四川省高一下学期期末数学试卷

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四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(理科)(解析版)

四川省成都市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(2,1)a =-，则||(a = )AB ．1C ．2D ．5〖解析〗(2,1)a =-，||41a ∴=+〖答案〗A 2．22cos sin (88ππ-= )A ．12B ．2C D ．2-〖解析〗22cos sin cos884πππ-==．〖答案〗B3．等差数列{}n a 中，若11a =-，69a =，则公差(d = ) A ．2B ．3C ．4D ．5〖解析〗在等差数列{}n a 中，若11a =-，69a =，则公差619(1)2615a a d ---===-．〖答案〗A4．若||1a =，||3b =，32a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 〖解析〗设向量a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，||1a =，||3b =，32a b ⋅=，∴312cos 132||||a b a b θ⋅===⨯，∴3πθ=．〖答案〗C5．已知l ，b ，c 为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，则l 与α的关系是( )A ．l α⊥B ．//l αC ．l 在α内D ．不确定〖解析〗若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当b 与c 相交时，l α⊥，故A 正确；若b ，c α⊂，l b ⊥，l c ⊥，当//b c 时，//l α或l 在α内，故BC 正确．〖答案〗D6．tan15tan 45tan 45(︒-︒+︒︒= )AB 2C ． D〖解析〗tan15tan 45tan 45tan(1545)(1tan15tan 45)tan 45︒-︒︒︒=︒-︒+︒︒︒︒tan(30)(1tan15tan 45)tan 45tan15tan 45)tan 45=-︒+︒︒+︒︒=+︒︒+︒︒tan 45tan 45=︒︒+︒︒=．〖答案〗C7．下列说法正确的是（） A ．若＜0，则向量与的夹角一定为钝角B ．等比数列前n 项和公式为S n ＝C ．sin15＜cos15D ．圆台（棱台）体积公式为V ＝（S '++S ）h （其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高）〖解析〗对于A ，当＜＞＝π时，，故A 错误；对于B ，当q ＝1时，选项中的公式无意义，故B 错误；对于C ，因为15≈859°＝2×360°+139°，故cos15＝cos139°＜0，sin15＝sin139°＞0，故C 错误；对于D ，圆台（棱台）体积公式为V ＝（S '++S ）h （其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高），故D 正确．〖答案〗D8．已知α，β都是锐角，若4cos 5β=，12cos()13βα+=，则cos (α= ) A ．865B ．6365C ．3365D ．3365-〖解析〗α，β都是锐角，4cos5β=，12cos()13βα+=，3sin5β∴=，5sin()13βα+==，1245363cos cos()cos()cos sin()sin13513565αβαββαββαβ∴=+-=+++=⨯+⨯=．〖答案〗B9．如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定〖解析〗因为//AD BC，//AD EF，//CB EF∴，所以B，C，F，E四点共面，即BC，EF确定平面BCEF，又P EF∈，B BC∈，故直线BP⊂平面BCEF，又直线FQ，F∈平面BCEF，Q∉平面BCEF，故直线FQ⊂/平面BCEF，又F BP∉，故直线FQ与PB的关系是异面．〖答案〗C10．已知在递减等比数列{}na中，2518a a+=，3432a a⋅=，若1na=，则(n=) A．6B．7C．8D．9〖解析〗在递减等比数列{}na中，253432a a a a⋅=⋅=①，2518a a+=②，216a∴=，52a=，设等比数列{}na的公比为q，则35221168aqa===，解得12q=，651a a q==，6n∴=．〖答案〗A11．在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，将ABC ∆沿对角线AC 折起，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 A ．36π B ．64πC ．100πD ．与二面角B AC D --的大小有关〖解析〗如图所示；设矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，则5OA OB OC OD ====；∴三棱锥B ACD -的外接球的半径为5R =，其表面积为22445100S R πππ==⋅=．〖答案〗C12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，56ADC π∠=，3BCD π∠=，3BE EC =，CD =，BE =，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为( )A ．1B ．1516C ．3132D ．2〖解析〗以B 为原点，BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，连接DE ，则B (0,0)，E 0)，3BE EC =，BE =，CE ∴=23CD =，3BCD π∠=，DE CE ∴⊥，即2DEC π∠=，得1DE =，6EDC π∠=，过点D 作DG AB ⊥于点G ，则DG BE ==D 1)， 56ADC π∠=，6ADG π∴∠=，1AG ∴=，点(0,2)A ，∴直线AD 的方程为2y -=，即2y =+，由于点F 是边AD 上的动点，不妨设点(,2)F t +，[0t ∈，则(EF t =，2)+，(,2)BF t =+，∴22415((2)(316EF BF t t t ⋅=++=+，[0t ∈，当t =EF BF ⋅取得最小值，为1516．〖答案〗B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年四川省成都市高一下册学期期末数学试题【含答案】

成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PA3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35B.35-C.45D.45-4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒=D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π46.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.257.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.128.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π D.4π二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z+= D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n +=12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .19.已知函数()() sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.2i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+B【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5----===-++-，故选：B2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PAC【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C 3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 35B.35-C.45D.45-C【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得3π4cos sin 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：C4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒= D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，223cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=--︒︒，D 选项错误.故选：D5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π4C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，得π2sinsin 23sin 23a B A b===，又a b <，所以A B <，所以A 为锐角，所以π4A =．故选：C ．6.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.25B【分析】设球的半径为r ，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，设内切球的半径为r ，可得343V r π=球，2322V r r r ππ=⋅=圆柱，所以23V V =球圆柱.故选：B.7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.12A【分析】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，分析可知直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，计算出FG 、EF 的长，即可求得EFG ∠的余弦值.【详解】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且2AB CD ==，F 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//AF DG 且AFDG =，所以，四边形ADGF 为平行四边形，故//FG AD 且2FG AD ==，因为//A D AD ''，//A D FG ''∴，故直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，AD ⊥ 平面CDD C ''，EG ⊂平面CDD C ''，则AD EG ⊥，故FG EG ⊥，因为222EG CE CG =+=，226EF FG EG ∴=+=，所以，26cos 36FG EFG EF ∠===.因此，直线A D ''与EF 所成角的余弦值是63.故选：A.8.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2π B.πC.2π D.4πB【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4f x x π=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cos sin )2sin cos cos 2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x π=--=-=+，所以最小正周期为22T ππ==.故选：B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z +=D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根BCD【分析】把复数化成13i 22z =+，利用复数的意义判断A ；求出z 、||z 判断BC ；利用复数的四则运算计算判断D 作答.【详解】依题意，复数13i 22z =+，复数z 的虚部为32，A 错误；13i 22z =-在复平面内对应的点13(,)22-在第四象限，B 正确；2213||()()122z =+=，1313(i)(i)12222z z +=++-=，则z z z +=，C 正确；22131313131(i)(i)1(i)i+1022222222z z -+=+-++=-+--=，即z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根，D 正确.故选：BCD10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥BCD【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】A ：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A 正确；B ：由a α⊥，a b ⊥r r可得b α∥或者b α⊂，故B 错误；C ：由a α⊂，b β⊂，αβ∥可得a 与b 异面或//a b ，故C 错误；D ：由βα⊥，b αβ= ，a b ⊥r r，当a α⊄时，不能得到a β⊥，只有当a α⊂时，才可以得到a β⊥，故D 错误.故选：BCD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n += BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b =，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则()2222492319m n m nm n m n +=+=++⋅=++⨯=，D 错.故选：BC.12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+BCD【分析】对A ：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B ：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C ：根据题意可得圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，结合余弦定理分析运算.【详解】对A ：由题意可知：222,1,3OA OB SO SA SB SC SO OB ======+=，故圆锥SO 的侧面积为π236π⨯⨯=，A 错误；对B ：SAC 面积113sin 33sin sin 222SAC S SA SC ASC ASC ASC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=∠ ，在SAB △中，2223381cos 023233SA SB AB ASB SA SB +-+-∠===-<⋅⨯⨯，故ASB ∠为钝角，由题意可得：0ASC ASB <∠<∠，故当π2ASC ∠=时，SAC 面积的最大值为33sin 22ASC ∠=，B 正确；对C ：由选项B 可得：1cos 3ASB ∠=-，SAB ∠为钝角，可得222sin 1cos 3SAB SAB ∠=-∠=，由题意可得：圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，设其半径为R ，则2223sin 223AB R ASB ===∠，即32R =；故圆锥SO 的外接球的表面积为234π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，C 正确；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，如图所示，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，此时π2,2AC BC ACB ==∠=，在SAC ，2224333cos 023223AC SC AS ACS AC SC +-+-∠===>⋅⨯⨯，则ACS ∠为锐角，则26sin 1cos 3ACS ACS ∠=-∠=，在SBC △，则()π6cos cos cos sin 23SCB SCA ACB SCA ACS ⎛⎫∠=∠+∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，由余弦定理可得22262cos 342327423SB SC BC SC BC SCB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则742SB =+，故SE BE +的最小值为742+，D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.115-【分析】将分式的分子和分母同时除以2cos α，化简求值即可．【详解】tan 5α =，2224sin 3sin cos 4tan 3tan 425351154cos sin cos 4tan 45ααααααααα++⨯+⨯∴===----故115-14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.3【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.【详解】如图，分别以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，由题意，(0,0),(0,2),(1,2),(3,0)B A D C ，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，所以1(2,1),(,2)2M N ，所以1(2,1),(,2)2BM BN == ，所以121232BM BN ⋅=⨯+⨯= ，故315.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.1002【分析】先求得,AM AN ，再利用余弦定理求得MN .【详解】10031003sin 60,200sin 60AM AM ︒===︒，502502sin 30,1002sin 30AN AN ︒===︒，在三角形AMN 中，由余弦定理得()()22200100222001002cos 45MN =+-⨯⨯⨯︒1002=米.故100216.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.π2【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.【详解】如图，连接11D B ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，2,1,60AB AD BAD ∠=== ，所以11111112,1,60C D B C B C D ∠===，在111B C D △中，由余弦定理有：22211111111112cos 60D B C D C B C D C B =+-⋅ ，代入数据，解得113D B =，所以222111111D B C B C D +=，即1111D B C B ⊥，又111BB D B ⊥，1111BB C B B = ，所以11D B ⊥平面11BCC B ，在平面11BCC B 上，以点1B 为圆心，作半径为1的圆，交棱11,BB CC 于点1,M C ，得到弧 1MC ，在 1MC 上任取一点与11,B D 都构成直角三角形，根据勾股定理可知弧 1MC 上任取一点到点1D 的长度为2，所以以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为弧 1MC 的长，因为11π2BB C ∠=，所以根据弧长公式有：弧 1MC 的长度为ππ122⨯=.故答案为π2四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．（1）47a b -=（2）7k =-【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值；（2）由已知可得出()()20a b ka b +⋅-=，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.【小问1详解】解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3，则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以，()()2222224216847a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯-+=.【小问2详解】解：因为()()2a b ka b +⊥-，则()()()222212a b ka b ka k a b b+⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，由中位线定理可得//FO DE ，再由线面平行的判定定理可得答案.【小问1详解】因为AB ⊥平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，所以AB EC ⊥，因为BE EC ⊥，AB BE B = ，、⊂AB BE 平面ABE ，所以CE ⊥平面ABE ；连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，所以O 点为BD 中点，因为点F 为线段BE 的中点，所以//FO DE ，因为FO ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF .19.已知函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈（2）π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.根据函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像，可得2A =，32π5π4123πω⋅=+，2ω∴=．再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，π3ϕ∴=-，故有()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．根据图像可得，0π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈.【小问2详解】先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 212π32ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，解得πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，可得()g x 的减区间为πππ2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈，结合π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，可得()g x 在4π312π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．（1）证明见解析（2）2【分析】（1）取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ，利用勾股定理证明1AO AO ⊥，易得1AO ⊥平面111A B C ，再根据面面垂直判定定理即可证明；（2）由（1）可证明AO 为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.【小问1详解】取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ．∵111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，∴11AO B C ⊥，111AO B C ⊥，13AO AO ==．∴1AOA ∠为二面角111A B C A --的平面角．∵16AA =，∴22211A O AO A A +=，∴1AO AO ⊥．因为1AO AO ⊥，111AO B C ⊥，11O AO B C ⋂=，11,AO B C ⊂平面11AB C 所以1AO ⊥平面111A B C ，又1A O ⊂平面111A B C ，∴平面11AB C ⊥平面111A B C ．【小问2详解】111111111112A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，1AO AO ⊥，11AO B C ⊥．∵111AO B C O ⋂=，11B C ⊂平面111A B C ，1A O ⊂平面111A B C ，∴AO ⊥平面111A B C ．∴AO 为三棱锥111A A B C -的高．∴111111113431334A ABC A B C V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ．∴四棱锥11A BB C C -的体积为2．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．（1）52km（2）106km 3【分析】（1）选择条件①由正弦定理得32AC =，选择条件②由余弦定理得32AC =，再结合余弦定理可得AD 的长；（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．【小问1详解】解：若选择条件①，在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即232sin sin 34=AC ππ，解得32AC =；若选择条件②，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠即()()()()2222332323323cos 183=-+-⨯-⨯⋅=AC π解得32AC =；在△ACD 中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即()()222342322325=+-⨯⨯AD AD 解得52AD =或725=-AD （舍去）∴服务通道AD 的长为52km ．【小问2详解】在△ADE 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠AD AE ED AE DE AED ，∴()22252AE ED AE DE =++⋅，即()250AE ED AE ED =+-⋅，∵22AE ED AE ED +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，∴()23504+≤AE ED ，∴1063+≤AE ED （当且仅当563AE ED ==时取等号）∴折线赛道AED 的最大值为106km 3．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t =-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅ ，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2021-2022学年四川省遂宁市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

