云南省昭通市昭阳区2018-2019学年八年级(下)期中数学试卷

2018-2019学年八年级第二学期期中数学试卷
一、填空题
1．﹣的相反数是．
2．分解因式：m3﹣m＝．
3．已知菱形的周长为20，一条对角线长为6，则边长是，它的面积是．4．若二次根式有意义，则x的取值范围是．
5．一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为．它的外角和为．
6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．
二、选择题（每题4分，共32分）
7．下列计算正确的是（）
A．B．5＝5C．D．
8．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）
A．，，B．6，7，8C．12，25，27D．2，2，4 9．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种
10．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 11．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，点D是斜边AB的中点，点E 是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（）
A．2B．+1C．D．2
12．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
13．下列说法中错误的是（）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
14．如图，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，图中阴影部分的面积是（）
A．80cm2B．50cm2C．30cm2D．20cm2
三、解答题（共9题，共70分）
15．计算：
（1）﹣9+；
（2）×﹣÷﹣|1﹣|．
16．最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．
17．解不等式组并写出它的所有整数解．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，
求证：BE＝AB．
19．列方程或方程组解应用题：
某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且两队在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
20．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，求△ABE的面积和周长．
21．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
22．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF ＝BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
23．观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
参考答案
一、填空题（每题3分，共18分）
1．﹣的相反数是．
【分析】根据相反数的定义进行填空即可．
解：∵﹣的相反数是，
故答案为．
【点评】本题考查了实数的性质以及算术平方根，掌握相反数的定义是解题的关键．2．分解因式：m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：m3﹣m，
＝m（m2﹣1），
＝m（m+1）（m﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
3．已知菱形的周长为20，一条对角线长为6，则边长是5，它的面积是24．【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2＝AB2，已知AB＝5，AO＝3，即可求得BO，即可求得BD的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．解：AC＝8，则AO＝CO＝3，
∵菱形周长为20，
∴AB＝5，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴BO＝4，
∴DB＝8，
∴菱形的面积S＝×6×8＝24．
故答案为5：24．
【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求BO的值是解题的关键．
4．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，则4x+1≥0．
解：由题意，得4x+1≥0，
解得x≥﹣．
故答案是：x≥﹣．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为8．它的外角和为360°．【分析】根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°可计算出边数，再根据多边形外角和为360°可得答案．
解：设它的边数为n，由题意得：
（n﹣2）×180＝1080，
解得：n＝8，
它的外角和为360°；
故答案为：8；360°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和公式和外角和定理，关键是熟练掌握内角和公式（n﹣2）×180°．
6．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为18．
【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、
AM即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故答案为18．
【点评】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．
二、选择题（每题4分，共32分）
7．下列计算正确的是（）
A．B．5＝5C．D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
解：不能合并，故选项A错误，
，故选项B错误，
，故选项C错误，
，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
8．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（）
A．，，B．6，7，8C．12，25，27D．2，2，4
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
解：A、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，此选项错误；
B、62+72≠82，故不是直角三角形，此选项错误；
C、122+252≠272，故不是直角三角形，此选项错误；
D、（2）2+（2）2＝（4）2，故是直角三角形，此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；
（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．解：依题意得有四种组合方式：
（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；
（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；
（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
10．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
解：A、∠BAC＝∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC＝∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．
11．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，点D是斜边AB的中点，点E 是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（）
A．2B．+1C．D．2
【分析】作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'＝60°，则AB＝AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE＝DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离＝AC＝，所以最小值为．
解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BE+DE＝DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为B'到AB的距离＝AC＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
12．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB，
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
13．下列说法中错误的是（）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的定义知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，根据菱形的定义及性质知四条边都相等的四边形是菱形即可解答．
解：根据矩形的定义及性质知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，故A，B正确；
根据菱形的定义及性质知对角线互相垂直的矩形是正方形，也是菱形，故C正确；
对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定及矩形的判定，属于基础题，关键是掌握矩形的定义及性质，菱形的定义及性质．
14．如图，将长方形纸片ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，图中阴影部分的面积是（）
A．80cm2B．50cm2C．30cm2D．20cm2
【分析】根据已知条件得到△ABF∽△FCE，根据相似三角形的性质得到＝，求出AF＝10，得到AD＝AF＝10，然后运用S阴影＝S矩形ABCD﹣2S△ADE，代入数值计算即可解决问题．
解：如图，∵CD＝AB＝8，CE＝3，
∴EF＝DE＝8﹣3＝5；
由勾股定理得：CF＝4；
由折叠的性质得：AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°；
∵∠B＝∠C＝90°；
∴∠BAF+∠AFB＝∠AFB+∠EFC，
∴∠BAF＝∠EFC，而∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE，
∴＝，即＝，
解得：AF＝10．
∴AD＝AF＝10．
∵S△AEF＝S△ADE，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣2S△ADE
＝10×8﹣2××10×5
＝80﹣50＝30．
故选：C．
【点评】该题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．根据△ABF∽△FCE，求出AF＝10，得到AD＝AF＝10是解题的关键．
三、解答题（共9题，共70分）
15．计算：
（1）﹣9+；
（2）×﹣÷﹣|1﹣|．
【分析】（1）先化简各二次根式化简，再合并同类二次根式即可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
解：（1）原式＝4﹣3+2＝3；
（2）原式＝﹣﹣（﹣1）
＝﹣﹣+1
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
16．最简二次根式与是同类二次根式，求3a﹣b的值．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
解：由最简二次根式与是同类二次根式，得
，
解得，
则3a﹣b＝2．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
17．解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“大小小大中间找”确定不等式组的解集，继而可得答案．
解：解不等式4（x﹣1）≤3（x+2）得：x≤10，
解不等式＜x﹣4得：x＞7，
∴不等式组的解集为：7＜x≤10，
则该不等式组的整数解有：8、9、10．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD，求证：BE＝AB．
【分析】可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形BECD是平行四边形．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD，
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∴BE＝CD．
∴BE＝AB．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
19．列方程或方程组解应用题：
某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且两队在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
【分析】设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出分式方程，解方程即可．
解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得﹣＝4，
解得：x＝50．
经检验：x＝50是原方程的解．
所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的数量关系列出分式方程，解分式方程时要注意检验未知数的值是否符合原方程，是否符合实际意义．
20．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，求△ABE的面积和周长．
【分析】由矩形的性质可得BC＝AD＝1，∠C＝∠D＝90°，可证△AED与△BCE为等腰直角三角形，可求DE＝AD＝1，CE＝BC＝1，AE＝BE＝，AB＝2，即可求解．解：∵在矩形ABCD中，BC＝AD＝1，∠C＝∠D＝90°，且∠DAE＝∠CBE＝45°，∴△AED与△BCE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝1，CE＝BC＝1，AE＝＝，BE＝＝，
∴AB＝DE+CE＝1+1＝2，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝2++＝2+2，
∴△ABE的面积＝AB•AD＝×2×1＝1．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
【分析】（1）由BE∥AC，EC∥BD，得出四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB＝OC，即可得出结论；
（2）由正方形的判定方法即可得出结论．
解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和正方形的判定方法，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
22．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF ＝BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE＝BC＝CE＝6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE＝6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG＝BE•sin60°＝6×＝3，
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝6×3＝18．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得△BEC是等边三角形是关键．
23．观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．。