项目反应理论简介

项目反应理论（IRT）
项目反应理论 （Item Response Theory）
三个理论假设 • 单维性假设 • 局部独立性假设 • 项目反应模型（项目特征函数）
项目反应模型
单参数模型（Rasch模型）
P( )＝1exepx(p(－－b)b)
双参数模型
P(
)＝ 1
exp[ Da(－b)] exp[ Da(－b)]
参数估计时标尺的建立
P(0.5;1.0,-0.8,0.2)=P(2;1.0,0.7,0.2) =P(2;2.0,-0.15,0.2)
P

0.2

1
1 0.2 e 1.710.5( 0.8)


0.2

1
1 0.2 e 1.71( 2 0.7 )
参数的含义（b）
参数的含义（b）
参数的含义（c）
极低能力被 试答对的概
率为0 c=0
参数的含义（c）
低能力被试 可能答对的 可能性不为0
C=0.2
单参数模型
双参数模型
三参数模型
项目反应模型参数的估计
试题
试题参数
考生对ຫໍສະໝຸດ Baidu题的回答
a
b
c
1
2
3
4
5
1 1. 00 0.25 0.10 1 1 0 0 0

max

b

1 1.7a
ln( 1 2

1 8c ) 2
• 测验信息函数（试题信息函数之和）
信息函数（例）
试
试题参数
题a b c
1 1.80 1.00 0.00
P( )
a( b)
1 eZ2 / 2dZ
2
三参数模型
P(
)＝c

(1
c)
exp Da(－b) 1 exp Da(－b)

c

1

exp
1 c
Da(

b)
项目反应模型的参数
• 单参数模型 双参数模型 三参数模型
参数的含义（a）
参数的含义（a）
经典测量理论的信度
• 信度的概念
“真实分数方差在观测分数方差中所占的比率”
• 信度系数的估计方法
– 重测信度（稳定性系数） – 复本信度（等值性系数） – 内部一致性信度 – 评分者信度
• 信度系数的应用 Se St 1 rXX
经典测量理论的试题参数
• 难度指标（通过率或得分率P值）
P X X max
1
1 0.1 e1.71.6(0.51.25)

0.205
能力参数的估计方法
• 极大似然法（ML）
– 使已知反应模式的似然函数值达到最大
• MAP（Maximum a Posteriori）
– 使后验概率函数值达到最大
• EAP（Expected a Posteriori）

1


c3

1
1 c3 e1.7a3 ( b3 )


0.1
1
1 0.1 e 1.71( 0.5 0.25)

0.1
1
1 0.1 e1.70.5(0.51.32)

1
0.1
间的关系 • 在测验编制问题上的困惑
准备知识
• 标准分数
Z XX S
• Z>0，高于平均，Z<0，低于平均 • P(-1.96<Z<1.96)=0.950 • P(-3<Z<3)=0.997
A1 1 1 0 1 0 0 0 1 16 B0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 6 C1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 7 D1 1 1 0 0 0 0 0 0 14 E11110110107 F11000010115 G1 1 1 0 1 1 0 0 1 17 H0 1 1 1 1 0 1 1 1 18 I 10001001104 J 01100010014 总7 8 7 3 6 4 5 3 8 7
• 区分度指标（鉴别力指数D或相关 系数r） D＝ PH－PL
经典测量理论的测验编制
• 假设被试的特质是正态分布，从而 测验总分的分布也是正态
• 测验分数尽可能区分被试，因此测 验总分的变异程度越大越好
• 测验中试题的难度中等为好，区分 度越大越好
经典测量理论的缺陷
• 参数依赖于样本 • 能力量表与难度量表不统一 • 对于所有被试的测量误差相等 • 无法反应潜在特质与被试作答之



0.2

1

e
1 0.2
1.720.5(
0.15 )

– 通常将被试能力平均值设定为0
信息函数
• 试题信息函数
I ( ) Var(ˆ | )1
I ( )
(P)2 PQ
1.7a2 (1 c) [c e1.7a( b) ][1 e1.7a( b) ]2
项目反应理论简介
华东师范大学心理系 文剑冰
经典测量理论（CTT）
• 经典测量理论的假设 X＝T＋E
• 经典测量理论的信度 • 经典测量理论的效度 • 经典测量理论的试题参数 • 经典测量理论的测验编制
经典测量理论的假设
• 观察分数＝真分数＋误差分数 X＝T＋E
• 观察分数与误差分数之间互相独立 • 误差分数的平均数为0 • 多次测量的误差分数之间相关为0
3 1.60 1.25 0.10
• 极大似然估计和贝叶斯估计（联合后验分布的众数）
对θ=0.5时似然函数的计算
L( ) P1( )P2 ( ) 1 P3( )


c1

1
1 c1 e1.7a1 ( b1 )



c2

1
1 c2 e1.7a2 ( b2 )
2 0.50 1.32 0.10 1 0 0 1 0
3 1.60 1.25 0.10 1 0 1 1 0
项目反应模型参数的估计
• 反应模式（110）的概率： • L＝P1P2Q3
试题 试题参数
考生能力
abc 1 1. 00 0.25 0.10
0.50 1.00 1.50 似然函数值
2 0.50 1.32 0.10 0.205 0.235 0.150
– 后验概率函数值的平均数
估计项目参数的方法
• 联合极大似然估计法（JMLE）
• 边际极大似然估计法（MMLE）
• 条件极大似然估计法（CMLE）
• 联合估计时标尺的建立（通常设能力均数为0）
– P(0.5;1.0,-0.8,0.2)=P(2;1.0,0.7,0.2) =P(2;2.0,1.35,0.2)