北师大的群论__第四章点群

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p144-173讲稿北师大的群论

p144-173讲稿北师大的群论第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论第三章完全转动群复习：正当转动矩阵为⎛cosϕ+λ2(1-cosϕ)λμ(1-cosϕ)-νsinϕ2R=μλ(1-cosϕ)+νsinϕcos ϕ+μ(1-cosϕ) ⎝νλ(1-cosϕ)-μsinϕνμ(1-cosϕ)+λsinϕλν(1-cosϕ)+μsin ϕ⎫⎪μν(1-cosϕ)-λsinϕ⎪⎪2cosϕ+ν(1-cosϕ)⎭可以验证满足detR=1，χ(R)=1+2cosϕ用欧拉角表示的正当转动矩阵⎛cosαR(α,β,γ)=sinα0⎝-sinαcosα00⎫⎛cosβ⎪0⎪0 -sinβ1⎪⎭⎝0sin β⎫⎛cosγ⎪10⎪sinγ00cosβ⎪⎭⎝-sinγcosγ00⎫⎪0⎪⎪1⎭⎛cosαcosβcosγ-sinαsinγ=sinαcosβcosγ+cosαsinγcosγsinβ⎝cos αcosβ⎫⎪-sinγsinαcosβ+cosαcosγsinαsinβ⎪⎪sinβsinγcosβ⎭-sinγcosαcosβ-sinαcosγ可以验证 detR(α,β,γ)=1 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。

记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。

记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR Pz,θ=e-iηˆθLz（3.2-5）（3.2-18）Pωˆ,θ=e-iηϖˆθω⋅L下面构造SO(3)群的2l+1维的表示：l一定的2l+1个球谐函数Ylm(θ,ϕ)，构成一个2l+1维的完备的表示空间Pωˆ,αYl(θ,ϕ)=mˆ,α)m'm∑Yl(θ,ϕ)D(ωm'm'l 表示的特征标：Pz,αYl(θ,ϕ)=Pl(cosθ)emmim(ϕ-α)=Yl(θ,ϕ)em-imα得到第m列的表示矩阵元D(z,α)m'm=el-imαδm'm（3.2-28）表示矩阵为⎛e-i(-l)α0 MlD(z,α)=0 M0 0⎝0e-i[-(l-1)]αΛΛO000M001O eΛ-i(l-1)α00⎫⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪-ilα⎪e⎭则第l个表示中，转角为α类的特征标为lsin(l+e-imα122)αχ(α)=l∑=sinm=-lα特征标表（示意）α0601212010-11180Λl=01l=13l=25l=37M1Λ局限性：只有奇数维的不可约表示。

群论电子版第四章

第四章点群及其应用4.1点群点群是正交群？的离散子群.离散群?是指这个群对三维空间中的任意矢量？作用后,得到点集？并使空间的每一个有界子集中只包含这个点集的有限个点。

在点群的全部正交变换下三维空间至少有一点是不动的,所以,点群不包括平移(等距离变换),点群是有限的离散群。

如果一个系统在某一正交变换下不变(即与自身重合),那么这个变换就是系统的一个对称操作.一个系统拥有的对称操作越多,表明它的对称性越高.一个系统的全部对称操作组成的群是点群,称为这个系统的对称性群。

