高等数学(下)07-第七讲作业
高等数学第七章 习题答案
习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。
答：（1）单位球面 （2）单位圆 （3）两个点 （4）直线。
2． 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？ 答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。
4． 解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6． 设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。
大学高数下册试题及答案,第7章(共7页)
大学高数下册试题及答案,第7章第七章多元函数微分学作业1多元函数 1．填空题已知函数，则；的定义域是；的定义域是；函数的连续范围是全平面；函数在处间断. 2．求下列极限；解：. 解：由于。
故 3．讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数 1．填空题设，则；设，则；设，则；曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2．设。
证明. 证:因为所以3. 设，求，. 解从而4．设，证明.解：因为所以 5．设函数. 试求的偏导函数；解：当，当，考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3全微分及其应用 1．填空题在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；函数在点处，当时有全增量，全微分；设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；在点处的； ,则； ,则； ,则. 2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微. 证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3．设函数试证：函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的函数在点处不连续. 证：当不存在，故在点处不连续作业4 多元复合函数的求导法则 1．填空题设，则；设，则；设，则；设，则. 2．求下列函数的偏导数设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：设，其中均可微，求和. 解：因为从而所以 3．验证下列各式设，其中可微，则；证：因为所以设，其中可微，则. 证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为从而左边作业5隐函数求导法 1．填空题已知，则；已知，则；已知，则；已知，则；已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为。
第七章习题课高等数学教学课件第七章
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 10 M2
M1 L
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例8.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
转曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
旋转轨迹上任一点, 则有
z x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
z
L
rr
Mo
M0
y
x
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cos 3 , cos 5 , cos 4
51
50
50
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例6.
求过直线L:
x 5y z 0 xz40
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
n1
4
n
其法向量为 n1 {1 , 5, 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4, 8}
习题课
07级工科《高等数学》下试题.doc
《高等数学》（下）试题（A）闭卷（7）适合专业年级：07环科、电商、计算机、食工、电气、贪质、建环;水利、农机；木科、土管（农）、环规；地理、土管（测）；生态、城管等姓名_学号专业______________ 班级____________木试题•一共五道大题，共4页，满分100分，考试时间120分钟。
总分题号—‘二三四五阅卷人题分1012125610核分人得分注：1.答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废。
2.试卷若有雷同以零分计。
一.是非题（每小题2分，共10分.正确打人错误打X.） 1、limw n=0是级数$人收敛的充要条件.zt=l7. ¥级数含一^x"的收敛半径n=\ (- 3)'1A. ¥8. 3 C. 2 D. 1A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、若曲而27:x2 + y2 +^2= a2，则孙？ +/ +ZZ 2)dS =(级数a (-i) Zl-\fn是绝对收敛.3、若V为W的体积一半，则dxdydz = 2V .4、常微分方程;v it 4），= 0的特征根是土2 .5、若向量场，则旋度^+―^+―& 拽V二、选择填空（每小题3分，共12分.）6、f(x,y)dy =C. ^dy^f(x,y)dx B. ' f(x,y)dxD. ' f(x,y)dxA. pa4B. 2pa4C. 4pa4D. 6pa4三、填空（每小题4分，共12分）0办= __________________ 10、若户^，”，^（人:^在^巧平而内积分与路径无关，则$/^+11、c os«是有向曲面S在处的法向量的方向余弦，由两类曲面积分关系，有虫科P cos adS = ____________12、对于微分方程y it f （y, y），若令尸= ________ ，y & _____________ ，则化为降阶可解.四、解答题（每小题7分，共56分）A xds ,其中，L是上半岡周x2+y2=2x, 0.13、i in6 [e、cosx_ y]dx-^- [e y sinx+ y- x]dy ,其中，L 力4x2 + 9），2 = 36 在14、计算 / =第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.2 215、I = x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy ,其中，S ：—7+ -p- 1，外侧.c16、计算/= cos yjx2 + y2 dxdy,其中，D:x2 y2P2.1)17、计算/=龄斗(x2+ >,2 + z2- z)dxdydz，其屮，W: x2 + + z2a2.~ x n+118、求¥级数x? ( 1,1)的和阑数S(x). H=I n20、求微分方程x2/ + xy = y2,刈）=-1的特解.五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x）= /（0^+2,（1）求/（x），（2）把/（x）展开成又的¥级数.07级《高等数学》（下）试题A参考答案和评分标准（2007-2008学年第2期）一、是非题（毎小题2分，共10分.正确打V，错误打X.） XXV XX二、选择填空（每小题3分，共12分.）DBAC三、填空（毎小题4分，共12分）2 2 215、计算/ — 觀 x 2dydz + y 2dzdx + z,2clxdy , s:*+fr+fr=i ，外侧‘解根据高斯公式及三重积分的对称性质，得 /=齦 x 2dydz + y 2dzdx+ z 2dxcly =虫科（2x+ 2y+ 2z ）dv= 016、计算/=虫科 cos^/x 2+)，2 dxdy ，其中 £>:x 2+y解极坐标计算< dJ () cosr ?rJr 2p ?[r sin r cosrj = -4p (7 分)四、解答题（毎小题7分，共56分）13、计算义也，£是上半圆周X2+），2=2X ,0.z , ,x = 1 + cosf，z 解令. (0 < z < ^), y = sin t(3分)则虫,(1 + cos t)yj(- sinz)2 + (cos ，)2t/z = p（7分）14、计算/= 6IX C0SA '- y]dx+ [e y sinx+ y- x]dy , K 中 L 为 4x 2+9y 236在第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.解由于#=fcosx- 1=所以曲线积分与路径无关.选择折线路径(3,0)(0,0) (0,2)（3分）d K cosx- y]dx+ [e ysinx+ y- x}dyos xdx + ydy= 2 - sin 3（7分）（7分）a'2P 217、计算/=虫科(x2+ )’2+ z2- ^)dxdydz ,其•中，V : %2 + V2 + z2a2解山球平.标和对称性I =虫柳科^2+/+ z2）dxdydz-嫩zd 又dydz （3分）dJ siny dj（7分）°° w+i18、求幂级数, jv? （ 1，1）的和函数只x）./?=!x n解令久⑴二刃二，X?（ 1，1），逐项求导得, trr noo'1=1n=l 1-X（3分）因此，5,(x)= Q ------- d t= - ln(l- x)，x? ( 1，1)z o1所以，S(x) = xS} (%) = -x ln(l -x), xe (-1J) （7分）19、/（x）周期是2p,—个周期闪/（%）= •x2，（-/? < x /?），把/（x）展开成企弦级数.解：6Z0 = —x2dx= -^―2 P 7a、、=— A cos nxdx =4l)n—,(H= 1,2,3,L)显然，b n= 0，（n= 1，2，L ）（5分）*7 2f(x) = —+ cosnx= —+ (- l)n— cosnx , x? ( ?