初中数学绝对值化简1含答案

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部编数学七年级上册专题绝对值压轴题(最值与化简)专项讲练重难题型技巧提升专项精练(人教版)含答案

专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：分类情况（x 的取值范围）图示b x a x -+-取值情况当a x <时无法确定当b x a ≤≤时b x a x -+-的值为定值，即为b a -当b x >无法确定结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b =-．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤【答案】D【分析】根据题意将25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x<-2时，25x x ++-=（-2-x ）+（5-x ）=3-2x ；当25x -≤≤时，25x x ++-=（x+2）+（5-x ）=7；当x>5时，25x x ++-=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴25x x ++-有最小值，最小值为7，此时25x -≤≤，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）25x x ++-可以理解为数轴上表示实数x 与实数-2的距离，实数x 与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当25x -≤≤时，25x x ++-有最小值，最小值为7。

初中数学《绝对值化简》讲义及练习

内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠；（4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】（2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )中考要求例题精讲绝对值化简A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸ (2002年江苏省竞赛题)若220x x -+-=，求x 的取值范围．【解析】 ⑴ 选择D ．⑵ 选择B ．⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D ．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C ． ⑸ ()22x x -=--，所以20x -≤，即2x ≤．【巩固】（2级）绝对值等于5的整数有个，绝对值小于5的整数有个【解析】 2；9个【巩固】（2级）绝对值小于31⋅的整数有哪些？它们的和为多少？【解析】绝对值小于31⋅的整数有0，1±，2±，3±，和为0．【巩固】（2级）有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( ) A ．a b > B ．a b = C ．a b < D ．无法确定【解析】选择D ．【例2】（2级）已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【解析】因为55a a ==±，因为22b b ==±，又因为a b <，所以22a b =-=±，即52a b =-=，或52a b =-=-，⑵由非负性可知12a b =-=，【例3】（2级）已知2332x x -=-，求x 的取值范围【解析】因为23x -的绝对值等于它的相反数，所以230x -≤，即32x ≤【巩固】（4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【解析】由分析可知a b ，中的较小数b 一定是负数，故选D【例4】（6级）（2010人大附中练习题）求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【解析】根据题意a b -和ab 两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对()()()011011，，，，，【巩固】（6级）（2005年江苏省数学文化节基础闯关试题）非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【解析】 16【例5】（4级）(人大附单元测试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【解析】先判断每个绝对值符号内部的正负，而后化简原式()(1)()(1)a b b a c c =-++-+---112a b b a c c =--+-+--+=-【巩固】（6级）已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【解析】由00xy x z ><<，可得0y z <<，又因为y z x >>，所以y x z <<，原式0x z y z x y =+---+=【例6】（10级）（第4届希望杯2试）abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是．【解析】当a b c d e <<<≤时，a b b c c d d e e a -+-+-+-=-，当9e =，1a =时取得最大值8；当a b c d <<<，且a e >时，2a b b c c d d e d a e -+-+-+-=--，当9d =，1a =，0e =时取得最大值17．所以a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是17．【例7】（8级）（河南省竞赛试题）已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y的最小值为【解析】 ()()20202040y x b x x b x b x b x =-+--+---=--++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当20x =，y 的最小值为20【巩固】（10级）（华罗庚金杯赛前培训题）a 、b 、c 分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a b c ≤≤，则a b b c c a -+-+-可能取得的最大值是多少？【解析】由a b c ≤≤，得2()a b b c c a b a c b c a c a -+-+-=-+-+-=-，要想结果尽可能大，取9c =，1a =即可，最大值为16．【例8】（8级）（希望杯邀请赛试题）设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值【解析】因为a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=故a b -与c a -一个为0，一个为1，从而()()1b c b a a c -=-+-=，原式2=【巩固】（6级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-= 【解析】 2或0【例9】（6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +< （3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b【解析】（1）容易判断出，当1999x =时，24590x x -+>，2220x x ++>，所以 224594223710819982x x x x x x -+-++++=-+=-这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠，若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足．（3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<，所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】（8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例10】（10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值【解析】因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例11】（8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】（8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．【解析】要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例12】（2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】（2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】（2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例13】（8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例14】（6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】（2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】（6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】（8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】（2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例15】（8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】（8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-．【解析】由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例16】（8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】（8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--．【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例17】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为 ()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例18】（6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例19】（10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x abcabc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-【巩固】（10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】（2级）若0a >，则_____aa =；若0a <，则_____a a=. 【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】（6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+；当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例20】（8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】（2级）下列可能正确的是（）A ．1a b a b +=B ．2a b ca b c++=C ．3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd+++++++= 【解析】选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】（6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例21】（8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（）A ．1B ．1-C ．0D ．3【解析】易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例22】（8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值．【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3．若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-．若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-．若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】（6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【解析】若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例23】（6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值．【解析】由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=，若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】（6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc++. 【解析】根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例24】（8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？【解析】由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-；若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】（10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bc a b c x a b c ab ac bc=+++++，求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值．【解析】由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？从总体出发：2008()1aa =，所以原式1111=-+=．【例25】（8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b =+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【解析】由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c a b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例26】（8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】（8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，，所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】（8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例27】（8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值．【解析】由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】（6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】（8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c da b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则2a b c d a b c d+++=；若含有3个负数，则2a b c d a b c d +++=-．【例28】（6级）已知0ab ≠，求a bab+的值【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a ba b += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b+= ⑶若a b ，都是负数，则2a bab+=-【巩固】（6级）已知0ab ≠，求a b a b--的值．【解析】分类讨论：当0a >，0b >时，110a b a b --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=．当0a <，0b >时，112a b ab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0a b ab--=---=．综上所述，a b a b --的值为2-，0，2．【例29】（6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】（6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值．【解析】由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-；当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例30】（4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例31】（6级）求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥．当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+；当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+；当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例32】（4级）化简：212x x ---【解析】由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】（4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-．【解析】先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】（6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例33】（6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】（8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于．【解析】（法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5；（2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】（6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值【解析】当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】（6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．【解析】法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即max (13)4x x --+=．法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1．（2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】答案BC 不完善，选择D ．练习 2．（2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3．（6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<；原式0x z y z x y =+---+=.练习 4．（8级）（第13届希望杯培训试题）若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【解析】因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．练习 5．（6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6．（4级）若0a <，化简a a --.课后练习【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7．（6级）若0a <，试化简233a a a a--．【解析】2323553443a a a a a a a a a a-+===-----．练习 8．（6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【解析】要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9．（8级）（第6届希望杯2试）a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <，所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10．（8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b ca b c a b c+++---++=++=．练习 11．（6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=；当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--；当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-；综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12．（6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x ---+--的值．【解析】当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x xx x x--=++=-++=--．。

