。
以n=2为例加以分析n=2时，分成两级：第一级11≤≤x a ，第二级：10a x note ：这里虽然分为两级，但x 并不是二值变量。
假定给出Fuzzy 函数表达式为：------⋅⋅∨⋅∨⋅⋅=z y x y x z y x z y x f ),,(试问，当Fuzzy 函数处在第一级，即当1),,(1a z y x f ≥≥时，Fuzzy 变量x.,y ,z 应在什么范围内取值？这类问题是，已知Fuzzy 函数所处的等级，来求Fuzzy 变量的范围。
根据Fuzzy 函数的定义和基本公式，容易确定满足上述条件的x,y ,z 的范围。
方法如下： f(x,y ,z)≥1a 1a z y x ≥⋅⋅∴-必有 ① or 1a y x ≥⋅--② or 1a z y x ≥⋅⋅---③对①②③式再分解，如对①分解为：≥x 1a 与1a y ≥-与1a z ≥ 将1a y ≥-改写为 11a y -≤对②③同样处理，最后给出满足------⋅⋅∨⋅∨⋅⋅=z y x y x z y x z y x f ),,(的x,y ,z 的范围为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≥1111az a y a x or ⎩⎨⎧-≤-≤1111a y a x or ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-≤111111az a y a x 若已知Fuzzy 变量的范围，也可以推出Fuzzy 函数的表达式。
e.g.1如果Fuzzy 变量x,y ,z 满足如下逻辑条件，即⎩⎨⎧≥-≤111a ya x or ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤11111az a y a x or⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥≥1111az a y a x 试求属于第一级的Fuzzy 函数。
解：按题意，若Fuzzy 函数属于第一级，则必须满足()1..a z y x f ≥∴----⋅⋅∨⋅⋅∨⋅=zy x z y x y x z y x f ),,(作业2.e.g.2如果Fuzzy 变量x,y ,z 满足下列条件，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-≤-≤1111111az a z a y a x 或 or ⎩⎨⎧≥-≤111a z a x 试求在第一级的，即()1..a z y x f ≥的Fuzzy 函数 解：按题意，()1..a z y x f ≥∴()()zx z z y x z y x f ⋅∨∨⋅⋅=..五．Fuzzy 语言语言是思维的物质外壳，思维是语言的内容。
第3章_模糊集合的度量_PPT
3.1.1 模糊集合之间的距离
• 度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距 离来描述, 即距离越大, 关系越稀疏; 而距离越小, 关 系越密切。 • 若X={x1, x2, …, xn}, A∈F(X)。则: • A= (A(x1), A(x2), …, A(xn)) • 这时(A(x1), A(x2), …, A(xn))可解释为n维欧氏空间中 的点, 因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间 的距离。 • 当X=[a, b]时A(x)可解释为[a, b]上的有界函数, 从而 可使借鉴函数空间中距离的概念。
1 ⎛ d M ′ ( A, B ) = ⎜ ⎝n
∑
n
i =1
⎞ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟( A, B) = ⎜ | A( x) − B( x) | dx ⎟ ∫ ⎝b−a a ⎠
1 p
• 定义3.1.2(加权距离) 设w:X→[0, 1]满足归一条件, 即 当 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b] 时 , ∑i=1nw(xi) =1 或 ∫abw(x)dx=1. 则称如下定义的dMw(A, B)为模糊集A, B 之间的加权闵可夫斯基距离:
⎛ n p ⎞ d M w ( A , B ) = ⎜ ∑ w ( xi ) | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
dMw ( A, B) =
1 p
(∫
b
a
w( x) | A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 假设在无限论域X中有两个模糊集合A, B, 并且它们 的隶属函数都是连续的, 则绝对海明距离的几何意义 是两隶属函数间的面积:
• 定义3.1.1 设X={x1, x2, …, xn}或X=[a, b], A, B∈F(X), p为正实数。则称如下定义的dM(A, B)为A, B之间的 闵可夫斯基 (Minkowski) 距离:
第3章模糊集合的度量∑∫∑∫∑∫b
1. Hamming 贴近度 若 X = {x1, x2, …, xn}，则
若 X = [a, b]，则
∑ N ( A,
B)
=1−
1 n
n i =1
|
A(xi )
−
B(xi ) |
-4-
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
2. Euclid 贴近度
∫ N (A, B) = 1− 1
b
| A(x) − B(x) | dx
n
∑ d ( A, B) = | A(xi ) − B(xi ) |2 i =1
而正方形 I 中两点间的距离最大为 d (∅, X ) = 2 ，于是有