乍看起来,点群好像会有很多,其实不然.下面就来找出全部可能的点群。

正当转动点群由于正当转动与非正当转动是一一对应的,所以可先从正当转动出发,找出全部可能的正当转动点群,然后适当地配上非正当转动,就可以找到全部可能的点群。

正当转动点群的群元都是一些绕某轴转动?角的操作(记作?),而且同样的操作连续实行m次的的话,系统应与最初情况一样,即？。

因此,m是大于等于1的整数。

相应于?转动轴则称为m度轴。

如果能够知道在三维空间中能有几种m度轴，而且这些m度轴是如何配置组成正当转动点群的，那么，正当转动点群的数目也就知道了。

这种设想可以用下面的方法来实现。

以坐标原点为球心画一个单位半径的球。

如果存在一个m度轴的话，那么这个轴就必与球面交于两点？及？。

当绕这m度轴转动时，球面上的点将移动至球面上的其他位置（如从？），但？和？却保持不动，这种点成为极点。

若转轴是一个m度轴，则极点就称为m重极点。

绕m度轴转动的操作是？，？，？，这些操作构成了一个循环群？，它是点群？的一个子群。

可见子群？的每个群元都保持m重极点？，？不动。

如果点群？不是子群？本身，那么，必然存在某些群元？而不属？。

？也是一个转动操作，其作用是m重极点从？移动到？（？移动到？）处，？点同样也是m重极点，因为？表示由于？的作用，m度轴？移至？，转动？角后又将？轴转回？处。

可见？轴是与？轴等价的m度轴（？，？是共轭元），而？则与？一样是个m重极点。

群论第4章

S 1D( R) S D( R) 或 D( R) S D( R)S 1
则称（在不相同的基下得到的）这两个表示是等价的，否则就是不等价的
等价表示的对应矩阵是相似矩阵，它们的迹相等；
同理，维数相同的表示，只要所有对应矩阵的迹相等，
则是等价的。可见，可通过相似变换进行转变的表示，互为等价表示。
1 0 0 D ( xz ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D (C2 ) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 D( yz ) 0 1 0 0 0 1
C2v四个元素对应表示矩阵群的乘法表：
通过讨论对称操作作用于分子中某点的坐标
所产生的变换效应，即可求得对称操作的矩阵表示。
一.恒等操作E的表示矩阵 D(E)
( x, y, z) ( x, y, z)
E
x ' x 0 y 0z y ' 0x y 0z z ' 0x 0 y z

x ' 1 0 0 x y ' 0 1 0 y z ' 0 0 1 z
可约表示经由相似变换可被约化成如下不可约表示：
1 2 3
D
1A
, D1 B , D2 B , D3 B
... ...
D D
2A
3A
...

1 2 3 ...
既可约表示被分解为1，2，3 ...等表示的直和
练习：
C2v的四个对称操作在选择不同基时，求其不同的矩
1 0 0 D( xz )= 0 1 0 0 0 1
( x, y, z ) ( x, y, z )

04章分子的对称和群

Cnv 是 S2n
是 Ci
否 S2n?
否 i?
否 C1
否 Cn
一些化学中重要的点群
点群对称元素(未包括恒等元素)
举例
Cs 仅有一个对称面 C1 无对称性 Cn 仅有一根n－重旋转轴 Cnv n－重旋转轴和通过该轴的镜面 Cnh n－重旋转轴和一个水平镜面 C∞v 无对称中心的线性分子 Dn n－重旋转轴和垂直该轴的n根C2轴 Dnh Dn的对称元素、再加一个水平镜面 D∞h 有对称中心的线性分子
ONCl, HOCl
SiFClBrI
H2O2, PPh3 H2O, NH3 反－N2F2 CO，HCN Cr(C2O4)33－ BF3，PtCl42－ H2, Cl2
Dnd Dn的对称元素、再加一套平分每一C2轴的垂直镜面 Sn 有唯一对称元素(Sn映轴) Td 正四面体分子或离子，4C3、3C2、3S4和6d
B2Cl4,交错C2H6
S4N4F4 CH4, ClO4－
Oh 正八面体分子或离子，3C4、4C3、6C2、6d、3h、i SF6
Ih 正二十面体，6C5、10C3、15C2及15σ
B12H122－
分子点群的分类：5 类 1. 无轴群—无Cn轴或Sn轴的群
如 C1，
H
C
F
Br
Cl
Ci，
H
Cl
F
F
Cl
第四章分子对称性与点群
本章重点
掌握分子轨道理论及其应用；掌握对称操作与对称元素的概念；了解常见无机分子（离子）所属的点群；掌握运用对称性知识判断分子的偶极矩和旋光性的方法
2.1 对称元素与对称操作
如果分子各部分能够进行互换，而分子的取向没有产生可以辨认的改变，这种分子就被说成是具有对称性。