绝对值化简练习题及答案

绝对值化简练习题及答案1、求出所有满足条件a?b?ab?1的非负整数对?a，b?2、非零整数m，n满足m?n?5?0，所有这样的整数组n?共有 ?m，3、如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a?b?b?1?a?c??c的值.4、已知x?0?z，xy?0y?z?x，那么x?z?y?z?x?y?b、5、abcde是一个五位自然数，其中a、且a?b?c?d，c、d、e为阿拉伯数码，则a?b?b?c?c?d?d?e的最大值是．b≤x≤20，那么y的最6、已知y?x?b?x?20?x?b?20，其中0?b?20，小值为7、a、b、c分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a?b?c，则a?b?b?c?c?a可能取得的最大值是多少？ b，c为整数，且a?b?c?a?1，求c?a?a?b?b?c的值、设a，b?2c?3，9、已知a?1且a?b?c，那么a?b?c?10、已知x?1999，则4x2?5x?9?4x2?2x?2?3x?7?．满足2?a?b?ab有理数a、b，一定不满足的关系是A． ab?0 B． ab?0 C． a?b?0 D． a?b?0已知有理数a、b的和a?b及差a?b在数轴上如图所示，化简2a?b?2a?b?7．11、若m??1998，则m2?11m?999?m2?22m?999?20?12、设A?x?b?x?20?x?b?20，其中0?b≤x≤20，试证明A必有最小值13、若2a?4?5a?1?3a的值是一个定值，求a的取值范围.14、若x?1?x?2?x?3??x?2008的值为常数，试求x的取值范围．15、设a,b,c为非零实数，且a?a?0，ab?ab，c?c?0．化简b?a?b?c?b?a?c．16、如果0?m?10并且m≤x≤10，化简x?m?x?10?x?m?10.17、若a?b，求b?a??a?b?5的值.18、若a?0，ab?0，那么b?a?1?a?b?5等于 19、已知x??3，化简3?2??x.20、已知x??x??2，化简4?2?x?1．21、若x?0，化简22、已知a??a，b?0，化简2a?4b2?42． ?a?2b4b?3?2a?3x?2xx?3?x．bcda?b≤9c?d≤16，且a?b?c?d?25，23、已知a，，，求b?a?d?c的值aa2a324、已知a是非零有理数，求?2?3的值.aaa25、已知x?于0，求x的所有可能值b，c是非零整数，且a?b?c?0，求26、已知a，aa?bb?cc?abcabcb，c都不等，且a，abcabc???的值 abcabc27、当m??3时，化简28、若0?a?1，?2?b??1，则a?1b?2a?b??的值是 a?1b?2a?bA．0 B．?1 C．? D．?29、如果2a?b?0，则m?3m?3aa?1??2等于 bbA．B．C． D．5?a?a?b?c?0，?a?b?c?0，则??30、如果a?b?c?0， ?a???A．1 B．?1 C．0 D．3abacbc??31、已知abc?0，求的值． abacbc32、若a，b，c均不为零，求33、如果2a?b?0，求34、若a，b，c均不为零，且a?b?c?0，求35、a，b，c为非零有理数，且a?b?c?0，则 abab?aa?bb?aa?bb?c. c2002?b????b????2002?c????c????2002的值等于aa?1??2的值． bbc. cbcbc?caca的值等于多少？36、三个数a，b，c的积为负数，和为正数，且x?求ax3?bx2?cx?1的值.abcabacbc?????， abcabacbc记住永远要信自己初一数学上册学习资料第三讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值大全(零点分段法、化简、最值)

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

初中数学绝对值的化简

绝对值的化简
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

即 ,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
显然，任何数的绝对值都是非负数，即a ≥0.
化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号。

先根据所给的条件，确定绝对值符号内的a 的正负（即0,0,0a a a ><=还是）。

如果已知条件没有给出其正负，应该分类讨论（即分别讨论0,0,0a a a ><=还是的情形）。

分类思想是数学中一种非常重要的思想。

下面以一道例题来分析：例：化简2324x x x x --
【解析】题目没有给出x 的正负，要去掉绝对值符号，必须讨论x 的取值。

显然，由于分母不能为0，因此0x ≠。

①当0x >时，
2324x x x x --=23124222x x x x x x x x
---===---
②当0x <时，
2324x x
x x --=235552(4)666x x x x x x x x ----===---
通过刚才例题的分析，想必大家对分类讨论的思想已有所了解了吧，下面两道绝对值化简的题目大家可以练习一下哦。

1.当0x <，化简
23x x x x --- （提示：x -）
2.试化简233a a
a a --
（提示：当0a >时，
233a a a a --=12-；当0a <时，233a a a a --=54-）。