，) (7 分)2 n=i3 M=i n20、求微分方程x2/ + ;vy = y2, }<1)= - 1的特解.解(1)变形得 Bernoulli 方程y0+ x J y= Z 2y2两端同除以y2，令还-/2z，i ； - ] - 2 o - I - 2-Z x z= X ! z X z= - Xx [（ix11+ 2Cx 2clx+ c =——+ Cx= ------------2x 2x由 y （l ）=- 1，得 C=3， （6分）所求特解为v= （7分）1- 3x 2五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x ）= Q 綾八 f （f ）dt+ 2, （1）求/0），（2）把/0）展开成x 的¥级数.解⑴ /如）=2，- /（x ）,记尸/（x ），得yiib ），= 2e\y （0）= 0，y （0）= 2 ①（2 分）特征方程r 2+ 1= 0,特征根r, 2 = i对应齐次方程通解y= C, cos%+ C 2sin%（4分）2x3 y=I7^’ 由）’（卜1 得（6分）所求特解>，=2x1- 3x 2（7分）解（2）将原方程变形，得// \22、义/XUdxu+ x —^代入上式，得clu X ——=U dxdx2- 2u（3分）分离变W:积分得u — 2 2 "" y ~2 C?,即Cx（3分）因为/ = 1不是特征根，可设特解代入方程①得A = 1)，(0) = 0, ><0) = 2 得 = - 1，C 2 = 1 所以 /(x)= sinx • cosx+ e x （7分）(2) /(%)= sinx- cosx+ e x s_丄人丄人丄•V + —X' 3! 5!7! X 7 + LT丄义2 + 2! 4! 6! x 6 + L+ %+ — 4- —x 3 + —x 4 + —x 5 + —x 6 + —%7L $2! 3! 4! 5! 6! 7!A '9+io!x ，° +L 4zi+l (4n+ 2)! 4n+2Z（10 分）。
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案
（完整版）高等数学第七章微分方程试题及答案第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()?+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程=x y f dx dy 令u xy=，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-??||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
2023考研高等数学全考点精讲-第七讲 不定积分考点
第七讲 不定积分考点【考试要求】1.理解原函数的概念，理解不定积分概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.考点：原函数与不定积分的概念、基本积分公式 1.原函数与不定积分的概念()()()()()()()(),,,.,I F x f x x I F x f x F x f x I F x F x ∀∈'=如果在区间上某可导函数的导数为即对有,那么称此为在区间上的一个原函数由于原函数是可导的因而原函数必定是连续的.定义1注:()()()()()()()(),,.f x I f x I f x dx f x f x dx F x C F x f x I =+⎰⎰在区间上的所有原函数称为在区间上的不定积分,记为这里称为被积函数,且其中是在上的一个原函数定义2()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222221,11,ln ,11,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x f x f x F x x x x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧-<=⎡⎤⎨⎣⎦≥⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩例设则的一个原函数是____.()()()()()()2sin ,____.1sin 1sin 1cos 1cos f x x f x A x B x C x D x⎡⎤⎣⎦+-+-例若的导函数是则有一个原函数为2.原函数的存在定理()()()()()222,,sin cos 1;;;sin ;cos ;.ln x f x I f x I f x I f x I f x x x e dx dx dx x dx x dx dx x x x±⎰⎰⎰⎰⎰⎰如果在区间上连续那么在区间上必有原函数;如果在区间上有第一类间断点那么在区间上必没有原函数.虽然很多确有原函数,但其原函数未必都是可求的,如等定理1定理2注:()()2111sin ,02sin cos ,03?0,00,0x x x x F x f x x x x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪==⎡⎤⎨⎨⎣⎦⎪⎪==⎩⎩例问:是否是的原函数3.基本积分公式11.,2.ln ,13.+,4.+,ln 5.sin cos , 6.cos sin ,7.tan ln cos ,8.cot ln sin ,9.sec ln sec tan ,10.csc ln csc cot ,11.sec tan se xx xxx dxx dx C x C xa e dx e C a dx C a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C x xdx μμμ+=+=++===-+=+=-+=+=++=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222c ,12.csc cot csc ,13.sec tan +,14.csc cot ,115.arcsin ,16.arctan ,11117.arcsin,18.arctan ,1119.ln ,20.2x C x xdx x C xdx x C xdx x C x C dx x C xx xC dx C aa x a ax adx C x a a x a +=-+==-+=+=++=+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln +21.ln .x C x C =+=，()()()22241ln ,ln ,.2x f x f x x x dx x ϕϕ-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-⎰例设且求()()()()()5,,00.xf x e f x dx F f x F x -==⎡⎤⎣⎦⎰例设求不定积分及满足的的原函数考点：凑微分法求不定积分()()()()()()(),.f x dx F x C f x x dx f x d x F x C ϕϕϕϕϕ=+'==+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰设则()()()()2222211002111,ln 2cos sin sin cos ,cos sin sin cos sec tan ,csc cot ,sec tan sec ,csc cot csc 11x x dx d ax b a xdx d ax b a a ae dx de dx d x dx d x x x xdx d x xdx d x x x dx d x x xdx d x x d x x x d x x x d x d x =+≠=+≠===-===-±=±==-==-+（1）常用的凑微分有（）,（）；,，；；注:()()()222arctan arcsin ;2sin sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos cos cos 1111ln ln ;,x d x d x xd x d x xdx x xdx xdx d x x xd x d xdx d x x dx d x x x x ==⎧===⎨-=-⎩⎛⎫⎛⎫±=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,；；（2）对被积函数复杂部分求导再试图凑微分.()125112.12ln xdx dx x x x ⎡⎤⎣⎦+⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）2.⎡⎤⎣⎦例求不定积分()21ln ln tan 312.cos sin ln xxdx dx x xx x +⎡⎤⎣⎦⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）14.1x dx e ⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：换元法求不定积分()()()()()()()()110,,t x x t t f x dx f t t dtt x x t ϕϕϕϕϕϕϕ--='=≠'===⎡⎤⎣⎦⎰⎰设单调、可导数且则这里的是的反函数.sin ,,22tan ,,22sec ,0.2.1.x a t t x a t t x a t t t t x tπππππ→=-<<→=-<<→=<<==常用的换元有（1）三角代换（2）根式代换:,（3）倒代换:被积函数分母的幂次比分子的幂次高两次及以上时,可考虑作倒带换注:1⎡⎤⎣⎦例求不定积分2.