四川省遂宁市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．cos10cos20sin10sin20︒︒-︒︒等于( )A ．BC ．12D ．12-〖解析〗因为cos10cos20sin10sin 20cos(1020)cos30︒︒-︒︒=︒+︒=︒= 〖答案〗B2．已知等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，则9(a = ) A ．10-B ．17-C ．19-D ．21-〖解析〗等差数列{}n a 中，23a =-，35a =-，322d a a ∴=-=-，9273(2)717a a d ∴=+=-+-⨯=-．〖答案〗B3．若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．0a bc d-> B ．0a b c d-< C ．a b d c> D ．a b d c< 〖解析〗0c d <<，0c d ∴->->，0a b >>，ac bd ∴->-，∴ac bd cd cd -->，∴a bd c<．〖答案〗D4．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为1(1,)3-，则ab 的值为( )A ．6-B ．5-C ．6D ．5〖解析〗不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，0a ∴<，∴原不等式等价于210ax bx ---<，由根与系数的关系，得113ba-+=-，113a -⨯=，3a ∴=-，2b =-，6ab ∴=．〖答案〗C5．下列函数中最小值为4的是( )A ．224y x x =++B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222x x y -=+D ．4y lnx lnx=+〖解析〗对于A ，2224(1)33y x x x =++=++，所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0|sin |1x <，所以4|sin |2|sin |4|sin |y x x x =+=，当且仅当4|sin ||sin |x x =，即|sin |2x =时取等号，因为|sin |1x ，所以等号取不到，所以4|sin |4|sin |y x x =+>，故选项B 错误；对于C ，因为20x >，所以24422222422x x x x xxy -=+=+⋅，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当1x e=时，1414541y ln e ln e=+=--=-<，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误．〖答案〗C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π〖解析〗由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为4，则圆柱的体积2144V ππ=⨯⨯=．〖答案〗A7．在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，则2022a 的值为( )A ．14-B ．5C ．45D ．54〖解析〗在数列{}n a 中，114a =-，111(2,*)n n a n n N a -=-∈，2111145a a ∴=-=+=，321415a a =-=，431114a a =-=-， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期函数，20226743345a a a ⨯∴===．〖答案〗C8．三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD 等于( ) A ．1344AB AC + B ．3144AB AC + C ．1344AB AC - D ．3144AB AC - 〖解析〗3313()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．〖答案〗A9．已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()(a a = ) AB．C． D．〖解析〗由等比数列{}n a 的性质可得：226354a a a a a ==，∴22643523a a a a a π+==，353a a π∴=．则35tan()tan 3a a π==．〖答案〗A10．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为( )A ．11.5尺B ．12.5尺C ．13.5尺D ．14.5尺〖解析〗设相邻两个节气晷长减少或增加的量为(0)d d >，则立冬到大雪增加2d ，大雪到雨水先增加一个d 再减少4d ，设大雪的晷长为x ，则49.510.52x d d d x +-=⎧⎨+=⎩，解得112.5d x =⎧⎨=⎩．〖答案〗B11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2sin sin c ba B C+=，则ABC ∆是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形〖解析〗根据题意，ABC ∆中，2sin sin c ba B C+=，由正弦定理可得：sin sin 2sin sin sin C BA B C+=，又由左式sin sin sin 22sin sin sin C B B B C C =+⨯=，当且仅当sin sin B C =时等号成立，而右式2sin 2A ，则有sin sin B C =且sin 1A =，即b c =且2A π=，故ABC ∆是等腰直角三角形．〖答案〗C12．设等差数列{a n }满足：，公差d ∈（﹣1，0）．若当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则首项a 1的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．〖解析〗由，得，整理，得，所以sin （3d ）＝﹣1，因为公差d ∈（﹣1，0），所以3d ∈（﹣3，0），则．所以，设，其图像的对称轴方程为，由题意，当且仅当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，所以，解得，则首项a 1的取值范围是．〖答案〗A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||1,||2a b ==，a 与b 的夹角60θ=︒，则向量b 在向量a 方向上的投影为．〖解析〗依题意，向量b 在向量a 方向上的投影为1||cos 212b θ=⨯=．〖答案〗114．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q ，则456a a a ⋅⋅= ．〖解析〗等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =32645613544832a a a a a a q q q q ∴⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=⨯=．〖答案〗3215．已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是．〖解析〗圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm π，设圆锥的母线长为acm ，则2122a ππ⨯=，2a cm ∴=，∴侧面展开扇形的弧长为2cm π，设圆锥的底面半径OC rcm =，则22r ππ=，解得1r cm =．〖答案〗1cm16．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4||b m n =-，2A B =，则a 的取值范围为．〖解析〗设方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四根分别为1a 、2a 、3a 、4a ，则数列1a 、2a 、3a 、4a 是首项为14的等差数列，设其公差为d ，由等差数列的性质，可得1423a a a a +=+，无妨设1a 、4a 为方程220x x m -+=的两根，则2a 、3a 为方程220x x n -+=的两根，由韦达定理，可得144124a a a +=+=，474a ∴=，41132a a d -==，则234a =，354a =，此时14716m a a ==，231516n a a ==，则1||2m n -=，2b ∴=，三角形ABC 为锐角三角形，∴02022032B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64B ππ<<，cos (2B ∴∈，由正弦定理，得sin sin a b A B =，∴2sin cos sin a b B B B=，4cos a B ∴=∈．〖答案〗，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知(1,2)a =，(2,3)b =-，c a b λ=+．（1）当1λ=-时，求a c ⋅的值；（2）若()a b c +⊥，求实数λ的值．解：（1）当1λ=-时，(1,2)a =，(2,3)b =-，∴(1,5)c a b a b λ=+=-=-，∴1109a c ⋅=-+=．（2）(3,1)a b +=-，(12,23)c a b λλλ=+=+-，()a b c +⊥，()3(12)(23)190a b c λλλ∴+⋅=+--=+=，19λ∴=-．18．（12分）已知等比数列{}n a ，12a =，532a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为正项数列（各项均为正），求数列{(21)}n n a +⋅的前n 项和n T ．解：（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，12a =，532a =，4132a q ∴=，即4232q =，416q ∴=，解得2q =±，当2q =时，1222n n n a -=⋅=，*n N ∈，当2q =-时，12(2)n n a -=⋅-，*n N ∈．（2）由题意及（1），可知2n n a =，*n N ∈，则(21)(21)2n n n a n +⋅=+⋅，故123325272(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，两式相减，得123132222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+⋅2112262(21)212n n n ++-=+⨯-+⋅-1(21)22n n +=--⋅-，1(21)22n n T n +∴=-⋅+．19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =且222cos 2cos b bc A a ac B -=-，（1）证明：ABC ∆为等腰三角形；（2）设ABC ∆的面积为S ，若 _______，求S 的值．在①7cos 2cos B C =；②2228a b c +=两个选项中，选择一个填入空白处并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（1）证明：因为222cos 2cos b bc A a ac B -=-，所以22222cos 2cos b c bc A a c ac B +-=+-，由余弦定理可知，22a b =，即a b =，即ABC ∆为等腰三角形；（2）解：选①，由（1）可知，A B =，所以2C B π=-，所以27cos 2cos 2cos(2)2cos224cos B C B B B π==-=-=-，整理得24cos 7cos 20B B +-=，解得1cos 4B =，所以77cos cos 28C B ==，所以sin C ==又由2c =，sin B =，由正弦定理可得4a b ==，所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯选②，因为2228a b c +=，且a b =，2c =，所以4a b ==，所以222161647cos 22448a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以sin C ==所以11sin 4422S ab C ==⨯⨯20．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长1AB =．过点1A 的平面α与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；（2）平面α将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．解：（1）连接1A D ，AB ，BD ，则△1A BD 为所求三角形，如图所示：连接11A C ，1A D ，1C D ，则△11A C D 为所求三角形，如图所示：连接11A C ，1A B ，1BC ，则△11A BC 为所求三角形，如图所示：（2）平面α将正方体截成三棱锥1A ABD -和多面体1111BCD A B C D -两部分 1111111326A ABD V -=⨯⨯⨯⨯=，111115166BCD A B C D V -=-=多面体．因此体积较大的几何体是多面体1111BCD A B C D -，其体积为56．由BD =11sin 602A BDS=︒又111122BCD S ∆=⨯⨯=，111S BB C C =正方形，故多面体1111BCD A B C D -1931322⨯+⨯=+． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知OAM S ∆=，点B 的横坐标是（1）求cos()αβ-的值；（2）求2αβ-的值．解：（1）由题意知，||||1OA OM ==，点(cos ,sin )A αα，则有1||sin 2OAM S OM α∆=⋅=sin α，又α为锐角，则cos α=，因钝角β的终边与单位圆O 的交点B的横坐标是10-，则cos ββ=，所以cos()cos cos sin sin (αβαβαβ-=+=+= （2）由（1）知sin ααββ====则sin()sin cos cos sin (αβαβαβ-=-==，从而sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()((αβααβααβααβ-=+-=-+-=因为α为锐角，sin α>，则有(,)42ππα∈，即2(,)2παπ∈，又(,)2πβπ∈，因此2(,)22ππαβ-∈-，所以24παβ-=-．22．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*,2)n a n N n =∈．（1）求证：数列是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.1]2=，求22212111[]n a a a +++的值；11 （3）设*1()(21)(2)n n b n N n a =∈-+，123n n T b b b b =++++，问是否存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >恒成立？若存在求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为n a =2n时，1n n S S --=，即+=而0n a >1(2)n -，所以数列1==为首项，公差为1的等差数列，1(1)1n n +-⨯=，即2n S n =，当2n时，121n a n n n ==+-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）解：由（1）知222111(21)441n a n n n ==--+，当2n 时，2211111()4441n a n n n n <=---，则22212111111111111151()1(1)1412231444n a a a n n n +++<+-+-++-=+-<+=-，当1n =时，211514a =<，即对任意的*n N ∈，都有22221121111514n a a a a =+++<，所以22212111[]1n a a a +++=．（3）解：由（1）知，1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，则有11111111[(1)()()](1)2335212122121n n T n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++，因1110(21)(23)n n n T T b n n ++-==>++，则数列{}n T 单调递增，111()3n min T T b ===，因对任意正整数n 均有2022n m T >成立，于是得120223m <，解得20226743m <=，而*m N ∈，则673max m =，所以存在正整数m ，使得对任意正整数n 均有2022n m T >总成立，m 的最大值为673．。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。

四川省成都市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)

2022~2023学年度下期高中2022级期末考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面有四个命题：①{}{}33x x ⊆≥；②若{R 2a B x x ==∈≥+，则a B ∈；③若a -不属于N *，则a 属于N *；④若{{,A x y B y y ====，则A B=其中真命题的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A ,B 判断④.【详解】①由子集概念知{}{}33x x ⊆≥正确；②因为2<+，所以a B ∉，故错误；③当0a =时，0N *-∉，0N *∉，故错误；④因为{[]{[]1,1,0,1A x y B y y ===-===，所以A B ≠，故错误.故选：B2.已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则22xy x y --的最小值为（）A.2B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可得121x y+=，再利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为正实数x ，y 满足2x y xy +=，所以121x y+=，则()1242222448y x xy x y x y x y x y x y ⎛⎫--=+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =且121x y+=，即2x =，4y =时取等号.故选：C.3.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A.4m =B.()f x 是减函数C.()f x 是奇函数D.()f x 是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB ，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数()()233mf x m m x =--为幂函数，则2331m m --=，解得4m =或1m =-.当4m =时，()4f x x =在区间()0,∞+上单调递增，不满足条件，排除A ；当1m =-时，()1f x x -=在区间()0,∞+上单调递减，满足题意.函数()1f x x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，但不是减函数，排除B ；因为函数定义域关于原点对称，且1()()f x f x x-==--，所以函数()f x 是奇函数，不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.4.标准的围棋共19行19列,361个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即5210000，下列数据最接近36152310000的()lg30.477»是（）A.3710-B.3610-C.3510-D.3410-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.【详解】由题意，对于36152310000，有36136152523lg lg3lg10000361lg352410000=-=⨯-⨯3610.47752435.803=⨯-⨯=-，所以36135.8035231010000-≈，分析选项B 中3610-与其最接近.故选：B. 5.已知π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.23310- B.23310C.33410+ D.33410【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到sin 235x =，从而求出cos 2x ，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin cos cos sin 445x x -=，所以()25sin cos 25x x -=，即()2211sin cos 2sin cos 25x x x x +-=，所以sin 235x =，则4cos 25x ==±，所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 333x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭413525412=+=±±⨯⨯.故选：D6.已知ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，D 是AB 上的三等分点（靠近点A ）且1CD =，()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，则2+a b 的最大值是（）A.B. C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得ACB ∠，再设ACD θ∠=，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到π2)3a b θ+=+，从而得解.【详解】因为()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，由正弦定理得()()()a a b c b c b -=+-，则222a ab c b -=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c ACB ab +-∠==，(0,π)ACB ∠∈，则π3ACB ∠=，设ACD θ∠=，则π3BCD θ∠=-，且π03θ<<，在ACD 中，sin sin AD CDAθ=，则sin sin AD A θ⋅=，在BCD △中，πsin sin()3BD CDB θ=-，则πsin sin()3BD B θ⋅=-，又223c BD AD ==，即π(sin 2sin )sin sin()33c A B θθ+=+-，又由正弦定理知2sin c R ACB =∠=（R 为ABC 的外接圆半径），所以3113π(sin 2sin )sin sin sin cos sin()3223223A B θθθθθ+=+-=+=+，则π(2sin 4sin )sin()63R A R B θ+=+，即π2)3a b θ+=+，又ππ2π333θ<+<，故当ππ32θ+=，π6θ=时，max (2)a b +=故选：A7.已知O 为ABC 的外心，A 为锐角且22sin 3A =，若AO AB AC αβ=+ ，则αβ+的最大值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】D 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，设ABC 外接圆的半径3R =，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得A 点坐标，代入ABC 外接圆的方程得到()18932αβαβ+=+，由此利用基本不等式即可得解.【详解】以BC 边所在的直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图，（D 为BC 边的中点），由外接圆的性质得BOD COD BAC ∠=∠=∠，因为BAC ∠为锐角且sin 3BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠==，设外接圆的半径3R =，则OA OB OC 3===，因为1cos cos 3OD A COD OC =∠==，所以1OD =，DC ==，所以()B -，()C ，()0,1O ，设(),A m n ，则ABC 外接圆的方程为：()2219x y +-=，因为AO AB AC αβ=+，所以()()(),1,,m n m n m n αβ--=--+-.则()()1m m m n n nαβαβ⎧-=--+⎪⎨-=--⎪⎩，解得)111m n βααβαβ⎧-=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，则)1,11A βααβαβ⎛⎫-- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭，代入外接圆方程得：()()()()22228911βαβααβαβ---+=+-+-，整理得：()18932αβαβ+=+，由基本不等式得：()2189322αβαβ+⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当αβ=取等号.化简得：()()281890αβαβ+-++≥，解得34αβ+≤或32αβ+≥，由图知：1αβ+<，所以34αβ+≤，故αβ+的最大值为34.故选：D.8.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ABC内一个动点，且满足12DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1222⎡⎢⎣⎦D.13,22⎡⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】求得点P 的轨迹是平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆，可得111////AD BC B M ，进而可得出题中所求角等于直线1B M 与直线1B P 的夹角，然后过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，找出使得1PB M ∠最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.【详解】连接1B D 交平面11A BC 于点O ，延长线段CB 至点M ，使得CB BM =，连接1B M 、OM 、PM ，如下图所示：已知在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥底面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111DD AC ∴⊥，又四边形1111D C B A 为正方形，所以，1111AC B D ⊥，1111DD B D D ⋂= ，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂ 平面11B DD ，111B D A C ∴⊥，同理11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，三棱锥111B A B C -的体积为11131193322B A BC V -=⨯⨯=，(11123933242A B C S =⨯=△，111111933393222B A BC V B O O -=⨯⨯==，可得11133B O B D ==，所以，线段1B D 的长被平面11A BC 与平面1AD C 三等分，且与两平面分别垂直，而正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以13OB =，3OD =其中1PO B D ⊥，不妨设OP x =，由题意可1213PB PD +=+，22123213x x +++=1x =，所以，点P 在平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆上.因为111////AD BC B M ，所以，直线1B M 与直线1B P 的夹角即为直线1B P 与直线1AD 所成角.接下来要求出线段1B M 与PM 的长，然后在1B PM △中利用余弦定理求解.如图，过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，根据题意可知2OH =，1HN BN ==，且ON MN ⊥，所以，5ON =，24521OM =+=如图所示，121OP OP ==，当点P 在1P处时，1PB M ∠最大，当点P 在2P 处时，1PB M ∠最小.这两种情况下直线1B P 与直线1B M 夹角的余弦值最大，为111cos sin 2PB M PB O ∠=∠=；当点P 在点O 处时，1PB M ∠为直角，此时余弦值最小为0.综上所述，直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点P 的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，复数()()()2111i z m m m =-++∈R ，()2cos isin z θθθ=+∈R ，则（）A.任意m ∈R ，均有12z z >B.任意1m ≥，均有10z ≥C.存在m ∈R ，使得12z z = D.存在m ∈R ，使得1221z z -=-【答案】AD 【解析】【分析】利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可.【详解】根据复数的概念可知()()()2111i 1z m m m =-++≥不能与实数比大小，故B 错误；由复数的模长公式可得121z z ===，易知()()2221011m m ⎧-≥⎪⎨+≥⎪⎩，且不能同时取得等号，故121z z >=，即A 正确；12z z -即动点E ()21,1m m -+到动点F ()cos ,sin θθ的距离，显然E 在抛物线()211yx =++上，F 在单位圆上，如图所示，当0,45m θ==- 时，12z z -1=，故D 正确；若存在m ∈R ，使得12z z =，则21cos 1sin m m θθ-=⎧⎨+=⎩，由上知()()22222111cos sin m m θθ-++>=+，即上述方程组无解，故C 错误；故选：AD10.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题是真命题的是（）A.若cos cos a B b A =，则ABC 为等腰三角形B.若π4B =，c =65b =，则ABC 只有一解C.若()cos 2cos 0b A a c B +-=，则π3B =D.若ABC 为锐角三角形，则()()222222sin cos a b c A ab c B+->+-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 、C ：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B ：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D ：根据题意结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项A ：由cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，则()sin 0A B -=，因为0,πA B <<，则ππA B -<-<，可得0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于选项B ：若π4B =，c =65b =，则6sin 15c B c =<<=所以ABC 有两解，故B 错误；对于选项C ：若()cos 2cos 0b A a c B +-=，有正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0B A A C B +-=，则()sin 2sin cos B A C B +=，即sin 2sin cos C C B =，因为(),0,πB C ∈，则sin 0C >，可得1cos 2B =，所以π3B =，故C 正确；对于选项D ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B π<+<，可得π2A B >-，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，又因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222cos 02a b cA ab+-=>，可得2220a b c +->，所以()()222222sin cos a b c A ab c B +->+-，故D 正确．故选：ACD.11.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（）A.()f x 是以π2为周期的周期函数B.()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.()f x 的值域为[]0,1D.存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，验证()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，得到A 错误B 选项，根据5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，得到()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，换元后得到()()221111222t g t t t =--+=-++，利用复合函数单调性求出答案；C 选项，令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，此时得到21sin cos 2m x x -=，换元后得到()()221111222m u m m m =-++=--+，由m ⎡∈⎣求出值域；D选项，由()()f x a f x a -+=+得到只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，从而得到22ππ,Z 24k a k =-∈且33π,Z 4k a k =∈，结合()0,3a ∈，解不等式，得到相应的：2113,22k ⎛⎫∈⎪⎝⎭且2k Z ∈，且31,2,3k =，验证后得到答案.【详解】πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()cos sin sin cos x x x x f x =-+≠，所以函数()f x 的周期不为π2，故选项A 错误；5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，故()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，令sin cos x x t +=，则πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π53π,π442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1t ⎡⎤∈-⎣⎦，且t 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，又21sin cos 2t x x -=，故()()221111222t g t t t =--+=-++，开口向下，对称轴为1t =-，故()2122t g t t =--+在1⎡⎤-⎣⎦单调递增，由复合函数满足同增异减可知：()f x 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，B 正确；令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，若[]π2π,2ππ4x k k +∈+，Z k ∈，即π3π2π,2π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，sin cos m x x =+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x =++=+，故21sin cos 2m x x -=，若(]π2ππ,2π2π4x k k +∈++，Z k ∈，即3π7π2π,2π44x k k ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，Z k ∈时，此时()sin cos m x x =-+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x=++=+此时21sin cos 2m x x -=，综上：对于x ∈R ，均有21sin cos 2m x x -=，所以()sin cos sin cos f x x x x x =+-变形为()()221111222m u m m m =-++=--+，因为m ⎡∈⎣，所以当1m =时，()u m 取得最大值，最大值为1，其中()110122u =-+=，11122u =-+=-，因为1122<-，故()u m 最小值为12，综上：()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错；()π1sin cos sin cos sin 242f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()()π1sin 2242f x a x a x a ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，假设()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，()()π1π1sin 22sin 224242x a x a x a x a ⎛⎫⎛⎫-++--+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，由ππ44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++⎪ ⎝⎭⎝⎭可得：1πππ44x a x a k -++=+++，1k Z ∈①，或22πππ,Z 44x a x a k k -+++++=∈②，其中由①得：1π2k x =-，1k Z ∈，不能对所有x 恒成立，舍去；由②得：22ππ,Z 24k a k =-∈，由()()sin 22sin 22x a x a +=-+可得：332222π,Z x a x a k k +-+=∈③，由③得：33π,Z 4k a k =∈，故需要保证22ππ,Z 24k a k =-∈与33π,Z 4k a k =∈同时成立，令()2ππ0,324k -∈，解得：2113,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2k Z ∈，令()3π0,34k ∈，解得：3120,πk ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3Z k ∈，故31,2,3k =，取31k =，此时3ππ44k a ==，此时令2πππ244k a =-=，解得：21131,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，取32k =，此时3ππ42k a ==，此时令2πππ242k a =-=，解得：23N 2k =∉，舍去，取33k =，此时3π3π44k a ==，此时令2ππ3π244k a =-=，解得：21132,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，综上：存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数，π4a =，3π4就是这两个实数，D 正确．故选：BD ．【点睛】sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-三者的关系如下：()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，()2sin cos 12sin cos x x x x -=-，()()22sin cos sin cos 4sin cos x x x x x x +--=，当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，3BG AG ==1333FG BG ==，22333BF BG ==22126333AF AG FG =-=-=，63OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即222262333R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：62R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径62R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则622r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos23AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅，故1arccos3AMC ∠=，故交线AC 13，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则ST ===则由C 选项的分析知：TG SH ==，所以2GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为22a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()22cos 2R f x x x a a =+∈，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是4，则=a _____．【答案】1【解析】【分析】化简()f x ，根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质得到当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，即可得出答案.【详解】()2π2cos 21cos 222sin 216f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=+++=+++ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，则1a =.故答案为：114.对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a 、b 满足0≥> a b ，a 与b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b = ___________【答案】32【解析】【分析】由题意可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】因为cos |Z 2a a b n a b n b b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⋅⎩⎭ ，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭．又由0a b ≥> ，则1a b ≥，01b a<≤ ，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2t b a = ，且0m t ≥>，又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出31m t =⎧⎨=⎩，所以322m a b == ．故答案为：32．15.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先由余弦定理求出3BD =，从而得到AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：2212cos 14432BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯=因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，设 BC 与AD 相交于点M ， 11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ，则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒，故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===，即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点，连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =，由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =；如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ，其中1A N ==，设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：1AO ==OC ===，解得：32h =，此时外接球半径为2OC ==，故外接球表面积为134π13π4⨯=，但因为点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-，(3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--，复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）.（1）用AB ，AC表示AD ；（2）若AE AB λ= ，AF AC μ=，求2λμ+的最小值.【答案】（1）1233AD AB AC =+ （2）83【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用AE ，AF 表示AD，根据D 、E 、F 三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【小问1详解】因为2BD DC = ，所以22AD AB AC AD -=- ，化简得1233AD AB AC =+ ；【小问2详解】因为AE AB λ= ，AF AC μ=，1233AD AB AC =+ ，所以3231A E D A A F μλ=+，由图可知0λ>，0μ>又因为D 、E 、F 三点共线，所以12133λμ+=，所以()124448223333333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=⎪⎝⎭，当433μλλμ=，即423μλ==时，2λμ+取最小值83.19.设()()sin cos R f x x x x =+∈.（1）判断函数2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，并写出最小正周期；（2）求函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值.【答案】（1）非奇非偶函数，π（2）12+【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简2π2y f x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；（2）化简()π4y f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合π[0,]2x ∈，求得ππ3π2[,]444x -∈-，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意得()πsin cos )4f x x x x =+=+，故222ππ3π)]2sin ()4422πx x x y f⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎣=+⎦++⎭3π1cos(2)1sin 22x x =-+=-，令()1sin 2g x x =-，x ∈R ,由于()1sin 2()1sin 2g x x x -=--=+不恒等于()g x ，也不等于()g x -，故2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为非奇非偶函数，其最小正周期为2ππ2=；【小问2详解】由题意可得()π)]()π44y f x x x f x ⎛⎫=-= ⎭+⎪⎝22(1cos 2)2cos sin 222x x x x x-=+=+πsin(2422x =-+，因为π[0,]2x ∈，所以ππ3π2[,444x -∈-，故π2)2sin(142[,]x -∈-，故πsin(2)42x -+的最大值为212+，即函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值为12+.20.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E （单位：EXP ）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：22020E t t a=++()0t >；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.（1）当2a =时，写出累计经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累计经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为()H t ，若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，(6)59f =（EXP ）.（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算；（2）根据题意可得当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算.【小问1详解】由题意可得：当03t <≤时，则2()2020f t t t a =++，且2(3)3203206920f a a =+⨯+=+；当35t <≤时，则()6920f t a =+；当5t >时，则()()69205055020319f t a t t a =+--=-++；综上所述：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩.若2a =，则22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，所以(6)35950659f =-⨯=（EXP ）.【小问2详解】由（1）可得：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩，则()2020,032069(),352031950,5at t t f t a H t t t t a t t ⎧++<≤⎪⎪+⎪==<≤⎨⎪+⎪->⎪⎩，由题意可得：当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，整理得24200t t a -+≥对任意03t <≤恒成立，因为2420y t t a =-+的开口向上，对称轴(]20,3t =∈，则2t =时，2420y t t a =-+取到最小值204a -，可得2040a -≥，解得15a ≥，所以实数a 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD ，该曲线段可近似看作函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点坐标为()1,2C -.第二部分是长为1千米的直线段DE ，//DE x 轴.跑道的最后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 EF.（1）若新校门位于图中的B 点，其离AF 的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O 点的万象楼，求该学生走过的路BO 的长；（2）若点P 在弧 EF上，点M 和点N 分别在线段OF 和线段OE 上，若平行四边形OMPN 区域为学生的休息区域，记POF θ∠=，请写出学生的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值.【答案】（1千米（2）43π23πsin 203633S θθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；π6θ=【解析】【分析】（1）由图可知2A =，34T =，利用2πT ω=求出ω，再代入点()1,2C -求出解析式，即可求出B 点的坐标，进而可求BO 的长；（2）由已知可求出E 点坐标，进而得到圆O 的半径OE 的长和π6EOD ∠=，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出PNO S ，进而得到平行四边形OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，利用正弦函数的性质即可求出最大值.【小问1详解】解：由条件知，2A =，又因为()()1434T =---=，则2π12T ω==，所以π6ω=.又因为当1x =-时，有π2sin 26y ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()0,πϕ∈，所以2π3ϕ=.所以曲线段ABCD 的解析式为π2π2sin 63y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]4,0x ∈-.由π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()π2ππ2π636x k k +=+∈Z ，或()π2π5π2π636x k k +=+∈Z 解得()1312x k k =-+∈Z ，又因为[]4,0x ∈-，所以0k =，13x =-，所以()3,1B -；或()2112x k k =+∈Z ，无论k 为何值都不符合[]4,0x ∈-，舍去，所以OB ==BO 的长为千米.【小问2详解】由题可知，当0x =时，π2π2sin 063y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(D 则(E，2OE ==，π6EOD ∠=，所以3πEOF ∠=.在PNO 中，2OP OE ==，π2ππ33PNO ∠=-=，NPO θ∠=，2πππ33NOP θθ∠=--=-，则由正弦定理sin sin sin OP ON PNPNO NPO NOP==∠∠∠πsin sin 3ON PNθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得4343π333ON PN θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，故134343πsin 24333PNO S NP NO PNO θθ⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⨯⨯- ⎪⎝⎭△2π1sin cos sin 32θθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11ππ2cos 22034443633θθθθ⎫⎛⎫⎫=⨯+-=+-<<⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ22063PNO S S θθ⎛⎫⎫==+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△，当π6θ=时，πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S 取得最大值.【点睛】已知()()()0,0f x Asin x A ωϕω+=＞＞的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法：（1）由2πT ω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=（或0πx ωϕ+=），即可求出ϕ.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对A ，ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．（1）求证：直线1//A D 平面11BC D ；（2）设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱12AA =，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；（3）若12,2AB AC BC A AB ===∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【答案】（1）证明见解析（2）23arctan3（3）2369+【解析】【分析】（1）证明出四边形11A D BD 为平行四边形，从而11//A D BD ，得到线面平行；（2）先证明出E 为三等分点，然后运用余弦定理求出1AB 可得；（3）因为在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【小问1详解】斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；【小问2详解】因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C ⋂=,111,BC C D ⊂面11BC D 故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：()2222221111111111117322cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：2t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan 3D BC ∠=.1A D 与1BC 所成的角为23arctan .3【小问3详解】过B 作1BP AA ⊥于P ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BFBPF ∴ 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,2AB AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB ==设2,BP t =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得63t =，2326,33BP AP ==；由最小角定理112cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯1sin 3PF AC A AC =∠=由CD ⊥面11ABB A ,易知1BP CC ⊥，23BF PF BP ∴===内切圆半径为：13r =则12362sin .9h r r r A AB +=++∠=解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.。

