线性代数第14讲线性方程组解的讨论.
线性代数方程组的数值解法讨论
线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。
直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。
而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。
迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。
对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。
小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。
讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。
1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述： 步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。
步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。
步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。
步骤5 输出12,,n y y y 。
雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法 计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法 计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。
线性方程组的解
线性方程组的解线性方程组是高中数学中的重要知识点，也是解决实际问题的有力工具。
在此，我将为大家介绍线性方程组的概念和解法，并辅以例题和实际应用，帮助大家更好地理解和运用线性方程组。
一、线性方程组的概念和解法1. 线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程所组成的方程体系，其形式可以表示为：\[\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_2 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases}\]其中，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是未知数，\(a_{ij}\)和\(b_i\)是已知系数。
2. 解的定义解是指满足线性方程组中所有方程同时成立的数的组合。
3. 解的分类根据未知数的个数和方程组的性质，可以将线性方程组的解分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况。
- 无解：当线性方程组中的方程之间存在矛盾时，方程组无解。
- 有唯一解：当线性方程组中的方程数目等于未知数个数，并且方程组没有冗余方程时，方程组有唯一解。
- 有无穷多解：当线性方程组的方程个数小于未知数个数或者方程组中的方程可以通过其他方程表示时，方程组有无穷多解。
二、解线性方程组的方法1. 列主元的高斯消元法列主元的高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式。
\[\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & | & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & | & b_2 \\ \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}\]（2）找到第一个主元（即第一行中不为零的元素），如果没有非零主元，则方程组无解。
线性代数方程组求解
线性代数方程组求解一、实验要求编程求解方程组：方程组1：方程组2：方程组3：要求：用C/C++语言实现如下函数：1.bool lu(double* a, int* pivot, int n);实现矩阵的LU分解。
pivot为输出参数，pivot[0,n) 中存放主元的位置排列。
函数成功时返回false，否则返回true。
2.bool guass(double const* lu, int const* p, double* b, int n);求线代数方程组的解设矩阵Lunxn 为某个矩阵anxn 的LU 分解，在内存中按行优先次序存放。
p[0,n)为LU 分解的主元排列。
b 为方程组Ax=b 的右端向量。
此函数计算方程组Ax=b 的解，并将结果存放在数组b[0,n)中。
函数成功时返回false ，否则返回true 。
3. void qr(double* a, double* d, int n);矩阵的QR 分解假设数组anxn 在内存中按行优先次序存放。
此函数使用HouseHolder 变换将其就地进行QR 分解。
d 为输出参数，d [0,n) 中存放QR 分解的上三角对角线元素。
4. bool hshld(double const*qr, double const*d, double*b, int n); 求线代数方程组的解设矩阵qrnxn 为某个矩阵anxn 的QR 分解，在内存中按行优先次序存放。
d [0,n) 为QR 分解的上三角对角线元素。
b 为方程组Ax=b 的右端向量。
函数计算方程组Ax=b 的解，并将结果存放在数组b[0,n)中。
函数成功时返回false ，否则返回true 。
二、问题分析求解线性方程组Ax=b ，其实质就是把它的系数矩阵A 通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。