3.绝对值的意义及应用(含答案)-

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。

绝对值化简-题库教师版

绝对值化简中考要求內容基本要求略咼要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问例题精讲绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离•数a 的绝对值记作a绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： O 的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算 > 运算符号是“，求一个数的绝对值 > 就是根据性质去掉绝对值符号② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.⑷ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号•绝对值是5.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0 •那么这若干个非负数都必为0.例如：若 IalblCO ' WJ a 0 ∙ b 0 > c 0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数 > 也不小于这个数的相反数 > 即 ⑵若Ia Ib •则a b 或a b ;(3)SbaI b ; b M (b 0);(4)Ia ∣2∣a 2∣a 2 ；(5)IIaIbll ≡b a ∣b,对于Ia b ∣ IaI Ib ，等号当且仅当a ・b 同号或a ・b 中至少有一个0时，等号成立;对于Ia blab •等号当且仅当a 、b 异号或a ・b 中至少有一个0时，等号成:⅛.板块一：绝对值代数意义及化简求字母a 的绝对值：a(a 0) 0(a 0) a(a 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小： a(a 0) a(a 0) a(a 0)a(a 0)两个负数，绝对值大的反而小.【例1】(2级)(1)下列各组判断中，正确的是A•若Ia b >则一定有a b B .若I ab >则一定有a【巩固】已知X O 乙Xy O. y ∣Z ∣x ＞那么XZy 【例5] abcde 是一个五位自然数，其中a 、b ・c ・dy 为阿拉伯数码，且abed 侧ab Ib IC d ∣ Ide 的最大值是.【例6】已知yxbx20xb20,其中0b20,b ＜x ＜20.那么y 的最小值为 __________________________________________ 【例71【巩设a, b, C 为整数，且ab Ca求C ，那么 Ca ∂a b Cb IbC 的值已知a1,b ∣ 2,C3■且 a b【例 (68】级）（1）（第10届希望杯2试）已知X1999.则4x 2 5x94 X 2 2x 23x7(2) （第12届希望 2试）满足(a b)2(b a) a bab ( ab0）有理数 a 、b.疋不满足的矢系疋（A ab 0 B. ab 0 C. a b 0 D a b 0（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a ・b 的和a b 及差a b 在数轴上如图所示，化简2a b 2 a b 7 ._ 3∙4∙b ・ θ∙b ・-1 0 1这道題冃体现了一种重要的先估算+后化简+再代入求值”的思想•（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉＞若 a > b 时，(a b)2 (ba) a b (a b)2 (a b)2 0込若 a b 时，(a b)2 (b a) a b (a b)2 (b a)2 2(a b)2 ab ,从平方的非负性我们如道abθ，且 ab 0.所以 ab O.则答案A —定不满足（3）由图可知Oab1, a b1C∙若a b ，则一疋有abD ・b ,则一定有a 22b⑵如果a 2 > b?,则A. a bB. a >C.D a V b（3）下列式子中正确的是 A. a 3 B ."（4｝对于m 1，下列结论正确A. m 1 >∣ m | B . m (5喏 X 21 WImI Cx2 0,求X 的取值范围.【例2】已知：⑴ a5, b2，且 a b ：(2)1 WImI 1• b 的值【例3】已知2x【巩固】【例 4】 3 3 2x ，求X 的取值范围（4级）若ab 且ab,则下列说法正确的是（A. a 一定：是正数B.a —定是负数C. .b求出所有满足条件非鑿 b ab 1的非负整数对a ,b）一定是正数D・b 一定是负数n 5 O •所有这样的整数组 m,n 共有【巩固】如果有理数a 、b y 在数轴上的位老如图所示，求 IabblaClC 的值.ZXy两式相加可得： 2a O ' a O 进而可判断出b O ，此时2a b O ∙ b 7 O •所以 2a b 2a b 7(2a b) 2( a) (b 7)7・【巩固】（8级）（第9届希望杯若m 1998，则m 2 11m 999∏√ 22m 999 20【解 m 2 Ilm999 m(m 11)999 1998 1987 9990 >析】m 22m999 m(m 22)999 1998 1976 9990 >故(m 211m999) (m 2 22m999) 20 20000 .【补V充】 (8 级)若X 0.239,求 X 1x3Lx 1997∣ IX2LX 1996 的值.【解法1： V X 0.239 > 贝 U原式 (XI)(X 3)Li (x 1997)x(x 2) L (X 1996X 1 X 3 X 5L X 1997 xx2 LX 19961 (3 2) (5 4)L(1997 1996)1 1 L 1 999法2 :由 x<ab >可得X bX a b a * 贝 U原式,<x 1 x) (x3x2) L(x 1997X 1996)1 1 L 1 999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法・这种方法对于显示题冃中的矢系，简化解题步骤有着重要作用・5a 1 3a 的值是一个定值，就必须使得 4 5a0.且1 3a < 0， 1 4原式 2a 4 5a (1 3a) 3 ,即.w a < —原式的值永远为3.35【巩固】（8级）若x4x2x3Lx 2008的值为常数•试求X 的取值范围.【解析】要使式子的值为常数，X 得相消完，当1004<x< 1005时 > 满足题意・【例“】（2级）数a,b 在数轴匕对应的点如右图所示•试化简a b b a b a a ∣aOb【解析】abbabaa ∣【例9](40 级)设 AIXb因为ObVXV 20,所以A X 2b > X20∣ IX b 20 ,其中 0 X b > 0, X 20 < 0 ,) 20 •所以A 的最小值为b<x<20.试证明A 必有屐小值b 20 0.进而可以得到： 20【例（8 ）若2a 10] 级〕5a I 3a 的值是一个定值，求a 的取值范圉•【解析】要想使2aa b b a b 2a b .【巩固】（2级）实数a, be 在数轴上的对应点如图 > 化简【解析】由题意可如：J a 0, c b O. a b 0, a c 0 ,所以原式 2c a【巩固】 O （级）若b 且・ ,化简abab 0a bab■【解析】若ab 且*b, a 0,b0, a b O,ab 0aba baba b a bab ab2a【例12】（8级）（北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试）设a,b,c 为非零实数，且aaθ t ab ab , CCO 简b a b∣c b a c .【解析】a a 0 ・ a a , a < 0； ab ab , ab > 0 ； CC0, cc, c > 0所以可以得到a 0, bθ. cO ；b a b IC b IababCbaCb .【例13】（6级）如果0 m 10并且mV χ< 10 *化简IX m x 10 x m 10・【巩固】（6级）若a b >求b a 1 ab5的值・【解析】ba 1 ab5ba1ab5【巩固】（8级）（第7届希望杯2试）若aθ , ab 0，那么b 5等于【巩固】〈2级）化简：（1）3 x（2）χ ι×23 X X 32x3x2【解析】⑴原式；⑵原式1 2 w X 1x3x>32x 3 X > 1【解析】aθ, ab 0 ,可得：b 0 ■所以b a【巩固】（2级）已知Kx5，化简1 xx5【解析】因为Kx 5，所以1 xwθ,x5 0•原式ICbabaC【解析】XmX10 IX m 10 XmIO XmlO X 20 x.【例14】（8级）已知X 3,化简3 2 1 X.(AftftM【解析】当X 3时，3 2 1 X] 32 1X3【巩固】（8级）（第16届希望杯培训试题）已知IXlXl【解析】由x1 x1 2的几何意义 > 我们容易判断出4 ∣3 43x ∣1【例16】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知abed 25，求 b a ∣ ∣d c 的值【解析】因 a b w 9. c d < 16 •故 a bl ∣c d < 925 abed abdcwabd c w 25 •所以 a b x2x9. cd16∙故原式【例 (8级4)若XOHL 简•⑸IX 3 Ixl X 2χX 2x 3x【解析】X 3 X 3 X X3板块二：矢于O 的探讨应用a【例仃】（6级切已如a 是非零有理数，求【解析】那么a2 33 诺 aθ > a a 23a讣11 1那么a; a 2...a 3 r11113 X 3 3 X X X.所以 4 2x1]4∣2 1【巩固】（8级）（四中）已知2a 4b4 4b 3 2a 3 a 2b2a 4b0,∙∙∙ 2a 4b(2 a 4 b) 2(a2b)..2a 4b (a 2b)22(a 2b) (a 2b)22 ~2b又∙ ∙ ∙ 2b4 a 2b(a 2b)4a2b 〒∙∙ ∙O鲁224b 3― a 34b 3 (2 a 3)2a 4b212a 4b a 2brs —μ2 4 J⅞χΛ a2b a 2bJ 3 a2b a2b点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子 X ,再去绝对值的符号.a t b,cd 是有理数.16 25,又因为5【巩固】（6级）当m3时，化简【解析】m3，m3 Cb当m3,即m30时.当m3,即m30时，m3m3> 所以一_•1 m 3m 3 (m 3) 所以一」1 m 3【巩（2级）下列可能正确的是（)Aab1 BB b abcab£ A3 .a bC dDabed abed【解选D.排除法比较好或特殊值法「「「1■【巩固】【解析】(6 级)如果 2ab0 JIJB1 H2 b 写I【例18】（10级）（2006年第二届••华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知卫£农，且a be 都b C abc不等于0 ■求X 的所有可能值【解析】4或0或4 【巩（10级）（北京市迎春杯竞费试題）已知 a∙b,c 是非零整数，且a b固】的值因为a. be 是非零有理数，且abc 0 •所以a, b 1 C 中必有一正二负,则原式aA abc abc abc 0，求——C θ⅛c a bC I abC不妨设3【解析】1: Ial1 •重要结论一定要记得•【巩固】（2级）若aθ侧 ________________ ；若80•则Ua lb2a 1 b2 A. 0 B ・ Bb 的值是( a b 1 C ・ 3 ) D ・ 4 【解 ⑴C •特殊值法: 取 a 0.5, b 1.5代入计算即析】【例19】（8级）（2009年全国初中数学竞费黄冈市选拔费试题）若 A. 2B . 3 C ・ 4 DOa 1 >2002 2002 2002(AftftM【例（8级）如果bcθ, abcθ ,贝 U —的值等于（）20】IaA. 1 B •C . 0D • 3200220022∞2【解易知一 1b1 C1'所以原式1，故选择析】I-b∙ C（8级）a, b. c 为非零有理数，且a be Cb 则理里申的值等于多少？Ialb Ib C Iqa由abc 0可如a . b , c 里存在两正一负或者一正两负：空匹浬 a bb ICC 亘 a b ∣b c ∣c a a b Ib C IC a 若两正一负，那么a B b Ec 旦4 1 11 :Ial b IbI C 忖 aab ac be 的值.abc 0 , •••a ・b ・c 三个数都不为零 a ' b ・ C 三个数都是正数 > 则ab ^aC^bC 也都是正数 ,故原式值为；・ a ' b ・ C 中两正、一负 > 贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为；・ a ' b ・ C 中一正、两负，贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为中三a b ⅝C 中三负*贝U ab 、 ac 、 bc 正 ' 故原式值为3 ■（6级J若 a , b , C 均不为零，求I Ibl C EC全为正数 > 则原式一正两负 > 则全为负数，则原式1 ；3. 【例22]（6级）（第13届希望杯1试）如果2ab由2a bθ得b的值.【解析]2a ，进而有B*b 2a2 Ia2T0 >则石1凶2 b0侧石'冋2 b（6级）若* .A h c ∩C 均不为零，且CaUUu>求专专；•根据条件可得a.C 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为【巩固】【例23]（8级）已知abcabBC右a >b∙ c 两正一负，则原式若若若若1 2若•正两负，那么:专羔综上所得壬壬辽ab I bCCa【巩固】（8级）（第13届希望杯培训试题）如果abcθ. abcθ＞ abcθ＞求（占严（吕严（占严的值.囘 I b l I C l【解析】由abcθl abcθ. abcO,两两相加可得：a 0, b 0. c 0.所以原式结果为1 •若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c.求b 1等于多少？从总体出发：C a ）2008 「所以原式1111 .【巩（8级）有理数a,b, C 均不为零，且abcθ,设X固】【例25】（8 级 ◎有理数a. be 均不为零，且a bcθ 设XIb a Cb a C＞则代数式a b200X 4X 2007的值为多少？【聲由a b c 0易知a 1b, c 中必有「正两负或两正一负＞不妨设a0,b0, Co 或 a 0. b所以Xa b C 1或者X a b C仁所以x 1 ，所以原式2004a b a c a b b c a ca b0,c0当X 1时•原式2098所以X4或者X1.所以当）（1时，原式1902【例（8级）（“祖冲之初中数学邀请费试题）设实数a ,b ・c 满足ab C 0 •及 abc 0 C 八÷τ∙∙a b C XV a(l ±)b (丄 A) c(!1r \ ・ fir? Z zμ*⅛=⅛iV 3xy 的值为Ial Ibl ICl b Ca C ab【解由 a b c 0 及 abc0.知实数a . b , c 中必有两个负数，一个正数＞从而有X 1 .■ K1 1 11 1 1 abc乂 y 3()b (-h rα C C(Ah )=abc3 •贝 U X 2y 3xy1 69 2・的值为多少？由abcθ易知a ,b, C 中必有一正两负或两正一负,,若 i 巩固】（‘° 级）a b C abIaCL-X lab Cabac bc0，所以原式"…则代数式X 19 99x 2000b c a c a b不妨设 aθ, bθ. Co 或 aθ. bθ, CO（海口市竞费题）三个数B 小，求 a ×3 bxcx 【解析】a , b , C 中必为• C 的积为负数，和为正数，且xa ： 1的值•负两正，不妨设a OJIJ b 0,c 0 ；［巩固］(8级)已知a 、b ・c 互不相等 > 求们b)(bC) ① C)(C a)(C 岬b)的值. (a b)(b C) (b C)(C a)(C a)(a b)【解析】由题意可得(a b)(b C)(C a) O 且(a b) (b C) (C a) 0,把a b. b c, c a 当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为1;②两负一正•原式值为1・(8级)(第18届希望杯2试)若有理数 En 、P 满足1一2 1 ,求加叩的值m n P∣3mnp由匸£1可得：有理数m 5、p 中两正一负，所以mnp 0 >所以讪卩m n P ImnPl2mnp 2 mnp 2 3mnp3 mnp3・【巩固】(6级)已知有理数a, be 满足一,则舐(a b cIabCIA. 1 B ・1 C ・OD •不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数 > 一个为负数，即abc 0(8级)有理数a . b , c . d 满足兰巴abed若含有1个负数，贝U ・【例271(6 幺及)已知abθ.求旦 abb的值【解÷C1(谐 a,b 异号，则.ab b(2帘 a, b 都是正数，则 A a b b 2(3帘 a, b 都是负数，则旦 b2b【例26］【巩固】,abed ,由abed1 知 abed 0 ,所以 a , b ,d 里含有1个负数或3个负数:【巩固】 (6级) 已知abθ.求1 *a •的值・b【解分类讨论:当aθ,b 0时•a b 1 1 0.ab< 4 ta当a 0 ,b0时•1■ Il! a ∣ ∣b 1 12a b综上所述,1a b I的值为20 t 2当 a O. b 当 aθ.b1 a 0时» a1 11 B 0时，a b1(1)2 b1 1b1 ( 11Ωb(AftftM【例（6级切若a,b,c 均为非零的有理数'a b C 的值 — 28】（1）当a ，b C 都是正数时，原式a b C b £3 【解析】 ⑵当a, b, C 都是负数时，原式' a b c 3⑶当a ，b, c 有两个正数一个负数时，原式 1 （4）当a ，b, c 有两个负数一个正数时，原式 1（6级）（第16届希望杯培训试题）若abcO,求abc 的值.冋坷ICl 由abcθ可得，a ・b ・c 中有3个负数或1个负数>［巩当sb 、C 中有3个负数时，原式11 （1） 1 ; 当a 、b 中有1个是负数时，原式1 1 1 1;当C 是负数时，原式 Il （I ） 3・板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】（4级）（2005年云南省中考试題）阅读下列材料并解决相笑问題:xxθ我们知道X 0x0 •现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式•如化简代数式x1 X2时，可令x1 0和x2 0,分别求得×1,x2 （称4,2分别为x 1与x 1和x 2可将全零点值），在有理数范围内'零点值X 情况：体有理数分成不重复且不易遗漏的如下■⑴当X 1时•原式Xl X2 2x1⑵当1 <x2时，原式（3）当 x> 2 时，原式 X 1 X 2 2x 12x 1 X 1综上讨论，原式 3 1< x22x 1 X > 2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1吩别求出X 2和X 4的零点值 ⑵化简代数式x2x42x2x2所以综上讨论 ' 原式6 2 Wx4 【解析】（1另别令x2 0和X 4 0，分别求得X 2和x4>所以X 2和X 4的零点值分别为X2 和x4 ⑵当X 2时，原式x2 X4 X 2 X 4 2x 2 ；当2Wx 4时，原式x2 x4 6 ；当x>4时，原式X 2 X 4 2x 2。