2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若点(),0a 是函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，则a 的值可以是（）A ．π3B ．π2C ．π6-D ．π3-【答案】C【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.【详解】依题意可得ππ6a k +=，Z k ∈，所以ππ6a k =-，Z k ∈，当0k =时，π6a =-.故选：C 2．复数31()1z i i-=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i【答案】A【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z ，得到z ，即可求解.【详解】∵()()()2i 11i 2111i i i i i 2---===-++-,()3i iz ∴=-=∴i z =-∴z 的虚部为1-故选：A3．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，则2a b →→-=（）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】先根据(2)a b b →→→-⊥得221a b b →→→⋅==，再根据向量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，所以20a b b →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，所以221a b b →→→⋅==，所以22222443a b a b a a b b →→→→→→→→-=-=-⋅+=.故选：B .【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.4．若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】ππ3cos cos 445αα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππ37cos 22cos 12144525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且ππcos 2cos 2sin 242ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m n ∥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α∥，n β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为m α⊥，n β⊥，若m ，n分别在直线,m n 上为平面α，β的法向量，且m n ⊥ ，故αβ⊥，所以选项A 说法正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而//n β，因此αβ⊥，所以选项B 说法正确；当αβ⋂时，如下图所示：也可以满足m n ⊥，//m α，//n β，所以选项C 说法不正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以//αβ，因此选项D 说法正确，故选：C6．记函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若ππ42T <<，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，可得出()31k k ω=+∈Z ，再利用函数()f x 的最小正周期求出ω的取值范围，即可得出ω的值.【详解】对任意的x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值或最小值，故函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，故()ππππ362k k ω+=+∈Z ，解得()31k k ω=+∈Z ，又因为0ω>且函数()f x 的最小正周期T 满足ππ42T <<，即π2ππ42ω<<，解得48ω<<，故7ω=.故选：D.7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A ．2530πB ．3016πC ．3824πD ．4350π【答案】A【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm 23V =⨯⨯⨯=半球，()239141134m V ππ=⨯⨯=圆柱，()()22319911π30910πm 3V =⨯+⨯+⨯=圆台，所以()3486π1134π910π2530πm V V V V =++=++=半球圆柱圆台.故选:A.8．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．165-C ．245-D ．565-【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径222445,24255416r AD BC ⨯====+=+，设E 为斜边BC 的中点，,PA AE θ=，则[]0,πθ∈，因为455PA = ，5AE = ，则()()()21625PB PC PA AB PA AC PA PA AB AC PA AE ⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅ 16451625cos 8cos 555θθ=+⨯⨯=+，故当πθ=时，PB PC⋅ 的最小值为1624855-=-.故选：C.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则a 与b可以作为平面内所有向量的一组基底B ．已知()()1,3,0,1a b =-=，则a 在b 上的投影向量的坐标是()0,3-C ．若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b⊥ D ．平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则ABC 为锐角三角形【答案】AD【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A ：已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则2a b = ，则//a b ，则a 与b不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；选项B ：a 在b 上的投影向量为()()2210310,1031a b b b ⋅⨯-⨯==- ，，故B 正确；选项C ：若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则22a b a b+=- 即()()22a ba b +=-，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故C 正确；选项D ：平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则(2,1)BA =--，(1,2)BC =- ，则220BA BC ⋅=-+=，则BA BC ⊥ ，则ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AD.10．复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若12z z >，则2212z z >B ．若20z ≠，则1122z z z z =C ．若32i z =-+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则19p q +=D ．若12i 2z ≤-≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π【答案】BCD【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【详解】对于A ，令122i,1z z ==,满足12z z >,但2212z z <,，故A 错误；对于B,设1i,(,z a b a b =+∈R 且不同时为0)，()2i ,z c d c d =+∈R 12i i z a b z c d +=+()()()()i i i i a b c d c d c d +-=+-()22i ac bd bc ad c d ++-=+22221()()ac bd bc ad c d=++-+()()2222221a bc dc d =+++2222a b c d+=+12z z =，故B 正确；对于C ，32i z =-+，且z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根,32i z ∴=--也是关于x 的方程20x px q ++=的另一个根,()()()32i 32i ,32i 32i p q ⎧-++--=-⎪∴⎨-+--=⎪⎩解得6,13p q ==，故19p q +=,故C 正确,对于D,设i,,z a b a b =+∈R ,则()()222i 2i 2z a b a b -=+-=+-,故221(2)2a b ≤+-≤,圆22(2)2x y +-=的面积为2π,圆22(2)1x y +-=的面积为π,故点Z 的集合所构成的图形的面积为2πππ-=,故D 正确.故选:BCD.11．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且23a =，233AB AC S ⋅= ，下列选项正确的是（）A ．π3A =B ．若ABC 有两解，则b 取值范围是()23,4C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是[]2,4D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为3【答案】ABD【分析】根据向量运算结合面积公式得到π3A =，A 正确；根据sin b A a b <<，代入数据则可判断B 正确；确定ππ62B <<，计算()4sin 2,4b B =∈，C 错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：233AB AC S ⋅= ，故231cos sin 32cb A bc A =⨯，故tan 3A =，()0,πA ∈，所以π3A =，故A 正确；对选项B ：若△ABC 有两解，则sin b A a b <<，即3232b b <<，则()23,4b ∈，故B 正确；对选项C ：ABC 为锐角三角形，则π02B <<，ππ32A B B +=+>，故ππ62B <<，则1sin 12B <<，sin sin b a B A=，故()sin 4sin 2,4sin a B b B A ==∈，故C 错误；对选项D ：若D 为BC 边上的中点，则()12AD AB AC =+ ，故()()()2222221112cos 444AD AB AC c bc A b b c bc =+=++=++ ，又222222cos 12a b c bc A b c bc =+-=+-=，2212b c bc +=+，由基本不等式得22122b c bc bc +=+≥，当且仅当23b c ==时等号成立，故12bc ≤，所以()21112336942AD bc bc bc ⎡⎤=++=+≤+=⎣⎦ ，故3AD ≤ ，正确；故选：ABD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACD D ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =- ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭ ,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn = ,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则22sin 8129FG n FG n θλλ⋅==-+ 因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以22222sin 3981292θλλ=≤=-+所以sin θ的最大值为223．故D 正确．故选：ABD三、填空题13．若角α的终边上有一点()1,4P -，则tan 2α=．【答案】815【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【详解】由题意得4tan 41α-==-，故()()22242tan 88tan 21tan 1161514ααα⨯--====----.故答案为：81514．记ABC 面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b =.【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 324ABC S ac B ac === ，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =（负值舍去）.故答案为：22.15．如图，在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，2AD =，AD ⊥平面ABC ，E 为CD 的中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为.【答案】23【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得,,AD AB AC 两两垂直，从而将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，，AC ⊂平面ABC ，所以AD AB ⊥，AD AC ⊥，又AB AC ⊥，所以,,AD AB AC 两两垂直，将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，如图所示，易知//BF AD ，所以直线BE 与AD 所成角即为BF 与BE 所成角为FBE ∠（或其补角），由题意可知，2221321122BF BE FE ⎛⎫===++= ⎪⎝⎭，，在FBE 中，由余弦定理，得222222332222cos 323222BF BE FE FBE BF BE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⨯⨯，所以直线BE 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16．在平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AC AB =，1AD CD ==，则BD 的最大值为.【答案】3【分析】设CAD α∠=，利用三角函数函数得2cos AC α=，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.【详解】设CAD α∠=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12cos ACADα=，代入数据得2cos AC α=，3AC AB = ，2cos 23cos 33AB αα∴==，在ABD △中运用余弦定理得222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，即2224cos 2312cos 1sin 33BD ααα=++⨯⨯⨯224cos 2312cos 1sin 33ααα=++⨯⨯⨯41cos 223sin 21323αα+=⨯++223545cos 2sin 2sin 2333363πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,666α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ262α+=，即π6α=时，2BD 的最大值为3，则BD 的最大值为3.故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设CAD α∠=，再利用三角函数和余弦定理得到222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题17．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，得到()g x 的图像，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，由图像得1A =，12πππ2362T =-=，解得πT =，又0ω>，则2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图像上，则πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π6k ϕ=+，Z k ∈，而π2ϕ<，则π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）依题意，()ππππ2sin 22sin 46666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π4666x -≤-≤，而函数sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此有π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．已知()1f x m n =⋅- ，其中()3,2cos m x = ，()()sin2,cos R n x x x =∈ .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，2a bc =，求11tan tan B C+的值.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)233【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A ，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【详解】（1）()1(3,2cos )(sin 2,cos )1f x a b x x x =⋅-=⋅- 2π3sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ36k x k -≤≤+，Z k ∈所以()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）∵()π2sin 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ62A +=，∴π3A =，∵2a bc =，则由正弦定理得2sin sin sin A B C =⋅．∴11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin B C C B C BB C B C B C ++=+=()2sin sin sin 1123πsin sin sin sin sin sin 3sin 3B C A A B CB C A A +======.19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，2AD =，22DC =，四边形DCFE 为梯形，//DE CF ，CD DE ⊥，3DE =，6CF =，45ADE ︒∠=，平面ADE ⊥平面DCFE.(1)求证：//AE 平面BCF ；(2)求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面ABCD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)66(3)32【分析】（1）由线面平行的判定定理可得//AD 平面BCF ，//DE 平面BCF ，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；（2）作AO DE ⊥于O ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ADE ，AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，求出正弦值即可；（3）由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，∵//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂平面ADE ，∴平面//BCF 平面ADE ，∵AE ⊂平面BCF ，∴//AE 平面BCF.（2）∵平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，CD DE ⊥ ，CD ⊂平面DCFE ，CD \^平面ADE ，AD ⊂ 平面ADE ，CD AD ∴⊥，()222222223AC AD CD ∴=+=+=，作AO DE ⊥于O ，分别连接,,AC AO CO ，因为平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，AO ⊂平面ADE ，所以AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，45ADE ∠= ，∴22ADAO ==，所以26sin 623AO ACO AC ∠===．直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值为66；（3）连接DF 由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，所以距离CDF ACDS AOd S ⋅=，又由已知可得116226222CDF S CF CD =⋅=⨯⨯=，1222222ACD S =⨯⨯=，2AO =，所以6223222d ⨯==．20．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC 区域）进行分区改造.BNC 区域为蔬菜种植区，CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC 区域规划为学生自主栽培区.MNC 的周围将筑起护栏.已知20m AC =，40m AB =，60BAC ∠=︒，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)学生自主栽培区MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)()30103m +(2)有，()230023m-【分析】（1）利用余弦定理证得AM CM ⊥，从而判断得ANC 是正三角形，由此得解；（2）在ANC 与ACM △中，利用正弦定理求得CN 与CM 关于θ的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMN S 关于θ的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【详解】（1）依题意，在AMC 中，20m AC =，10m AM =，60BAC ∠=︒，所以2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=，则03m 1CM =，222AC CM AM =+，即AM CM ⊥，所以30ACM ∠=︒，又30MCN ∠=︒，故60ACN ∠=︒，所以ANC 是正三角形，则20m CN AN AC ===，10m MN AN AM =-=，所以护栏的长度（MNC 的周长）为()30103m CM CN MN ++=+.（2）学生自主栽培区MNC 的面积有最小值()230023m -，理由如下：设ACM θ∠=(060θ︒<<︒)，在ANC 中，30MCN ∠=︒，则()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-，由正弦定理得()20sin 60sin 90cos CN AC θθ==︒︒-，得103cos CN θ=，在ACM △中，18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-，由正弦定理得()sin60sin 120CM AC θ=︒︒-，得()103sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 3024sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒=︒- ()23003004sin120cos cos120sin cos 2sin cos 23cos θθθθθθ==︒-︒+()300300sin 23cos 232sin 2603θθθ==+++︒+，所以当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，CMN 的面积取得最小值为()23300020233m =-+﹒21．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接PB ，PC ，如图2.(1)若342PB =，求证：PE BC ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --的正切值为269，求PB 的长.【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用勾股定理推得BE PE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证得PE ⊥平面BCDE ，由此得证；（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角P DE A --与二面角P BC E --的平面角，从而利用勾股定理得到关于CG x =的方程，解之即可得解.【详解】（1）在图1中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，所以30A =︒，23AC =，则3AD =，3322AE AD ==，52BE =，则32PE AE ==，又342PB =，所以222PE BE PB +=，则BE PE ⊥，因为DE AB ⊥，则PE DE ⊥，又,,DE BE E DE BE ⋂=⊂平面BCDE ，所以PE ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PE BC ⊥.（2）由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面PEB ，因而ED ⊥平面PEB ，则PEA ∠为二面角P DE A --的平面角（或补角），即PEA ∠为锐角，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .作PH BE ⊥所在的直线于点H ，如图，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PH BC ⊥，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，又,,PH HG H PH HG =⊂ 面PHG ，故BC ⊥面PHG ，因为PG ⊂面PHG ，则BC PG ⊥，所以PGH ∠为二面角P BC E --的平面角（或补角），设PGH θ∠=，则26tan 9θ=，在ABC 中，30A =︒，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而22933264,3(2)422PH x x x HG HB x ⎛⎫=--=-==- ⎪⎝⎭，在直角三角形PHG 中，26tan 9PH HG θ==，即2642693(2)x x x -=-，解得12x =或1611x =（舍去），此时2,3PHH B ==，从而2211PBPHH B =+=.22．在ABC 中，a ，b ，c ，分别是角A ，B ，C 的对边，请在①sin sin sin A C b c B a c--=+；②sin sin 2B Cc a C +=两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A 的大小；(2)如图，若ABC 为锐角三角形，且其面积为32，且12AM AC = ，2AN NB = ，线段BM 与线段CN相交于点P ，点G 为ABC 重心，求线段GP 的取值范围.【答案】(1)π3A =(2)113,612⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP，利用面积公式求出2bc =，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sin sin sin A C b cB a c --=+，由正弦定理可得，a c b c b a c--=+，化简可得222a b c bc =+-，又因为2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A =，()0,πA ∈，故π3A =.若选②，因为sinsin 2B C c a C +=，由正弦定理可得，sin sin sin sin 2A C A C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且sin 0C ≠，则cos2sin cos 222A A A =，且cos 02A≠，所以1sin 22A =，其中π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26A =，则π3A =.（2）由题意可得23AN AB = ，12AM AC =，所以()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，因为C 、N 、P 三点共线，故设()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+-，同理M 、B 、P 三点共线，故设()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- ，则()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124A AB A PC =+ ，则()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=-⎪⎝⎭，因为13sin 22ABC S bc A == ，所以2bc =，又因为ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则0AC BC ⋅> ，即()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即22b c b>=，所以1b >；当B 为锐角，则0AB CB ⋅> ，即()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则2c b >，即22b b⋅>，所以02b <<；综上可得12b <<，又因为1212GP AB AC =⋅-，则()222222222216144|2444|4||424GP AB ACAB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b=-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ ，因为12b <<，则214b <<，且()164f x x x=-+在(1,4)上单调递减，()()113,44f f ==，所以()()4,13f x ∈，即()22216144||44,13GP b b=-+∈uuu r ，所以113,612GP ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．。