因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A 变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A 的变换通常有两种分解方法：LU 分解法和QR 分解法。
线性方程组的解与解集
线性方程组的解与解集线性方程组是高中数学中的重要内容，也是线性代数的基础知识之一。
解线性方程组的过程涉及到求解单个方程的解以及确定整个方程组的解集。
在本文中，我们将介绍线性方程组的解的概念、求解方法以及解集的表示方式。
一、线性方程组的解线性方程组由多个线性方程构成，其一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ是系数，x₁、x₂、...、xₙ是未知数，b是常数。
对于一个线性方程组，解是指使得每个方程都成立的未知数的取值。
如果一个线性方程组存在解，则称其为可解的；反之，则称其为不可解的。
二、线性方程组的求解方法求解线性方程组的基本思路是通过变换和运算，将其转化为简化形式，从而得到解。
1. 列主元法列主元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
其基本步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵；（3）从最后一行开始，倒序回代求解出每个未知数的值；（4）得到线性方程组的解。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的方法，适用于系数矩阵可逆的情况。
其基本思想是通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数对应的代数余子式的乘积来求解线性方程组。
3. 矩阵法矩阵法是一种求解线性方程组的高效方法。
将线性方程组转化为矩阵方程，通过行列式、逆矩阵或者矩阵的秩等性质来求解方程组的解。
三、线性方程组的解集表示线性方程组的解集是使得方程组中的所有方程都成立的解的集合。
1. 单个方程的解对于单个线性方程a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b，如果存在唯一解，则解集可以用一个有序数对表示。
2. 齐次线性方程组的解齐次线性方程组是指常数项为零的线性方程组。
对于齐次线性方程组的解集，可以用零解和非零解来表示。
（1）零解指的是使得方程组中的每个方程都成立的解，它一定是方程组的解，任何线性方程组都有零解。
（2）非零解指的是大于零解的其他解，非零解的存在要求方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性代数方程组的解
其通解式中含有 n − r(A) 个独立的任意常数； (2) 当 r(A) < r(A, b) 时，方程组不相容（即无解）．
m n 非齐次方程组 Ax = b 的求解步骤
4.2 线性代数方程组的解
回顾：线性方程组的四种等价形式
1. 一般的形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
1
<
2
系数矩阵 A 系数矩阵 A增广矩阵 (A, b) 的秩 r(A) 的秩=r(A) 的秩 r(A, b)
<
未知数 的个数
3
=
无解 无穷多解 唯一解
特别地，当 b = 0 时，
情形1：
情形2：
情形3：
A
0b
r
~
0
0
0
0
情况另作讨论．
齐次线性方程组的解的性质（补充）
性质：若 x = x1，x = x2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 x2 还是 Ax = 0 的解．
证明： A(x1 x2 =Ax1+ Ax2= 0 + 0 = 0 ． 性质：若 x = x是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
线性方程组解情况判定PPT课件
解空间的性质
解空间是一个向量空间， 具有加法和数乘封闭性。
02
线性方程组解的判定定理
唯一解的判定定理
总结词
当线性方程组的系数矩阵的行列式不为0时，方程组有唯一解。
详细描述
当系数矩阵的行列式不为0时，说明方程组中的方程是线性独立的，即方程组中 的每一个方程都能独立决定一个未知数的值，因此方程组有唯一解。
未知数
需要求解的变量。
线性方程组的解
01
02
03
解的定义
满足所有方程未知数的值 称为解。
解的存在性
对于给定的线性方程组， 可能存在多个解、无解或 无穷多个解。
解的唯一性
如果一个线性方程组有唯 一解，则该解是唯一的。
线性方程组的解空间
解空间的定义
所有解构成的空间称为解 空间。
解空间的维度
解空间的维度等于未知数 的数量。
物理问题中的线性方程组通常比较复杂，需要运用数学工具 和物理知识进行求解。通过求解这些线性方程组，可以深入 理解物理现象的本质和规律。
经济问题中的线性方程组
在经济学中，线性方程组也被广泛应用于各种问题的分析 和求解。例如，在市场分析、生产计划、财政预算等领域 ，线性方程组被用来描述经济关系和规律。
实际应用
在实际问题中，线性方程组广泛应 用于物理、工程、经济等领域，解 的判定对于解决实际问题具有指导 意义。
算法设计与优化
解的判定问题涉及到算法设计与优 化，对于提高计算效率和精度具有 重要意义。
未来研究方向
高维空间
计算复杂性
目前对于高维空间中线性方程组的解 判定研究尚不充分，未来可以加强这 方面的研究。
详细描述
矩阵的逆和行列式在判断线性方程组解的情 况中具有重要作用。通过计算系数矩阵的行 列式和逆，可以判断方程组的解的情况。当 系数行列式不为0时，方程组有唯一解；当 系数行列式为0时，需要进一步分析以确定 解的情况。此外，利用行列式的性质可以简
线性方程组的解与解的性质
线性方程组的解与解的性质线性方程组是数学中一类重要的方程组，它在各个领域中都有广泛的应用。
解线性方程组是求解未知数的值，解的性质则是对解的特点进行分析和研究。
本文将探讨线性方程组的解以及解的性质。
一、线性方程组的解线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，具有以下一般形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，a₁、a₂、...、aₙ为已知系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