绝对值方程详解及答案

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例1】方程5665-=+x x 的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2( “希望杯；邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．(天津市竞赛题)【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．学力训练1．方程15)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 (山东省竞赛题)8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一21(重庆市竞赛题)9．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值． (“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．参考答案。

例谈绝对值方程与绝对值的化简

例谈绝对值方程与绝对值的化简于都三中蔡家禄绝对值问题在初中数学教学中是一个重点，也是一个难点。

学生理解起来感觉比较困难，面对含有绝对值符号的问题常常无从下手。

数a 的绝对值记作a ，表示在数轴上代表数a 的点与原点的距离，显然距离是没有负数之说，所以任何数的绝对值的结果都是一个非负数。

比如33,66=-=，0的绝对值当然是0了，即00=。

推广1：两数差的绝对值可理解为数轴上代表这两个数的点之间的距离，即a b -表示在数轴上数a 与数b 的点之间的距离。

如69-就可以理解成在数轴上表示6的点与表示9的点之间的距离，显然这两点之间的距离为3，即693-=，同理945,297-=-=，38--就要看成表示－3与8两个点之间的距离了，所以3811--=。

事实上，a 就是数a 与0之间的距离。

解决这类问题一定要弄清是哪两个数相减，即谁与谁的差；推广2：两数和的绝对值可以转化为两数差来解决，即()()a b a b b a +=--=--，比如343(4)4(3)7+=--=--=，数轴上表示3与－4两点间的距离为7，表示4与－3两点间的距离也是7。

这是我们通过“和”、“差”互为逆运算的关系将两数和的绝对值转化为两数差的绝对值解决了，这是一种非常重要的数学思想。

根据以上绝对值的几何意义，我们可以得到去绝对值的法则，即正数的绝对值等于它本身，而一个负数的绝对值就等于它的相反数，即(0),(0)≥⎧=⎨-≤⎩a a a a a （0的绝对值既可以理解为等于它本身，也可以理解为等于它的相反数）。

根据这个法则，我们在求一个数或式的绝对值时，只要先判断它是正数或负数就可以了，而不必去想它到底是代表哪两个点之间的距离了，当然有时我们可以用它的几何意义来帮助我们更直观的理解问题。

例1：解方程245x x ++-=分析：用绝对值法则来解，首先要判断数的正负，这里数2x +与4x -都是含字母的式子，它的值随字母的取值变化而变化，对于2x +，当2x =-时，20x +=，而当2x >-时，20x +>，当2x <-时，20x +<，这个－2就是使2x +的值为正数或负数的一个分界点，我们通常把它称为零界点，同理4x -的零界点就是4，在数轴上－2，4两个数将数轴分为三部分，如图即2,24,4x x x <--≤≤>三部分，在这三个区间，2x +与4x -的正负就可以确定了，从而我们可以去掉绝对值符号把绝对值方程转化为没有绝对值的一般方程来解了。