⎡⎤⎣⎦例求不定积分()713.2dx x x ⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：分部积分法求不定积分()()()()()().1a sin ;cos ;b ln arcsin ;arctan ;c sin cos .2.x n n n n n n x x udv uv vdu P x e dx P x xdx P x xdx P x xdx P x xdx P x xdx e xdx e xdx u αααααααββ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）对两类不同函数乘积在一起的积分优先考虑使用分部积分,比如,（）；（）；（）；（）使用分部积分时往往按照"反、对、幂、三、指"的顺序保留作公式中的分部积分公式:注:11arctan 2arctan .xdx x xdx ⎡⎤⎣⎦⎰⎰例（直接用分部积分）求下列不定积分:（）；（）()32ln 2.x dx x ⎡⎤⎣⎦⎰例（多次用分部积分）求不定积分3sin .x e xdx ⎡⎤⎣⎦⎰例（循环积分）求不定积分()224tan 1.xe x dx +⎡⎤⎣⎦⎰例（相消积分）求不定积分()()()51sin ln .x x f x xf x dx '+⎡⎤⎣⎦⎰例已知是的一个原函数,求考点：有理函数的积分()()()()()()()()()()()()()()()1222211222222,120.nnnnn nnP x Q x Q x Q x x a P x A A A Q x x a x a x a Q x x px q p q P x A x B A x B A x B Q x x px q x px q xpx q -+++---++<++++++++++++设有真分式这里假设已被因式分解,则（）若分母中有一个因子,则的分解式中有；（）若分母中有一个因子（-4）,则的分解式中有()()231.11x dx x x -⎡⎤⎣⎦--⎰例求不定积分()()22362201910.11x dx x xx +⎡⎤⎣⎦-++⎰例（数二,分）求不定积分()()213.11dx x x⎡⎤⎣⎦+-⎰例求不定积分2414.1x dx x +⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分考点：三角函数的积分及不定积分的综合计算433cos 12112.sin sin cos xx dx dx x x x ⎡⎤⎣⎦⎰⎰例求下列不定积分:（）；（）222212,,0.sin cos I dx a b a x b x =⎡⎤⎣⎦+⎰例计算其中是不全为的非负常数3sin 2cos 3.2sin 3cos x x dx x x +⎡⎤⎣⎦+⎰例求不定积分14.1sin cos dx x x ⎡⎤⎣⎦++⎰例求不定积分5ln 10.dx x ⎛>⎡⎤ ⎣⎦ ⎝⎰例求不定积分（）6.x ⎡⎤⎣⎦例求不定积分。
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
高等数学课后答案 第七章 习题详细解答
习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解 （1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+= .（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫==⎪⎝⎭，则()f x =5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln()arcsin y z y x x =-+；（3）ln()z xy =； （4）z =；（5）z =（6）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠.6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++； （2）(,)(0,0)lim x y →； （3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+； （4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim (2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112lim lim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1s i n1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y xy →+=； （4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e ++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在： （1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明 （1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y xx y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++， 故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+； （2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<时，0ε-<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证 设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然 00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）0000000(,)(,)lim(,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==； （2）000000000000(,)(,)(,)(,)limlim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-； （3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)limlim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h→→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）x z xy y=+； （2）ln tan x z y =；（3）e xyz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）sec()z xy =； （8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z x x y y∂=-∂； （2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； （4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++， 22222222z x x yy y x y x y∂=⋅=∂++； （6）1z y x xy ∂=⋅=∂1z x y xy ∂=⋅=∂ （7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂； （8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦； （9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z zu z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-； （10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln z u x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 解法一 由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =； 由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以11(1,)212yf y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)arcsinf x x x =+-，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解 由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y y x x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂， 所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？ （2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点(1,1处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解 （1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=. （2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点(1,1处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln 1ln ln x x z y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭； （3）1z x ⎛⎫∂==∂==，()232222zxx xy∂-==∂+，()23222z yx y xy∂-==∂∂+；（4）222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x y y x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证 （1）因为22e sin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x -∂=∂，2222e sin kn ty n nx x-∂=-∂ 所以()2222e sin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂； （2）因为r x x r ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭， 由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r ∂-=∂， 所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s tu s t+=-； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin(0)xz y y=>； （4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++； （6）yzu x =.