高等数学(空间解析几何)习题及解答doc资料

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高等数学向量代数与空间解析几何题【精选文档】

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

空间解析几何与向量代数三

高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。

272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、设直线n4与直线1平行，求 n,m 。

2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。

m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。

、已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。

m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。

1BB2, m 235、求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。

[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。

7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。

空间解析几何参考答案

空间解析几何参考答案练习一一1 D 2 B 3 D 4 C 5 B二1，2； 2，2； 3，1,1,1}3- 4, {}4,2,3-- 三， 222240A B a b λλ∙=+=+=得2λ=-； ()222b 226,15A B a b b a a b A B a λλλλλ⨯=⨯+⨯=-⨯⨯=-=-==-，解得，或四222216913a b a b a b a b ±=+±∙=±=，；五()()()22220c 232a b a b c a b a c b c a b a c b c =++=+++∙+∙+∙=+∙+∙+∙ 32a b a c b c ∙+∙+∙=- 六 ()()a 2a 33a 2a 5a b b b b b +⨯-=-⨯+⨯=-⨯,5a 5a sin4b b ∏-⨯==练习二一1 C 2 C 3 D 4 A 5.C 6.C二 1,m=1,m=3 2, 1 三(1) 2113;340110ij k n i j k x y z ==+-+--=-所求平面方程为(2) 11123;30211ij k n i j k x y z =-=-++--=所求平面方程为2；(3) 10024;20542i j kn j k y z ==++=-所求平面方程为；(4)，,2,2x y z A A x y z ++==++=设所求平面方程为则有所求平面方程为；(5)，333396;20310i j k n i j k y z =-=---=所求平面方程为x-3；(6) 2,A 8A x y z A ++=-设所求平面方程为8则有其在X 、Y 、Z 轴截距分别为-， 31,18,12,21202616A A A x y z ⨯==±++±=-故有解得，所求平面方程为8 ；四()222000000113,,,,3,449122x y z M x y z t AM t t t --+====++=设球心则由得 ()()()()()2222,3,10,31,5,2319M M x y z ±----+-++=得t=1,球心或则球为()()222159y z ++++=或x五(1)直线，平面(2)圆，圆柱面(3)双曲线，双曲柱面(4)抛物线，抛物柱面(5)原点，z 轴练习三一1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6B二，1.24231x y z --==- ；2. 124213x y z -+==--- 三， ()11143,1,0,0213i j ks i j k ==----点在直线上，故对称式方程为1414133x t x y z y t z t =-+⎧+⎪=-⎨--⎪=-⎩==参数方程为四()12,2,124,7,6,9x t y t z t t =+=-=-+=---代入平面方程得故交点为()()()2,1,,27,5,92,1,10,3u u u u u u u ++-++∙==-设另一直线上点由得()7691,8,6,186x y z s +-+=-==-所求直线为五()()223220,2312220x y y z x y z λλλλ--+-+=+---+=设经过直线的平面为即242403140,1,220x y z y z λλλ-+-=⎧--==-⎨+-=⎩由两平面垂直，得故所求直线为自测题一 1，2；3.0x y z -+=；3，20y z x +=⎧⎨=⎩； 4，210y z x ⎧+=⎨=⎩；5，3λ=-二，1 C 2 D 3 B 4 A 三，1，1293110x y z -++==--；2，23,231x y z x y z +-=--= 3，sin cosx t y t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩；42 ；5，40x y z ++-=。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．4．设kj i a ++=2，kj i b 22+-=，kj i c 243+-=，则)(b a prj c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=b a b k j i a ，则，且，14//236（） A ．)4612(k j i -+± B ．)612(j i +± C ．)412(k i -± D ．)46(k j -± 4．若ϕ的夹角与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223B ．553C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________． 1．设k j i a 32+-=，j i b +=2，k j i c ++-=，则c b a 与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有==,由矢量合成的三角形法则有+=+=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何习题答案解析(最新整理)

一、计算题与证明题1．已知, , , 并且．计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则（1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即（2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。