2023_2024学年四川省成都市高一下册期末考试数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年四川省成都市高一下册期末考试数学模拟测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数为实数是“”成立的（）ii a b z +=a b ∈R 0a =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数为实数的条件分析判断【详解】，22i i i i i i a b a b z b a ++===-当复数为实数时，，ii a b z +=a b ∈R 0a =当时，为实数，0a =(R)z b b =∈所以复数为实数是“”成立的充要条件，ii a b z +=a b ∈R 0a =故选：C2. 若将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积2cm 为（）A. B.C. D. 38cm 3cm 332πcm 3343πcm 【正确答案】D【分析】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，求出球的半径，从而可求出球的体积【详解】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，因为正方体的棱长为，所以其内切球的半径为，2cm 1cm所以制作的最大零件的体积为，2344π1πcm 33⨯=故选：D3. 设，是两个不共线的向量，且向量与是平行向量，则实数的a b2a b λ+ (31)a b λ-+ λ值为（）A. B. 1C. 1或D. 或23-23-1-23-【正确答案】C【分析】由共线向量定理结合题意求解即可.【详解】因为向量与是平行向量，2a b λ+(31)a b λ-+ 所以存在唯一实数，使，k ()(31)22a b k a b ka k bλλλ-+=+=+因为，是两个不共线的向量，a b所以，则，，3121k k λλ-=⎧⎨=⎩()312λλ-=2320λλ--=解得或，1λ=23λ=-故选：C4. 函数取得最小值时，的值为（）ππcostan (11)22y θθθ=-<<θA. B. 0C. D. 12-1223【正确答案】B【分析】根据正切函数的性质将函数转化为分段函数，分别确定各段的单调性，即可得函数取最小值时，的值.θ【详解】函数ππcostan (11)22y θθθ=-<<则当时，，10θ-<≤πππcostan sin 222y θθθ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭又，所以函数在上单调递减；ππ,022θ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦πsin2y θ=-(]1,0θ∈-当时，，所以函数在上单调递增；01θ<<πππcostan sin 222y θθθ==πsin 2y θ=()0,1θ∈所以当时，函数取得最小值.0θ=ππcostan (11)22y θθθ=-<<故选：B .5. 《九章算术商功》中提及的“鳖臑”现意为四个面均为直角三角形的三棱锥，则“鳖臑”中相互垂直的平面有（）对A. 4B. 3C. 2D. 1【正确答案】B【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断.【详解】如果三棱锥有一个顶点处有3个直角，设，,,PA PB PA PC PB PC ⊥⊥⊥设，故,,PA a PB b PC c ===222222222,,,AB a b AC a c CB c b =+=+=+故，，，222AB AC CB +>222AB CB AC +>222CB AC AB +>从而为锐角三角形，与题设矛盾；ABC 若每个顶点处有均有一个直角，不妨设，,,,PA AB AB BC BCCP CP AP ⊥⊥⊥⊥将三棱锥沿展开，则展开后的四边形内角为凸四边形且其内角和大于，PB π42π2⨯=矛盾，综上，“鳖臑”对应的三棱锥必有一个顶点处有两个直角，如图所示：设，,,,PA AB PA AC AB BC PB BC ⊥⊥⊥⊥由，且，,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC A ⋂=得平面ABC ，又平面PAB ，平面PAC ，PA ⊥PA ⊂PA ⊂所以平面平面ABC ，平面平面ABC ，PAB ⊥PAC ⊥由，且，,BC AB BC PB ⊥⊥AB PB B ⋂=得平面PAB ，又平面PBC ，BC⊥PA ⊂所以平面平面PAB ，PBC ⊥所以“鳖臑”中相互垂直的平面有3对，故选：B6. 已知点，，在所在平面内，且，N O P ABC 3PA PB PC PN ++=，，则点，，依次是的（222OA OB OC == PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅N O P ABC ）A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心【正确答案】A【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可【详解】由，得，3PA PB PC PN ++= ()()()PA PN PB PN PC PN -+-+-= 所以，设的中点为，连接，则，0NA NB NC ++= AB D ND 2+= NA NB ND 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上，2NC DN =N AB N ,AC BC 所以点是的重心，N ABC由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以222OA OB OC == OA OB OC ==O ABC 为的外心，O ABC 由，得，所以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= 所以，所以，同理得，所以为的垂心，PB CA ⊥PB AC ⊥PC AB ⊥P ABC 故选：A7. 已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边ABC A BC a b c 2b =3c =的取值范围为（）a A. B.C.D.(1,5)()()⋃【正确答案】C【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：ABC 2b =3c =a ，222cos 02b c a A bc +-=<于是得，，解得，即222222313a b c >+=+=0a >a >5a b c <+=，5a <<所以最大边的取值范围是.a )故选：C8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向(,)AB x y = (,)AB x y =θ量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θ点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P (1,2)A B A π3，则点的坐标为（）12,2P -B A.B.52,2-512⎛-+⎝C.D. 2,2-(12+-【正确答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果.(),B x y AP【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，(),B x y ()1,2AB x y =--B A π3即将点绕点沿逆时针方向旋转，B A 5π3可得，()()()()5π5π5π5π1cos 2sin ,1sin 2cos 3333AP x y x y ⎡⎤=----+-⎢⎥⎣⎦化简可得，，111,1222AP x y x y ⎡⎤⎛⎛⎫=+-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦ 又因为，33,2AP=--所以，解得，所以.1132213122x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩12x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(12B -故选：D二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知的角，，所对的边分别为，，，，则ABC A B C a b c 2b ca =cos bB =下列说法正确的是（）A. B. 60B =︒0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭C. 为等腰非等边三角形D. 为等边三角形ABC ABC 【正确答案】ABD【分析】A，利用正弦定理化简得到求解判断；BCD ，由cos b B =tan B =，，利用余弦定理求解判断.2b ca =60B =︒【详解】A.，则，cos b B =cos sin B B =tan B =60B =︒故正确；B. 因为，，所以，即，则，2b ca =60B =︒2221cos 22a c b B ac +-==2220+-=a c ac a c =所以是正三角形，所以，故正确；ABC 0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ C. 由B 知：为等边三角形，故错误；ABC D. 由B 知：为等边三角形，故正确.ABC 故选：ABD10. 已知三条不同的直线，，和三个不同的平面，，，下列说法正确的是（ l m n αβγ）A. 若，，则l α⊥m l ⊥//m αB. 若，为异面直线，且，，，，则m n n ⊂αm β⊂//m α//n β//αβC. 若，，则m l ⊥m βγ= l β⊥D .若，，，，，两两垂直，则，，也两两垂直l αβ= m βγ= n γα=I αβγl m n 【正确答案】BD【分析】对于A ，或；由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可判断//m αm α⊂B ；对于C ，不一定成立；用反证法可判断D.l β⊥【详解】若，，则或，故A 错误；l α⊥m l ⊥//m αm α⊂设，，因为，所以，m γ⊂m αγ'= //m α//m m '又，，所以，m β⊂m β'⊄//m β'又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，m n n ⊂α//n βm α'⊂n m '所以，故B 正确；//αβ若，，则不一定成立，故C 错误；m l ⊥m βγ= l β⊥若，，，，，两两垂直，l αβ= m βγ= n γα=I αβγ则，，必相交于同一点，l m n P 假设与不垂直，则存在直线，使得，，l m l 'l m '⊥l m P '= 所以直线与可确定平面，且，l 'm γ'γβ'⊥这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，βm β所以假设不成立，即，l m ⊥同理可证，，即，，两两垂直，故D 正确.l n ⊥m n ⊥l m n 故选：BD11. 正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，BOC ∠(0,π)BC D BC 当圆心角时，的“古典正弦”除以的可能取值为（）π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭θtanθA. 1B. C. D. 02312【正确答案】BC【分析】根据古典正弦定义，的“古典正弦”除以为，利用倍角正弦、余弦θtan θ2sin2tan θθ公式，根据余弦函数的性质及函数单调性求最值即可．【详解】由题可得的“古典正弦”除以为：θtan θ22sin2sincos 2sin cos 2cos 1122222costan sin 22sincoscoscos2222θθθθθθθθθθθθθ-====-由于，所以，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,24θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2θ⎫∈⎪⎪⎭令，则，所以设，cos 2t θ=t ⎫∈⎪⎪⎭2sin122tan y t t θθ==-t ⎫∈⎪⎪⎭由基本初等函数的单调性可知函数在上是增函数，函数在2y t =t ⎫∈⎪⎪⎭1y t =-上是增函数，t ⎫∈⎪⎪⎭则函数在上单调递增，12y t t =-t ⎫∈⎪⎪⎭所以，则的“古典正弦”除以为的取值范围为.()120,1y t t =-∈θtan θ2sin2tan θθ()0,1故选：BC.12. 在棱长为4的正方体中，，，，，分别是，，1111ABCD A B C D -E F G R S 11A B BD ，，的中点，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近11B D 1AC 11B C H 1C G G I CF 的三等分点，为底面上的动点，且面，则（）F P 1111D C B A //DP ACE A. //RI CHB. 三棱锥的外接球的球心到面的距离为H ABC -ABC 43C. 多面体为三棱台1EB S ABC -D. 在底面上的轨迹的长度是P 1111D C B A 【正确答案】ACD 【分析】在平面中，由中位线定理、平行直线判断定理，以及平行的传递性可得11AA C C ，可判断选项A 正确；确定三棱锥的外接球的球心在直线上位置，//RI CH H ABC -O FG 即可求出球心到面的距离，可判断选项B 错误；根据棱台的定义判断多面体ABC 为三棱台，可判断选项C 正确；找到过点与面平行的平面，即可找到1EB S ABC -D ACE 点的轨迹，可判断选项D 正确.D 【详解】根据题意，可知平面，RI CH ⊂、11AA C C 如图画出平面，取的中点，连接，11AA C C IC Q GQ FG 、在中，由中位线定理可知，1ACC △112RF CC =所以为中点，则在中，由中位线定理得，，R FG GFQ //RI GQ 由，得，1Rt GFQ Rt CC H @ 1GQF CHC Ð=Ð由平行线性质，1HCQ CHC Ð=Ð所以，可得HCQ GQF Ð=Ð//GQ CH 所以，选项A 正确；//RI CH依题意，由于为直角三角形，则其外心为点，ABC F 又因为平面，FG ⊥ABC 可知三棱锥的外接球的球心在直线上（如图），H ABC -O FG 设，由中，FO x =Rt OGH Rt OFC 、OH OC R ==得，即，()22224x FC x GH +=-+(()22224x x +=-+解得，，则球心到面的距离为，选项B 错误；109x =ABC 109由题意，可知平面平面，1//EB S ABC 延长，与交于点，与交于点，1BB CS AE 、、1BB CS K 1BB AE K '由于，且，1B S BC ∥112B S BC =所以为的中点，同理为的中点，1B BK 1B BK ¢所以与重合，即多面体三条侧棱交于一点，K K '1EB S ABC -故多面体为三棱台，选项C 则正确；1EB S ABC -取的中点，连接，1111A D C D 、N M 、MN DM DN 、、由题意易知，平面，平面，MN ES ∥ES ⊂ACE MN ⊄ACE 所以平面，同理平面，MN ACE DM ∥ACE 平面，平面，，MN ⊂DMN DM ⊂DMN MN DM M ⋂=所以平面平面，//DMN ACE 当点时，平面，所以平面，P MN ∈DP ⊂DMN DP ∥ACE则在底面上的轨迹为，且D 正确.P 1111D C B A MN MN =故选：ACD方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长．（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线与ABC A B C '''-D AC 2AB BB '==BD所成角的为__________．B C ''【正确答案】π6【分析】根据异面直线的定义结合正三棱柱的几何性质即可得为异面直线与DBC ∠BD 所成角，从而可得答案.B C ''【详解】正三棱柱中，ABC A B C '''-//BC B C''所以为异面直线与所成角DBC ∠BD B C ''又为正三角形，为棱的中点，所以ABC D AC π6DBC ∠=则异面直线与所成角的为.BD B C ''π6故答案为.π614. 已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A B ，，则在上的投影向量为__________．(1,0)AS = (B S = A S B S【正确答案】14⎛ ⎝【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量A SB S A S B S 即可．【详解】设与的夹角为，A SB S θ则，101cos 122A B A B S S S S θ⋅+===⨯⋅ 所以在上的投影向量为.A SB S11cos 1(24B A B S S S θ⋅=⨯= 故答案为.14⎛ ⎝15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，P ABCD -ABCD E PD 1AP =，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离AD =34=AB P ABCD -E PBC 为__________．【正确答案】##0.3310【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥的体积，在根据等体积法可求解P ABE -点到平面的距离.E PBC 【详解】由题可得，当底面时，三棱锥的体积取到最大值PA ⊥ABCD P ABCD -如图，取中点，取中点，连接PA M AD N ,,EM EN AE因为底面，为的中点．为的中点，所以，PA ⊥ABCD E PD N AD //PA EN1122EN AP ==所以底面，则EN ⊥ABCD 11313342E ABCD ABCD V S EN -=⋅=⨯= 又由底面，底面，所以PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD⊥因为矩形，则，又平面，所以平面ABCD AB AD ⊥,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB AD ⊥PAB又为的中点．为的中点，所以，，则平E PD M PA //EMAD 12EM AD ==EM ⊥面PAB则111313324P ABE E PAB PAB V V S EM --==⋅=⨯⨯⨯=又1131334P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯=所以P BCE P ABCD E ABCD P ABE V V V V ----=--=-=又，因为平面，，所以平面，又54PB ==AD ⊥PAB //AD BC BC ⊥PAB 平面，所以，PB ⊂PAB BC PB ⊥设点到平面的距离为,E PBCh 所以，则.11153324P BCE E PBC PBC V V S h --==⋅=⨯⨯= 310h =故点到平面的距离为.E PBC 310故答案为.31016. 在中，若，，的内角平分线交边于点，ABC 12AB AC AB AC ⋅=- BD DC = BAC ∠BC E若，外接圆的直径为__________．6AD =AE =ABC【正确答案】【分析】根据可得，从而得，利用三角12AB AC AB AC ⋅=-2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=形面积公式可得，再利用，结合数量积的运算可得)bc b c =+6AD =，从而可得，利用余弦定理得，最后应用正弦定理即可得221440b c bc +--=bc a 外接圆的直径.ABC 【详解】又，所以，1cos 2AB AC AB AC BAC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅∠=- 1cos 2BAC ∠=-因为，所以，则()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=又，所以ABE AEC ABC S S S =+ ，111sin sin sin 222AB AC BAC AB AEBAE AB AE CAE ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠则，整理得：①，111222bc b c =⨯+⨯)bc b c =+又，所以1122AD AB AC =+，1122AD AB AC =+==则，整理得②，6=221440b c bc +--=联立①②可得：，解得或（舍）()22411520bc bc --=48bc =24bc =-在中，由余弦定理可得ABC ，所以，222222cos 2144240a b c bc BAC b c bc bc =+-∠=++=+=a =设外接圆的半径为，由正弦定理可得ABCR 2sin a R BAC ===∠所以外接圆的直径为.ABC故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知，，，．(0,0)O (1,2)A (4,5)B ()OP OA t AB t R =+∈ （1）为何值时，点在轴上？t P y （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围．OP AB t 【正确答案】（1）13t =-（2）21t <-【分析】（1）由，得到点P 的坐标，再根据点在轴上求解；OP OA t AB =+ P y （2）由，得到与不共线，再根据与的夹角是钝角，由3(31)3(32)t t +≠+OP AB OPAB 求解.0OP AB ⋅< 【小问1详解】解：由题意知：，，(1,2)OA = (4,5)(1,2)(3,3)AB =-= 所以，(1,2)(3,3)(31,32)OP OA t AB t t t =+=+=++ ．(31,32)P t t ∴++因为点在轴上，P y 所以，解得．310t +=13t =-【小问2详解】因为，3(31)3(32)t t +≠+所以与不共线．OP AB又与的夹角是钝角，OP AB 所以只需，0OP AB ⋅< 即，3(31)3(32)0t t +++<解得．21t <-18. 已知函数的最小值为．()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-（1）求函数的单调递减区间；()f x （2）英国数学家泰勒（B ．Taylor ，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ !(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ 计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：π13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，）51 2.5108!-≈⨯71 2.81010!-≈⨯【正确答案】（1）， π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）0.0806【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数，进而根据正弦函数的性质即可求解；（2）结合诱导公式化简，进而结合泰勒公式求解即可.π12cos113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【小问1详解】()ππππππsin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 666666f x x x x a x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++=-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos 2sin 6x x a x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以，即，()min 23f x a =-+=-1a =-所以，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令，，ππ3π2π2π262k x k +≤+≤+Z k ∈即，，π4π2π2π33k x k +≤≤+Z k ∈所以函数的单调递减区间，．()f x π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【小问2详解】由（1）知，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，ππππ12sin 112sin 112cos113362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由泰勒公式得：11111cos1110.50.041670.001390.0000250.000000280.540304722!4!6!8!10!=-+-+-+≈-+-+-+≈ ，所以．π12cos1120.5403047210.08063f ⎛⎫-=-≈⨯-≈ ⎪⎝⎭19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ，为线段的中点，为线段上的动点，平面平2PA AB ==E PB F BC ADE 面．PBC l =（1）证明：；//l BC（2）若到平面的距离为1，求与平面所成角的最小值．l PAD AF PBC 【正确答案】（1）证明见解析（2）π6【分析】（1）由已知得，再利用线面平行的判定定理和性质定理可证得结论；//BC AD （2）由到平面的距离为1，根据线面垂直的性质结合已知可得，再由线面l PAD BC AB ⊥垂直的判定可得平面，则，由等腰三角形的性质可得，则BC ⊥PAB BC AE ⊥AE PB ⊥平面，从而得为与平面所成角，然后在中求解即可.⊥AE PBC AFE ∠AF PBC AEF △【小问1详解】证明：因为底面为菱形，所以ABCD //BC AD因为平面，平面，BC ⊄ADE AD ⊂ADE 所以平面．//BC ADE 又平面，平面平面，所以．BC ⊂PBC ADE PBC l =//BC l 【小问2详解】因为，，所以，//BC l //BC AD //l AD l 不在面PAD 内，AD 在面PAD 内，所以平面，//l PAD 又到平面的距离为1，所以点到平面的距离为2．l PAD B PAD 因为底面，平面，所以平面底面，PA ⊥ABCD PA ⊂PAD PAD ⊥ABCD 又平面底面，PAD ⋂ABCD AD =所以点到平面的距离等于点到的距离，为2．B PAD B AD 又，所以．2AB =BC AB ⊥又因为，，平面，所以平面．BC PA ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥PAB 因为平面，所以．AE ⊂PAB BC AE ⊥又，为线段的中点，所以．2PA AB ==E PB AE PB ⊥又，平面，平面，所以平面．PB BC B ⋂=PB ⊂PBC BC ⊂PBC ⊥AE PBC所以为与平面所成角．AFE ∠AF PBC 又．tan AE AFE EF ∠==EF≤≤所以当．EF =tan AFE ∠所以与平面所成角的最小值为．AF PEC π620. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，．ABC A B C a b c 8b =5c =（1）若，求；cos sin 0aC C b c+--=A （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的值域．2π()cos 212f A A A ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭条件①：；2220AC AB BC ≤+-≤ 条件②：．0cos sin A A ≤≤注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）π3A =（2）0,1⎡⎣【分析】（1）由及正弦定理得cos sin 0a C C b c +--=，利用诱导公式及三角恒等变换可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，结合角的范围即可求解；π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）利用三角恒等变换化简为，选择①由()π12sin 23f x A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得，结合余弦定理可得2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤，再利用正弦函数的性质即可求解；选择②，由，可得ππ42A ≤≤0cos sin A A ≤≤，再利用正弦函数的性质即可求解.ππ42A ≤≤【小问1详解】由及正弦定理得cos sin 0a C C b c --=．sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+．sin cos sin sin 0A C A C C --=由于，，所以．sin 0C >cos 10A A --=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，，故，即．0πA <<π5π66A ∴-<<ππ66A -=π3A =【小问2详解】2π()cos 21cos 2)sin 212fA A A A A ⎛⎫=++-+=---+ ⎪⎝⎭．π12sin 212sin23A A A ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭选择条件①：因为，所以，2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤根据余弦定理可得，．2222cos 80cos b c a bc A A +-==所以，又，所以．0cos A ≤≤0πA <<ππ42A≤≤所以，即，5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣选择条件②：因为，又，所以，0cos sin A A ≤≤0πA <<ππ42A ≤≤所以，即．5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣21. 已知的角，，所对的边分别为，，，点是所在平面内的一ABC A B C a b c O ABC 点．（1）若点是的重心，且，求的最小值；O ABC 0OA OB ⋅= cos C （2）若点是的外心，，且，，O ABC BO BA BC λμ=+ λμ∈R 4a =6c =有最小值，求的取值范围．21sin ()2m B m λμ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R m 【正确答案】（1）45（2）213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，由余弦定理列出方程，然后再由基本不等式即可得到结果；（2）根据题意，分别表示出，然后代入计算，即可得到结果.,λμ【小问1详解】延长，，分别交边，，于点，，，AO BO CO BC AC AB D E F 依题意有，．1122FO AB c ==32CF c =在和中，由余弦定理有，CAF V CAB △cos cos CAF CAB ∠=∠即，化简有，222222322222c c b b c ac bc b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⋅2225a b c +=．22222222244245cos 2252525a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===⋅≥⋅=当且仅当时，等号成立，a b =所以的最小值为．cos C 45 【小问2详解】由题意可知：，解得，183624cos 824cos 16BO BA B BO BC B λμλμ⎧⋅==+⎪⎨⋅==+⎪⎩ 2232cos 6sin 23cos 4sin B B B B λμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩则221(32cos )23cos sin sin 2642m B B B m B λμ--⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭．26cos (49)cos 612B m B m -++=今，cos ,(1,1)t B t =∈-原式有最小值，所以．26(49)6t m t m =-++49(1,1)12m t +-∈-解得．213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭22. 如图，在五边形中，四边形为矩形，点为边的中点，ABCFD ABCD E BC ，，．沿，将，折起，使得2AB AD ==//DF EC DF FC ⊥EC ED BEC AED △，重合于点，得到四棱锥，为侧棱靠近的三等分点．A B PP ECFD -G PD P（1）求与所成的角；CG ED （2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．PED PCF【正确答案】（1）π2（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得面，然后由余弦定理可得，再结合PE ⊥PCD CG 勾股定理即可得到，从而可得面，即可得到结果；PD GC ⊥GC ⊥PED （2）根据题意，先由条件找到所求二面角，然后通过计算，即可得到结果.【小问1详解】由题可知，，，，．2ED EC DC ===1PE =PC PD ==PE PC ⊥PE PD ⊥又，面，面，所以面．PC PD P ⋂=PD ⊂PCD PC ⊂PCD PE ⊥PCD 又面，所以．GC ⊂PCD PE GC⊥在中，由余弦定理可得，PCD ．2221cos 23DP CP DC DPC DP CP +-∠===⋅在中，PCG13PG PD ==，CG ===所以，即．222PG CG PC +=PD GC ⊥又，面，面，所以面．PE PD P = PD ⊂PED PE ⊂PED GC ⊥PED 又面，所以．故与所成的角为．ED ⊂PED ED GC ⊥CG ED π2【小问2详解】因为，，所以，．//DF EC DF FC ⊥π3CDF ∠=1FD =又，所以延长，必交于一点．FD EC <ED CF H 所以平面平面．PED PCF PH =又面，过点作，连接，则或其补角为所求．GC ⊥PED G GQ PH ⊥CQ GQC ∠又，所以．π6PDE ∠=5π6PDH ∠=又，所以．π3FDH ∠=2DH DC ==在中，由余弦定理可得，PDH △．PH ===设点到的距离为，在中，运用等面积法则有D PH d PDH △sin PD DH PDH d PH ⋅∠==所以，13GQ d ==在中，．Rt CGQtan GC GQC GQ ∠==所以平面与平面所成锐二面角的正切值为．PED PCF。