解 （1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--， ()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xe x y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x e y yxy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （3）21d d arcsind d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x y x y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y zx y z ⎡⎤=++=++⎣⎦++2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z++==++++++； （6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yzu x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分； （2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解 （1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x y x y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++ 所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+； （2）因为22221d d arctand 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦ 所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分.解 因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy y xyx y -----==-- 所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－41.设2e x yu -=，sin x t =，3y t =，求d d u t. 解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解()()222cos 2sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂. 解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x v x ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，ex yu +=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x y x y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x y x y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+.解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222222222()()()z z y x y x u v u vu v x y x y u v u v u v ∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22()z f x y =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）(,,)u f x xy xyz =； （4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()z xf x y x ∂'=-∂，222()zyf x y y∂'=--∂； （2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭， 2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭； （3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23uxf xzf y ∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）12312xy u xf ye f f x x ∂'''=++∂，122xy u yf xe f y∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂.证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()yx y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂， 1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos z f x x ∂'=∂，cos (cos )zy y f y∂'=+-∂， sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解 （1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z s f yf x x ∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s tf f xf f y y y∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂. 因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y yy y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z s f xf x x ∂∂''=⋅=∂∂，2z sf yf y y∂∂''=⋅=∂∂. 因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s t f f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s tf f xyf x f y y y∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂. ()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x yw e +=，则1313d cos d x y z u w f f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y+∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x xx ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x yx y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x yx y ef xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x yx y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x yx y x y ef x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x yx y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x yx y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d yx. 解 设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx =. 解 设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x yx ==-. 3.设arctany x =，求d d y x. 解设(,)ln arctan y F x y x=，则2222222222211d11d1xyyx x yyFy x yx y x yxy xx F x yx x y x yyx⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos1x y z++=，求zx∂∂，zy∂∂.解设222(,,)cos cos cos1F x y z x y z=++-，则2cos sin sin22cos sin sin2xzFz x x xx F z z z∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin22cos sin sin2yzFz y y yy F z z z∂-=-=-=-∂-.5.设方程(,)0F x y z xy yz zx++++=确定了函数(,)z z x y=，其中F存在偏导函数，求zx∂∂，zy∂∂.