4-第四章-晶体学点群

《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所隋曼龄
2007.3.1-4.6
第一章对称操作第二章二维晶体学第三章群论初步第四章晶体学点群第五章点阵、晶系与晶体学中的坐标系第六章空间群的推导第七章空间群图表的认识与使用
G = H U nH
G = HU 1nH
由G可给出 G ：
设G为纯旋转点群，且有个指数为2的子群H，则作出
的集合 G = H U 1(G \ H ) 必为非纯旋转点群。
其中 1(G \ H ) 表示把点群G中除子群H之外的对称
操作n全部换成非纯旋转操作的所得的集合。
找出11个纯旋转晶体学点群G的指数为2的子群H，将
cos w = cosW + cosU cosV sinU sinV
A
w
U=α/2
B V=β/2
cosu = cosU + cosV cosW sinV sinW
v
u
W=γ/2
cosv = cosV + cosW cosU
C
sinW sinU
二、晶体中旋转轴的可能组合
U、V、W为旋转角之半，则对于1，2，3，4，6次旋转轴， U，V，W的值为：
Octahedral
六、小结：
点群
1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
11个第一类（纯旋转）晶体学点群及子群
阶
子群
11
2 12
31
3
4 12
4
6 123
6
4 12
222
6 123
32
8 12

群论应用-第4章相变,畴与群论

4, 相变: 反相畴的产生改变了平移对称元素, 晶胞的大小改变了,
而晶胞的点对称元素不变, 即G 和 G0 有相同的点群。 *
5, 例1, 钙长石
10
1) 钙长石的高温相属I1空间群，其群元为 (1| 0 0 0); (1| 0 0 0); (1 |1/2, 1/2, 1/2);
(1 |1/2, 1/2, 1/2)
3, 空间群 P2’ca 是空间群 Pbac 的子群 (二) 相变引起的晶畴
一, 畴结构 (1) 晶畴: 经过由对称破缺引起的结构相变, 在低温相的晶体中普遍存在着畴结构。这是因为，具有低对称性的低温相通常是简并的，存在着能量相同而状态不同(如取向不同 ) 的晶态，这就形成了晶畴。
[ 这里与前面低对称性微扰引起能级分裂的情况不同, 那里只在一个晶态中, 状态 (如取向) 是确定的. ] (2) 畴界：晶畴与晶畴之间出现畴界 ( 晶界 )。 *
素( 1| τ)，则畴结构为反相畴结构。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2, 畴界: 因为作为畴界操作元素的陪集元素为平移操作，
故此畴界称为平移畴界 ( translation boundaries );
3, 畴界操作: 作为畴界操作的平移操作τ的平移量为晶体某平移
轴移距的n/m, n和m为正整数, 且n < m, n/m 常见值为1/2;
变成超导体;
c, 低温相属Pmmm空间群，为群P4/mmm的子群，群元为左边的八个对称元素
2) 陪集分解: {P4/mmm } = {Pmmm } + (m[110] | 0, 0, 0) {Pmmm } 3) 晶态（畴态）数： n = 16 / 8 = 2
但结构发生了变化。也称为连续相变或结构相变。