绝对值方程详解及答案

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号. 将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解•前者是通法，后者是技巧.解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题【例1】方程5x 6 6x 5的解是________________ •（重庆市竞赛题）思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解.【例2】适合2a 7 2a 1 8的整数a的值的个数有（）.A . 5B . 4C . 3D . 2（“希望杯；邀请赛试题）思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径.注：形如ax b ex d的绝对值方程可变形为ax b （ex d）且ex d 0 , 才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验.【例3】解方程：x 3x 1 4;思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程.（天津市竞赛题）【例4】解下列方程：（1）x 3 x 1 x 1 （北京市“迎春杯”竞赛题）（2）x 1 x 5 4 •（“祖冲之杯”邀请赛试题）思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.【例5】已知关于x的方程x 2 x 3 a，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键. 运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解.注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究.学力训练x1 •方程3（ x 1）—1的解是________ ；方程3x 152•已知3990X 1995 1995，那么x= _____________ .993. ____________________________________________ 已知，X X 2，那么19x +3X+27的值为 __________________4. 关于x的方程ax a 1 x的解是x=0,则a的值_的解是x=1，则有理数a的取值范围是_______________ . 5. 使方程3x 2 2 0成立的未知数x的值是（）2 十…A. —一2 B . 0 C . D .不存在36. 方程x 5 x 5 0的解的个数为（）.A .不确定B .无数个C . 2个D . 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）17. 已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足x —122 2 2A. 10或一B . 10或 - C . 10或一D .5 5 5（山东省竞赛题）& 若2000x 2000 20 2000，则x 等于（）.A . 20 或一21B . 一20 或21C . —19 或21 D（重庆市竞赛题）9 .解下列方程：(1) |3x 5 4 8;(2) 4x 3 2 3x 4 ;⑶ x |2x 1 3;(4) 2x 1 x 2 x 1 .10 .讨论方程|x 3 2 k的解的情况. 2x 1的解是_________ . _；关于x的方程a x a 1 x0，贝U m的值是（）210或 -5.19 或一2111 .方程x 2 1 2的解是12 •若有理数x满足方程1 X 1 X，则化简X 1的结果是_______________________ .13.若a 0,b 0 ,则使x a x b a b成立的x取值范围是 ________________________________ .14•若0 x 10，则满足条件x 3 a的整数a的值共有__________________ 个，它们的和是______ . 15•若m是方程2000 x 2000 x的解，贝U m 2001等于（）.A. m一2001 B .一m一2001 C . m+2001 D .一m+200116 .若关于x的方程2x 3 m 0无解，3x 4 n 0只有一个解，4x 5 k 0有两个解，则m n、k的大小关系是（）.m>n>k B . n>k>m C . k>m>n D . m>k>n17 .适合关系式3x 4 3x 2 6的整数x的值有（）个.A. 0 B . 1 C . 2 D .大于2的自然数18 .方程x 5 3x 7 1的解有（）.A. 1个B . 2个C . 3个D .无数个19 .设a、b为有理数，且a 0，方程|x a b 3有三个不相等的解，求b的值.（“华杯赛”邀请赛试题）20 .当a满足什么条件时，关于x的方程x 2 x 5 a有一解？有无数多个解？无解？21 .已知x 2 1 x 9 y 5 1 y，求x+y的最大值与最小值.（江苏省竞赛题）22 . （1）数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离；⑵是否存在有理数x，使x 1 x 3 x?⑶是否存在整数x，使x 4 x 3 x 3 x 4 14?如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由.参考答案⑨ift对值与一元一次方程［例覇求解】W 1上知1提頁》(办樫沁+ 6工知—一弭或从总十山趴5工+占=0讨论，« >逢* 握术：由辽知即在敕恤丄糧禾的点郢一丁少+L的粒直利萼于航阶IU品苦示一了刊】之附时偶敕.#|J r--r-y IS示原方fl!ft胃£-1呛十Llr戒4~|加十屛一-4fl 4 (妇擢臥：晋 Y-m时.蝴方程It为才1■耳十(『一1>-£主1*簿才=一筑当时"原方Stt；* J+3+J-1=JT^I.^x=-l r十4>1吋“區方•化为r+3-(j—l> = .r+］，祁心雷琮匕知摩方程的解为JT=-脇亠1』.<2^^i方程舲几何首丸培"•袖匕#!示地丁的直蓟表亦敘F朋弓的產离和尊亍技禹出数(•期得獲足条外的数为I咗上£5*就釘为原冇輕的解. ffls腿示：數•上讒示联」的点割魅抽上农审蠡趴3的苣的剧■档的最小蹴为叭也it可禅方理•的<n il f ^>i »hlS方害幅为『=垮* 1 * * * * * * * IX\“F出』_ I时+簞舟駅常料m诗〕艸aVL耐+氐育程朮鲜一I学力训嫌】I 土学*2或0 二0或一1 」” &4. - L lU>0 撮示idjli*ll・ |・|"M |早dX'AQ■却.305. O *. b TA IL D*H U1 J~3A J-~ i<Z 1J'5 rt J"------------------ i⑶』-学■史J1-/⑴撮丽i为J W E I*-X JT U当、吉■瑤「田』即皿沖t#况井剧£棹越啣如符号U方粋占痔虑列+区■rFESMS!方帰址冲口"一1「〔J-聆■』+ ・即1 = 1.at +恒轉武'说唧凡址擠足的才置肺雄方理的馨.10.气J6<0时■麻右程无■〔当止=(?时*腻方程有苒■討=一L «T=-S*^ 0<*<Z时.囁力fiftW|j+3| =2±4«JtBtltf 冇稈旳円齋“r-3 土燈土出hF* = 2 th屎方程化为J*3 =富±2,此时质方程有吒解讨=1或工=一7或:r-一*眉* >2时，駅方用有两常订+』-±朗2*4,IL ±S U+1-J U H b^t^a ・■14. ?,SI 豐朋，蜡m mW !^-i'」』一z = b2 粕・星1 屈I 斗3<j-<L0P+^m ；/-3! 的荊为0」.2*3,4.5 + 6x15H D 毅示：e总Q 1«, A 17. C ■示耳2 IS- H】■•撮示i苦山丄J由*酬足"和的”丽孔如星菖中3 t I'W-ttio.與检由炬时債此弭点丈孙-3-i<u< Ja4.Ufft^-Wi^d-ism.A BWXW^T»tS«>3 «J<-3rl. AP^Ik提朋门巴知第式町址为「J+2+ |x-il+ ljr+11 r Iy-5| =0-由意玮值的几伺童史fth当一2 WmW L吐一IWy啞丘时" 上式曲立・軸当占乂一氛$工一1时，丁十*哲号小價冉一卄当£=1 ,$=/*<* +，的最山飢为骚IX (1)k-A||C»不祚畔士社±趴± 】*0。

初中数学竞赛专题选讲绝对值(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.18）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(-x x解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.（2）解方程2-+x x =6.解：当x<0时，x=－2；当0≤x ≤2时，方程无解；当x>2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2， x=4..（3）作函数y=2-+x x 的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；y=2 (0≤x ≤2) ；y=2x －2 (x>2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象. 0 2X<0 0<x<2 x>23. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3<x ； ③解不等式32>＋x . 解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，∴方程3=x 的解是x=3, x=－3.②∵3<x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3<x 的解集是－3＜x ＜3.③∵2+x 的零点是x=－2,∴32>＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）4. 绝对值的简单性质：①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x1-2 0 --5（2）当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x 2－2x －3的图象，可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3）把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .（4）利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；当x>0时，原方程为x=ax+1, x=011>a－, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a ≮1，∴a 的取值范围是a ≥1.例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值. 解：当x<0时， y=－x+6；当0≤x<3时，y=－3x+6；当x ≥3时， y=x －6 .根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），∴x=1.②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3∴x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是：－5≤x ≤－3 或－1≤x ≤1②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，∴x=2±(1±a) .当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y=12--x 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0<a<1；两个解，则 a=0 或a>1；一个解，则a 不存在；无解，则a<0.三、练习1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程6-2-+x x =0的解是________.3. 方程21-++x x =3的解是________.4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.13. 解方程451=-+-x x .14. 作函数y=12+-x x 的图象.15. 选择题：①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（）（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（）（A ）{}23<<-x x ：(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：(E) φ（空集）参考答案1. －7，1.2. .2. –2.3. 3. –1≤x ≤2.4. 4. –1，4.5. 5.－2≤x ≤0， 5≤x ≤86. –2<x<37.空集.28. 0<x<39.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1.10.仿例1.11.仿例512. 函数的最大值是11，最小值是5.13. 1≤x≤5.15.(D),(A).。