四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题

四川省名校2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．下列几何体中，不是旋转体的是（）A ．B ．C ．D ． 2．若12i 3i z +=+，则z =（）A B C D ．3．如图所示，在平行四边形OABC 中，1,2OA OB ==，则它的直观图面积是（）A ．B ．2C 2D 4．某花农连续8天采摘的栀子花重量依次为7.2,7.4,8.7,8.1,8.9,8.4,8.6,8.9（单位：斤），则这组数据的第75百分位数为（）A ．8.9B ．8.8C ．8.7D ．8.65．四边形中ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r ，则下列结论中错误的是（）A ．AB CD =u u u r u u u r 一定成立 B ．AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r 一定成立 C ．AD BC =u u u r u u u r 一定成立 D ．BD AB AD =-u u u r u u u r u u u r 一定成立6．某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，事件C =“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（）A ．A 与B 互为对立事件B ．()()()P A B P A P B =+UC ．()23P C =D ．()()P A P C =7．已知,a b r r 是不共线的向量，且2,4,65AB a b BC a b CD a b =-=-=-+r r u u u r u u u r u r r r u ur r ，则（） A ．,,A B C 三点共线 B ．,,A B D 三点共线C ．,,A CD 三点共线 D ．,,B C D 三点共线8．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且12341p p p p +++=，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.35,0.15p p p p ====B ．12340.35,0.3,0.2,0.15p p p p ====C ．14230.15,0.35p p p p ====D ．12340.15,0.2,0.3,0.35p p p p ====二、多选题9．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支金额为100元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支比通信开支多5元D ．肉类开支占储蓄开支的1310．设12,z z 是复数，则下列说法正确的是（）A ．若21z ∈R ，则1z ∈RB ．设12,z z 互为共轭复数，则.12z z ∈RC ．若120z z -=，则12z z =D ．复数12z z 在复平面内对应的点位于第四象限11．已知平面αβγ，，，直线,m l ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ∥，m α⊂，l β⊂，则m l ∥B ．若αβ⊥，m αβ=I ，l ⊂α，l m ⊥，则l β⊥C ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若l α⊥，l βP ，则αβ⊥12．据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（）A ．把两只佛脚底部看作,M N 两点，分别测量佛顶的仰角,αβ和MN 的距离B ．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为α，再面对大佛前行S 米，测得佛顶的仰角为βC ．高为h 的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,αβD ．在佛脚平台上寻找两点,A B 分别测量佛顶的仰角,αβ，再测量,A B 两点间距离和两点相对于大佛底部的张角θ三、填空题13．某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为50,30,40,60，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为. 14．甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是.15．已知向量,a b r r 在正方形网格中的位置如图所示，{}12,e e u r u u r 为单位正交基底，则a b λ-r r 最小值是.四、单选题16．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=o ，以1B 径的球面与侧面11ADD A 的交线为半圆，且长为π2，则该四棱柱的体积为.五、解答题17．已知平面向量()()()1,1,,1,1,2a b t c =-==r r r .(1)若()c a b +⊥r r r ，求实数t 的值；(2)若c a -r r 与b r 的夹角为π3，求实数t 的值. 18．为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动.(1)求抽取的2个项目都是运动类社团的概率；(2)若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率.19．已知四棱锥P ABCD -中，,,PD AD CD AD AB ⊥⊥//1,2CD AB CD =，且2,AD CD PD PC M ====是PC 中点.(1)求证：//BM 平面PAD ；(2)求三棱锥A BCM -的体积.20．某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(](](](](](]0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，并整理得到如下频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）.(1)求a ；(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；(3)每户用电量不超过m 度的电费是0.5元/度，超出m 度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m 至少应为多少（m 为整数）？21．如图，在四边形ABCD 中，ABD △是边长为2的正三角形，,2BD CD CD ⊥=.现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，点E 是AD 的中点.(1)求证：BE ⊥平面ACD ；(2)求AC 与平面BCE 所成角的正弦值.22．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120o 时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=o 的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120o 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知,,a b c 分别是ABC V 三个内角,,A B C 的对边，点P 为ABC V 的费马点，且()()cos22sin sin 1C A B A B ++-=.(1)求A ；(2)若6bc =，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 的值；(3)若PB PC t PA +=，求实数t 的最小值.。