北师大结构化学第4章分子对称性和群论

北师大结构化学第4章分子对称性和群论第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程的重要内容。

本章主要介绍了分子对称性和群论的基本概念，分子对称元素的分类，分子对称性的测定方法，以及如何利用群论分析分子的物理性质等内容。

首先，我们来介绍一下分子对称性的概念。

分子对称性是指分子在空间中具有对称性的特征。

对称性可以分为轴对称性和面对称性两种。

轴对称性是指分子围绕一个轴线旋转180°后能够重合，而面对称性是指分子能够分成两部分，在一个平面上旋转180°后能够重合。

根据分子对称元素的类型，分子可以分为三类：单反射面分子，具有一个反射面；多反射面分子，具有两个或更多的反射面；旋转反射面分子，具有一个旋转反射面。

这些分子对称元素的存在与否决定了分子的对称性。

测定分子对称性的方法有很多种，其中比较常用的是Infrared (IR)光谱法和微波光谱法。

IR光谱法是利用分子中特定的振动频率和对称性之间的关系来判断分子的对称性；微波光谱法则是利用分子的自由度和对称性之间的关系来判断分子的对称性。

利用群论分析分子的物理性质是分子对称性研究的一个重要方面。

群论是数学的一个分支，用来研究对称性和变换的关系。

在化学领域，群论应用广泛，可以用来描述分子中原子的位置和分子的振动等性质。

通过分子的对称群分析，可以确定分子的光谱活性、电子转移、化学反应的速率等一系列物理性质。

在分子对称性和群论的学习中，还需要了解一些基本的概念，如对称操作、置换、等价、置换群、分类、标识号等。

这些概念在群论分析中起到了重要的作用，可以帮助我们理解分子的对称性和群论的原理。

总的来说，第4章分子对称性和群论是北师大结构化学课程中的一章重要内容。

通过学习这一章，我们可以了解到分子对称性的基本概念和分类，以及如何利用群论分析分子的物理性质。

这对我们理解分子结构和性质，以及在化学研究中的应用具有重要意义。

分子点群

1) Cn群 n 2（分子只有一个对称元素 n 重旋转轴 Cn）
元素：E，Cn
操作： Eˆ,Cˆn1, ,Cˆnn1
阶数：n
H Cl
Cl C2
Cl
H
Cl
H HH
H
H
H
O C2 H
O H
C2轴平分二面角。
过氧化氢
4.3. 分子点群
2) Cnv群产生：Cn + nv
元素：Cn群＋n v
操作： Eˆ,Cˆnk (k 1, n 1),nˆv
4.1. 对称操作和对称元素
Sn与In关系
I1
S
2
i
I2 S1
I3 S6 C3 i
I4 S4
I5 S10 C5 i
I6 S3 C3
S1
I
2
S2 I1 i
S3
I
6
C3
S4
I
4
S5 I10 C5
S6
I
3
C3
i
负号代表逆操作，即沿原来的操作退回去的操作。
分子点群的分类：5 类，16 个群
4.3. 分子点群
1. 无轴群——无Cn轴或Sn轴的群，如 C1，Ci，Cs群
1) C1群：元素 E；操作 Eˆ
C1 group = {E}，分子完全不对称群的阶(order)＝1
H
C
F
Br
Cl
一氟一氯一溴甲烷
4.3. 分子点群
2) Ci 群：元素 E, i；操作 Eˆ iˆ ，阶为2
第四章分子对称性和群论基础
4.0. 对称
目标: 从对称的观点研究分子立体构型（几何构型）和能量构型 ( 电子构型 ) 的特性。

[理学]北师大的群论__第四章点群

第四章点群及其应用复习：§4.1 点群点群描写系统的宏观对称性；平移对称操作与微观对称性、空间群。

能带。

正当转动点群及其非任意性（除球之外）极点、极点星（ν,m ）除单位元外，群的极点数满足有即 2)111(121<+++-≤λλm m m得到 λ= 2 或3组：两个极点星（n ，1）、（n ，1）；Cn 群三个极点星（2，n ）、（2，n ）、（n ，2）；Dn 群（2，6）、（3，4）、（3，4）； T 群（2，12）、（3，8）、（4，6）；O 群（2，30）、（3，20）、（5，12）；P 群第一类点群（正当转动点群）, 11个，第二类点群（含有非正当转动点群），21个晶体点群共有32个。

准晶体，包含5度对称轴的点群；新增加了5个晶系、28个准晶点群。

§4.2 晶体点群的对称操作及对称元素晶体点群的对称操作：4种8个（1）c n，（5个）（2）镜面反射（镜面反映）σ （3）中心反演 I（4）旋转反射（旋转反映）s n（只有s 4独立）对称操作之间的关系：（1）同轴的两个转动（2）两个镜面的连续操作～转动（转角）（3）（镜面）（转动）～镜面（夹角）（4）C 2vC 2u ～ C w （转角，转轴）（5）可对易的对称操作对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。

（1）对称元素之间的关系：两镜面（夹角）之间的交线，必为一转轴；（镜面）+（n 度转轴）→共n 个镜面；两个2度轴（）→垂直的n 度轴；2度轴+与之垂直的n 度轴→共n 个2度轴。

（2）某些特殊的对称元素主轴等价轴、等价面双向轴（定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法（群的图示）极射投影图（无主轴）作业：1. 习题4. 12. 图示上述6对可对易的对称操作。

3. 习题4. 3§4.3 晶体点群§4.3.1 32个晶体点群附：可能的正多面体，只有5种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。