1
∑ d2 ( A, B)
=
d ( A, B) d (∅, X )
=
⎜⎛ ⎝
1 n
n i =1
|
A(xi ) −
B(xi ) |2
⎟⎞ 2 ⎠
图 1 正方形中两点间的 Euclid 距离
定义 2 设 X = {x1, x2, …, xn} 或 X = [a, b]，A, B∈F (X)，p 为正实数。若
∑ ∫ n w( xi ) = 1 或者
i =1
b
w(x)dx = 1
a
则称
1
∑ d wp
(
A,
B)
=
⎜⎛ ⎝
n i =1
w(
xi
)
|
A(
xi
)
−
B(
xi
)
|p
⎟⎞ ⎠
p
1
∫ dwp ( A, B) = ⎜⎝⎛
(3) A ⊆ B ⊆ C ⇒ N(A, C) ≤ N(A, B) ∧ N(B, C) 则称 N(A, B) 为模糊集 A 与 B 的贴近度，称 N 为 F (X) 上的贴近度函数。
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• • • •
显然, (3), (4)⇒ (3′); (3′)⇒ (3)。下证(3′)⇒ (4)。 ∀A∈F(X)。因为 |A(x)−0.5|=|(1−A(x))−0.5|=|Ac(x)−0.5|, ∀x∈X 所 以 由 条 件 (3′) 得 d(A)≤d(Ac), d(Ac)≤d(A) 。 即 d(A) =d(Ac), ∀A∈F(X)。 • 上述定义的核心是: 模糊集合的隶属度越接近0.5就 越模糊。显然, 满足上述定义的映射有很多种, 所以 模糊度的具体形式是不惟一的。 • 当论域为有限集时, 下述定理给出一个模糊度的一般 构 造 方 法 (S. G. Loo, Measures of fuzziness, Cybernetica, 1977, 20(3): 201-210)。
3.2 模糊度
• 对于经典集合, 能够明确地表明论域中哪些元素属于 集合, 而另一些元素不属于集合, 因此我们认为它们 都是“清晰”的。对于模糊集合, 上述清晰性已经不存 在了, 但有时又需要比较两个模糊集合中哪个模糊性 更大一些 , 这就需要一个量来度量一个模糊集合的 “模糊程度”, 从而产生了模糊度的概念。 • 直观地看来, 一个模糊集合的隶属度值在0.5附近时模 糊度最大; 当模糊集合退化为经典集合时(隶属度值 只取0或1), 模糊度最小。依据这些基本的准则, 可以 给出模糊度如下的形式化定义。
3.1.1 模糊集合之间的距离
• 度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距 离来描述, 即距离越大, 关系越稀疏; 而距离越小, 关 系越密切。 • 若X={x1, x2, …, xn}, A∈F(X)。则: • A= (A(x1), A(x2), …, A(xn)) • 这时(A(x1), A(x2), …, A(xn))可解释为n维欧氏空间中 的点, 因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间 的距离。 • 当X=[a, b]时A(x)可解释为[a, b]上的有界函数, 从而 可使借鉴函数空间中距离的概念。
• dHw(A, B) • =0.5×|0.8−0.9|+ 0.23×| 0.4 −0.5|+0.27×|0.6−0.3| • =0.154。 • dHw(A, C) • =0.5×|0.8−0.6|+ 0.23×| 0.4 −0.6|+0.27×|0.6−0.5| • =0.173。 • 由于dHw(A, B)<dHw(A, C), 说明A, B两地环境比较相 近, 该农作物宜于移植到B地。
⎛1 σ E ( A, B ) = 1 − ⎜ ⎝n
⎞ ( A ( x i ) − B ( x i )) ⎟ ∑ i =1 ⎠
n
2
1 2
⎛ 1 b ⎞ 2 ( A(x) − B(x)) dx ⎟ σ E ( A, B) = 1− ⎜ ∫ ⎝ b−a a ⎠
1 2
• 最大最小贴近度
σ MM ( A, B ) =
Hale Waihona Puke σ L ( A, B) = ( A • B) ∧ (1 − A ⊗ B)
or = [( A • B) + (1 − A ⊗ B)]/ 2 where A • B = ∨ xi ∈X ( A( xi ) ∧ B( xi )), A ⊗ B = ∧ xi ∈X ( A( xi ) ∨ B( xi ))
• 例 设论域X={a, b, c, d, e, f}, 在X中有模糊集合 • A={(a, 0.6), (b, 0.8), (c, 1.0), (d, 0.8), (e, 0.6), (f, 0.4)}, B={(a, 0.4), (b, 0.6), (c, 0.8), (d, 1.0), (e, 0.8), (f, 0.6)}。 则A与B的内积与外积为: • A·B=(0.6∧0.4)∨(0.8∧0.6)∨(1.0∧0.8)∨(0.6∧0.8) ∨(0.4∧0.6)=0.4∨0.6∨0.8∨0.6∨0.4=0.8, • A⊗B=(0.6∨0.4)∧(0.8∨0.6)∧(1.0∨0.8)∧(0.6∨0.8) ∧(0.4∨0.6) • =0.4∧0.6∧0.8∧0.6∧0.4=0.6。 • 从而可得A与B的格贴近度为: • σ(A, B)=[0.8 +(1−0.6)]/2=0.6。
• • 顾客 A • 顾客 B
美观程度x1 0.8 0.6
耐用程度 x2 0.4 0.6
价格高低 x3 0.7 0.5
• 从而根据顾客A, B的评分可得到两个模糊集合: • A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.7)} • B={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)} • 如何描述顾客A, B的评分的接近程度呢？这就要涉 及到模糊集之间接近程度的度量问题。