解1212()()xzF F y z Fzx F F y x F''++∂=-=-∂''++，1212()()yzF F x z Fzy F F y x F''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z=分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z=，(,)y y x z=，(,)z z x y=，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证因为yxFxy F∂=-∂，zyFyz F∂=-∂，xzFzx F∂=-∂，所以1y xzx y zF FFx y zy z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=-⎪⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设(,)u vϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bzϕ--=所确定的函数(,)z f x y=满足z za b cx y∂∂+=∂∂.证令u cx az=-，v cy bz=-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v vc yϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u v a b z z ϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂. x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 设(,,)zF x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x zz F z yzx F e xy ∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=-()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解 设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-. 于是x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz z e x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=-()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y∂=∂∂.10.求由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂+，y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂； （3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂. 解 （1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d zy x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y xy x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x yJ x y y x-==+≠的条件下，22u y v x u xu yvx y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xvx y x x yy x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yv y x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u v F G J ue v v u u v e v u v---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程： （1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处； （2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点2π⎛- ⎝处； （4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t -+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,12π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π++--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得 2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y x y z xy xy x yz z y z-===.(1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 1,1,3=- ⎪⎝⎭T . 故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解 因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处； （3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处. 解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ，(1,1,ln 4),1,12=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-， 2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的切平面方程为 202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.解 设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=. 解得 1z =±，则12x =±，1y =±. 所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭. 所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证 曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.。
清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二
若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
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20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与 较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
高等数学下第七章
一、单项选择题1.数z =的定义域是（ ） （A ）x y +>0 （B ） x y +≠1（C ） 1x y +> （D ）ln()0x y +≠2. 计算()00lim sin x y xy xy →→=（） (A) 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在3. 下列函数的定义域是有界闭区域的是（ ）(A) (,))=-f x y x y (B) sin()(,)+=+x y f x y x y(C) 1(,)=f x y x(D) (,)=f x y 4. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）即非充分以非必要条件.5. 函数(,)f x y xy =在条件1x y +=下的极值点为（ ）(A) (0,1) (B) (1,0) (C) 11(,)22 (D) 12(,)336. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件； （C ）充要条件； （D ）即非充分以非必要条件.7. 函数)4ln(1),(2222y x y x y x f --+-+=的定义域是（ ）(A){}22 (,)1 2 x y x y <+<； (B){}22 (,)1 4 x y x y ≤+<； (C){}22 (,)1 2 x y xy <+≤； (D){}22 (,)1 4 x y x y ≤+≤. 8. 若二元函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则(,)f x y 在点),(y x 下列结论不一定成立的是 ( )（A ）连续； （B ）偏导数存在；（C ）偏导数连续； （D ）d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂.9. 设二元函数),(y x f z =有二阶连续偏导数，且d (,)d (,)d z P x y x Q x y y =+，则Q P x y∂∂-∂∂=（ ） (A)1-； (B) 0； (C) 1； (D) 2.10. 设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值， 则下列结论成立的是 ( )（A ）0(,)f x y 在0y y =处导数为0 ；（B ）0(,)f x y 在0y y =处导数大于0；（C ）0(,)f x y 在0y y =处导数小于0；（D ）0(,)f x y 在0y y =处导数不存在.11. (),f x y 在点()00,x y 处具有偏导数是该函数(,)f x y 在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件.12. 设22,yu u x y ∂==∂（ ） (A)()21ln y y x -； (B)ln y x x ； (C)2ln y x x ； (D)()21y y y x --. 13. 设22(,)f x y xy x y +=+, 则=),(y x f （ ）(A) 22x y +； (B) 22x y -； (C) 22x xy y -+； (D) 22x xy y ++.14. 