解线性方程组即求解方程组中的未知数，并使得方程组中所有的方程都成立。
当方程组存在解时，我们称其为可解的方程组，否则称其为不可解的方程组。
二、解的分类线性方程组的解可分为无解、唯一解和无穷解三种情况。
1. 无解：当线性方程组中的方程存在矛盾时，即存在某个方程的系数使得方程无法满足时，方程组为无解。
例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 44x + 6y = 7通过将第一个方程的两边同时乘以2得到2x + 3y = 8，与第二个方程冲突，因此该线性方程组没有解。
2. 唯一解：当线性方程组中的方程互相独立，且未知数的个数与方程的个数相等时，方程组有唯一解。
例如，考虑以下线性方程组：x + y = 32x - y = 1通过联立这两个方程，可以解得x = 2，y = 1，因此该线性方程组有唯一解。
3. 无穷解：当线性方程组中的方程存在冗余，即存在方程是其余方程的线性组合时，方程组有无穷解。
例如，考虑以下线性方程组：x + 2y = 42x + 4y = 8通过联立这两个方程，可以发现它们实际上是同一个方程的两倍，因此存在无数个解。
可以将其中一个方程去除，得到简化后的方程x + 2y = 4，该方程组有无穷多个解。
三、解的性质解的性质主要通过方程组的系数进行推导和分析。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程形式。
一般而言，线性方程组可以表示为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数；a₁, a₂, ..., aₙ为系数；b₁, b₂, ..., bₙ为常数。
二、线性方程组的解法1. 消元法消元法是求解线性方程组的常见方法之一。
通过逐步消去未知数，将方程组转化为初等行列式或简化行阶梯形式，进而求得解。
2. 代入法代入法是用已解出的未知数表达式代入其他方程，从而逐步求解出所有未知数的方法。
3. 线性方程组矩阵表示与矩阵求解法将线性方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的运算解出未知数。
三、线性方程组的应用线性方程组的解法与应用广泛存在于数学和实际生活中，例如：1. 工程问题中的应用：线性方程组可以用于解决关于电路、物理学、力学等工程问题，如平衡、流体力学和排队论等。
2. 经济学中的应用：线性方程组可以应用于经济学的模型建立和预测，如供求关系、市场均衡和成本效益分析等。
3. 物理学中的应用：线性方程组可用于描述物理学中的线性系统，如力学中的受力平衡、动力学中的运动情况等。
4. 优化问题中的应用：线性方程组可以用于求解优化问题，如线性规划问题和最小二乘法等。
5. 统计学中的应用：线性方程组可以应用于统计学的回归分析中，通过拟合直线或曲线，找出变量之间的关系。
四、总结线性方程组是数学中重要的概念，其解法决定了方程组的可行解。
消元法、代入法和矩阵求解法是常见的线性方程组解法，通过这些方法可以求解各种实际问题。
线性方程组的应用广泛涉及到工程学、经济学、物理学、优化问题和统计学等领域，为求解实际问题提供了数学工具。
通过学习和理解线性方程组的解法与应用，我们可以更好地理解线性方程组的意义，并将其应用于解决实际问题，推动科学技术和社会经济的发展。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，例如工程、经济学和物理学等。
在本文中，将介绍线性方程组的解法和其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和基本概念线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式可表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a、x和b分别表示系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。
基于这个定义，我们可以通过不同的方法来解决线性方程组。
二、线性方程组的解法1. 列主元消元法列主元消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零列主元素，通常为当前行中绝对值最大的元素。
（2）将选中的列主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为行阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零主元素，通常为当前列中绝对值最大的元素。
（2）将选中的主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为行阶梯矩阵。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种求解线性方程组的较为高效的方法。
它通过计算系数矩阵的逆矩阵，将方程组转化为逆矩阵与常数矩阵的乘积，从而得到方程组的解。
然而，该方法要求系数矩阵可逆，即行列式不等于零。
三、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组广泛应用于各个领域，主要体现在以下方面：1. 工程领域在线性方程组的求解过程中，常常需要对方程组进行建模。
例如，在工程领域中，可以通过建立线性方程组来描述和解决各种物理力学问题，如结构力学、电路分析和信号处理等。
线性代数线性方程组的解结构及解法
(3) 得
令 xr 1 c1,xr 2 c2 , ,xn cnr ,
b11c1 b12 c2 x1 br1c1 br 2 c2 xr 得通解为： c1 xr 1 c2 x n cn r
b11 b12 br1 br 2 于是基础解系为： 1 1 , 2 0 , 0 1 0 0
b11 b12 br1 br 2 c1 1 c2 0 0 1 0 0
18 返回
法二： 先求通解，再从中找出基础解系.