北京大学群论-第四章_点群

第四章点群点群是物理学中有限群的重要例子，在分子物理、固体物理、化学等领域中有广泛应用。

§4.1 三维实正交群O (3)本节讨论三维欧氏空间R 3中的正交变换。

【定义4.1】 (三维欧氏空间R 3)定义了内积的实数域上的三维线性空间，记为R 3。

·系1 选定一组正交归一基（k j i,,）， 3R r ∈∀ ， k x j x i x r 321++=，R x x x ∈321,,·系2 内积(点乘)：r ∀，3R r ∈' ，332211)|(x x x x x x r r '+'+'=' ·系3 向量长度：3R r ∈∀ ，232221x x x r ++=·系4 向量r 和'r 的夹角α满足()r r r r ''=/c os α【定义4.2】（实正交变换）保持R 3中向量长度不变的线性变换称为实正交变换，记为O ，即3R r ∈∀ ，有()()r r r O r O =。

·系1 实正交变换是幺正变换。

3R r ∈∀ ，()()()r r r O O r r O r O ==+ 故有O O +=E ，E 为恒等变换。

故r ∀，3R r ∈' ，有()()()()r r r E r r O O r r O r O '='='='+ 故O 保持内积不变。

1)(d e t ))(d e t (d e t )d e t (2===++O O O O O故det O = ±1, O -1 = O +·系2 实正交变换保持R 3中矢量夹角不变。

()()r O r O r O r O r r r r ''=''= αcos ·系3 对于任意r r O ,和与r O 处于以原点为球心以r 为半径的球面上。

(完整word版)p106-159讲稿北师大的群论

第二章群表示理论§2.12 表示的直积矩阵的直积（1)定义 βαγ⊗= 例如：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211ααααα， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211ββββββββββ 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()(22211211βαβαβαβαγ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332232223122332132213121232222222122232122212121132212221122132112211121331232123112331132113111231222122112231122112111131212121112131112111111βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 维数(阶）n ×m（2）定理若βαγ⊗=，βαγ⊗=,则有)()())((ββααβαβαγγ⊗=⊗⊗=直积表示（1）定义:群G 的两个表示，表示矩阵为D a （A ）， D b （A ）则表示矩阵的直积，也是群G 的一个表示D a （A ）⊗D b（A ）称为直积表示（一般是可约表示）。

(2）直积表示的特征标baχχχ⋅= （2.12—6）（3）直积表示的约化∑∈=GR j j R R g a )(*)(1χχ （2.6-6）即 ∑∈=GR ba j j R R R g a )()(*)(1χχχ （4）直积表示的基函数若直积表示 D （A)= D i (A ）⊗D j（A ），不可约表示的基函数分别为D i:｛)(1r i ϕ、)(2r i ϕ、…、)(r il iϕ}D j：{)(1r jφ、)(2r j φ、…、)(r j l jφ｝则直积表示有j i l l ⨯个基函数,分别是j n im m n φϕψ= (2.12—10)§2。

13 直积群的表示复习：§1。

群论课程教学大纲

群论课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；所属专业：理论物理课程性质：专业基础课学分：3（二）课程简介、目标与任务；课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。

群论课程主要介绍群的基本知识、有限期的基本表示理论、点群、李群和李代数的基本知识。

通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，理解对称性及其在物理学中的应用，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。

本课程是为本科高年级学生所开设的课程，总教学时数为54学时，3学分，开课学期为本科生第七学期。

目标与任务：让大学四年级理论物理专业的研究生掌握《群论》这一门数学工具的基础知识，为研究生阶段的课程(如《量子场论》、《高等量子力学》、《李群和李代数》等)打下坚实的数学基础。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：线性代数、微积分后续相关课程：李群和李代数关系：《群论》课的基础主要为《线性代数》和《微积分》，《线性代数》的线性空间理论和矩阵理论为《群论》线性表示理论的基础，《微积分》为《群论》中微积分相关内容的基础知识。