0x y →→=（ ） (A) 1； (B) 2； (C) 不存在； (D) ∞. 15. 02lim sin()x y x xy →→=（ ） (A) 不存在； (B) 1； (C) 0； (D)12. 16. 设2(,)(2)arctan f x y x y y x=+-，则(1,2)x f =( ) (A)1； (B)2x ； (C)2； (D)0.17. 设函数),(y x f z =可微，则00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =是函数在点),(00y x 处有极值的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）即非充分以非必要条件.18. 二元函数332233z x y x y =+--的极小值点为（ ）(A) (0,0); (B) (2,2); (C) (0,2); (D) (2,0)19. 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数), 则p V T V T p ∂∂∂⋅⋅=∂∂∂（ ） (A) 1； (B) -1； (C) 0； (D) 不存在.20. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）即非充分以非必要条件.21. 函数),(y x f z =在点),(00y x 连续是偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在的( )（A ）充分条件；（B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）即非充分也非必要条件.22. 某公司生产甲,乙两种型号的产品，总成本为22(,)2034,C x y x xy y =+++其中x ,y ,是日产量，分别当3,5x y ==时，这两种型号产品的边际成本为（ ）(A) 23,43； (B) 43,23； (C) 43,63； (D) 63,43.23. 过)0,0,1(1M , 2(0,2,0)M ，3(0,0,3)M 的平面方程是（ ）(A) 230x y z ++=(B) 320x y z ++= (C) 023y z x ++= (D) 032x y z ++=. 24. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的( )（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）即非充分以非必要条件.25. 设22),(y x y x y x f +=-+ 则=),(y x f （ ） (A) xy ； (B)22y x +； (C) 222y x +； (D) 222y x -.26. 设)(xy yf z = 则=∂∂-∂∂yz y x z x （ ） (A))(xy f ； (B) 0； (C))(xy yf -； (D))(xy xf .27. 设22(,)3f x y x y x y +-=+, 则=),(y x f （ ） (A)222y x +； (B)22x y +； (C)22x xy y -+； (D)22x xy y ++. 28. 偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在是函数),(y x f z =在点),(00y x 连续的（ ）（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分亦非必要条件.29. 偏导数),(y x f x ，),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f z =在点),(00y x 可微的（ ）（A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分亦非必要条件.二、填空题1、 设sin 2y z e x =，则201x y z x y ==∂=∂∂___________.2、 设()ln u x yz =-，则d u =____________.3、若=z 则d z = .4、 在空间坐标系中，过点P (2, 0, 0)，Q (0, 3, 0)，R (0, 0, 1)的平面方程为_____________.5、 若sin()x u e yz =, 则在点1(1,,)22π处d u = . 6、 在空间坐标系中，过点(2,0,0)，(0,2,0)和(0,0,2)的平面方程为_____________.7、若22(,,)x yz f x y z e ++=, 则(2,0,1)y f =____________. 8、设2sin 2,x z e y -=则2z x y∂∂∂=_____________. 9、若3(,,)cos(2)z f x y z x y e =++, 则(0,1,2)x f =____________.10、设235432z x xy x y =+-+则2z x y ∂∂∂=_____________.11、极限()()(),3,0sin lim x y xy y→=___________. 12、设cos 2,x z e y -=则d z =____________.13、若2lnxy u z =, 则du =____________. 14、22ln(1)zx y =++，则在点(1,1)处的全微分d z = 15、sin()xy z e =, 则d z = .16、设cos3,x z e y -=则2z x y∂∂∂=_____________. 17、设yx z e =，则22z y∂=∂ 18、sin()z x x y =+，则2z x y∂=∂∂ . 19、若(,,)ln()f x y z x yz =+, 则(1,0,2)z f =____________.20、设sin 2,xz e y =则2z x y ∂∂∂=_____________. 21、过点P (3, 0, 0)，Q (0, 2, 0)，R (0, 0, 1)的平面方程为____________22、若sin z x y =, 则d z =____________.23、若(,,)sin(2)f x y z xy z =+, 则(1,0,0)y f =__________________24、若cos z y x =, 则d z =____________.25、若xyz e =, 则在点(1,3)处全微分d z =____________. 26、设ln(),z x x y =-则2z x y∂∂∂=_____________. 27、二元函数843),(23+--+=y x y x y x f 的极小值为____________. 28、设ln()sin z xy x =⋅, 则2z x y∂∂∂=_____________.29、设v u z 2=,而y x u sin =,y x v cos ln =,则x z ∂∂=____________. 30、设x ez y x sin 2+=, 则2z x y ∂∂∂=_____________.三、计算题1、设22(3)y z x y =+，求,z z x y∂∂∂∂． 四、综合应用题 1、生产某产品要用A 、B 两种材料，设该产品的产量Q 与原料A 、B 的数量,x y （单位：t ）之间有关系式20.005Q x y =.要用15000元购买原料，已知A 、B 原料的单价分别为100元/t 、200元/t ，试问购进两种原料各多少吨可以使产品的产量最大？2、某工厂生产甲、乙两种小汽车，已知甲的售价为9万元/台，乙的售价为10万/台，当甲生产x 台、乙生产y 台时的总成本函数为 22+33(,)30032100xy x y C x y x y +=+++， 问甲、乙两种产品的产量是多少时，利润最大？最大值为多少？3、设12,Q Q 依次是商品甲、乙的需求量，其需求函数依次为11282Q p p =-+，2121025Q p p =+-又设总成本函数为1232C Q Q =+，其中12,p p 分别是甲、乙的价格，问甲、乙两种商品的价格12,p p 定为多少时，可使总利润最大？4、设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x 和y （单位：千件），利润函数为22(,)81642L x y x y x y =+---（单位：万元）已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤，现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大?最大利润是多少？5、某企业为销售产品作两种形式的广告宣传，当广告宣传费用分别为x 、y (单位:万元)时，销售量是10(5)5(10)Q x x y y =+++，若销售产品所得的利润是销量的15减去广告费，现要使用15万元的广告费，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？6、某牧场出售牛排和牛皮两种产品，已知牛排需求量是牛皮需求量的两倍，牛排和牛皮的需求函数分别为11221102,140P Q P Q =-=-其中，1P 与2P 分别为牛排和牛皮的价格，1Q 与2Q 分别为牛排和牛皮的需求量.总成本为()22121122,2200C Q Q Q QQ Q =+++，试问牛排和牛皮的价格各定为多少时，总利润最大？7、某公司通过报纸和网络两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与报纸广告费x (单位:万元)和网络广告费y (单位:万元)之间的关系为22(,)1514328210R x y x y xy x y =++---若广告费用总预算是3万元,求使利润最大的广告策略?8、某同学现有400元钱，他决定用来购买x 张计算机磁盘和y 盒录音磁带。
高等数学A2重修——第七章作业解答
( y 2 z 2 )2 1 ，表示双叶旋转双曲面，是由 xoy 1 2 2 2 y 2 z2 x 1 x 1 1 1 平面内的双曲线 绕 x 轴旋转所得曲面， 或者 xoz 平面内的双曲线 绕 2 2 z0 y0
（4）将 x 2y 2z 1 变形为： x 2 x 轴旋转所得曲面。 （5） x y 4 z 表示双曲抛物面（马鞍面）
2 2 2
x2 y 2 3z ; （3） 4 9
（5） x y 4 z ;
2 2
（4） x 2 y 2 z 1 ;
2 2 2
（6） x y 3 .