初中数学绝对值基础1含答案

绝对值基础1一．选择题（共50小题）1．﹣2的绝对值为（）A．﹣B．C．﹣2D．2 2．﹣8的绝对值是（）A．8B．C．﹣8D．﹣3．﹣2的绝对值是（）A．2B．C．﹣D．﹣2 4．计算|﹣3|的结果是（）A．3B．C．﹣3D．±3 5．2019的相反数是（）A．B．﹣C．|2019|D．﹣2019 6．|﹣6|＝（）A．﹣6B．6C．﹣D．7．﹣2019的绝对值是（）A．﹣2019B．2019C．﹣D．8．系统找不到该试题9．﹣3的绝对值是（）A．﹣B．﹣3C．D．3 10．|﹣2019|＝（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣11．﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣12．﹣8的绝对值是（）A．8B．﹣8C．D．﹣13．﹣2的绝对值为（）A．﹣B．2C．D．﹣2 14．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．±2D．15．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．16．﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．±2D．17．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2 18．﹣的绝对值为（）A．B．3C．﹣D．﹣3 19．5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣20．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．±2 21．﹣的绝对值是（）A．﹣5B．C．5D．﹣22．﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．D．﹣23．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．C．3D．±3 24．﹣6的绝对值是（）A．6B．﹣6C．D．﹣25．﹣3的绝对值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9 26．﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．﹣C．2D．27．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣28．﹣3的绝对值是（）A．3B．﹣3C．D．29．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．﹣30．的绝对值是（）A．5B．C．﹣5D．31．﹣2018的绝对值是（）A．B．﹣2018C．2018D．﹣32．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．33．﹣的绝对值是（）A．B．C．D．34．﹣2018的绝对值是（）A．2018B．﹣2018C．D．±2018 35．2018的绝对值是（）A．2018B．﹣2018C．D．36．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5D．5 37．如图，点A所表示的数的绝对值是（）A．3B．﹣3C．D．38．﹣2018的绝对值是（）A．2018B．﹣2018C．D．﹣39．﹣3的绝对值是（）A．±3B．﹣3C．3D．40．﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．41．﹣的绝对值是（）A．2B．C．﹣D．﹣2 42．﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．43．|﹣3|＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣44．﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．45．|﹣5|的相反数是（）A．﹣5B．5C．D．﹣46．﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．﹣C．D．2 47．﹣8的绝对值是（）A．﹣8B．8C．±8D．﹣48．﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017B．2017C．1D．﹣1 49．﹣2的绝对值是（）A．±2B．2C．﹣2D．50．﹣2017的绝对值是（）A．﹣2017B．2017C．±2017D．绝对值基础1参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．解：﹣2的绝对值为：2．故选：D．2．解：﹣8的绝对值是8．故选：A．3．解：﹣2的绝对值是2．故选：A．4．解：|﹣3|＝3．故选：A．5．解：2019的相反数是﹣2019，故选：D．6．解：﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．故选：B．7．解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：B．8．9．解：﹣3的绝对值是3．故选：D．10．解：|﹣2019|＝2019．故选：A．11．解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．12．解：﹣8的绝对值是8．故选：A．13．解：﹣2的绝对值为2，故选：B．14．解：﹣2的绝对值是：2．故选：A．15．解：|﹣|＝，故选：B．16．解：﹣2的绝对值是：2．故选：B．17．解：|﹣|＝，故选：B．18．解：﹣的绝对值等于，故选：A．19．解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5，所以5的绝对值是5，故选：A．20．解：|﹣2|＝2，故选：A．21．解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣|＝，故选：B．22．解：|﹣2|＝2，故选：B．23．解：﹣3的绝对值是3．故选：C．24．解：|﹣6|＝6，故选：A．25．解：﹣3的绝对值为3，即|﹣3|＝3．故选：A．26．解：因为|﹣2|＝2，故选：C．27．解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．故选：A．28．解：|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3．故选：A．29．解：﹣3的绝对值是：3．故选：B．30．解：的绝对值是．故选：D．31．解：﹣2018的绝对值是：2018．故选：C．32．解：﹣的绝对值是：．故选：D．33．解：||＝，故选：A．34．解：﹣2018的绝对值是：2018．故选：A．35．解：2018的绝对值是：2018．故选：A．36．解：||＝，故选：B．37．解：|﹣3|＝3，故选：A．38．解：﹣2018的绝对值是2018．故选：A．39．解：﹣3的绝对值是3．故选：C．40．解：|﹣2|＝2．故选：B．41．解：||＝，故选：B．42．解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：A．43．解：|﹣3|＝3．故选：A．44．解：|﹣3|＝3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．45．解：根据绝对值的定义，∴|﹣5|＝5，根据相反数的定义，∴5的相反数是﹣5．故选：A．46．解：∵﹣2＜0，∴|﹣2|＝﹣（﹣2）＝2．故选：D．47．解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝8．故选：B．48．解：﹣2017的绝对值是2017，故选：B．49．解：﹣2的绝对值是2．故选：B．50．解：﹣2017的绝对值是2017，故选：B．。

初中数学《含绝对值符号的一元一次方程》专题训练(含答案)

含绝对值符号的一元一次方程一、填空题1.方程21302x --=的解为．二、解答题2.解方程1121123x x +--+-=3.解方程：2121x x -+=+4.解方程：23143x x x +--=-5.解方程154x x -+-=6.解方程124x x -+-=7.解方程4321x x +=-8.解方程525x x -+=-9.解方程134x x -+-=10.解方程2131x x -=+11.解方程4329x x +=+12.解方程：（1）1x = （2）235x +=13.解方程525x x -+=-14.解方程4329x x +=+含绝对值符号的一元一次方程答案解析一、填空题1.方程可化简为216x -=，令210x -=，则12x =当12x <时，方程可化为126x -=，解得52x =-，检验符合12x <，∴52x =- 当12x ≥时，方程可化为216x -=，解得72x =，检验符合12x ≥，∴72x = 综上所述，72x =或52x =- 【解析】零点分段法二、解答题2.85x =或185x =-原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者1315x +=-，所以原方程的解为85x = 或185x =-3.由题意得210x +≥，∴12x ≥-原方程变形为22x x -=或222x x -=--，∵221x --≤-，∴222x x -=--舍由22x x -=知0x ≥，方程可变形为22x x -=或22x x -=- 解得2x =-或23x =，检验，2x =-舍综上所述，原方程的解为23x =4.令230x +=与10x -=，则32x =-和1x =若32x <-，则原方程可化为[](23)(1)43x x x -+---=-，解得15x =-，检验不符合32x <-，∴15x =-不是原方程的解若312x -≤≤，则原方程可化为[](23)(1)43x x x +---=-，解得5x =，检验不符合312x -≤≤，∴5x =不是原方程的解若1x >，则原方程可化为(23)(1)43x x x +--=-，解得73x =，检验符合1x >，∴73x =是原方程的解综上所述73x =是原方程的解5.设“x ”“1”“5”在数轴上分别用“P ”“A ”“B ”来表示，由题意得，原方程可变形4PA PB +=如图，当点P 在点A 左侧时，设PA a =，4PB a =+，则原方程可变形为44a a ++=，解得0a =，与题意不符合如图，当点P 在线段AB 上时（包含端点），4PA PB AB +==，符合题意，∴15x ≤≤如图，当点P 在点B 右侧时，设PB b =，4PA b =+，则原方程可变形为44b b ++=，解得0b =，与题意不符合综上所诉，原方程的解集为15x ≤≤ 【解析】绝对值的几何意义6.设“x ”“1”“2”在数轴上分别用P ，A ，B 来表示，则原方程可化为4AP PB +=①如图,当点P 在A 点左侧时，设PA a =，1PB a =+，则原方程可化为14a a ++=5B 1511A解得32a =，∴31122x =-=-②如图，当点P 在线段AB 上时，由24PA PB +=≠矛盾，③如图，当点P 在B 点右侧时，设PB b =，1PA b =+，则原方程可变形为14b b ++=，解得32b =，∴37222x =+=综上所述，原方程的解为12x =-或72x = 【解析】绝对值的几何意义7.依据绝对值的非负性可知210x -≥，则12x ≥，那么容易得到430x +>∴原方程可变形为4321x x +=-，解得2x =-，检验不符合12x ≥，舍 ∴原方程无解8.令50x -=，则5x =当5x <，原方程化为525x x -+=-，解得10x =- 检验符合5x <，10x =-是原方程的解当5x ≥，原方程化为525x x -+=-，解得0x = 检验不符合5x ≥，0x =不是原方程的解，舍去综上所述，10x =-是原方程的解【解析】零点分段法9.令10x -=，30x -=，则1x =，3x =P 2112P12当1x <时，原方程可化简为：(1)(3)4x x ----=，0x = 检验符合1x <，0x =是原方程的解；当13x ≤<时，原方程可化简为：1(3)4x x ---=，此方程无解；当3x ≥时，原方程可化简为：134x x -+-=，4x = 检验符合3x ≥，则4x =是原方程的解；综上所述，原方程的解为：0x =或4x =．【解析】零点分段法10.令210x -=，310x +=，则12x =，13x =-当13x <-时，原方程化为1231x x -=--，2x =- 检验符合13x <-，∴2x =-是原方程的解当1132x -≤<时，原方程化为1231x x -=+，0x = 检验符合1132x -≤<，∴0x =是原方程的解当12x ≥时，原方程化为2131x x -=+，2x =- 检验不符合12x ≥，∴2x =-不是原方程的解综上所述，2x =-或0x =是原方程的解【解析】零点分段法11.令430x +=，则34x =-当34x ≤-时，原方程可化简为：4329x x --=+，2x =- 检验符合34x ≤-，2x =-是方程的解．当34x >-时，原方程可化简为：4329x x +=+，3x = 检验符合34x >-，3x =是方程的解．综上所述2x =-和3x =是方程的解．【解析】零点分段法12.1x=±；1x=或4x=-【解析】（1）我们知道x代表的含义是数轴上代表“x”的点到原点的距离，而到原点距离等于1的点有两个，分别位于原点两侧，“1+”“1-”，∴1x=±（2）若将23x+做为整体，根据绝对值的意义，原方程可化为235x+=或者235x+=-，解得1x=或4x=-（若将2x作为整体，则可理解为“2x”到“3-”的距离等于5的点是多少）推荐第一种理解方式13.易知250x--≥，则52 x≤-由552x x-=--，得552x x-=--或5(52)x x-=---，所以0x=或10x=-．经检验知0x=方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为10x=-．14.依据绝对值的非负性可知290x+≥，即92x≥-．原绝对值方程可以转化为①4329x x+=+，解得3x=，经检验符合题意．②43(29)x x+=-+，解得2x=-，经检验符合题意．综上所述，2x=-和3x=是方程的解．。

