2019年高中数学极坐标方程知识点总结题型汇总

极坐标方程

创作时间： 2019.1

【学习目标】

1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．

2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】

要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义

（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 轴旋 2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的

极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：

（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．

（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）

（其中n 为整数）．

一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．

如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标

（1）同一个点：如极坐标系中点4,

6π⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，4,26π

π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,

26k π

π⎛

⎫

+ ⎪⎝

⎭

（k ∈Z ）都表示点4,

6π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）

（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示． 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,

6π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

、4,

3π⎛⎫

⎪⎝

⎭

、4,

2π⎛⎫

⎪⎝

⎭

，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为

圆心，以ρ为半径的圆．

（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-）

，关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，π

θ-）

． （4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式

设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则22

12121212||2cos()PP ρρρρθθ=+--．

特例：当1

2θθ=，1212||||P P ρρ-=-．

要点二、极坐标与直角坐标的互化

1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同

2、互化公式

如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，

则①极坐标化直角坐标：

cos ,sin x y ρθρθ==

②直角坐标化极坐标：2

22,tan (0)y

x y x x

ρθ=+=

≠ 这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释： 由2

22x y ρ

=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)y

x x

θ=

≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan y

x

θ=

按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值；（2）当

x=0，y ＞0时，可取2

π

θ

=

；（3）当x=0，y ＜0时，可取32

π

θ=

．

要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念

（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的

极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线

C 的极坐标方程．

在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程

(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．

要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ

θ

=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一

个极坐标9,44ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是

否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．

2. 求曲线极坐标方程的步骤．

①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．

②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．

要点诠释：

（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系． （2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρ

ρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．

（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；

若()()ρθρπθ=

-，则图形关于射线2

π

θ=

所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称．

3．圆的极坐标方程

（1）圆心在极轴上且过极点的圆

圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆

上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得

2cos a ρθ=．

坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=．

也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．

如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2

+y 2

=a 2

，