2 2
( x 2 z 2 )2 y 2 x2 y 2 z 2 1 变形为： 1 ，该方程是旋转椭球面的方程， 3 8 3 8 3 x2 y2 1 是 由 xoy 平 面 内 的 椭 圆 3 绕 y 轴 旋 转 所 得 曲 面 ， 或 者 yoz 平 面 内 的 椭 圆 8 z0
)．
A C
平行但直线不在平面上； 垂直相交；
B D
直线在平面上； 相交但不垂直．
解：由题意，直线的方向向量为 s {2, 7, 3} ，平面的法向量为 n {4, 2, 2} ，
s n {2, 7, 3} {4, 2, 2} 8 14 6 0 ，所以 s n ，则直线与平面平行，又因为直 线上一点 ( 3, 4,0) 代入平面方程得 4 (3) 2 (4) 2 0 12 8 4 3 ，所以直线不
(10) 直线 L1 : x 1
A
； 6
B
； 4
C
； 3
高等数学下册第七章习题答案详解
高等数学下册第七章习题答案详解1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：()123A ，，；()2,3,4B -； 2,3,4C --（）； D 3,4,0（）；()0,4,3E ；3,0,0F （）. 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.3. 对于x 轴上的点，其坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答：x 轴上的点，y =z =0;y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.4. 求下列各对点之间的距离： (1) (000)，，，(234)，，； (2) (000)，，，(23,4)--，； (3) (2,3,4)--，() 1,0,3； (4) (4,2,3)-，(2,1,3)-.解：（1）22223429s =++=(2) 2222(3)(4)29s =+-+-=(3) 222(12)(03)(34)67s =++-++=(4) 222(24)(12)(33)35s =--+++-=5. 求点(4,3,5)-到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+=222(44)(30)(50)34x s =-+--+-=2224(33)541y s =+-++=2224(3)(55)5z s =+-+-=.6. 在z 轴上求一点，使该点与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离. 解：设此点为M （0，0，z ），则222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--解得 149z =即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证:以三点(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.习题7-21. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图12. 设2,3=-+=-+-u a b c v a b c .试用a,b,c 表示23-u v . 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c3.把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为1234,,,D D D D ，再把各分点与A 连接，试以,AB BC ==c a 表示向量123,,A D A D A D 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a4. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=5. 一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在三坐标轴上的投影依次是4，－4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0). 6. 一向量的起点是1(4,0,5)P ，终点是2(7,1,3)P ，试求: (1) 12P P 在各坐标轴上的投影； (2) 12P P 的模；(3) 12P P 的方向余弦； (4) 12P P 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==- (2) 22212(74)(10)(35)14PP =-+-+-=(3) 123cos 14x a PP α==121cos 14y a PP β==122cos 14z a PP γ-==(4) 120123{}141414141414PP PP ===-e j . 7. 三个力123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)=---F F F 同时作用于一点，求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R cos cos cos 212121αβγ=== 8. 求出向量,235=++=-+a i j k b i j k 和22=--+c i j k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量,,a b c .解：222||1113=++=a222||2(3)538=+-+=b222||(2)(1)23=-+-+=c3, 38, 3. a b c ===a e b e c e9. 设358,247,54,=++=--=+-m i j k n i j k p i j k 求向量43=+-a m n p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 10. 已知单位向量a 与x 轴正向夹角为π3，与其在xOy 平面上的投影向量的夹角为π4.试求向量a .22223===34411cos cos cos 1cos ,cos ,42112112,,.222222a πππαγγαβγββ++===±⎧⎧⎪⎪±-±⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭由已知得单位向量的分向量：，或由知从而所求向量为，，或11. 已知两点12(2,5,3),(3,2,5)M M --，点M 在线段12M M 上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 12. 已知点P 到点(0012)A ，，的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+122226570cos 6, 749z z z x y z γ==⇒==++ 又122222190cos 2, 749xx x x y z α==⇒==++ 122223285cos 3, 749y y y x y z β==⇒==++ 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 13. 已知,a b 的夹角2π3ϕ=，且3=a ， 4=b ，计算: (1) ⋅a b ；(2) (32)(2)-⋅+a b a b .解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b14. 已知(4,2,4),(6,3,2)=-=-a b ，计算:(1) ⋅a b ； (2) (23)()-⋅+a b a b ；(3) 2-a b .解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15. 已知32,2=+-=-+a i j k b i j k ， 求: (1) ⨯a b ； (2) 27⨯a b ；(3) 72⨯b a ； (4) ⨯a a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .16 已知向量a 和b 互相垂直，且3,4==a b ， 计算： (1) ()()+⨯-a b a b ；(2) (3)(2)+⨯-a b a b .解：（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 习题7-31. 求过点(41,2)，-，且与平面32611x y z -+=平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.2. 求过点0(1,7,3)M -，且与连接坐标原点到点0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=03. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 4. 