x1 b11 xr 1 x2 b21 xr 1 由 xr br1 xr 1
b1,n r xn b2, n r xn br ,n r xn
b1, n r cn r br , n r cn r 19 返回
22 返回
二、非齐次线性方程组的解的结构
非齐次线性方程组 Ax b (5)
1、非齐次线性方程组解的性质
性质3:
设 x 1 与 x 2 都是方程(5)的解，
则 x 1 2是对应的齐次方程组Ax 0的解.
性质4: 设 x 是(5)的解，x 是 Ax 0 的解,
16 返回
xr 1 1 x 0 r 2 取 依次为 , 0 xn
x1 x2 则 依次为 xr b11 b21 , br1
线性方程组解题归纳
初等行变换法
总结词
初等行变换法是一种基于矩阵的初等行变换来求解线性方程 组的方法。
详细描述
初等行变换法包括三种变换：交换两行、对一行乘以非零常 数、将一行乘以常数加到另一行。通过这些变换，将线性方 程组的系数矩阵A变为单位矩阵I，从而得到线性方程组的解 。
逆矩阵法
总结词
逆矩阵法是一种利用逆矩阵的概念求解线性方程组的方法。
系数矩阵的行线性相关
当系数矩阵的行线性相关时，线性方 程组无解。
无数解的情况
系数矩阵为行满秩矩阵
当系数矩阵为行满秩矩阵时，线性方程组有无数解。
系数矩阵的列线性相关
当系数矩阵的列线性相关时，线性方程组有无数解。
04
线性方程组的应用
在几何中的应用
01
02
线性方程组可以用于解决平面几何问题，例如两点间的距离、点到直 线的距离、直线的交点等。
得到准确结果。
常见的求解算法包括高斯消 元法、逆矩阵法、迭代法等 。
对于大规模的线性方程组采用迭代方法求解
01
02
03
对于大规模的线性方程 组，直接求解可能会消 耗大量的计算资源和时
间。
采用迭代方法，如 Jacobi迭代、GaussSeidel迭代等，可以逐 步逼近准确解，减少计
算量。
迭代方法通常需要设定 初始值，通过迭代逐步 改进，直至达到预设的
线性方程组解题归纳
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汇报时间：2023-12-01
目录
• 线性方程组基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的讨论 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解法的选择 • 线性方程组解法的优化
01
线性方程组基本概念
线性方程组的定义
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
线性方程组的解法讨论(本科毕业论文)
线性方程组的解法讨论(本科毕业论文)本科生毕业论文论文题目:线性方程组的解法讨论作者、学号：XXX学院、年级：数学与信息科学学院2010级学科、专业：数学与应用数学指导教师：XXXX完成日期：2014年5月20日曲靖师范学院教务处线性方程组的解法讨论摘要科学技术、工程和经济领域中的一些实际问题建立数学模型时通常可以与线性方程组对应起来，因此，AX=b的求解是科学计算的中心问题.本文介绍了线性方程组的概念及解的基本理论，针对齐次线性方程组和非齐次线性方程组，结合例题讨论了它们的解法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU分解法、逆矩阵及广义逆矩阵A-法，并对每种方法的优缺点及适用性进行了分析，得出线性方程组的解法虽多，但要根据线性方程组的结构选择合适的方法，方能顺利求解的结论.关键词：线性方程组；高斯消元法；克拉姆法则；LU分解法；逆矩阵A-法Discussion about the Solution of Linear System of EquationsAbstract:Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solution of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gauss elimination method, LU decomposition method, Crum method, inverse matrix and generalized inverse matrix method, and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate method according to the linear equation the form of a group, can be solved smoothly conclusions.Key words: linear System of equations；Gauss elimination method；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix；1 引言求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题[1].对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐.因此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学计算中的一个重点和难点.目前，求解线性方程组的主要方法有高斯消元法[2]，克拉姆法[4]，广义逆矩阵A 法[3]，LU分解法[9]，如何选择是大家关心的一个问题.在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程.有些问题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化”或“线性化”为线性方程组[10].随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高，使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模线性代数方程组，并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展，加之直接方法理论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如Ax=b的大型线性方程组.许多源于工程技术的数学问题，都可以归结为求解线性方程组.