《群论》课为后续课程《李群和李代数》的基础，《李群和李代数》是《群论》课的关于连续群的进一步深入，两者之间在内容上为承上启下的关系。

（四）教材与主要参考书。

教材：自编讲义主要参考书：1. 段一士教授《群论》讲义2. 韩其志、孙洪洲，《群论》，北京师范大学出版社，1987年3. 马中骐，《物理学中的群论》3. 约什，《物理学中的群论基础》［M］4. 怀邦，《典型群及其在物理中的应用》［M］5. 徐婉棠、喀兴林，《群论及其在固体物理学中的应用》6. W. Joshim, 《Elements of Group Theory for Physics》7. Hamermesh, 《Group Theory and its Application to Physical problems》二、课程内容与安排第一章群的基本知识1.1 群的定义1.2 子群和陪集1.3 共轭元素和类1.4 不变子群和商群1.5 同态和同构1.6 直积群1.7 变换群（一）教学方法：讲授学时分配：12学时（二）内容及基本要求主要内容：本章主要介绍群的基本知识，包括群的定义和举例，群的重排定理，一个群的子群与陪集、不变子群与商群的基本概念，以及相应的拉格朗日定理和商群相关定理，然后介绍两个群之间的关系，即同态关系和同构关系，以及相应的定理，最后介绍由两个群来构造一个比较大的群的基本方法，即直积群。

北师大结构化学第4章分子对称性和群论

(a) (b) 题6图联苯C 6H 5-C 6H 5的构象 7. 写出ClHC=CHCl （反式）分子全部对称操作及其乘法表。解：反式ClHC=CHCl 有1个过C=C 键中心、与分子平面垂直的 2C 轴，1个过分子平面的h σ面，对称中心i 。对应的对称操作为：2 ????,,,h C i E σ，它们构成2h C 点群。其对称操作的乘法表为：
8. 写出下列分子所属的分子点群（用熊夫利斯符号表示），并指出它们是否有偶极矩和旋光性。解：(1) HC CH ≡分子点群：h D ∞，无偶极矩和旋光性。 (2) 22H C CH =分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。 (3) SiH 4分子点群：d T ，无偶极矩和旋光性。 (4) Ni(CO)4 （为平面结构）分子点群：4h D ，无偶极矩和旋光性。 (5) 重叠式Fe(C 5H 5)2分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。 (6) 环丙烷C 3H 6分子点群：3h D ，无偶极矩和旋光性。 (7) OCS 分子点群：v C ∞，有偶极矩，但无旋光性。 (8) B 2H 6 分子点群：2h D ，无偶极矩和旋光性。 (9) IF 7（五角双锥）分子点群：5h D ，无偶极矩和旋光性。
???()yz xz C z σσ= 证明：(1) 因为对称操作2 ??(),xy C z σ的矩阵为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?010001xy σ=- 所以2 1 00100100???()010010010001001001 xy C z i σ--=-=-=--，由此得证。 (2) 因对称操作22 ??(),()C x C y 的矩阵为： 2100?()010001C x =-- 和 2 100 ?()0100 01C y -=- 故222 1 00100100???()()0100 10010()001001001 C x C y C z --=-=-=--，即分子中若存在2()C x ，2()C y 轴时，则该分子一定存在2()C z 轴。由此得证。 (3) 对称操作?yz σ 和?xz σ的矩阵为： 100 ?010001yz σ -= 和 100?010001 xz σ =则21001 00100???010010010()001001001 yz xz C z σ σ--=-=-=，即分子中若存在yz σ和xz σ面时，则该分子一定存在过其交线的2()C z 轴。 6. 联苯C 6H 5—C 6H 5有三种不同构象，两苯环的二面角(α)分别为：(1) α = 0，(2) α = 90o ， (3) 0<α<90o ，试判断这三种构象的点群。解： (1) α = 0（见题6图（a ））时，联苯C 6H 5-C 6H 5中有3个相互垂直的2C 轴（1个过C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键中心、与分子平面垂直，1个在分子平面内、垂直平分C 1-C 7键），3个σ面（1个h σ，2个v σ）（1个与分子平面重合，1个垂直平分C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键、与分子平面垂直），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2h D 点群。 (2) α = 90o 时（见题6图（b ）），该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5中，有3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为相互垂直的二苯环面的角平分线），2个d σ面（分别为二苯环所在的面），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2d D 点群。 (3) 0<α<90o 时，该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5分子中的对称面消失，仅存在3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为夹角在 0~90o 间的二苯环面的角平分线），故该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2D 点群。