空间解析几何练习题解决空间中直线与平面的问题

空间解析几何练习题解决空间中直线与平面的问题空间解析几何是解决三维空间中的几何问题的一种方法。

在解决空间中直线与平面的问题时，我们可以利用向量和坐标等工具进行分析和计算。

下面将通过几个练习题来演示如何解决空间中直线与平面的问题。

练习题1：已知直线L：{(x,y,z)|x=a+t1m,y=b+t2n,z=c+t3p}，平面P：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为常数，且直线L与平面P相交。

求直线L与平面P的交点坐标。

解析：直线L与平面P有交点时，交点坐标满足直线上的点同时满足平面的方程。

即将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到一个关于参数t1、t2、t3的方程组。

解这个方程组，即可获得交点坐标。

解题步骤：1.将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到Ax+(a+t1m)Bx+(b+t2n)Cz+(c+t3p)+D=0。

2.将方程展开，化简得到At1m+Bt2n+Ct3p+Ax+By+Cz+D=0。

3.根据参数的系数相等，得到三个方程：At1+Bt2+Ct3+A=0，Bt1+Ct2=0，Ct1=0。

4.解这个方程组，得到参数t1、t2、t3的值。

5.将参数的值代入直线L的参数方程，即可得到直线与平面的交点坐标。

练习题2：已知直线L：{(x,y,z)|x=1+t,y=2-t,z=3+2t}，平面P：x-2y+z+1=0，判断直线L与平面P的关系。

解析：直线与平面的关系有三种情况，即直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行。

判断直线与平面的关系，可以通过判断直线上的点是否满足平面的方程。

解题步骤：1.将直线L的参数方程代入平面P的方程，得到(1+t)-2(2-t)+(3+2t)+1=0。

2.将方程化简，得到t=0。

3.将t的值代入直线L的参数方程，得到(x,y,z)=(1,2,3)。

4.将直线上的一点代入平面P的方程，若等式成立，则直线在平面上；若不成立，则直线与平面相交。

5.将(1,2,3)代入平面P的方程，得到1-2(2)+3+1=0。

大学解析几何考试题及答案

大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。

空间解析几何课后习题解析

空间解析几何课后习题解析第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中，21AC. KL与方向相同；在?DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1=+（2+=+（3-=+（4+=C（5=[解]：（1）, -=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-?+--?-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解→→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．证明∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．5. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, BM ,可以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。

空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ．计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

空间解析几何习题答案

空间解析几何习题答案一、计算题与证明题1．已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0．计算a?b?b?c?c?a．解：因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向，且a?b与c反向因此a?b?0，b?c?0，c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0 2．已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|．解：|a?b|?a?bcos??3|a?b|?a?bsin??4 2(1)2??2?得?a?b??25 2所以a?b?5 4．已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标．解：设x的坐标为?x,y,z?，又a??1,5,?2? 则a?x?x?5y?2z?3又x与a共线，则x?a?0 即??yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215 15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2222?0即29x?5y?26z?20yz?4xz?10xy?0又x与a共线，x与a夹角为0或?cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x ?y?z?30222 整理得x?y?z?3 10?2?、?3?解出向量x的坐标为?联立?1?、?111?,,?? 1025??6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程．解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3) AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则MA?MB 得?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0 ??x?1?2??y?2?2??z? 3?2 这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1?2 a?br设向量c的坐标为?x,y,z? 则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1?1r2b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1?1r2c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2 所以x?y?z?22221?x???3x?1??4??联立、、(3)求出?y?0或?y? 3?z?1??1?z???3?所以向量c 的坐标为?1,0,1?或??,,?? 8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)，(1) 求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥A?BCD的体积．?14?331?3?(3) 求?BCD的面积．(4) 求点A到平面BCD的距离．解：因为A?3，0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0? AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4? AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积???1?10V??3?5?8?602??3?100?0 ??0?120?12??176 ?4立体几何中知道，四面体ABCD的体积1188VT?V??176? 663因为BC???2，2，2?，BD???4，4，?4? i BC?BD??2jk22??16i?16j?0k ?44?4 所以BC?BD?因此S?BCD???16?2???16?2?162，这是平行四边形BCED的面积11S□BCED??162?82 22(4)设点A到平面BCD的距离为H，立体几何使得三棱锥A?BCD的体积1VT?S?BCD?H 3所以H?3VTS?BCD883?11?112 ?28223?1．求经过点A(3,2,1)和B(?1,2,?3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax?Cz?D?0(1) 把点A?3，2，1?和点B??1，2，?3?代入上式得3A?C?D?0(2) ?A?3C?D?0(3) DD，得A??,C? 22DDz?D?0代入得?x?22消去D得所求的平面方程为x?2?z?0 xyz??1距离相等的点的轨迹方程．2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:?2?51解；设动点为M?x,y,z?，点到平面的距离公式得3z?y?2z?63???1??2222??5x?2y?10z?10?? 5?2?2???10?22 所以3x?y?2z?6??14129??5x?2y?10z?10?3．已知原点到平面?的距离为120, 且?在三个坐标轴上的截距之比为?2:6:5, 求?的方程．解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为xyz???1 ?2k6k5k 化成一般式为?15x?5y?6z?30k?0 又因点O?0,0,0?到平面?的距离为120，则有?30k??15?求出k??4286 2?5?622?120 所以，所求平面方程为?15x?5y?6z?120286?0 5．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．解：两平面的法矢分别为n1??m,?1,?6?，n2??2,?3m,11?，n1⊥n2，得2m?21m?66?0 求出m??66 196．已知四点A(0,0,0), B(,2,?5,3), C(0,1,?2), D(2,0,7), 求三棱锥D?ABC中ABC。