因此在各种数据处理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一.因此，找到一种行之有效的方法来解线性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率.2 文献综述2.1 国内外研究现状目前，国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一系列的成果，文献[1-2]中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法，文献[3]中漫谈了线性方程组的改革，文献[4-5]中系统地介绍了线性方程组的基本理论，文献[6]中系统地讲述了线性方程组的各种解法，文献[7-10]中介绍了一些线性方程组的典例与解法，文献[11]中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用，文献[11-12]周均介绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例，文献[13-14] 花威谈了线性方程组在高等代数中的应用.2.2 国内外研究现状评价国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究，分别从商品利润问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多.2.3 提出问题针对国内外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进行了综合，对线性方程组的解法作了归纳总结，弥补其中的一些不完善的地方，并例举一些具有针对性、典范性的例题.3 线性方程组的概念及解的基础理论形如 11112211212222112212n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (1.1)的方程组，叫做线性方程组，其中x 1, x 2,… x n 代表n 个未知量的系数，m 是方程的个数；a ij (i=1,2, …,m,j=1,2, …,n) 称为方程组的系数b i (i=1,2, …,s)称为常数项.3.1 齐次线性方程组若方程组(1.1)中12,,m b b b 全为0，即111122112122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （1.2） 形如（1.2）的方程组叫做齐次线性方程组[7].常记为矩阵形式: Ax=0其中111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.2)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数[9]．定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.解的性质：记{}0V x Ax ==, (1)如果12,V ξξ∈，那么12V ξξ+∈； (2)如果,V k ξ∈为任意常数，那么k V ξ∈. (3)齐次线性方程组的通解为1122n r n r c c c ξξξ--+++, 12,,,n r c c c -是任意常数，其中12,,,n r ξξξ-是0Ax =的一个基础解系.例1[15]解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解 方法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.方法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.例2[2] 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解 将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.例3[3]求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系，并以该基础解系表示方程组的全部解.解 将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵121112111215A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1312(1)(1)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→121100020004-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦12232(1)()r r r ⨯-+⨯-−−−−−→121000010000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩（其中2x ,3x 为自由未知量）令21x =，30x =，得142,0x x ==；令20x =，31x =，得141,0x x =-=，于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，原方程组的通解为1122X k k ξξ=+（其中1k ,2k 为任意实数）.注：基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A).由上面的定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，此时系数矩阵的行列式0A ≠，故齐次线性方程组只有零解；（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”.3.2非齐次线性方程组1．若方程组(1.1)中12,,m b b b 不全为0，即11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1.3） 形如（1.3）的方程组叫做非齐次线性方程组，常记为矩阵形式: Ax=b.其中11121121222212,n n m m mn n a a a b a a a b A b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.3)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数[9]．