3.绝对值问题(含答案)-

绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。

初一数学@数学竞赛专题讲座七年级第4讲_解读绝对值(含答案)

绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：2．绝对值基本性质 ①非负性：；②；③； ④； ⑤；⑥．3．绝对值的几何意义从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知，，，且，那么＝． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知是有理数，，，且，那么． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题）（4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组．（首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 0≥a ba ab ⋅=)0(≠=b ba b a222a a a ==ba b a +≤+b a b a b a +≤-≤-a a b a -a b 1=a 2=b 3=c c b a >>c b a -+d c b a 、、、9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a =---c d a b 5=x 1=y =+--y x y x m n 05=-+n m ),(n m c b a 、、c b a >>x y【例2】如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或C ．2或D ．0或 (山东省竞赛题) 思路点拨根据的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键．【例3】已知互为相反数，试求代数式：的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值．【例4】化简(1)； (2)； (3)．思路点拨 (1)就两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由，得．【例5】已知为有理数，那么代数式的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨在有理数范围变化，的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段、是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)≥0，即非负数有最小值为0；(2)若，则②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知，求的最大值和最小值．（“希望杯”邀请赛试题）思路点拨解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．c b a 、、0=++c b a abcabc c c b b a a +++1-2-2-b a 、12--b •ab 与)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab b a 、12-x 31-+-x x 121++--x x 012012<-≥-x x ，1<x 02101=--=+x x ，3,11==-=x x x ，a 4321-+-+-+-a a a a a 4321----a a a a 、、、a a n a 2a 0=+++h b a 0====h b a 36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x z y x 32++基础训练1．若有理数、满足，则． 2．已知，，且，那么= ． 3．已知有理数在数轴上的对应位置如图所示：则化简后的结果是．（湖北省选拔赛题) 4．若为有理数，那么，下列判断中：(1)若，则一定有； (2)若，则一定有； (3)若，则一定有；(4)若，则一定有．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数，1，，那么表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知是任意有理数，则的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若与互为相反数，则与的大小关系是( )． A ． B ． C ． D ．8．如图，有理数在数轴上的位置如图所示，则在，，，，，中，负数共有（） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)； (2)．10．求满足的非负整数对的值． (全国初中联赛题) 11．若，则；若，则． 12．能够使不等式成立的的取值范围是． l3．与互为相反数，且，那么＝． 14．设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是． (江苏省竞赛x y +-2)1(2002x 0112=+-y x =+22y x 5=a 3=b a b b a -=-b a +c ba 、、b ac a c -+-+-1b a 、b a =b a =b a >b a >b a >b a >b a =22)(b a -=a 1-1+a a a a --1++b a 2)1(+-b a a b b a >b a =b a <b a ≥b a 、b a +a b 2-a b -b a -2+a 4--b 3223++-x x 1331++--x x 1=+-ab b a ),(b a 2-<x =+-x 11a a -==---21a a 0)1)((<+-x x x x a b 54=-b a 12+++-ab a bab a c b a 、、c b a ≤≤a c c b b a -+-+--232ba1-1题) 15．使代数式的值为正整数的值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果，则等于（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果，那么代数式在的最小值是（）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与有关的代数式 18．设，，则的值是（）． A ． B ．1 C ．3或 D ．或1 19．有理数均不为零，且，设，试求代数式的值．20．若为整数，且，求的值．21．已知，设，求M 的最大值与最小值．22．已知，求代数式的值．xx x 43-x 02=+b a 21-+-bab a 150<<p 1515--+-+-p x x p x 15≤≤x p p 0=++c b a 0>abc cba b a c a c b +++++3-1-3-c b a 、、0=++c b a ba c ac b cb a x +++++=20029919+-x x c b a 、、19919=-+-ac b a c b b a a c -+-+-1,1≤≤y x 421--++++=x y y y x M 02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x 20032002212222x x x x+---答案： 1.2.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式= (2)原式= 10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得或11.-2-x 、-1 12.x<-1 提示:因│x │≥x,│x │-x ≥0,故1+x<0. 13.提示:ab=-b 2=-│b │2=- 14.16 15.D16.B 提示:原式=17.C 18.B19.提示:a 、b 、c 中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即=-1, =-1, =-1, 所以,, 中必有两个同号,另一个符号与其相反,• 即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a 、b 、c 都为整数,则a-b 、c-a 均为整数,则│a-b │、│c-a•│为两个非负整数,│a-b │19+│c-a │99=1, 只能│a-b │19=0且│c-a │99=1…………① 或│a-b │19=1且│c-•a │99=0……………②, 由①得a=b,且│c-a │=1,│b-c │=│c-a │=1; 由②得c=a,且│a-b │=1,•│b-c │=│a-b │=1, 无论①或②,都有│a-b │+│c-a │=1,且│b-c │=1, 故│c-a │+•│a-b │+│b-c │=2.21.提示:-1≤x ≤1,-1≤y ≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y ≤0时,•M=5-2y,得3≤M ≤7; 当x+y ≥0时,M=2x+5,得3≤M ≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,3736351()2325()23251()3x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x x x x x x x x x x --<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩||10a b ab -=⎧⎨=⎩||01a b ab -=⎧⎨=⎩425425|2||||||4|2||a a a a a -++abc +b c a +c a b+||a b c +||b c a +||c a b+故M 的最大值为7,最小值为3. 22.由题意得:x 1=1,x 2=2,… ,x 2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2提高训练1．计算：=______． (重庆市竞赛题)2．代数式的最小值为______．（北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知，化简式子：得______．4．若、、、为互不相等的有理数，且那么___． 5．设是有理数，则的值（）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数（广东省中考题） 6．已知，化简所得的结果是________． 7．若，，那么的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数、、的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（）． A ． B ． C ． D ．9．已知，且、、都不等于0，求的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知、、满足，且，则代数式的值为______．（四川省竞赛题） 11．若有理数、、满足，则=______．（“希望杯”邀请赛试题）214131412131---+-131211++-++x x x c b a <<<0c b a c b a b a -+--++-2a b c d 1=-=-=-b d c b c a =-d a a a a -m m -=21---m m 3=a 5=b b a b a --+a b c 0>++c b a c b a <+c a c a +=-a c c b ->-abcabc cc bb aa x +++=a b c x a b c 0))()((=+++a c c b b a 0<abc ccb b a a ++m n p 1=++pp nn mm mnpmnp32cb a12．设、、是不为零的有理数，那么的值有（）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种（“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数、、都不为零，且C 是AB 的中点．如果，那么原点的位置在（）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若，则等于（）．A ．B ．C ．D ． (四川省竞赛题) 15．已知、、、是有理数，，，且，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由．（山东省竞赛题）a b c ccb b a a x -+=a b c 0222=-+--+--+c b a c b c a b a O 2-<x x y +-=11x +2x --2x x -a b c d 9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a c d a b ---B C A cba。