⎛ n p ⎞ d M w ( A , B ) = ⎜ ∑ w ( xi ) | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
dMw ( A, B) =
1 p
(∫
b
a
w( x) | A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 假设在无限论域X中有两个模糊集合A, B, 并且它们 的隶属函数都是连续的, 则绝对海明距离的几何意义 是两隶属函数间的面积:
• 例 欲将在A地生长良好的某农作物移植到B地或C地, 判断B, C两地哪里最适宜。 • 适当的气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件。 因而A, B, C三地的情况可以表示为论域X={x1(气温), x2(湿度), x3(土壤)}上的模糊集。 • 经测定A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.6)}, B={(x1, 0.9), (x2, 0.5), (x3, 0.3)}, C={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)}。设加权 系数为w=(0.5, 0.23, 0.27), 计算A与B, A与C的加权海 明距离如下：
• 定义3.1.1 设X={x1, x2, …, xn}或X=[a, b], A, B∈F(X), p为正实数。则称如下定义的dM(A, B)为A, B之间的 闵可夫斯基 (Minkowski) 距离:
⎛ n p ⎞ d M ( A , B ) = ⎜ ∑ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1 p
dM ( A, B) =
(∫
b
a
| A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 特别地, 当p=1时dM(A, B)称为模糊集A, B之间的海 明(Hamming)距离;当p=2时dM(A, B)称为模糊集A, B 之间的欧几里德(Euclid)距离。 • 有时为了方便, 需要限制模糊集间的距离为[0,1]中的 数, 因此定义相对Minkowski距离如下：
• 例 以前面两顾客购家具为例, 求模糊集合A, B的距离。 • A={(x1, 0.8), (x2, 0.4), (x3, 0.7)}, • B={(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 0.5)}。 • • • • • • (1) 海明绝对距离和相对距离分别为： dH(A, B) =|0.8−0.6|+|0.4 −0.6|+|0.7−0.5| =0.6, dH′(A, B)=dH(A, B)/3 = 0.2。 (2)欧几里得绝对和相对距离分别为： dE(A, B) =(|0.8−0.6|2+|0.4 −0.6|2+|0.7−0.5|2)½ =0.346, dE′(A, B)=dE(A, B)/3½= 0.1998。
3.1.2 贴近度
• 除了用距离来度量模糊集合之间关系的密切程度, 我 国学者汪培庄等人引入贴近度概念, 以表示两个模糊 集的接近程度。 • 定义3.1.3 若映射σ : F(X) ×F(X)→[0, 1]满足以下条 件：∀A, B, C∈F(X), • (1) σ(A, A)=1; • (2) σ(A, B)= σ(B, A); • (3) A⊆B⊆C⇒ σ(A, C)≤ σ(A, B)∧σ(B, C)。 • 则称σ为F(X)上的贴近度函数, σ(A, B)为A与B的“贴 近度 ” 。性质 (3) 描述了两个较 “ 接近 ” 的模糊集合的 贴近度也较大。
1 n σ H ( A , B ) = 1 − ∑ | A ( xi ) − B ( xi ) | n i =1 1 b σ H ( A, B) = 1− | A(x) − B(x) | dx ∫ b−a a
• Euclid 贴近度 设 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b], A, B∈F(X), 称如下定义的 σ : F(X) ×F(X)→[0, 1] 为 Euclid贴近度：
• 前面给出的选购家具例子中的两模糊集合的格贴近 度为: • A·B=0.6∨0.4∨0.5=0.6, • A⊗B=0.8∧0.6∧0.7= 0.6。 • 故可得A与B的格贴近度为 • σ(A, B)=[0.6 +(1−0.6)]/2= 0.5。 • 这表示这两个模糊集合的贴近度不大也不小。 • 不同的贴近度形式各有其优点和缺点, 在实际应用中 应视具体情况合理选择。一般而言, 若隶属函数为连 续函数, 并且满足格贴近度条件时, 采用格贴近度在 计算上较简单。
1 ⎛ d M ′ ( A, B ) = ⎜ ⎝n
∑
n
i =1
⎞ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎠
p
1 p
b 1 ⎛ ⎞ p ′ d M ( A, B) = ⎜ | A( x) − B( x) | dx ⎟ ∫ ⎝b−a a ⎠
1 p
• 定义3.1.2(加权距离) 设w:X→[0, 1]满足归一条件, 即 当 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b] 时 , ∑i=1nw(xi) =1 或 ∫abw(x)dx=1. 则称如下定义的dMw(A, B)为模糊集A, B 之间的加权闵可夫斯基距离: