平面向量的数乘运算的坐标表示教学课件
2022版新教材数学必修第二册人教A版课件-6.3.4-平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在 北京 700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中 轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题 1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【解析】设P(x，y)，则O→P ＝(x，y)， 因为O→B ＝(4，4)，且O→P 与O→B 共线， 所以4x ＝y4 ，即x＝y. 又A→P ＝(x－4，y)，A→C ＝(－2，6)，且A→P 与A→C 共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0， 解得x＝y＝3， 所以P点的坐标为(3，3).
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？ ②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线 CD吗？
【解析】①因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，A→C ＝(1－(－1)，5－(－1)) ＝(2，6)， 所以 2×4－2×6≠0，所以A→B 与A→C 不共线， 所以 A，B，C 不共线， ②因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， C→D ＝(2－1，7－5)＝(1，2). 又 2×2－4×1＝0，所以A→B ∥C→D .
【备选例题】 已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分 A→B 的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由 A→P ＝λ P→B 及定比分点坐标公式得：(x，y)＝
21＋＋3λλ，11－ ＋λλ ， 又因为P点在直线l上，
1－λ
2＋3λ
所以 1＋λ
平面向量数乘运算的坐标表示(优秀经典公开课课件)
[规律方法] 向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由 a＝λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2－x2y1＝0 直接求解．
[触类旁通] 2．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平 行时它们是同向还是反向？
解析 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)12a－31b＝12(－1,2)－31(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
题型二 向量共线的判定
答案 D
3．已知 a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且 a∥b，则 m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
答案 B
4．已知 P(2,6)，Q(－4,0)，则 PQ 的中点坐标为____________． 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1,3)． 答案 (－1,3)
02
课堂案 题型探究
题型三 向量共线的综合应用(一题多变) [例 3] 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝2|P→B|， 求点 P 的坐标．
[解析] 设 P 点坐标为(x，y)，|A→P|＝2|P→B|. 当 P 在线段 AB 上时，A→P＝2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
[母题变式] 若将本例条件“|A→P|＝2|P→B|”改为“A→P＝3P→B”，其他条件不变，求点 P 的 坐标． 解析 因为A→P＝3P→B，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
高中数学必修二课件：平面向量数乘运算的坐标表示
【讲评】 准确运用向量线性运算的坐标公式，利用“坐标对应成比例” 熟记向量共线的坐标表示，应用时写为等积式形式．
(2)O是坐标原点， O→A ＝(k，12)， O→B ＝(4，5)， O→C ＝(10，k)．当k为何值 时，A，B，C三点共线？
【思路】 由A，B，C三点共线可知，A→B，A→C，B→C中任意两个共线，用坐 标表示共线条件，解方程可求得k值．
【解析】 ①12×(－3)－34×(－2)＝－32＋32＝0， ∴a∥b. ②0.5×64－4×(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a不平行于b. ③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a不平行于b. ④2×2－3×－43＝4＋4＝8≠0，∴a不平行于b.
(2)已知 O→A ＝(k，2)， O→B ＝(1，2k)， O→C ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B， C共线，则实数k＝___－_14____．
(3)已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，试用b，c表示a.
【思路】 关键是找到实数λ，μ，使得a＝λb＋μc. 【解析】 设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，
则(10，－4)＝λ(3，1)＋μ(－2，3)
＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题设得3λλ＋－32μμ＝＝－104，，解得λμ＝ ＝2－，2.
方法二：∵G为△ABC的重心，设G(x0，y0)， 则xy00＝ ＝21＋＋323＋＋（ 34＝－731，）＝43，即G43，73， ∴A→G＝43，73－(2，1)＝－23，43.
课后巩固
1．若O (0，0)，A(1，2)，且O→A′＝2O→A. 则A′点坐标为( C )
A．(1，4)
B．(2，2)
答：(1)× (2)× (3)√ (4)√
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课件(共54张PPT)
素养
提升
(1)用有向线段的定比分点坐标公式
xy＝＝xy1111＋＋＋＋λλλλxy22，(λ≠－1)可以
求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实
上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，
会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的
独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的
反思 感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. 提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3 (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)
平行，则实数m的值为
A.－1 或12 C.－1
第六章 §6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
内
知识梳理
容
题型探究
Байду номын сангаас
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
1 2a
－2b等于
√A.(1,2)
B.(－1，－2)
C.(－1,2)
D.(1，－2)
解析 12a－2b＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.已知向量a＝(3,5)，b＝(cos α，sin α)，且a∥b，则tan α等于
平面向量数乘运算的坐标表示ppt课件
1
2 或1
2
= 22 .
当1 =
1
2 时，如图
2
1
1
= 1 + 1 = 1 + 1 2= 1 + 2 − 1
3
3
2
1
21 +2 21 +2
=
(
,
)，
= 1 + 2
3
3
3
3
∴点的坐标是(
21 +2 21 +2
Ԧ
Ԧ − 2 + Ԧ = 0，
则Ԧ =(
).
A．(−23, −12)
B．(23,12)
C．(7,0)
D．(−7,0)
2.若Ԧ = ( 3, )， = (3, )，且∥，则锐角
Ԧ
=__.
3. 设向量OA = (, 12)，OB = (4,5)，OC = (10, )，当为何值
−
2 1
,
3 3
=
7 2
(− , ).
6 3
二、巩固新知：探究向量共线的坐标表示
已知向量Ԧ = (1 ,1 ), = (2 , 2 )，
如何用坐标来表示两个向量共线的充要条件？
请你试着写出来并加以验证.
例2.判断正误
1.若向量 Ԧ = (1 ,1 )， = (2 ,2 )，且1 1 − 2 2 = 0 ，
= 2 + 1,5 + 1 = 3,6 ,
又 ∵ 2 × 6 − 3 × 4 = 0， ∴ ∥ .
又直线，直线有公共点，
∴ , , 三点共线.
三、探究：等分点问题
探究：
设是线段1 2 上的一点，点1 , 2 的坐标分别是（1 ,1 ），
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)
线的判断方法，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、逻
辑推理）
九
学生自评
请小老师组对所负责组员的
课堂表现进行评价
十
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.
∴ = Ԧ + Ԧ = Ԧ + Ԧ
故 = ，
即“实数与向量的积的坐标等
于用这个实数乘原来向量的相应
坐标.”
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例6 已知 = ， ， = −， ，求3+4
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
例8 已知 −, − , = , , = , ,
判断, , 三点的位置关系.
方法提示：这两道题考察了向量共线（平行）的坐标表示.
用坐标可表示为 , = , = ，
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
⇔ = ⇔ − =
五
探究新知2——平面向量共线的坐标表示（互学）
（二）平面向量共线的坐标表示
七
成果展示2(迁移变通)
例7 已知 = ， ， = ， , 且 ∥ , 求 .
解：∵已知 = ， ， = ， , 且 ∥
∴满足 = × （交叉相乘积相等）
课件2：6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
(3)解：因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， C→D＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又因为 2×2－4×1＝0，所以A→B∥C→D. 又因为A→C＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，A→B＝(2,4)， 所以 2×4－2×6≠0，所以 A，B，C 不共线， 所以 AB 与 CD 不重合，所以 AB∥CD.
∴a 与 d 不平行．]
2．已知向量 a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若 a∥b，则实数 x 的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得 x＝7.]
3．已知 A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则 x＝________.
6 [∵A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)， ∴A→B＝(1,1)，A→C＝(4，x－2)， 又 A，B，C 三点共线，∴A→B∥A→C， 故 x－2－4＝0，解得 x＝6.]
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点坐标为13，0. 当 P 在线段 AB 延长线上时，A→P＝－2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴xy－＋34＝＝－2＋42＋x，2y， 解得xy＝＝－8，5， ∴P 点坐标为(－5,8)． 综上所述，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)．
【规律方法】 1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程 求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解． 2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点 坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平 面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示ppt 高中 新教材 高一 第二册
∴Px11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2.
定比分点 坐标公式
探究 3 当P→1P＝λP→P2时，点 P 的坐标是什么？
【提示】 ∵O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋1＋λ λ P1P2
＝O→P1＋1＋λ λ (O→P2－OP1)＝1＋1 λO→P1＋1＋λ λO→P2，
＝1＋1 λ(x1，y1)＋1＋λ λ(x2，y2)
＝1＋1 λx1，1＋1 λy1＋1＋λ λx2，1＋λ λy2＝x11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2，
∴Px11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2.
定比分点 坐标公式
课堂小结
1. 两个坐标表示： （1）向量数乘运算的坐标表示
a=(x，y)和实数λ，则λa=(λx, λy)
（2）向量共线条件的坐标表示
求出ka+b与a-3b 的坐标（向量线 性坐标运算法则）
利用向量共线 的坐标表达式 列方程求解.
·
情
题型三 三点共线问题
课
境
堂
导
小
学 探
例4：已知A1,1, B1,3,C2,5,判断A, B,C之间的位置关系
·
结 提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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·
情
跟踪训练3
课
境 导 学
已知O→A＝(k,2)，O→B＝(1,2k)，O→C＝(1－k，－1)，且相异三点 A，B，C
层
作
疑
业
难
个向量共线.
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探究：共线向量与中点坐标公式
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示优质教学材料课件PPT
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示优质教学材料课件PPT本课件最终会根据新教材最终修订版调整· 课件编辑说明·1. 本课件需用office2010及以上版本打开，如果您的电脑是office200 7及以下版本或者WPS软件，可能会出现不可编辑的文档，建议您安装office2010及以上版本。
2. 因为课件中存在一些特殊符号，所以个别幻灯片在制作时插入了文档。
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3. 本课件显示比例为16:9，如您的电脑显示器分辨率为4:3，课件显示效果可能比较差，建议您将电脑显示器分辨率更改为16:9。
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高中数学必修第二册RJA6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示【目标认知】知识点一平面向量数乘运算的坐标表示设a=(x,y),则λa=(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. ?(λx,λy)【诊断分析】判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为-1,2. ( )(2)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11). ( )√[解析] 由解得√知识点二平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则向量a,b共线的充要条件是.?x1y2-x2y1=0【诊断分析】判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( )(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ()(3)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y2-x2y1=0,则a∥b. ()(4)已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),若a∥b,则必有a1b2=a2b1.( )(5)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. ( )××√√√1.在进行向量坐标运算的线性运算时,若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2.三点共线问题(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.(2)若已知三点的坐标,则判断其是否共线可采用以下两种方法:①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)·(y2-y1)是否为0.②任取两点构成向量,计算出两向量如,,再通过两向量共线的条件进行判断.探究点一向量的数乘运算例1 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=(-,1)-(,)=(-,).变式(1)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则3+2= ,-2=.?(11,13)(-7,-14)(2)已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4),试用a,b表示c.解:设c=xa+yb,x,y∈R,则(10,-4)=x(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y),∴解得∴c=-2a+2b.[素养小结](1)已知两点坐标求向量的坐标时,一定要注意是终点坐标减去起点坐标;(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算;(3)如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应相等.例2 (1)下列各组向量是平行向量的有.(填序号) ?①a=(,),b=(-2,-3);②a=(0.5,4),b=(-8,64);③a=(2,3),b=(3,4);④a=(2,3),b=(-,2).[解析] ①×(-3)-×(-2)=-+=0,∴a∥b.②0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,∴a,b 不平行.③2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴a,b不平行.④2×2-3×(-)=4+4=8≠0,∴a,b不平行.①探究点二向量共线的判定及应用(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解:方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得k=λ=-.∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?方法二:由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.故ka+b与a-3b反向.变式 (1)下列向量组中,能作为平面内所有向量的基底的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=[解析]A中,向量e1为零向量,∴e1∥e2,不符合题意;C中,e1=e2,∴e1∥e2,不符合题意;D中,e1=4e2,∴e1∥e2,不符合题意.故选B.B(2)已知向量a=(2,-1),b=(x-1,2),若a∥b,则实数x的值为 ( )A.2 B.-2C.3D.-3[解析]因为a∥b,所以2×2-(-1)×(x-1)=0,得x=-3.D[素养小结]向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.探究点三三点共线的判定及应用[探索] 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗?解:易知=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),因为2×2-4×1=0,所以∥.因为=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),所以2×4-2×6≠0,所以A,B,C不共线,所以直线AB与直线CD不重合,所以AB∥CD.例3 (1)已知=(3,4),=(7,12),=(9,16),求证:A,B,C三点共线.(2)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?解:(1)证明:∵=-=(4,8),=-=(6,12),∴=,即与共线,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线,则,共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.变式已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使向量,共线.解:(1)易得=(x,1),=(4,x).因为,共线,所以x2-4=0,解得x=±2,所以当x=±2时,向量,共线.变式已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(2)当∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?解:(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),因为6×1-(-3)×(-2)=0,所以∥,又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.