(,)A A b =称为方程组(1.3)的增广矩阵，关于非齐次线性方程组，有以下理论：(1)唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解. (2)无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解.(3)无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解. 2.解的性质：记{}0V x Ax ==,{}S x Ax b ==.(1)如果12,S ξξ∈，那么12V ξξ-∈； (2)如果,S V ηξ∈∈，那么S ηξ+∈；(3)非齐次线性方程组的通解为01122n r n r x c c c ηξξξ--=++++, 12,,,n r c c c -是任意常数,其中0η是Ax β=的一个解(称为特解)，12,,,n r ξξξ-是0Ax =的一个基础解系.例4[7] 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解 2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解.所以方程组的解为 1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩例5[1] 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解 1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.例6 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解 1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.4 线性方程组的解法4.1 高斯消元法高斯（Gauss)消元法是一种古老的方法[4]，基于高斯消元法的基本思想而改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法，是最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）把某个方程的k 倍加到另外一个方程上去； （2）交换某两个方程的位置； （3）用某个常数k 乘以某个方程. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换.高斯消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量.现举例说明如下： 例7 解线性方程组解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以1-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T Tx x x =--. 小结：高斯（Gauss)消元法的思想比较简单，操作起来比较容易，但它只适用于未知数较少的线性方程组；当方程个数和未知数较多时，消元较为困难.4.2 用克拉默（Cramer ）法则解线性方程组定理1 如果方程组Ax=b 中D=|A|≠0，则Ax=b 有解，且解是唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成列矩阵b 所得的行列式.定理2 如果方程组Ax=b 中有非零解，那么必有D=|A|=0,Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件：(1)未知数的个数等于方程的个数. (2)系数行列式不等于零定理3[3] 当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解.定理4[4] 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=.例8 解线性方程组12312312312494x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪++=⎩解 111123300149D =--=≠ 所以，方程组有唯一解.111122320449D =--=，21111232,149D =--=- 311112312149D =--=因此，线性方程组的解为：12320212,,303030x x x -===. 小结：Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况[12].当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一.如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零.如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解.如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零. 用克拉默（Cramer ）法则解线性方程组比较简单，操作起来也比较容易，但它只适用于解未知数的个数和方程个数相同的线性方程组，而且通常是解非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，只能求出零解，非零解无法求出.4.3 LU 分解法LU 分解法是直接分解法中的一种算法[10]，将方程组Ax=b 中的稀疏矩阵A 分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，其中A=LU,令y=Ux,那么在方程租的运算中可以先解Ly=b,再解Ux=y 在编程过程中分两步进行，先对矩阵A 进行LU 分解，然后再解方程组. 