群论第四章2

3、可约表示就类似假分数，可进一步约化，不可约是最简分数
4.5 群表示的重要定理
1、广义正交定理
i R mn R j R m'n '
R

h li lj
i j mm ' mn '
1
1、 i R mn 第i个不可约表示中，与操作R对应的矩阵第m行
和第n列的元素表为 i R mn 2、每逢包括虚数或复数时，等式左边的一个因子必须取复共轭（用＊表示），包括复数时必须用1式
0 1
则其定义为：一个分子的全部对称操作形成一个群，若将这些对称操作用变换矩阵表示，这些变换矩阵也形成
一个群，通常把这样的矩阵群叫作相应点群的表示
4.2 表示的基
点群的对称操作得有其作用的对象，代表变换的矩阵得有其变换的对象。通常我们将选作群对称操作的作用
对象的基矢，称为形成该群的这一表示的基（basis），
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 001
v
100 010 00 1 100 010 00 1
v'
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 3 3 0 2 2 1 2
3、若方便起见，略去复共轭的部分，则可将1式写成：
R R R 0
i mn j mn R
i≠j 3
2
R R R 0
i mn i m 'n ' R
若m≠m’或n ≠n’；或同时m≠m’或n ≠n’
i R mn Ri R mn h
2

物理学中的群论基础第四章

当参数, 在区间[ 上取值. 转角θ当参数 θ在区间 π, π]或[0, 2π]上取值这个群记作或上取值这个群记作SO(2). 绕通过三维空间中固定点的所有轴的旋转的全体是一个群, 例5. 绕通过三维空间中固定点的所有轴的旋转的全体是一个群其元素可由Euler角表征此群记作角表征. 其元素可由角表征此群记作SO(3). 4.1.1 拓扑群由于群元素的连续性质, 需要在群中引入拓扑. 由于群元素的连续性质需要在群中引入拓扑简单起见, 只讨论这样的群, 其元素可与r维实内积空间的某个子集简单起见只讨论这样的群其元素可与维实内积空间的某个子集 Sr的点建立一一对应的关系该子集将被称为参数空间的点建立一一对应的关系. 该子集将被称为参数空间参数空间. 代表与群G元素对应的S 是元素x的象令P(x)代表与群元素对应的 r中的点称P(x)是元素的象代表与群元素x对应的中的点. 是元素的象. 考虑S 中点P(x)的一个领域这是 r中满足下列条件的一个领域. 考虑 r中点的一个领域这是S ||P ′ P(x) ||< ε, (ε为一正实数为一正实数) 的所有点P 的集合. 也可以将其称作P(x)的ε领域记作 ε . 于是邻的所有点 ′的集合也可以将其称作的领域, 记作N 的点就是构成G的元素的邻域z 的元素的象. 用符号表示, 的的元素x的邻域域Nε的点就是构成的元素的邻域 ε的元素的象用符号表示 x的邻域z 邻域 ε是满足下面条件中元素x 的G中元素 ′的集合中元素的集合: ||P(x ′) P(x) ||< ε.
上页式中只有k0的项不为零这给出若在一般表达式中令mj可看到k的唯一可能值是零这给出交换这些矩阵都是对角的对角元都不相等p一定也是对角矩阵ab不恒等于零从而p亦即p必为一常数矩阵

第4章分子对称性和点群

56
物理化学 I
第四章分子对称性和点群
10. I, Ih
Ih — 6C5 , 10C3, i ; g =120
C60
2016/8/10 复旦大学化学系
C180
57
物理化学 I Th, T, O, I
第四章分子对称性和点群
Th
h =24
2016/8/10
T
h =12
复旦大学化学系
O
h =24
58
C
O
2016/8/10
复旦大学化学系
52
物理化学 I
第四章分子对称性和点群
8. T, Th, Td
Td — 4C3 , 3C2, 6d ;
g =24
H H C H H
2016/8/10 复旦大学化学系 53
物理化学 I
第四章分子对称性和点群
C3
Cl
C3
Cl Cl
C3
Cl
C3
CCl4
C10H16 (adamantance)
47
物理化学 I
第四章分子对称性和点群
7. Dnd
d Cn n d
Dn + d d C2 S2n
g=4n
2016/8/10
复旦大学化学系
48
物理化学 I
第四章分子对称性和点群
D2d (E, 2S4, C2, 2C2’, 2d)
C2'
H C H
2016/8/10
C2'
C
F
C1
B r I Cl
CFClBrI
2016/8/10
复旦大学化学系
27
物理化学 I
第四章分子对称性和点群