因为∥,所以当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.当x=2时,=(-2,1),=(2,1),因为(-2)×1-1×2=-4≠0,所以与不共线,即A,B,C三点不共线,所以A,B,C,D四点不共线.[素养小结]三点共线的条件以及判断方法(1)已知A,B,C三点共线时可转化为∥,可利用向量共线的条件求解.(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.拓展已知向量=(2,-1),=(3,2),=(m,2m+1),若A,B,C三点能够作为三角形的三个顶点,求实数m满足的条件.解:由题意知A,B,C三点不共线,即向量与不共线,因为向量=(1,3),=(m-2, 2m+2),所以2m+2≠3m-6,解得m≠8,故实数m满足的条件是m≠8.探究点四向量共线的应用[探索] 已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),若=λ(λ≠-1),则P点的坐标为. ?(,)例4 (1)已知A(-1,2),B(-3,1),点P为线段AB上靠近A的四等分点,则P点坐标为. ?[解析] 由题可知=,设P点坐标为(x,y),则x==-,y==,故P点坐标为(-,).(2)已知直角坐标平面上四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明:由已知得=(4,3)-(1,0)=(3,3),=(0,2)-(2,4)=(-2,-2).∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴与共线.=(0,2)-(1,0)=(-1,2),=(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0,∴与不共线,∴四边形ABCD是梯形.又||==||,即BC=AD,∴四边形ABCD是等腰梯形.变式 (1)已知A(3,5),B(6,9),M是直线AB上一点,且||=3||,求点M的坐标.解:(1)设点M的坐标为(x,y).由||=3||,得=3或=-3.由题意得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),∴解得当=-3时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),∴解得故点M的坐标是(,8)或(,11).(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),试判断四边形ABCD的形状.解:(2)=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴,共线.=(3, -4),=(1, -1),∵(-1)×3-1×(-4)≠0,∴与不共线.∴四边形ABCD是梯形.[素养小结](1)两个向量共线就是两个向量的方向相同或相反,也就是表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.(2 )利用两个向量共线可以求平面内相关点的坐标,可以证明两直线平行,进而可以判断与直线平行相关的几何图形的形状,如判断一个四边形是平行四边形或梯形等.1.向量坐标运算的方法:(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[例1] 已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C,D和的坐标.解:设C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由题可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).∵=,=-,∴∴解得解得∴C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0),因此=(-2,-4).2.用坐标判定向量共线当两个向量用坐标表示时,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0,而不能盲目使用=.[例2] 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),那么与是否共线?线段AB与线段AC是否共线?解:∵=(2,4),=(3,6),且2×6-3×4=0,∴∥,∴与共线.∵直线AB与直线AC有公共点A,∴A,B,C三点共线,∴线段AB与线段AC共线.3.几个结论:(1)线段中点坐标公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标是(,).(2)已知△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标为(,).(3)定比分点坐标公式:若P1(x1,y1),P2(x2,y2),且=λ(λ≠-1),则P(,).1.已知向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a-b= ( )A.(3,0) B.(2,1)C.(-3,3)D.(3,3)[解析] 向量a=(1,2),b=(-1,1),则2a-b=2(1,2)-(-1,1)=(2+1,4-1)=(3,3),故选D.D2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是( )A. B.C.(-8,1)D.(8,1)[解析] ∵=-=(-8,1),∴=(-4,).A3.已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )A.-13 B.9 C.-9 D.13C[解析] 由题知=(-8,8),设C(6,y),则=(3,y+6).∵A,B,C三点共线,∴∥,∴-8(y+6)-3×8=0,∴y=-9.4.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( )A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向D[解析] 由题意知c=(k,1),d=(1,-1).∵c∥d,∴-k-1=0,∴k=-1,此时c=-a+b=-(a-b)=-d,故c与d反向,故选D.5.已知点A(3,-4)与点B(-1,2),若点P在直线AB上,且=2,则点P的坐标为.?[解析] 因为=2,所以P点坐标为(,),即点P的坐标为(,0).。
平面向量的数乘运算课件
已知平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta $，且$|\overset{\longrightarrow}{a}| = m,|\overset{\longrightarrow}{b}| = n$，求 $|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}|$的值。
典型例题分析
• 解：$|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}| = \sqrt{(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})^{2}} = \sqrt{|\overset{\longrightarrow}{a}|^{2} + 2\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + |\overset{\longrightarrow}{b}|^{2}}$$= \sqrt{m^{2} + 2mn\cos\theta + n^{2}}$。
03
平面向量的数乘运算的 应用
在几何中的应用
向量数量积的几何意义
平面向量的数乘运算可以表示向量的 长度和方向，其几何意义可以应用于 解决几何问题中的长度、角度、面积 等问题。
平行四边形的性质
三角形的重心坐标
利用数乘运算可以求出三角形重心的 坐标，从而解决与重心坐标相关的几 何问题。
《平面向量数乘运算的坐标表示》PPT课件
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必修第一册·人教数学B版
M→B＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)， ∴M→D＝－M→B，∴M→D∥M→B. 又 MD 与 MB 有公共点 M， ∴D，M，B 三点共线．
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必修第一册·人教数学B版
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一、一题多解——向量线性运算的坐标表示 ►数学抽象、数学运算 [典例 1] 如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 的交点 P 的坐标．
[提示] 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a 与 b 共线，则 x1y2＝x2y1.