2021学年四川省高一(下)期末数学试卷有答案

2021学年四川省高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上1. 已知a<b<0，则下列不等式正确的是（）A.a2<b2B.2a<2bC.ab<b2D.1a <1b2. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A. B. C. D.3. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A.12B.18C.24D.424. 已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（）A.0<r<2√2B.0<r<√2C.0<r<2D.0<r<45. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角α＝45∘，塔底C的仰角15∘，则井架的高BC为（）A.20√2mB.30√2mC.20√3mD.30√3m6. 若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.−92B.11C.0D.97. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n =7n+45n+3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是（）A.2B.3C.4D.58. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝(b+c)cos C，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形9. 已知直线l1:ax−y+1=0与l2:x+ay+1=0，给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0, 1)和B(−1, 0)；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．其中正确的结论有（）A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④10. 在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB＝2AC，若BECF<t恒成立，则t的最小值为（）A.3 4B.78C.1D.54二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上不等式x−2x+1≤0的解集是________．已知直线l:ax+(1−2a)y+1−a=0．不通过第四象限，则a的取值范围是________．过直线l:y=2x上一点P作圆C：(x−8)2+(y−1)2=2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．若方程|x2−1|x−1=kx有两个实数根，则实数k的取值范围是________．下列命题：①△ABC中，若A<B，则cos2A<cos2B；②若A，B，C为△ABC的三个内角，则4A +1B+C的最小值为9π③已知a n =sinnπ6+162+sinnπ6(n ∈N ∗)，则数列{a n }中的最小项为193；④若函数f(x)=log 2(x +1)，且0<a <b <c ，则f(a)a<f(b)b<f(c)c；⑤函数f(x)=√x 2−2x +5+√x 2−4x +13的最小值为√29．其中所有正确命题的序号是________．三、解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.{a n }是公比大于l 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．若S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求{a n }的通项公式．（2）令b n =log 2a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，cos B =34．（1）求1tan A+1tan C的值；（2）设BA →⋅BC →=32，求a +c 的值．已知定义在R 上的函数f(x)=x 2−(3−a)x +2(1−a)（其中a ∈R ）． (1)解关于x 的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x −3对任意x >2恒成立，求a 的取值范围．已知直线l:ax −y +√2−a =0(a ∈R)，圆O:x 2+y 2=4．（1）求证：直线l 与圆O 相交；（2）判断直线l 被圆O 截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度；（3）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M(1, √2)，求四边形ABCD的面积的最大值．a n+1(n≥1,n∈Z)．已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N∗，使关于n的不等式a n≤(n+1)λ成立，求常数λ的最小值．已知定点O(0, 0)，A(3, 0)，动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是1．√λ（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（II）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．①若M是圆E：(x−2)2+(y−4)2=64上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围；②已知F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q(−3, 0)，有|QF|⋅|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年四川省高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上1.【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】令a=−2，b=−1，可得a2>b2，2a<2b，ab>b2，1a >1b，故A、B、D都不正确，只有B正确，由此得到结论．【解答】解：∵已知a<b<0，不妨令a=−2，b=−1，可得a2>b2，2a<2b，ab>b2，1 a >1b，故A、B、D都不正确，只有B正确，故选B．2.【答案】C【考点】简单空间图形的三视图【解析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A；若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C.3.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的性质s2，s4−s2，s6−s4成等差数列进行求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4−S2，S6−S4成等差数列，即2，8，S6−10成等差数列，∴2+S6−10=8×2，∴S6=24，【答案】A【考点】圆的标准方程【解析】曲线|x|+|y|=4表示边长为4√2的正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，要使圆在正方形的内部，即要圆的半径小于等于圆心到正方形边的距离，利用点到直线的距离公式求出此距离，即可得到满足题意的r的范围．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：可得曲线|x|+|y|=4表示边长为4√2的正方形，如图ABCD为正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，过O作OE⊥AB，∵边AB所在直线的方程为x+y=4，∴|OE|=4√2=2√2，则满足题意的r的范围是0<r<2√2．故选A5.【答案】B【考点】正弦定理任意角的三角函数【解析】由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．【解答】由题意得，∠BAC＝45∘−15∘＝30∘，∠ABC＝α＝45∘，且AC＝60m，在△ABC中，由正弦定理得，BC sin∠BAC =ACsin∠ABC，即BCsin300=60sin450，解得BC＝30√2(m)，6.【考点】简单线性规划【解析】首先作出可行域，再作出直线l0:y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x−z 在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x−z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x−y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0:y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x−y 有最大值9．故选D7.【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得a nb n =12(a1+a2n−1)12(b1+b2n−1)=12(2n−1)(a1+a2n−1)12(2n−1)(b1+b2n−1)=A2n−1 B2n−1=7(2n−1)+45(2n−1)+3=14n+382n+2=7n+19n+1=7+12n+1(n∈N∗)，故n=1，2，3，5，11时，a nb n为整数．故选D 8.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】要判断△ABC的形状，根据题意，可利用正弦定理asin A =bsin B=csin C=2R将a＝(b+c)cos C中的边转化为相应角的正弦，然后化简整理即可．【解答】根据正弦定理理asin A =bsin B=csin C=2R得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∵a＝(b+c)cos C，∴sin A＝(sin B+sin C)cos c，又A+B+C＝π，∴sin A＝sin(B+C)＝sin B cos C+sin C cos B＝sin B cos C+sin C cos C，化简得cos B＝cos C又B，C∈(0, π)，∴B＝C，即△ABC为等腰三角形．9.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】①l1与l2垂直时，利用两直线垂直的充要条件可判断；②对于直线l1与l2分别令x=0，y=0，即可知直线恒过定点；③在l1上任取点(x, ax+1)，关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1, −x)，代入l2:x+ay+1=0的左边，可得不为0，故可判断；④联立方程，消去参数，由方程可确定l1与l2的交点轨迹．【解答】解：①a×1−1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；②直线l1:ax−y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A(0, 1)；l2:x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=−1恒成立，所以l2经过定点B(−1, 0)，故②正确③在l1上任取点(x, ax+1)，关于直线x+y=0对称的点的坐标为(−ax−1, −x)，代入l2:x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；④联立直线l1:ax−y+1=0与l2:x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2−y=0(x≠0, y≠0)，∴当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．故选：B．10.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义余弦定理【解析】根据题意画出相应的图形，要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，方法为：由AB与AC的关系，用AB表示出AC，由E、F分别为AC、AB的中点，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE2，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE与CF的平方比，开方并分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，观察表示出的比值发现当cos A的值最小时，比值最大，故当A趋于π时，cos A趋于−1，此时比值最大，求出此时的最大值，即可得到t的取值范围．【解答】根据题意画出图形，如图所示：∵3AB＝2AC，∴AC=3AB，2又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=12AC，AF=12AB，∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2＝AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos A＝AB2+(34AB)2−2AB⋅34AB⋅cos A=2516AB2−32AB2cos A，在△ACF中，由余弦定理得：CF2＝AF2+AC2−2AF⋅AC⋅cos A＝(12AB)2+(32AB)2−2⋅12AB⋅32AB⋅cos A=52AB2−32AB2cos A，∴BE2CF2=2516AB2−32AB2cos A52AB2−32AB2cos A=2516−32cos A52−32cos A，∴BECF =√2516−32cos A52−32cos A=√1−1540−24cos A，∵当cos A取最小值时，BECF比值最大，∴当A→π时，cos A→−1，此时BECF 达到最大值，最大值为√1−1540+24=78，则BECF <t恒成立，t的最小值为78．故选：B．二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上【答案】(−1, 2]【考点】其他不等式的解法【解析】推出不等式的同解不等式，然后解答即可．【解答】解：不等式x−2x+1≤0可化为{x+1≠0(x−2)(x+1)≤0解得−1<x≤2故答案为：(−1, 2]【答案】12<a≤1【考点】直线的一般式方程【解析】求出直线的斜率，根据一次函数的图象可知斜率大于零，直线在y轴上的截距大于零0，列出方程组，即可求出a的范围．【解答】解：当a=12时，直线l的方程为：12x+12=0，即x=−1，此时l通过第四象限；当a≠12，且a≠0时，直线l的方程为：y=−a1−2ax+a−11−2al不通过第四象限，即{−a1−2a>0a−11−2a≥0解得：12<a≤1综上所述，当直线l 不通过第四象限时，a 的取值范围为12<a ≤1故答案为：12<a ≤1 【答案】3√5【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线与圆的位置关系两点间的距离公式【解析】由圆的方程找出圆心坐标，经过判定发现，圆心不在已知直线上，由对称性可知，只有直线y =2x 上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y =2x ，从这点做切线才能关于直线y =2x 对称．由直线y =2x 的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1求出该点与圆心连线方程的斜率，由圆心坐标和求出的斜率写出此直线的方程，与已知直线方程联立求出该点的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出此时这个点到圆心C 的距离．【解答】解：显然圆心(8, 1)不在直线y =2x 上．由对称性可知，只有直线y =2x 上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y =2x ，从这点做切线才能关于直线y =2x 对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y −1=−12(x −8)，即x +2y −10=0，与y =2x 联立可求出该点坐标为(2, 4)，所以该点到圆心的距离为： √(8−2)2+(1−4)2=3√5．故答案为：3√5. 【答案】0<k <1或1<k <2 【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】先画出函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象，利用方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根⇔函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即可求出．【解答】解：画出函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象，由图象可以看出：①当0<k <1时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根；②当k =1时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有1个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有1个实根；③当1<k <2时，函数y =kx ，y =|x 2−1|x−1的图象有两个交点，即方程|x 2−1|x−1=kx 有两个实根．因此实数k的取值范围是0<k<1或1<k<2．故答案为：0<k<1或1<k<2．【答案】②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】①先有正弦定理判断出sin A与sin B的大小关系，然后再利用余弦的倍角公式展开进行化简讨论．②先利用A+B+C=π，进行化简，然后利用基本不等式进行证明．③将数列转化为基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行判断．④构造函数f(x)x，转化为斜率的大小进行判断．⑤先配方，将根式转化为两点间距离之和的最小值来求．【解答】解：①①△ABC中，若A<B，则a<b，由正弦定理asin A =bsin B得0<sin A<sin B，又cos⁡2A=1−2si n⁡2A，cos⁡2B=1−2sin⁡2B，所以cos2A>cos2B，所以①错误．②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以α+βπ=1，原式等价为4α+1β=(4α+1β)⋅1=(4α+1β)(α+βπ)=1π(5+αβ+4βα)≥1π(5+2√αβ⋅4βα)=9π，当且仅当αβ=4βα，即α=2β时取等号．所以②正确．③因为a n=sin nπ6+162+sin nπ6=2+sin nπ6+162+sin nπ6−2，因为1≤2+sin nπ6≤3，所以设t=2+sin nπ6，则1≤t≤3．因为函数y=t+16t−2在区间(0, 4)上单调递减，所以在[1, 3]上单调递减，所以当t=3时，函数有最小值3+163−2=193，则对应数列{a n}中的最小项为193，所以③正确．④令g(x)=f(x)x，则函数g(x)的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知f(a)a ，f(b)b，f(c)c分别看作函数f(x)=log2(x+1)图象上的点（a, f(a)），（b, f(b)），（c, f(b)）与原点连线的斜率，由图象可知f(a)a >f(b)b>f(c)c，所以④错误．⑤原式可化简为f(x)=√(x−1)2+4+√(x−2)2+9=√(x−1)2+(0−2)2+√(x−2)2+(0−3)2，设点P(x, 0)，A(1, 2)，B(2, 3)，则原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D(1, −2)．则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|BD|，所以最小值为|BP|=√(2−1)2+(−2−3)2=√1+25=√26．所以⑤错误．所有正确命题的序号是②③．故答案为：②③．三、解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.【答案】解：（1）设{a n}的公比为q(q>1)，则{a1+a2+a3=7(a1+3)+(a3+4)2=3a2…2分即{a 1+a 2+a 3=7a 1−6a 2+a 3=−7，也即{a 1(1+q +q 2)=7a 1(1−6q +q 2)=−7，解得{a 1=1q =2 故数列{a n }的通项为a n =2n−1．…6分（2）由（1）得a 2n =22n−1，故b n =log 222n−1=2n −1，…8分故{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列 …10分 ∴ T n =n ×1+n(n−1)2×2=n 2...12分．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）利用S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，组成方程组，求出首项与公比，即可求{a n }的通项公式．（2）求得数列{b n }的通项，利用等差数列的求和公式求前n 项和T n ．【解答】解：（1）设{a n }的公比为q(q >1)，则{a 1+a 2+a 3=7(a 1+3)+(a 3+4)2=3a 2…2分即{a 1+a 2+a 3=7a 1−6a 2+a 3=−7，也即{a 1(1+q +q 2)=7a 1(1−6q +q 2)=−7，解得{a 1=1q =2 故数列{a n }的通项为a n =2n−1．…6分（2）由（1）得a 2n =22n−1，故b n =log 222n−1=2n −1，…8分故{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列 …10分 ∴ T n =n ×1+n(n−1)2×2=n 2...12分．【答案】解：（1）由cos B =34，得sin B =√1−(34)2=√74，由b 2=ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sin C ．于是1tan A +1tan C =cos Asin A+cos C sin C =sin C cos A+cos C sin Asin A sin C =sin (A+C)sin 2B =sin B sin 2B =1sin B =47√7．（2）由BA →⋅BC →=32得ca ⋅cos B =32，由cos B =34，可得ca =2，即b 2=2．由余弦定理：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cos B ，又b 2=ac =2，cos B =34，得a 2+c 2=b 2+2ac ⋅cos B =2+4×34=5，则(a +c)2=a 2+c 2+2ac =5+4=9，解得：a +c =3．【考点】余弦定理等比数列的性质同角三角函数基本关系的运用正弦定理【解析】（1）由cos B 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，又a ，b ，c 成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sin B 的值代入即可求出值；（2）根据平面向量的数量积得运算法则及cos B 的值化简BA →⋅BC →=32，即可得到ac 的值，进而得到b 2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b 2和ac 及cos B 的值，即可得到a +c 的值．【解答】解：（1）由cos B =34，得sin B =√1−(34)2=√74，由b 2=ac 及正弦定理得sin 2B =sin A sin C ．于是1tan A+1tan C=cos A sin A +cos C sin C=sin C cos A+cos C sin Asin A sin C =sin (A+C)sin 2B =sin B sin 2B=1sin B =47√7．（2）由BA →⋅BC →=32得ca ⋅cos B =32，由cos B =34，可得ca =2，即b 2=2．由余弦定理：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cos B ，又b 2=ac =2，cos B =34，得a 2+c 2=b 2+2ac ⋅cos B =2+4×34=5，则(a +c)2=a 2+c 2+2ac =5+4=9，解得：a +c =3．【答案】解：(1)∵ f(x)=(x −2)[x −(1−a)]， ∴ f(x)>0⇔(x −2)[x −(1−a)]>0，当a <−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(1−a, +∞)；当a =−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a >−1时，不等式的解集为(−∞, 1−a)∪(2, +∞)． (2)不等式f(x)≥x −3，即a ≥−x 2−4x+5x−2恒成立，又当x >2时，−x 2−4x +5x −2=−(x −2+1x −2)≤−2当且仅当x =3时取“=”号， ∴ a ≥−2．【考点】二次函数的性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a 的范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=(x −2)[x −(1−a)]，∴f(x)>0⇔(x−2)[x−(1−a)]>0，当a<−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(1−a, +∞)；当a=−1时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a>−1时，不等式的解集为(−∞, 1−a)∪(2, +∞)．(2)不等式f(x)≥x−3，即a≥−x 2−4x+5x−2恒成立，又当x>2时，−x2−4x+5x−2=−(x−2+1x−2)≤−2当且仅当x=3时取“=”号，∴a≥−2．【答案】（1）证明：直线l：y−√2=a(x−1)，所以直线l过定点(1,√2)，∵12+(√2)2<4，∴(1,√2)在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…3分（2）解：由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短．…4分∴k l=−1k OM =−√22，∴a=−√22此时，l的方程为x+√2y−3=0，圆心到直线的距离d=3√1+2=√3所以最短弦长：2√r2−d2=2√4−3=2...7分（3）解：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3由平面几何知识知：|AC|=2√4−d12，|BD|=2√4−d22∴S四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√4−d12√4−d22≤(4−d12)+(4−d22)=8−(d12+d22)=5（当且仅当d1=d2取等号）∴四边形ABCD的面积的最大值为5．…12分．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质【解析】（1）判断直线恒过定点，证明点在圆的内部，即可得到结论；（2）由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短；（3）设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3，表示出AC，BD，可得四边形ABCD的面积，利用基本不等式，即可求得最大值．【解答】（1）证明：直线l：y−√2=a(x−1)，所以直线l过定点(1,√2)，∵12+(√2)2<4，∴(1,√2)在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…3分（2）解：由（1）可知，直线l过定点M(1,√2)，当l⊥OM时，弦长最短．…4分∴k l=−1k OM =−√22，∴a=−√22此时，l的方程为x+√2y−3=0，圆心到直线的距离d=3√1+2=√3所以最短弦长：2√r2−d2=2√4−3=2...7分（3）解：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d12+d22=3由平面几何知识知：|AC|=2√4−d12，|BD|=2√4−d22∴S四边形ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√4−d12√4−d22≤(4−d12)+(4−d22)=8−(d12+d22)=5（当且仅当d1=d2取等号）∴四边形ABCD的面积的最大值为5．…12分．【答案】解：（1）因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12a n+1(n∈N∗)所以a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=n2a n(n≥2)−−−−−−−两式相减得na n=n+12a n+1−n2a n所以(n+1)a n+1na n=3(n≥2)−−−−−−−−−−−−因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2⋅3n−2(n≥2)−−−−故a n={1,n=1⋅−−−−−−−−−−−−（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n⋅3n−2当n≥2时，T n=1+4⋅30+6⋅31+⋯+2n⋅3n−2，------------ ∴3T n=3+4⋅31+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1，------------两式相减得T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n≥2)−−−−−−−−−−−−又∵T1=a1=1也满足上式，------------所以T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n∈N∗)−−−−−−−−−−−−（3）a n≤(n+1)λ等价于λ≥a nn+1，------------由（1）可知当n≥2时，a nn+1=2⋅3n−2n(n+1)设f(n)=n(n+1)2⋅3n−2(n≥2,n∈N∗)，则f(n+1)−f(n)=n(n+1)(1−n)2⋅3n−1<0，------------∴1f(n+1)≥1f(n)，又1f(2)=13及a12=12，∴所求实数λ的取值范围为λ≥13，∴λmin=13−−−−−【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）再写一式，两式相减，可得数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用错位相减法，可求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．【解答】解：（1）因为a1+2a2+3a3+⋯+na n=n+12a n+1(n∈N∗)所以a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=n2a n(n≥2)−−−−−−−两式相减得na n=n+12a n+1−n2a n所以(n+1)a n+1na n=3(n≥2)−−−−−−−−−−−−因此数列{na n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列所以na n=2⋅3n−2(n≥2)−−−−故a n={1,n=1⋅−−−−−−−−−−−−（2）由（1）可知当n≥2n2a n=2n⋅3n−2当n≥2时，T n=1+4⋅30+6⋅31+⋯+2n⋅3n−2，------------ ∴3T n=3+4⋅31+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1，------------两式相减得T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n≥2)−−−−−−−−−−−−又∵T1=a1=1也满足上式，------------所以T n=12+(n−12)⋅⋅3n−1(n∈N∗)−−−−−−−−−−−−（3）a n≤(n+1)λ等价于λ≥a nn+1，------------由（1）可知当n≥2时，a nn+1=2⋅3n−2n(n+1)设f(n)=n(n+1)2⋅3n−2(n ≥2,n ∈N ∗)，则f(n +1)−f(n)=n(n+1)(1−n)2⋅3n−1<0，------------∴ 1f(n+1)≥1f(n)，又1f(2)=13及a 12=12，∴ 所求实数λ的取值范围为λ≥13，∴ λmin =13−−−−− 【答案】解：(I)设动点P 的坐标为(x, y)，则由√λ|PO|=|PA|，得λ(x 2+y 2)=(x −3)2+y 2，整理得：(λ−1)x 2+(λ−1)y 2+6x −9=0．∵ λ>0，∴ 当λ=1时，则方程可化为：2x −3=0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x +3λ−1)2+y 2=[3√λ(λ−1)]2，即方程表示的曲线是以(−3λ−1，0)为圆心，3√λ|λ−1|为半径的圆．…5分（II ）当λ=4时，曲线D 的方程是x 2+y 2+2x −3=0，故曲线D 表示圆，圆心是D(−1, 0)，半径是2．①由|DE|=√(2+1)2+(4−0)2=5，及5<8−2有：两圆内含，且圆D 在圆E 内部．如图所示，由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．而D 是定点，M 是圆上的动点，故过D 作圆E 的直径，得|MD|min =8−5=3，|MD|max =8+5=13，故5≤|MN|2≤165，√5≤|MN|≤√165．…9分 ②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，则由面积相等得到|QF|⋅|QG|sin θ=d|FG|，且圆的半径r =2．即d =4sin θ|FG|=4sin θ2r sin θ=1．于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，即动直线FG 与定圆(x +3)2+y 2=1相切．②解法二：设F ，G 两点的坐标分别为F(x 1, y 1)，G(x 2, y 2)，则由|QF|⋅|QG|=4有：√(x 1+3)2+y 12⋅√(x 2+3)2+y 22=4，结合x 12+y 12+2x 1−3=0，x 22+y 22+2x 2−3=0有：√4x 1+12⋅√4x 2+12=4⇒x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=0，若经过F 、G 两点的直线的斜率存在，设直线FG 的方程为y =mx +n ，由{y =mx +nx 2+y 2+2x −3=0，消去y 有：(1+m 2)x 2+(2mn +2)x +n 2−3=0，则x 1+x 2=−2mn+21+m 2，x 1x 2=n 21+m 2=1，所以x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=n 2−31+m 2+−6mn−61+m 2+1+8m 21+m 2=0，由此可得8m 2−6mn +n 2=1，也即(3m −n)2=1+m 2，√1+m 2=1…(※)．假设存在定圆(x −a)2+(y −b)2=r 2，总与直线FG 相切，则 d =√1+m 2是定值r ，即d 与m ，n 无关，与√1+m 2=1…(※)对比，有{a =−3b =0，此时d =r =√1+m 2=1，故存在定圆(x +3)2+y 2=1，当直线FG 的斜率不存在时，x 1=x 2=−2，直线FG 的方程是x =−2，显然和圆相切．故直线FG 能恒切于一个定圆(x +3)2+y 2=1．…14分．【考点】圆的综合应用【解析】（I ）设动点坐标，利用动点P 到定点O 距离与到定点A 的距离的比值是√λ，建立方程，化简即可得到动点P 的轨迹方程，从而可得方程表示的曲线；（II ）当λ=4时，确定动点P 的轨迹方程．①确定两圆内含，且圆D 在圆E 内部．由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围；②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，由面积相等得到顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，从而可得结论；解法二：假设存在，设出直线方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，即可得到结论．【解答】解：(I)设动点P 的坐标为(x, y)，则由√λ|PO|=|PA|，得λ(x 2+y 2)=(x −3)2+y 2，整理得：(λ−1)x 2+(λ−1)y 2+6x −9=0．∵ λ>0，∴ 当λ=1时，则方程可化为：2x −3=0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为(x +3λ−1)2+y 2=[3√λ(λ−1)]2，即方程表示的曲线是以(−3λ−1，0)为圆心，3√λ|λ−1|为半径的圆．…5分（II ）当λ=4时，曲线D 的方程是x 2+y 2+2x −3=0，故曲线D 表示圆，圆心是D(−1, 0)，半径是2．①由|DE|=√(2+1)2+(4−0)2=5，及5<8−2有：两圆内含，且圆D 在圆E 内部．如图所示，由|MN|2=|MD|2−|DN|2有：|MN|2=|MD|2−4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．而D 是定点，M 是圆上的动点，故过D 作圆E 的直径，得|MD|min =8−5=3，|MD|max =8+5=13，故5≤|MN|2≤165，√5≤|MN|≤√165．…9分 ②解法一：设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG =θ，则由面积相等得到|QF|⋅|QG|sin θ=d|FG|，且圆的半径r =2．即d =4sin θ|FG|=4sin θ2r sin θ=1．于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，即动直线FG 与定圆(x +3)2+y 2=1相切．②解法二：设F ，G 两点的坐标分别为F(x 1, y 1)，G(x 2, y 2)，则由|QF|⋅|QG|=4有：√(x 1+3)2+y 12⋅√(x 2+3)2+y 22=4，结合x 12+y 12+2x 1−3=0，x 22+y 22+2x 2−3=0有：√4x 1+12⋅√4x 2+12=4⇒x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=0，若经过F 、G 两点的直线的斜率存在，设直线FG 的方程为y =mx +n ，由{y =mx +nx 2+y 2+2x −3=0，消去y 有：(1+m 2)x 2+(2mn +2)x +n 2−3=0，则x 1+x 2=−2mn+21+m 2，x 1x 2=n 21+m 2=1，所以x 1x 2+3(x 1+x 2)+8=n 2−31+m2+−6mn−61+m 2+1+8m 21+m 2=0，由此可得8m 2−6mn +n 2=1，也即(3m −n)2=1+m 2，√1+m 2=1…(※)．假设存在定圆(x −a)2+(y −b)2=r 2，总与直线FG 相切，则 d =√1+m 2是定值r ，即d 与m ，n 无关，与√1+m 2=1…(※)对比，有{a =−3b =0，此时d =r =√1+m 2=1，故存在定圆(x +3)2+y 2=1，当直线FG 的斜率不存在时，x 1=x 2=−2，直线FG 的方程是x =−2，显然和圆相切．故直线FG 能恒切于一个定圆(x +3)2+y 2=1．…14分．。