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空间解析⼏何答案word第⼋章空间解析⼏何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、⽅向余弦和⽅向⾓.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，⽅向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，⽅向⾓为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平⾯上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平⾏于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，⼀个与a 同向，⼀个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平⾯上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得-+++=+-++-+=-+-+222222222222)y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试⽤向量法证明：三⾓形各边依次以同⽐分之，则三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是⼀个FGH ?的三个顶点，设三⾓形的重⼼为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ?的同⽐nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(31313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三⾓形FGH ?的重⼼为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221mn mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼. §8.2 数量积向量积 1.若3 ),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2+--=--=73443cos431239||412||92222=?+-?=+?-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=?b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -?-=+?+，展开可得b a b a b a b a ?-+=?++2||||2||||2222，即04=?b a ，故0=?b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ?++=?++=+?+=+=23241002||||)()(||4002227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹⾓及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=?+-?+?=?b a ，7799916419cos =++?++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=?，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满⾜0=++c b a ，计算a c c b b a ?+?+?. 解：因为0)()(=++?++c b a c b a ，所以0222||||||222=?+?+?+++a c c b b a c b a ，⽽1||||||222===c b a ，所以23-=?+?+?a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量.解：kj i k j i kji b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=?=⽽83)3(5)7(||222=-++-==c e .7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //. 8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c（1）确定m 的值，使得b a +与c 平⾏. （2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平⾏，只需0=?+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，⽽c b a ?+)()99,0,99(32m m m --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平⾏.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=?-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，⽽c b a ?-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-?---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲⾯及其⽅程 1.填空题（1）将xOz 坐标⾯上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球⼼，且通过坐标原点的球⾯⽅程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标⾯的圆422=+y x 绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（4222.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之⽐为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲⾯.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为⼼，半径为352的球⾯. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹.解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲⾯的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲⾯为单叶双曲⾯. （2）259916222=--z y x . 解：该曲⾯为双叶双曲⾯.（3）1254222=++z y x . 解：该曲⾯为旋转椭球⾯. （4）x y x 922=-. 解：该曲⾯为双曲柱⾯. （5）x z y 922=+. 解：该曲⾯为椭圆抛物⾯.（6）0)3()2()1(4222§8.4 空间曲线及其⽅程 1. 填空题（1）⼆元⼀次⽅程组?-=+=3412x y x y 在平⾯解析⼏何中表⽰的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析⼏何中表⽰的图形是（两平⾯的交线，平⾏于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物⾯)20(22≤≤+=z y x z 在xOy ⾯上的投影为（=+=222z y x z ），在xOz ⾯上的投影为（22≤≤z x ），在yOz ⾯上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球⾯4222=++z y x 与平⾯1=+z x 的交线在xOy ⾯上的投影⽅程.解：将x z -=1代⼊4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影⽅程为??=+-=322022y x x z .3.分别求母线平⾏于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线=+-=++0242222222z y x z y x 的柱⾯⽅程.解：在=+-=++022z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平⾏于x 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平⾏于y 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平⾏于z 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.4.将下列曲线的⼀般⽅程化为参数⽅程：（1）-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代⼊4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数⽅程为==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）=+=++4922222z x z y x .解：做变换??==θθsin 2cos 2z x ，将其带⼊⽅程9222=++z y x ，即得52=y .所以参数⽅程为??sin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线??===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标⾯上的投影曲线的直⾓坐标⽅程.解：螺旋线在xOy ⾯上的投影为===0sin 2cos 2z y x θθ，直⾓坐标⽅程为??==+0422z y x . 螺旋线在yOz ⾯上的投影为===03sin 2x z y θθ，直⾓坐标⽅程为==03sin 2x z y . 螺旋线在zOx ⾯上的投影为===03cos 2y z x θθ，直⾓坐标⽅程为==03cos 2y z x . 6.画出下列⽅程所表⽰的曲线：（1）?==++1164222z z y x .（2）=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）??==-4116422y z x .§8.5 平⾯及其⽅程 1. 填空题（1）⼀平⾯过点)4,1,1(-且平⾏于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平⾯的点法式⽅程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平⾯的⼀般⽅程为（023=---z y x ）,平⾯的截距式⽅程（12)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的⽅程为??=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有⼀个成⽴）时，直线L 平⾏于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平⾯⽅程. 解：由平⾯的三点式⽅程知，所求的平⾯⽅程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平⾯02=-+z y x 和052=+-z y x 的平⾯⽅程.解：该平⾯的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平⾯的⽅程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平⾯0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离为1221|d .5.求平⾯052=-+-z y x 与各坐标⾯的夹⾓的余弦.解：所给平⾯的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平⾯与xOy ⾯、yOz ⾯和zOx⾯的夹⾓为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ?611)2(1|110201|222=+-+?+?-?=， =x θcos ||||n i n ?611)2(1|010211|222=+-+?+?-?=， =y θcos ||||n j n ?621)2(1|011201|222=+-+?+?-?=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平⾯的⽅程. 解：设所求平⾯的⽅程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平⾯上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求⽅程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平⾯⽅程：（1）平⾏于yOz 平⾯且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平⾏于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平⾯⽅程.解：（1）yOz 平⾯的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平⾯的法向量，因。