求过(1,1,-1),(2,-2,2)-和(1,-1,2)三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) 0y =； (2) 310x -=； (3) 2360x y --=； (4) 0x y -=； (5) 2340x y z -+=.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图3)图2 图3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图6）.图4 图5 图66. 通过两点(1,1,1)和(2,2,2)作垂直于平面0x y z +-=的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.7. 求通过下列两已知点的直线方程： (1)()1,2,1,(3,1,1)--；(2) (3,1,0),(1,0,3)--.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 8. 求直线234035210x x z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数式方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩9. 决定参数k 的值，使平面29x ky z +-=适合下列条件： (1) 经过点(5,4,6)－；(2) 与平面230x y z -+=成π4的角. 解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.（2） 两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||42514k k θ⋅-====+⋅n n n n 解得70k =±10. 确定下列方程中的l 和m ：(1) 平面2350x ly z ＋＋－＝和平面620mx y z --+=平行； (2) 平面3530x y lz -+-=和平面3250x y z +++=垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n11. 通过点(11,1)，－作垂直于两平面10x y z -+-=和210x y z +++=的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =012. 求平行于平面375x y z -+=，且垂直于向量2i j k －＋的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则1(52).30n =±+-e i j k 13. 求下列直线的夹角： (1) 533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；(2) 2314123x y z ---==-和38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩.解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 12126cos 0.2064135785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 14. 求下列直线与平面的交点： (1) 11,2310126x y zx y z -+==++-=-；(2)213,2260232x y z x y z +--==+-+= 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 15. 求点(121)，，到平面22100x y z ++-=的距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为222122()()()1333d =++= 即为点到平面的距离.习题7-41. 建立以点(13-2)，，为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2. 一动点离点(20-3)，，的距离与离点(4-6,6)，的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.3. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：(1)2222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （a 为正常数）(2)22149x y -+=；(3)22194x z +=；(4)20y z －＝； (5)220x y －＝；(6)220x y ＋＝.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图8.图7 图8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图10.图9 图10 （5）母线平行于z轴的两平面，如图11.（6）z轴，如图12.图11 图124. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：(1)222149y zx++=；(2)22369436x y z+-=；(3)222149y zx--=；(4)2221149y zx+-=；(5)22209zx y+-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图14.图13 图14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图15.(4) 单叶双曲面，如图16.图15 图16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图17.图175. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1)2222x y z a ＋＋＝与()0,02az z a ==>为常数； (2)4x y z =＋＋，0,1,0,2x x y y ====及0z =； (3)24,0,0,0z x x y z =-===及24x y +=； (4)226,0,0,0z x y x y z =-+===（）及1x y +=. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图18，19，20， 1所示.图18 图19图20 图216. 求下列曲面和直线的交点：(1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-； (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.7. 设有一圆，它的中心在z 轴上、半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.8. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面2x =； (2) 平面0y =； (3) 平面5y =； (4) 平面2z =.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.9. 求曲线2222222,x y z a x y z ＋＋＝＋＝在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩10. 建立曲线22,1x y z z x ＋＝＝＋在xOy 平面上的投影方程. 以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题七1.填空题：（1）过(0,1,0)且与平面1x y z -+=平行的平面方程为1x y z -+=-（2）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离（3）原点关于平面6291210x y z +-+=的对称点是 （-12，-4，18） 。
高等数学课后习题答案--第七章
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
(2021年整理)高等数学同济第七版7版下册习题全解
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数，故/, = Jj（ x2 + y1)3d（j = 2jj（x2+ y1) 3dcr。
fh i)i又由于D3关于；t轴对称，被积函数（/ +r2）3关于y是偶函数，故jj(x2+j2）3dcr =2j（x2+y2)3da=2/2.Dy 1）：从而得/, = 4/2。
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, —y）= -f(x,y)，PJjf/(x，y）da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y）关于：c是奇函数，即/（～x，y) = -/（太，y），则=0.D«3。