例9 用LU 分解法解方程组解 由LU 分解()14131211u u u u ()30102-=()Tl l l 4131211()T 25.05.11-=()2423220u u u ()5.812110-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------139144432113124330102⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=72510()Tl l 423210()T 11/611/310--=()343300u u ()11/211/300--=()Tl 43100()T 9100-=()44000u ()4000-=得解,b Ly =()Ty y y y 4321()T 1611/172010--=得解,y Ux =()Tx x x x 4321()T4321=小结：LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变[13]，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组. 设n 阶线性方程组Ax=b .将方程组左端系数矩阵A ，分解成两个三角阵的乘积[14]，即A=LU ，式中，L 为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U 为主对角线以下的元素均为零.4.4逆矩阵法及广义逆矩阵A -法1. 线性方程组AX=b,当A 可逆时，1,Ax b x A b -==线性方程组等价于(注：A 是方阵).例10 解线性方程组Ax=b ,其中111111143A =-，b=(1，-2，4).解 111123300149=--=≠ A , 所以，系数矩阵A 可逆.1111222535--=--- A ， 方程组变形为 x=A -1b因此，线性方程组的解为：12320212,,303030x x x -===. 注：针对线性方程组AX=b,上述解法只适用于A 是方阵且可逆的线性方程组.下面主要讨论如何将上述方法加以推广，使之能运用到一般的线性方程组的求解中.2. 设m nA C⨯∈.如果存在n m G C ⨯∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵A 的{1}-逆的全体记为{1}A .若m n A C ⨯∈，A -n m C ⨯∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵[2]，则对,n mV W C⨯∈为任意的n m⨯矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为 G A V A A V A A---=+-, 同时还可以表示为()()m n G A V E A AE AA W ---=+-+-. 广义逆矩阵A -的计算：(1)设(0)mn r A C r ⨯∈>，且有m m m P C ⨯∈和n 阶置换矩阵Q 使得 (),(),r r nr E K P A Q KC OO ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则对任意的()()nr m r L C-⨯-∈，n m ⨯矩阵 r E O G Q P O L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是A 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在n nn T C ⨯∈使得,r E O P A T O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则矩阵的{1}-逆的全体12()()()()1221222122{1},,.r r m r n r r n rm r E L A T P L C L C L C L L ⨯--⨯-⨯-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭(2)设m nA C ⨯∈，则A 有惟一{1}逆的充分必要条件是mn =，且()r A n =，即A 可逆.这个惟一的{1}逆就是1A -.定理1 [12] 设m n A C ⨯∈，m b C ∈,则A A b b -=是线性方程组Ax b =有解的充要条件,其中{1}A A -∈.如果线性方程组Ax b =有解，其通解可表示为()x A b EA A y--=+-，其中y 是任意的n 维列向量. 定理2[14] 设线性方程组Ax b =有解，A -是m n ⨯矩阵A 的一{1}-广义逆矩阵，并且()H AA AA--=，则y A b -=为线性方程组Ax b =的最小范数解. 定理3[15] 设A -为m n ⨯矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，且()H A A AA--=，则对任意的n 维列向量b ,y A b -=一定是线性方程组Ax b =的最小二乘解. 例11 解线性方程组12341241234235,5814,223 4.x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩ 解 令231158011223A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，5144b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.通过行初等变换得到4203()()102211AE HP P -⎡⎤⎢⎥|→|→=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 取4Q E =，再令0α=，0β=，得100010000A Q P αβ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=20310222αααβββ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦20310200000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可以验证 (5,14,4)TA A b b-== 所以，线性方程组有解，且通解为123420*********()0001000001y y x A b E A A y y y ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1234,,,y y y y C ∈任意)[7]. 小结：该方法对线性方程组解的讨论更加完整，表达形式也更加简洁系统.在无穷多个解向量中，此法可求出一个长度最短解向量，当方程组无解时，又可求出其最优近似解，而且该方法在概率统计、线性规划等领域中应用比较广泛.5 结论5.1 主要发现线性方程组有多种解法，每种解法都有它的优越性和局限性.