四川省双流中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题含解析

四川省双流中学2024届数学高一第二学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（） A ．3，8，13B ．2，7，12C ．3，9，15D ．2，6，122．等差数列{}n a 中，若243,7a a ==，则6a =( ) A ．11B ．7C ．3D ．23．在ABC ∆中, 16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( ) A ．1063B ．563C ．103D ．2034．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A ．甲、乙两人打靶的平均环数相等B ．甲的环数的中位数比乙的大C ．甲的环数的众数比乙的大D ．甲打靶的成绩比乙的更稳定5．在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，若610a =，则11S =( ) A ．150B ．165C ．110D ．2206．已知ABC 满足6072A a b =︒==，，，则c =（）A ． 1B ．3C ．5D ．77．若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．()20-，B ．()42-，C ．()()20-∞-⋃+∞，，D ．()()42-∞-+∞，，8．根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的（）分组[100,110](110,120](120,130] (130,140] (140,150](150,160]频数 1346 42A ．10%B ．30%C ．60%D ．80%9．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，若·1AC BC =-，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于()A ．23B ．1C ．2D ．63二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

四川省内江市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)

内江市2022~2023学年度第二学期高一期末检测题数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置．2．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上.3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上.4．考试结束后，监考人员将答题卡收回.一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）1.设复数34i z =-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在第（）A.一象限B.二象限C.三象限D.四象限【答案】A 【解析】【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.【详解】由题意可知，复数z 的共轭复数为i 34z =+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4，位于第一象限.故选：A.2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.()10,0e =u r ，()21,2e =-urB.()11,2e =-，()25,7e = C.()13,5e =u r ，()26,10e =urD.()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】对于A ，()10,0e =u r 与()21,2e =-ur共线，A 不是；对于B ，由1725-⨯≠⨯知，()11,2e =-与()25,7e = 不共线，B 是；对于C ，由31056⨯=⨯知，()13,5e =u r ，()26,10e =ur共线，C 不是；对于D ，由312(342⨯-=-⨯知，()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭共线，D 不是.故选：B3.2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误．．的是（）A.2022年比2021年平均每月举报信息数量多B.举报信息数量按月份比较，8月平均最多C.两年从2月到4月举报信息数量都依次增多D.2022年比2021年举报信息数据的标准差大【答案】D 【解析】【分析】根据表中的数据逐项计算得出结论.【详解】对于A ，由图表可以看出2022年的数据基本在2021年之上，但7月份，8月份和11月份2021年的数据较2022年大，其差距与1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均数要大一些，正确；对于B ，从2年的角度看，8月份平均最多，正确；对于C ，从图表可以看出，从2月份到4月份，两条曲线都是递增的，正确；对于D ，从图表可以看出2022年的数据更加集中，即标准差更小，错误；故选：D.4.平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，3AM MB =，记,CA a CM b == ，则AD =（）A.4733a b -B.2433b a -C.7433b a - D.1433a b - 【答案】D 【解析】【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.【详解】在ABCD Y 中，3AM MB =，,CA a CM b ==，所以1114()3333AD BC BM MC MA CM CA CM CM a b ==+=-=--=-.故选：D5.在平面直角坐标系中，已知点()3,4P 为角α终边上一点，若()1cos 3αβ+=，()0,πβ∈，则sin β=（）A.315- B.38215+ C.46215+ D.62415【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义求出角α的正弦值和余弦值，求出αβ+的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出()sin αβ+的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin α的值.【详解】因为点()3,4P 为角α终边上一点，由三角函数定义可得3cos 5α==，4sin 52α⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭，易知α为第一象限角，不妨设ππ32α<<，因为()0,πβ∈，则π3π32αβ<+<，因为()1cos 03αβ+=>，则ππ32αβ<+<，所以，()22sin 3αβ+==，所以，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+3144353515=-⨯=.故选：D.6.如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（）A.10kmB.20kmC.kmD.km【答案】C 【解析】【分析】ABP 为等腰三角形，利用正弦定理求出BP 的长，即为这时船与灯塔的距离．【详解】根据题意，可得30PAB PBA ∠=∠= ，即30km AB =，120APB ∠= ，在ABP 中，利用正弦定理得sin sin PB AB PAB APB =∠∠，得30sin 30sin120PB ==,则这时船与灯塔的距离是.故选：C ．7.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（）A.3B.332+C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【详解】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A -，33,22B ⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭圆D 的方程为2214x y +=，可设11cos ,sin 22P αα⎛⎫⎪⎝⎭，所以11cos 2,sin 22AP αα⎛⎫ ⎪⎭=+⎝uuu r ．33,22BD =-⎛ ⎝⎭uuur 故313133cos 2sin sin 3222244AP BD αααα⎛⎫⋅=⨯+-=- +⎪⎝⎭uuu r uuu r 3cos 326πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以AP BD ⋅的最大值为332+故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.8.ABC 中A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b a a c b c-≤++，则角C 的范围是（）A .0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B.0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C.,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】化简已知不等式可得222a b c ab +-≥，利用余弦定理得1cos 2C ≥，利用余弦函数的图像和性质可求C 的范围.【详解】由1b a a c b c-≤++，得：()()()()a a c b b c b c a c +++≥++，化简得：222a b c ab +-≥，同除以2ab ，利用余弦定理得1cos 2C ≥，所以03C π<≤.故选：A【点睛】本题考查了余弦定理、余弦函数的图像与性质，属于基础题.二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分．)9.一项最新研究表明，自1960年代以来，随着全球变暖，厄尔尼诺和拉尼娜现象变得越来越频繁，这在全球范围内引发了干旱，洪水和热浪等极端天气事件．某地区今年四月迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进入四月份以来（4月1日至4月10日)连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（）A.最低温的众数为29℃B.最高温的平均值为37.7℃C.最低温的第30百分位数是28.5D.最高温的方差大于最低温的方差【答案】AC 【解析】【分析】由折线图中的数据分析，结合众数，平均数和百分数的定义求出相应的答案，再由方差的意义及数据的波动情况得到答案.【详解】A 选项，最低温中，29℃出现了4次，其他温度均少于4次，故最低温的众数为29℃，A 正确；B 选项，最高温分别为38,37,37,39,38,39,38,37,39,37（℃），故平均值为3837373938393837393737.910+++++++++=℃，B 错误；C 选项，最低温从小到大为27,28,28,29,29,29,29,30,30,31，因为0030103⨯=，所以从小到大选择第3个和第4个数的平均数作为第30百分位数，即282928.52+=，最低温的第30百分位数为28.5，C 正确；D 选项，最高温的波动情况小于最低温的波动情况，故最高温的方差小于最低温的方差，D 错误.故选：AC10.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）A.“至少一个红球”的概率为56B.“恰有一个黑球”的概率为23C.“一个红球和一个黑球”的概率为13D.“两个都是红球”的概率为16【答案】ABD 【解析】【分析】设出2个红球为,a b ，2个黑球为,A B ，写出选取2个小球的所有情况，从而得到四个选项中的可能情况和概率.【详解】A 选项，设2个红球为,a b ，2个黑球为,A B ，选取2个小球，则可能情况有()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a A a B b A b B A B ，共6个，所以“至少一个红球”的情况有()()()()(),,,,,,,,,a b a A a B b A b B ，共5个，故“至少一个红球”的概率为56，A 正确；B 选项，“恰有一个黑球”的情况有()()()(),,,,,,,a A a B b A b B ，共4个，故“恰有一个黑球”的概率为23，B 正确；C 选项，“一个红球和一个黑球”的情况有()()()(),,,,,,,a A a B b A b B ，共4个，故“一个红球和一个黑球”的概率为23，C 错误；D 选项，“两个都是红球”的情况有(),a b ，故“两个都是红球”的概率为16，D 正确.故选：ABD11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）A.22OA OD ⋅=-B.2OB OH +=-C.AH HO BC BO ⋅=⋅D.OA 在OB上的投影为22【答案】ABD 【解析】【分析】根据数量积的定义计算可判断A ；根据向量加法的几何意义判断B ；根据数量积的定义判断C ；根据投影的含义判断D.【详解】对于A ，由题意得2π3π3,||||184AOD OA OD ∠=⨯===,故3π211cos 4OA OD ⋅=⨯⨯=- ，A 正确；对于B ，ππ,42BOA AOH BOH ∠=∠=∴∠=，故2||()112OB OH OB OH ++==+ 22OB OH +=-，B 正确；对于C ，||||,||||AH BC HO BO ==，而,AH HO uuu r uuu r的夹角为πAHO -∠，为钝角，,BC BO uuu r uuu r 的夹角为OBC ∠，为锐角，故AH HO BC BO ⋅≠⋅，C 错误；对于D ，OA 在OB上的投影为|π11cos 241|2OA OB OB ⨯⨯==⋅ ，D 正确，故选：ABD12.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，且4a =，5b =，6c =，则ABC 为锐角三角形【答案】CD 【解析】【分析】根据sin 2sin 2A B =可得22A B =或22πA B +=，即可求解选项A ；根据sin cos A B =可得πsin sin 2A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求解选项B ；根据222sin sin cos 1A B C ++<可得222sin sin sin A B C +<，进而边化角可得222a b c +<可求解选项C ；利用余弦定理可得角C 为锐角即可求解选项D.【详解】对A ，因为sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；对B ，因为sin cos A B =，所以πsin sin 2A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以π2A B =+或ππ2A B ++=，即π2A B -=或π2A B +=，所以π2A B -=时无法确定三角形的形状，B 错误；对C ，由222sin sin cos 1A B C ++<，可得222sin sin sin A B C +<，边化角可得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，则ABC 为钝角三角形，C 正确；对D ，222162536cos 0240a b c C ab +-+-==>，所以C 为锐角，且A B C <<，所以ABC 为锐角三角形，D 正确；故选:CD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.某中学高三年级350人，高二年级350人，高一年级400人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取40人，则全校总共抽取______人．【答案】110【解析】【分析】利用分层抽样可求得全校总共抽取的人数.【详解】设全校总共抽取的人数为n ，则40400350350400n=++，解得110n =.故答案为：110.14.已知复数z 满足()1i 2i z +=-，则复数z 的模为______．【答案】2【解析】【分析】由复数除法表示出z ，再由复数模的性质求模．【详解】由已知2i1i z -=+，∴2i 2i 101i 1i 2z --====++．故答案为：102．15.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r ．若60α=︒，3r =，扇形的弧长为______；若扇形的周长为16，该扇形面积的最大值______.【答案】①.π②.16【解析】【分析】根据圆心角与弧长的关系构造等式，再运用基本不等式求解.【详解】对于①，扇形的弧长6012π2π3π3606r ︒︒=⨯=⨯⨯=；对于②，设半径为r ，圆心角为α（0360α︒≤＜），则有822π16,π3601360r r r αα+=∴=+ ，扇形面积222264π64ππππ3603602π3602π360360S r αααααα===++++ 16=，当且仅当2π360360αα=，即360πα︒⎛⎫= ⎪⎝⎭时等号成立；故答案为：①π，②16.16.已知ABC 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．①若2a =，5b =，π3B =，则该三角形有两解②若cos cos a A b B =，则ABC 一定为等腰三角形③若8AB =，7AC =，5BC =，G 为ABC 的重心，P 为线段BG 上一点，则PA PC ⋅的最大值为20④若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 是等边三角形以上结论中正确的是______(填相应序号)．【答案】③④【解析】【分析】利用余弦定理即可判断①；利用正弦定理化边为角即可判断②；先利用余弦定理求出cos ABC ∠，延长BG 交AC 于F ，设203BP k BF k ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，将,PA PC 分别用,BA BC 表示，再根据数量积的运算律结合二次函数即可判断③；根据角的范围结合余弦函数的性质可得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，进而可判断④.【详解】对于①，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22542c c =+-，解得1c =±，又0c >，所以1c =，即该三角形只有一解，故①错误；对于②，因为cos cos a A b B =，由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，又(),0,πA B ∈，则()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故②错误；对于③，因为8AB =，7AC =，5BC =，所以6425491cos 2852ABC +-∠==⨯⨯，所以185202BA BC ⋅=⨯⨯= ，延长BG 交AC 于F ，因为G 为ABC 的重心，所以F 为AC 的中点，则()12BF BA BC =+ ，23BG BF =，设203BP k BF k ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，()1222k k k PA BA BP BA k BF BA BA BC BA BC ⎛⎫=-=-=-+=-- ⎪⎝⎭，()1222k k k PC BC BP BC k BF BC BA BC BC BA ⎛⎫=-=-=-+=-- ⎪⎝⎭，故112222k k k k PA PC BA BC BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2222111222222k k k k k k BA BC BA BC⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222016425224k k k k ⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21291292042k k =-+，对称轴为1k =，所以当0k =时，PA PC ⋅取得最大值20，故③正确.对于④，因为(),,0,πA B C ∈，所以()()()(),,π,πA B B C C A ---∈-，所以()()()(]cos ,cos ,cos 1,1A B B C C A ---∈-，因为()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，此时0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，即ABC 是等边三角形，故④正确.故答案为：③④.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知3cos 5α=-，且α是第二象限角．（1）求sin α，tan α的值；（2）化筒求值：()()()()πsin πcos sin 2cos 2023πtan 2024πααααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--．【答案】（1）4sin 5α=，4tan 3α=-（2）925-【解析】【分析】（1）利用平方关系和商数关系求解即可；（2）利用诱导公式化简即可得解.【小问1详解】因为α是第二象限角，3cos 5α=-，所以4sin 5α==，sin tan s 43co ααα==-；【小问2详解】原式()22sin cos 9cos cos tan 25ααααα-==-=--⋅-.18.已知平面向量a 、b，(1,a = ，1= b ，且a 与b的夹角为π3．（1）求a b ⋅ ；（2）求2a b -；（3）若2a b +与2(R)a b λλ+∈垂直，求λ的值．【答案】（1）1（2）2（3）4-【解析】【分析】（1）求出||2a =，根据数量积的定义即可求得答案；（2）根据向量模的计算即可得答案；（3）根据向量垂直，则数量积为0，列式计算，结合数量积的运算律，即得答案.【小问1详解】由(1,a =r，有||2== a ，∴πcos 13a b a b ⋅=⋅=【小问2详解】2a b -=2==；【小问3详解】因为2a b +与2(R)a b λλ+∈垂直，所以()()220a b a b λ+⋅+= ，即()222420a a b b λλ++⋅+=rr r r ，∴3120λ+=，∴4λ=-.19.某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50，[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[)50,70和[)70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2．名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[)50,70内的概率．【答案】（1）93分；（2）115分；（3）710.【解析】【分析】()1先利用频率之和为1，计算出0.01a =，进而求出平均值即可；()2利用百分位数的运算方法，求出成绩的第80百分位数；()3利用分层抽样取样方法，算出需在[)50,70分数段内抽2人，分别记为1A ，2A ，需在[)70,90分数段内抽3人，分别记为1B ，2B ，3B ，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率.【小问1详解】解：由0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，得0.01a =.数学成绩在：[)30,50频率0.0050200.1⨯=，[)50,70频率0.0050200.1⨯=，[)70,90频率0.0075200.15⨯=，[)90,110频率0.0200200.4⨯=，[)110,130频率0.0100200.2⨯=，[]130,150频率0.00252000.5⨯=，样本平均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．【小问2详解】解：由()1知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.10.10.150.40.75+++=，在130分以下所占比例为0.750.20.95+=因此，第80百分位数一定位于[)110,130内，由0.80.75110201150.950.75-+⨯=-，可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分.【小问3详解】解：由题意可知，[)50,70分数段的人数为1000.110⨯=(人)，[)70,90分数段的人数为1000.1515⨯=(人)．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[)50,70分数段内抽2人，分别记为1A ，2A ，需在[)70,90分数段内抽3人，分别记为1B ，2B ，3B ，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[)50,70内”为事件A ，则样本空间{}12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B Ω=共包含10个样本点而A 的对立事件{}121323,,A B B B B B B =包含3个样本点所以()310P A =，所以()()7110P A P A =-=，即抽取的这2名学生至少有1人在[)50,70内的概率为710．20.某同学用“点法”作函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列出下表并填入了部分数据：x12π712πx ωϕ+0π32π2π()sin A x ωϕ+030（Ⅰ）将表格数据补充完整，并求出()f x 的表达式及单调递增区间；（Ⅱ）当75,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及对应x 的值.【答案】（Ⅰ）见解析，()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）724x π=-时，最小值为2-；12x π=时，函数()f x 取得最大值为3.【解析】【分析】（Ⅰ）根据“五点法”的方法进行填表，根据正弦型函数的性质，结合表格的数据进行求解即可；（Ⅱ）利用换元法进行求解即可.【详解】（Ⅰ）x6π-12π3π712π56πx ωϕ+02ππ32π2π()sin A x ωϕ+03-3根据图表可知3A =，()f x 的周期为π，所以22,0,2πωωωπ==>∴= ，将点,312π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()3sin 2f x x ϕ=+，解得3πϕ=.所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）设23x t π+=，由75,2424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质可知当4t π=-，即724x π=-时，函数()f x 取得最小值为322-；当2t π=，即12x π=时，函数()f x 取得最大值为3.【点睛】本题考查了“五点法”的应用，考查了正弦型函数的周期性、单调性和最值，考查了数学运算能力.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，AD =，BC =（1）若1CD =+，求四边形ABCD 的面积；（2）若sin 5BCD ∠=，0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求sin ADC ∠.【答案】（1）12+（2）43310+【解析】【分析】（1）由勾股定理求得BD ，由余弦定理求得cos C ，得C 角，计算两个三角形面积后可得四边形面积；（2）由正弦定理求得sin BDC ∠，得cos BDC ∠，在直角三角形ABD 中求出角6ADB π∠=，由两角和的正弦公式可得sin ADC ∠．【详解】解：（1）连接BD ，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：2224BD AB AD =+=，所以2BD =，在BCD △中，由余弦定理知：222cos 22BC CD BD C BC CD +-==⋅，因为()0,C π∈，所以4C π=，所以122ABD S AB AD =⋅=，11sin 22ABD S BC CD C +=⋅⋅=，所以ABCD 的面积12ABD BCD S S S =+=（2）在BCD △中，由正弦定理知：sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，所以sin 3sin 5BC BCD BDC BD ⋅∠∠==.因为0,2ADC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2BDC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，4cos 5BDC ∠=.在Rt △ABD 中，3tan 3AB ADB AD ∠==，所以6ADB π∠=，所以3414sin sin 6525210ADC BDC π+⎛⎫∠=∠+=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理，还考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式等等，运用较多，需确定选用公式的顺序．本题属于中档题．22.在①cos sin 0a C C b c +--=，②222cos 1cos cos sin sin A B C B C +=++，③()πsin cos 6b A C A a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且______．（1）求A ∠；（2）若2a =，BD DC =，求AD 的最大值．【答案】（1）π3A =（2【解析】【分析】（1）选择条件①，边化角，利用诱导公式、和角公式与辅助角公式求解；选择条件②，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即可；选择条件③，边化角，利用余弦函数的差角公式化简求解即可.（2）根据余弦定理以及平面向量数量积的运算法则化简可得2442AD bc -=，再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】选择条件①∵cos sin 0a C C b c +--=，∴sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=∴()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin 0A C A C C --=，cos10A A--=，∴π1sin62A⎛⎫-=⎪⎝⎭，∵0πA<<，∴π3A=选择条件②∵222cos1cos cos sin sinA B C B C+=++，∴222sin sin sin sin sinB C A B C+-=∴222b c a bc+-=，∴2cosbc A bc=，∴1cos2A=，∵0πA<<，∴π3A=选择条件③：易知A B Cπ++=.可得πsin cos6bB Aa⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据正弦定理，可得sinπsin cossin6BB AA⎛⎫=-⎪⎝⎭可得π31sin cos622A A A A⎛⎫=-=+⎪⎝⎭整理可得tan A=∵0πA<<，∴π3A=【小问2详解】∵222cosa b c bc A=+-，∴224b c bc=+-，又由题有1122AD AB AC=+，∴2AD AB AC=+uuu r uuu r uuu r∴22242AD AB AC AB AC=++⋅，即2224AD b c bc=++由2222244b c bcAD b c bc⎧=+-⎨=++⎩，得22222AD b c+=+，2442AD bc-=又∵222b c bc+≥，当且仅当“b c=”时，“=”成立∴222244AD AD+≥-，∴23AD≤，∴AD≤AD。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期高2026届期末考试数学试卷答案