群论课件chap4

A11 A A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
称为三维转动矩阵，Aij均为实数
2)基矢的转动
当三维空间中的算符B作用于该空间的基矢i,j,k,并保持正交归一化关系不变时，就得到该空间的一组新基矢i’,j’,k’, 新旧基矢之间的关系为

B12 B22 B32
B13 A11 B23 A21 B33 A31
A12 A22 A32
A13 x A23 y A33 z

由上式得到
BA I 0 (单位矩阵)
B A1 B A
1
结论：坐标不动而转动矢量的操作与矢量不动而往反方向转动坐标系的操作是一样的
???????????????????????????????333231232221131211zyxzyxaaaaaaaaa其中矩阵1???????????333231232221131211aaaaaaaaaa称为三维转动矩阵aij均为实数2基矢的转动当三维空间中的算符b作用于该空间的基矢ijk并保持正交归一化关系不变时就得到该空间的一组新基矢ijk新旧基矢之间的关系为???空间中任一矢量在新旧坐标中可以写成空间中任一矢量在新旧坐标中可以写成???bkji??kji??写成矩阵形式则为zkyj?xi?zkyj?xir????????????????????333231232221131211bbbbbbbbbkji??kj?i????????????????????????zyxkji??zyxkj?i???23将1式和2式代入3式得???????????????????????????????????????????????????zyxbakji??zyxaaaaaaaaabbbbbbbbbkji??zyxkji????333231232221131211333231232221131211由上式得到0iba?单位矩阵结论

群论第四章

R( , , ) R( z , ) R( y, ) R( x , )
4) SO(3) 群的元素
SO(3)群的群元也可用三个欧拉角, , 来标
记. SO(3)转动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕z轴转角,0 <2; (2)绕新的y轴(y’轴)转角, 0 ; (3)绕新的z轴(z’’轴)转角, 0 <2. 即:
所以，
和
一定属于同一共轨类。
6).SO(3)群的特征标由上述定理可知，在SO(3) 群的任意表示中，群元素的特征标只依赖于转角的大小而与转轴无关。
因此，为求SO(3) 群的特征标。无需知道在所有旋转下基函数的复杂的变换性质，而可选z 轴为旋转轴。我们已知对球谐函数的作用为：
因此在基函数的矩阵表示是对角的。
h11 h12 x x y y z z r h h h22 21 x iy z x iy z
其中泡利矩阵为：
0 1 0 i 1 0 x 1 0 , y i 0 , z 0 1 因x、y、z为实数，故 h h ，即 h 为厄米矩阵。
3
cos
1
cos
2
sin
1
sin
2
n1 n2
3）转动操作的解析形式 ① 算子形式：

R( n , )r [cos (1 cos )nn I n sin ]r
其中
转轴的方向余弦为 n1 , n2 , n3 ，即 n n1i n2 j n3 k n1n1 n1n2 n1n3 nn n2 n1 n2 n2 n2 n3 n n n n n n 3 2 3 3 3 1

北师大的群论__第四章 点群

p144-173讲稿北师大的群论

群论电子版第四章

群论第4章

04章分子的对称和群

4-第四章-晶体学点群

群论应用-第4章 相变,畴与群论

北师大结构化学第4章分子对称性和群论

分子点群

[理学]北师大的群论__第四章 点群

北京大学群论-第四章_点群

(完整word版)p106-159讲稿北师大的群论

群论课程教学大纲

北师大结构化学第4章分子对称性和群论

群论第四章2

物理学中的群论基础第四章

第4章分子对称性和点群

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群论第四章

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群论应用-第4章相变,畴与群论

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