【初中数学】专题三十七与字母有关的绝对值的化简 (练习题)

专题三十七与字母有关的绝对值的化简 (361)1.在数轴上表示a ，0，1，b 四个数的点如图所示，已知O 为AB 的中点．求|a +b|+|ab |+|a +1|的值．2.已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a +4|+(b −1)2=0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a −b|．(1)求2018b +a 的值； (2)求|AB|的值；(3)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|−|PB|=2时，求x 的值． 3. 数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求x =|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a ，b 的正负做出讨论，又注意到a ，b 在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．” 解：①当两个字母a ，b 中有2个正数，0个负数时，x =|a|a+|b|b=1+1=2；②当两个字母a ，b 中有1个正数，1个负数时，无论谁正谁负，x 都等于0； ③当两个字母a ，b 中有0个正数，2个负数时，x =|a|a+|b|b=−1−1=−2.综上，若a ，b 均不为零，x 的值为−2，0，2. (1) 若a ，b ，c 均不为零，求x =|a|a+|b|b−|c|c的值．(2) 若a ，b ，c 均不为零，且a +b +c =0，直接写出式子 b+c |a|+a+c |b|+a+b |c|的值．4.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|={−m （m ＜0）0（m =0）m （m ＞0）现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，如化简式子|m +1|+|m −2|时，可令m +1=0和m −2=0，分别求得m =−1，m =2(称−1，2分别为|m +1|与|m −2|的零点值，我们把这种方法叫做“零点分段法”)．在实数范围内，零点值−1和2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①m <−1；②−1≤m <2；③m ≥2.从而化简式子|m +1|+|m −2|可分以下3种情况： ① 当m <−1时，原式=−(m +1)−(m −2)=−2m +1； ② 当−1≤m <2时，原式=m +1−(m −2)=3；③当m≥2时，原式=m+1+m−2=2m−1.综上所述，原式={−2m+1(m<−1)，3(−1≤m<2)，2m−1(m≥2)通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|x−5|和|x−4|的零点值；(2)化简式子|x−5|+|x−4|；(3)求式子|x−5|+|x−4|的最小值．5.有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b−c0；a+b0；c−a0.(2)化简：|b−c|+|a+b|−|c−a|．6.有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简式子：|b|+|a−c|+|b−c|−|a−b|．参考答案1.【答案】:解：因为O 为AB 的中点，所以a +b =0，a =−b ，所以|a +b|=0，|ab |=1.由数轴可知a <−1，则a +1<0. 从而|a +1|=−a −1.所以原式=0+1−a −1=−a ． 2(1)【答案】解：因为|a +4|+(b −1)2=0，所以a =−4，b =1，所以2018b +a =2014.(2)【答案】|AB|=|a −b|=|−4−1|=5.(3)【答案】当点P 在点A 左侧时，|PA|−|PB|=−(|PB|−|PA|)=−|AB|=−5≠2；当点P 在点B 右侧时，|PA|−|PB|=|AB|=5≠2.所以上述两种情况中的点P 不存在．当点P 在点A ，B 之间时，|PA|=|x −(−4)|=x +4，|PB|=|x −1|=1−x ．因为|PA|−|PB|=2，所以x +4−(1−x)=2，解得x =−12，即x 的值为−12． 3(1)【答案】解：①当a ，b ，c 都为正数时，x =|a|a+|b|b−|c|c=1+1−1=1.②当a ，b ，c 为两正一负时，分为以下三种情况：当a >0,b >0,c <0时，x =|a|a +|b|b −|c|c =1+1+1=3；当a >0,b <0,c >0时，x =|a|a +|b|b −|c|c =1−1−1=−1；当a <0,b >0,c >0时，x =|a|a+|b|b−|c|c=−1+1−1=−1.③当a，b，c为两负一正时，分为以下三种情况：当a<0,b<0,c>0时，x=|a|a +|b|b−|c|c=−1−1−1=−3；当a>0,b<0,c<0时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1−1+1=1；当a<0,b>0,c<0时，x=|a|a +|b|b−|c|c=−1+1+1=1.④当a，b，c都为负数时，x=|a|a +|b|b−|c|c=−1−1+1=−1.综上所述，x的值为1,3,−3,−1.(2)【答案】因为a，b，c均不为零，且a+b+c=0，所以a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时，b+c |a|+a+c|b|+a+b|c|=−a|a|−b|b|−c|c|=−1−1+1=−1；②当a，b，c为两负一正时，b+c |a|+a+c|b|+a+b|c|=−a|a|−b|b|−c|c|=1+1−1=1.综上所述，所求式子的值为−1或1.4(1)【答案】解：令x−5=0，x−4=0，分别解得x=5，x=4.故|x−5|和|x−4|的零点值分别为5和4.(2)【答案】当x<4时，原式=5−x+4−x=9−2x；当4≤x<5时，原式=5−x+x−4=1；当x≥5时，原式=x−5+x−4=2x−9.综上所述，原式={9−2x(x<4)，1(4≤x<5)，2x−9(x≥5)．(3)【答案】当x<4时，原式=9−2x>1；当4≤x<5时，原式=1；当x≥5时，原式=2x−9≥1.故式子|x−5|+|x−4|的最小值是1.5(1)【答案】解：由图可知，a<0，b>0，c>0且|b|<|a|<|c|，所以b−c<0，a+b<0，c−a>0.故答案为<，<，>．(2)【答案】|b−c|+|a+b|−|c−a|=(c−b)+(−a−b)−(c−a)=c−b−a−b−c+a=−2b．6.【答案】:解：由数轴可得b>0，a−c<0，b−c>0，a−b<0，故|b|+|a−c|+|b−c|−|a−b|=b+c−a+b−c−(b−a)=b．。

绝对值化简(已知未知数的取值或取值范围进行化简)

初中部七年级数学 (学科)导学案学案编号：班级：姓名：执笔：陈懿审核：审批：印数： 42 教师评价：课题：绝对值化简（已知未知数的取值或取值范围进行化简）〖学习目标〗借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值〖重点难点预见〗去绝对值正负的判断〖学习流程〗一.知识回顾：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.二.自主学习：1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。

【例1】当1x =-时，则22x x -++= ．【例2】已知15x <≤，化简15x x -+-【例3】若0a <，化简a a --.【例4】已知3x <-，化简321x +-+.【例5】如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.三.课堂检测：1.若a b <-且0ab >，化简a b a b ab -+++.2.若a b <，求15b a a b -+---的值.3.若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于．4.设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．5.若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．7.（1）若0a <，试化简233a aa a --．（2）.若0x <，化简23x xx x ---．。

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