习题解答

高等数学课件与自学复习讲义第七章空间解析几何向量代数§1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系问在yz 平面上的点有什么特点？答：x 坐标为0 二、两点间的距离公式1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离解：22)03())1(2()11(P P 22221=-+--+--=2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)等距解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）得方程z ,5y 18y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(22222222==++=++--+--+-=-+--+-所以此点坐标为（1， 5， 0）§2 曲面曲线的方程一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程（2）y=0: xz 平面（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？解：方程配方得43)21z ()1y ()1x (222-=-+++-无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径解：方程配方得2222)217(417z )21y ()2x (==+++-，所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为2173. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+45=0解：配方得222224)21z ()1y ()2x (==++-++，所以方程球心为（-2, 1, -21），半径为2三、柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形解：此题为抛物柱面，缺z2. 方程14z y 22=+表示什么曲面？（测验题）解：平行于x 轴椭圆柱面3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面4. y 2=1解：y=±1,相互平行的平面5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程1. 问⎩⎨⎧==+az R y x 222表示什么曲线？解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。

空间解析几何答案

空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

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（3）个性体现
为了解目前大学生对DIY手工艺品制作的消费情况，我们于己于人2004年3月22日下午利用下课时间在校园内进行了一次快速抽样调查。据调查本次调查人数共50人，并收回有效问卷50份。调查分析如下：
手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。（二来自上海的人口环境对饰品消费的影响
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习7-5
练习7-6
总习题七
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我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
练习7-1
2、传统文化对大学生饰品消费的影响
现在是个飞速发展的时代，与时俱进的大学生当然也不会闲着，在装扮上也不俱一格，那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。
自制性手工艺品。自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。
是□ 否□
（3）心态问题