线性方程组是线性代数的心脏，它可以应用到很多方面，根据其重要理论可以解决很多问题，使得一些问题得到意想不到的简单解法.5.2 启示线性方程组的解法虽多，要选择一种适合的并不容易，我们需要先对线性方程组进行分类：齐次线性方程组和非齐次线性方程组.根据不同的线性方程组的不同特征，进而采用适当的方法求解.5.3 局限性线性方程组的解法还有多，由于本人的能力和时间有限，只对其中的几种方法进行讨论和分析.5.4 努力方向除了文章所述线性方程组的理论知识和求解方法外，由于线性方程组的解法相当多，在今后的学习中将不断的深入研究，以弥补文章中许多不足之处.参考文献[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京: 高等教育出版社, 1988:25-50.[2]张禾瑞.,郝鈵新.高等代数[M].第四版.北京: 高等教育出版社, 1999:35-68.[3]丘维声. 高等代数[M].北京: 高等教育出版社, 1996:32-65.[4]北京大学数学系几何与代数教研代数小组.高等代数[M].第二版.北京:高等教育出版社,1988:20-55.[5]熊廷煌.高等代数简明教程[M].武汉:湖北教育出版社,1987:30-55.[6]邓建中,刘之行.计算方法[M].西安:西安交通大学出版社,2001:25-60.[7]张元达.线性代数原理[M]. 上海:上海教育出版社,1980:45-60.[8]蒋尔雄.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1996:100-128.[9]霍元极.高等代数[M].北京:北京师范大学出版社,1988:77-120.[10]关治,陈精良.数学计算方法[M].北京:清华大学出版社,1990:45-90.[11]韩艳丽.求解线性方程组的Jacobi和Gauss—Seidel迭代法的收敛定理[J].中国西部科技,2009: 20-31.[12]周均,韩乐文.应用matlab求线性方程组的Cramer法则方法探讨[J].重庆职业技术学院学报,2004,13(3):109-130.[13]常双领. 张传林. 求解线性方程组的一种迭代解法[J]. 暨南大学学报, 2004,22(3): 06.30-70.[14]花威.线性方程组的迭代解法及Matlab实现程序[J],长江工程职业技术学院学报,2009,26(4):95-120.[15]谢邦杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1999:100-144.致谢我的毕业设计的完成，首先应当归功于指导老师梁XX老师.梁老师在我的毕业设计的选题、设计方法以及设计报告的撰写等各个方面都给予了我大量的指导和帮助，梁老师以他敏锐的洞察力、渊博的知识、严谨的治学态度、精益求精的工作作风以及高度的责任感悉心指导我的设计.设计中离不开梁老师的帮助，如果没有梁老师的指导，我的设计就不能顺利完成.我在设计中遇到困难时都能够向老师请教，老师悉心的指导和帮助及其严谨的工作态度、创新的精神使我受益匪浅，使得我的问题都能迎刃而解.本设计是在梁老师的悉心指导和帮助下完成的，在论文设计、修改的整个过程中，花费了老师很多的宝贵时间和精力，我在此向梁老师表示衷心地感谢！。
线性方程组的解的判定及解法 演示文稿
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
.
例4
x1 x2 a1
证
明
方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1
1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
1 1 0 1 1 2 ~ 0 0 1 2 1 2.
0 0 0 0 0
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
二。齐次线性方程组
齐次：rr((AA))＝ <nn无唯穷一多零解解 cor：1）m<n 无穷多解; 2)An；当 A ＝0 无穷多解;
例3。 求解齐次线性方程组
x1 2 x1
2x2 x3 x2 2x3
x4 0 2x4
0
.
x1 x2 4 x3 3 x4 0
解：
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
Ax b RA RB n Ax b有唯一解; RA RB n Ax b有无穷多解.
解法：
齐次线性方程组：系数矩阵化成行 最简形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成 行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解 ．若有解，化成行最简形矩阵，便可 写出其通解；
秩：线性方程组保留方程组 的个数；
矩阵中最高阶非零子式的 阶数；
将矩阵化阶梯型后的阶梯 的个数
线性方程组中非自由变量个 数
秩：的应用之一：
1.3 线性方程组解的初步讨论
从上一小节一般线性方程组的初步讨论中立 上一小节一般线性方程组的初步讨论中立 即可以得到关于齐次线性方程组的如下结论: 即可以得到关于齐次线性方程组的如下结论 • 如化为行阶梯型矩阵中 非零行个数r = n,则 如化为行阶梯型矩阵中,非零行个数 非零行个数 则 齐次线性方程组只有唯一的一组解,因而 因而只 齐次线性方程组只有唯一的一组解 因而只 有零解; 有零解 • 如果 < n,则齐次线性方程组有无穷多解 从 如果r 则齐次线性方程组有无穷多解,从 则齐次线性方程组有无穷多解 有非零解. 而有非零解 r是将系数矩阵行初等变换为阶梯状时的阶梯
b22 … b2n b2′ A→ 0 此部分继续 … … … … … 上述变换 0 bm2 … bmn bm′
c11 c12 … c1r … c1n d1 0 c22 … c2r … c2n d2 … … 0 0 0 … … 0 … crr … crn dr … … … …
均不为零
0 … 0 …0 0 … 0 …0
任给x 一组值, 任给 r+1,…,xn一组值,代入上方程组都可唯一确定出 xr,xr-1,…,x1的一组值.这时方程组有无穷多组解. 的一组值.这时方程组有无穷多组解. 称为自由未知量 自由未知量(free variable) 而xr+1,…,xn称为自由未知量
综合以上的讨论,可得如下结论: 综合以上的讨论 可得如下结论 可得如下结论
第一章 线性方程组
1.3 线性方程组解的初步讨论