高中数学垂直关系

第5节垂直关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)l⊥al⊥ba∩b＝Oaαbα?l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α?a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂l⊥αlβ?α⊥β直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝al⊥alβ?l⊥α[常用结论与微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．3.线线、线面、面面垂直间的转化诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”）(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或lα或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材习题改编)下列命题中不正确的是()A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或lβ或直线l与β相交.答案 A3.(2018·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且mαB.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C4.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.解析如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′－BD－C的平面角，即∠A′OC＝90°.又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.答案a考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ?l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.证明因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由3AC＝BC得，∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD ＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017·北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB ⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积.(1)证明∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，又BD平面ABC，∴PA⊥BD.(2)证明∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD平面ABC，BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC. ∵BD平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC，(3)解∵PA∥平面BDE，又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA平面PAC，∴PA∥DE.由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.∵D是AC的中点，∴E为PC的中点，∴DE＝12PA＝1.∵D是AC的中点，∴S△BCD＝12S△ABC＝12×12×2×2＝1，∴V E－BCD＝13×S△BCD×DE＝13×1×1＝13.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD 的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD平面ABCD，CD ⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.命题角度3空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积. (1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥PA ，CD ⊥PD.由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD. 又PA ∩PD ＝P ，PA ，PD 平面PAD ，从而AB ⊥平面PAD.又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD. (2)解如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为 E.由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，又AB ∩AD ＝A ，可得PE ⊥平面ABCD.设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 规律方法1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AB ∥CD ，CD ⊥PD ，从而得AB ⊥PD ，进一步证明平面PAB 中的AB ⊥平面PAD ，再运用面面垂直的判定定理得出平面PAB ⊥平面PAD.2.第(2)问先由已知分别求出四棱锥各个侧面的底边长和高，再求出四棱锥的侧面积.其中利用第(1)问的结论得出AB ⊥平面PAD ，从而进一步证明PE ⊥平面ABCD ，确定四棱锥P －ABCD 的高PE ，将空间论证与几何体的计算交汇渗透，这是命题的方向.【训练3】(2018·咸阳模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.(1)求证：AC⊥平面FBC.(2)求四面体FBCD的体积.(3)线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明在△ABC中，因为AC＝3，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，BC，FB平面FBC，所以AC⊥平面FBC.(2)解因为AC⊥平面FBC，FC平面FBC，所以AC⊥FC.因为CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1.所以△BCD的面积为S＝3 4.所以四面体FBCD的体积为V F－BCD＝13S·FC＝312.(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA∥平面FDM.证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN平面FDM，EA平面FDM，。