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知识梳理 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a、b(b≠0)共线
必修第一册·人教数学B版
[解析] 法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数 λ， 使 ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)． 得k2－ k＋3＝ 2＝1－0λ，4λ， 解得 k＝λ＝－13. 当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，
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探究二 平面向量共线的坐标运算 [例 2] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它 们是同向还是反向？ [分析] 由向量 a，b 的坐标，求出 ka＋b 与 a－3b 的坐标，由向量共线的条件列方 程(组)，求 k 的值．从而进一步判定向量是同向还是反向．
数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共17张ppt)
x1 x 2 ,
如果用坐标表示，可写为 ( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ，即
，
y1 y 2 .
消去 ，得 x1 y 2 x 2 y1 0 .
a 与 b （ b 0 ）共线的充要条件是： x1 y2 x2 y1 0 .
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
新知探究
例6：已知Ԧ = (2,1)， = (−3,4)，求3Ԧ + 4的坐标.
解：3Ԧ + 4 = 3(2,1) + 4(−3,4)
= (6,3) + (−12,16)
= (−6,19).
已知＝(
Ԧ
Ԧ ± ＝(1 ±2 , 1 ± 2 )
又直线，直线有公共点，
所以，，三点共线.
y
5
C
4
3
B
2
1
-1 O 1 2 x
A
练习巩固
练习3：已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5, −3)，判断AB与CD是否共线？如果共线，
它们的方向是相同还是相反？
解： = (0,4) − (2,1) = (−2，3)， = (5, −3) − (1,3) = (4， − 6).
新知探究
向量平行
向量//
Ԧ
≠ 0 ⟺ Ԧ =
⟺ 1 Hale Waihona Puke 2 − 2 1 = 0＝(
Ԧ
1 , 1 )，＝(2 , 2 )
例7：已知Ԧ = (4,2)， = (6, y)，且//，求y.
Ԧ
解：因为//，所以4
Ԧ
− 2 × 6 =0.解得 = 3.
6.3 平面向量数乘运算的坐标表示 课件(共27张PPT)
解：(1) 当P是线段 P1P2 的中点时，
OP
1 2
(OP1
OP2 )
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)，
∴P( x1 x2 , y1 y2 ).
2
2
中点坐标公式：
y P2
P P1
O
x
若点P1, P2的坐标分别是(x1, y1), (x2, y2)，线段 P1P2 的中点P的坐标为
(x, y)，则有
解得点P的坐标为( x1 2x2 , y1 2 y2 ).
3
3
探究 如图示，线段P1P2 的端点P1,P2 的坐标分别是(x1, y1) ，(x2, y2 ) ，点 P 是
直线P1P2上的一点. 当P1P PP2 时，点 P 的坐标是什么？
P1P PP2 (x x1, y y1) (x2 x, y2 y) P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
又2 6 4 3=0， ∴ AB// AC. 又直线AB,直线AC有公共点A， ∴ A, B,C三点共线.
例9 设P是线段 P1P2 上的一点，点 P1, P2的坐标分别是(x1, y1), (x2, y2). (1) 当P是线段 P1P2 的中点时，求点P的坐标； (2) 当P是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点P的坐标；
3
随堂检测
1 (1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于
√ A.(1，－2)
B.(1,2)
C.(5,6)
D.(2,0)
解析 b＝2a＋b－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2).
随堂检测
(2)已知向量A→B＝(2,4)，A→C＝(0,2)，则12B→C等于