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123，故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况，因此13123Q A A A A A A =2，故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33，由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1，结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1．因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。

四川省内江市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

四川省内江市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．某高中生创新能力大赛中8位选手的面试得分分别为90,86,93,91,89,95,92,94，其中位数和极差分别为（） A ．90，8 B ．91.5，9C ．91，9D ．91.5，82．若复数z 满足i12iz =-，则z 的虚部为（） A ．i 5B ．25-C ．i 5-D ．15-3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A ．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多B ．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业从业人员中90后占一半以上4．已知函数()2sin 2g x x =，函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，要得到()f x 的图象，只需将函数()g x 的图象（）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C 与D 与塔底B 在同一水平面，并测得CD =15,120BCD BDC ∠∠==o o ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为60o ，则塔高AB =（）A ．B ．C ．D ．60米6．在平行四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上靠近点C 的三等分点，点F 在BE 上，若49AF xAB AD =+u u u r u u u r u u u r，则x =（）A ．45B ．23C ．79D ．587．暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机选3人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有1人入选的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．358．已知向量a r ，向量b r 的模长均为2，且a b a -=r r r .若向量2,m a c n c b =-=-rr r r r r ，且m n ⊥r r ，则c r的最大值是（）A +B ．52C D ．94二、多选题9．已知向量()()4,,2,6a x b ==r r，且()2a b b -⊥r r r ，则（）A ．225a b -=r rB ．()4,1a =rC ．向量b r 在向量a r上的投影向量坐标是()4,2D ．向量a r与向量b r 的夹角是45o10．一个袋子中有5个球，标号分别为1，2，3，4，5，除标号外没有其他差异．从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记事件E =“第一次取出的球的数字是1”，事件F =“第二次取出的球的数字是2”，事件G =“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A ．事件E 和F 互斥B ．事件E 和F 相互独立C ．事件E 和G 互斥D ．事件E 和G 相互独立11．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且22222a c b a c b c +-+=，则下列说法正确的是（）A ．若点E 在边AC 上，BE 为角平分线且长度为1，则a c +=B ．若D 为边AC 的中点，且1BD =，则ABC V C ．cos cos A C 的取值范围是11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．若1c =，且ABC V 只有一解，则b 的取值范围为[)1,+∞三、填空题12．某工厂生产了A B C ､､三种不同型号的产品，数量之比为2::4m ，现采用分层抽样的方法抽取36个产品进行分析，已知A 型号产品抽取了8个，则B 型号产品被抽取的数量是.13．已知tan α，tan β是方程270x -+=的两个根，且α，()0,πβ∈，则αβ+的值是. 14．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><最大值为2，最小值为0，且函数图象过点3(0,)2.若()f x 在区间[0,π]上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是.四、解答题15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，满分100分（95分及以上为“文明之星”），结果获得“文明之星”的有100人，按年龄分成5组，其中第一组[)20,25，第二组[)25,30，第三组[)30,35，第四组[35,40)，第五组[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求这100人年龄的众数和平均数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“创文”宣传使者.若从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求第四､第五组各有一人被选上的概率.16．在COB △中，点D 为线段OB 上靠近点B 的三等分点，点A 为BC 中点.(1)以OAOB u u u r u u u r ､为基底向量，分别表示向量OC DC u u u r u u u r ､；(2)若向量OC u u u r与OA DC λ+u u u r u u u r 平行，求λ的值.17．已知向量()()sin ,sin ,sin m x x n x x ωωωω==r r ，函数()1(03)2f x m n ω=⋅-<<r r ，且π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求()f x ； (2)若()045f x =，求0πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．在锐角ABC V 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，满足()22cos cos sin sin sin A B C A C -=-.(1)求角B 的大小；(2)若1c =，求ABC V 面积的取值范围；(3)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120o 时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=o 的点P 即为费马点.若ABC V 的面积为3，是否在ABC V 内部存在费马点P ，使得2PB PA PC -⋅为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.19．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.材料：形如()i ,z a b a b =+∈R 的数称为复数的代数形式.而任何一个复数i z a b =+都可以表示成()cos isin r θθ+的形式，即cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩，其中r 为复数z 的模，θ叫做复数z 的辐角，我们规定02πθ≤<范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作arg z .复数()cos isin z r θθ=+叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若()()11112222cos isin ,cos isin OZ r OZ r θθθθ=+=+u u u u r u u u u r，则()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r rr θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦.其几何意义是把向量1OZ u u u u r 绕点O 按逆时针方向旋转角2θ（如果20θ<，就要把1OZ u u u u r绕点O 按顺时针方向旋转角2θ），再把它的模变为原来的2r 倍.请根据所学知识，回答下列问题：(1)试将1z =写成三角形式；(2)设复数12322i,i z a z b z a b ==+=+，且31z =.若复数12z z ､在复平面上对应的点分别为A B ､，且O 为复平面的坐标原点.向量OB u u u r 逆时针旋转90o 后与向量OA u u u r重合，求实数a ，b 的值；(3)已知单位圆以坐标原点O 为圆心，点A 为该圆上一动点（纵坐标大于0），点()2,0P ，以PA 为边作等边PAQ △，且Q 在AP 上方.求线段OQ 长度的最大值.。

2024届四川省宜宾市第一中学数学高一下期末监测试题含解析

2024届四川省宜宾市第一中学数学高一下期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1212nS S S n+++取最大值时，n 的值为（） A ．8B ．9C ．17D ．8或92．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A ．4B ．5CD ．3．函数2sin cos 2y x x x =的单调增区间是( )A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈D ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos a c a c b abc c -+-=.则B =（）A ．60B =︒ B ．60B =︒或120B =︒C ．30B =︒D ．90︒5．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，A ．3210x y +-=B ．2310x yC ．3210x y ++=D ．2310x y7．若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（） A ．1B ．－2C ．1或－2D ．32-8．在ABC ∆中，若sin2sin2A C =，则ABC ∆的形状是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a -=，则6824246811111111a a a a S S S S ++++-+-+----1001200020001(1)1a S ++-=-（）A ．20002001B ．20022001C ．40004001D ．4002400110．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

四川省高一下学期期末数学试题

四川省高一下学期期末数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·莆田期中) 设，，则（）A .B .C .D .2. （2分）月底，某商场想通过抽取发票的10%来估计该月的销售额，先将该月的全部销售发票存根进行了编号：1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为1,2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号逐次产生第二张、第三张、第四张、…，则抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是（）A . 13B . 17C . 19D . 233. （2分） (2019高三上·临沂期中) 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P（sin ，cos ），则cos（+α）=（）A .B . ﹣C .D . ﹣4. （2分）已知抛物线Cl:y2= 2x的焦点为F1 ，抛物线C2:y=2x2的焦点为F2 ，则过F1且与F1F2垂直的直线l的一般方程式为（）A . 2x－ y－l=0B . 2x+ y－1=0C . 4x－y－2 =0D . 4x－3y－2 =05. （2分） (2019高一下·梧州期末) 已知是第三象限的角，若，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A .B . 2C . 8D . 67. （2分）(2020·汨罗模拟) 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为 .如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（）A . 9B . 10C . 11D . 128. （2分）(2019·武汉模拟) 为了得到函数的图像，可以将的图像（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度9. （2分）以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·烟台期中) 已知函数f（x）= ，若f（f（0））=4a，则实数a等于（）A .B .C . 2D . 911. （2分） (2017高三上·济宁期末) 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式可能是（）A . y=2x﹣x2﹣xB . y=C . y=（x2﹣2x）exD . y=12. （2分） (2019高一下·西湖期中) 已知为锐角的外接圆的圆心，，若，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·宁波期中) 直线的斜率为________；倾斜角的大小是________．14. （1分） (2019高二下·温州期末) 三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中点，N是AB的中点，当二面角P﹣AB﹣C为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为________.15. （1分） (2016高一下·潮州期末) 在区间[﹣1，4]内任取一个实数a，则方程x2+2x+a=0存在两个负数根的概率为________16. （1分） (2020高二上·温州期末) 某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该几何体的体积为________，其外接球的半径为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2020高一上·成都期末)（1）求的值；（2）已知，求 .18. （10分） (2019高一下·湖州月考) 已知向量 , , .（1）求的坐标表示;（2）若与的夹角为 ,求 ;（3）若 ,求的值.19. （10分） (2020高二下·宣城月考) 在四棱锥中，底面为正方形， .（1）证明：面⊥面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的余弦值．20. （10分） (2020高一下·驻马店期末) 这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567确诊病例数量（万人）1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5参考数据如下表：1.9216.977.535.17表中，， .参考公式：对于一组数据，，…，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① ，② .（1）根据表中的数据，与哪一个适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（精确到0.01）（3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.21. （10分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，π]上的单调性．22. （10分）(2020·德州模拟) 某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：第21 页共21 页。

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四川省高一下学期期末数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分）角 α 的终边经过点（﹣3，0），则角 α 是（）
A . 第二象限角
B . 第三象限角
C . 第二或第三象限角
D . 不是象限角
2. （2 分） (2020 高二下·东阳期中) 设 x，y 满足约束条件
的最大值为 12，则
的最小值为（）
，若目标函数
A.
B. C.1 D.2 3. （2 分）已知角 α 的终边过点 P（﹣3m，4m）（m＜0），则 2sinα+cosα 的值是（） A.1
B.
C.﹣
D . ﹣1
4. （2 分）已知 R 上可导函数
的图象如图所示，则不等式
第 1 页共 21 页
的解集为（）

A . (－∞，－2)∪(1，＋∞) B . (－∞，－2)∪(1,2) C . (－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D . (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
5. （2 分）已知 θ 为第一象限角，设 =( ,-sin )， =(cos ,3)，且
，则 θ 一定为（）
A.
B.
C.
D.
6. （2 分） (2019 高一下·绍兴期末) 已知 a,b,
,且
,
,则（）
A.
B.
C.
D.
7. （2 分） (2018 高一上·新余月考) 若将函数
所得图象关于原点对称，则最小时，
（）
的图象向左平移
个单位，
A. B.
第 2 页共 21 页

C.
D. 8. （2 分） (2020·松江模拟) 在△ABC 中，已知 AB=3，AC=5，△ABC 的外接圆圆心为 O，则 A.4 B.8 C . 10 D . 16
（）
9. （2 分）已知
，则
=（）
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） (2020·日照模拟) 已知函数围是（）
，若
恒成立，则实数 m 的范
A.
B. C.
D. 11. （2 分）若数列{xn}满足 lgxn+1=1+lgxn ，且 x1+x2+…+x100=100，则 lg（x101+x102+…+x200）=（）
第 3 页共 21 页

A . 102
B . 100
C . 1000
D . 101
12. （2 分）在△
中，若
，则 A 等于（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
二、填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高一下·湖州月考) 关于平面向量，，有下列三个命题：①若
，
则
；②若
，
，
，则
则与
的夹角为
；④在
中，
，
的序号为________.(写出所有真命题的序号)
；③非零向量和满足
，
，则
，；其中真命题
14. （1 分） (2020 高一上·天津月考) “
，二次函数
而增大”为真命题，则的取值范围是________ ；
当
时 y 随 x 的增大
15. （1 分） (2017·鄂尔多斯模拟) 已知实数 x、y 满足
，则的取值范围为________．
16. （1 分）已知函数 f（x）=2sinxcosx+2 sin2x，x∈R，则函数 f（x）的单调递增区间为________．
三、解答题： (共 6 题；共 55 分)
17. （10 分） (2018 高二上·大连期末) 已知数列是等比数列，首项
和为，且
，
，
成等差数列．
，公比
，其前 n 项
（1）求数列的通项公式；
第 4 页共 21 页

（2）若数列满足
，求数列的前 n 项和．
18. （10 分） (2016 高二上·嘉定期中) 已知向量
，
，
．
（1）若
，求向量、的夹角 θ；
（2）若
，函数
19. （5 分） (2020·北京) 在己知，求：
（Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）
和
的面积．
的最大值为，求实数 λ 的值．
中，
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.（10 分）(2017·呼和浩特模拟) 已知数列{an}的各项都是正数，它的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn=an2+an ，
记 bn=（﹣1）n
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前 2016 项的和．
21. （10 分） (2017 高一下·泰州期末) 如图 1，在路边安装路灯，路宽为 OD，灯柱 OB 长为 h 米，灯杆 AB 长为 1 米，且灯杆与灯柱成 120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为 2θ，灯罩轴线 AC 与灯杆 AB 垂直．
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（1）设灯罩轴线与路面的交点为 C，若 OC=5 米，求灯柱 OB 长；（2）设 h=10 米，若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点 O，另一条与地面的交点为 E（如图 2）；
（i）求 cosθ 的值；（ii）求该路灯照在路面上的宽度 OE 的长； 22. （10 分） (2016 高一下·郑州期末) 已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且 ∥ ，求的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与 2 ﹣ 垂直，求与的夹角 θ．
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一、选择题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、考点：
参考答案
解析：答案：2-1、考点：解析：
第 7 页共 21 页

答案：3-1、考点：
解析：答案：4-1、考点：
第 8 页共 21 页

解析：答案：5-1、考点：
解析：答案：6-1、考点：解析：
答案：7-1、考点：
第 9 页共 21 页

解析：答案：8-1、考点：解析：
答案：9-1、考点：
第 10 页共 21 页

解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题： (共6题；共55分)
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、。