高中数学垂直关系

第5节垂直关系

最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一条直线和一个平面内的

两条相交直线都垂直，那么该直

线与此平面垂直(线线垂直?线

面垂直)

l⊥a

l⊥b

a∩b＝O

aα

bα

?l⊥α

性质定理如果两条直线同垂直于一个平

面，那么这两条直线平行

a⊥α

b⊥α

?a∥b

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面经过另一个平面

的一条垂线，那么这两个平面垂

l⊥α

lβ

?α⊥β

直

性质定理如果两个平面互相垂直，那么在

一个平面内垂直于它们交线的

直线垂直于另一个平面

α⊥β

α∩β＝a

l⊥a

lβ

?l⊥α

[常用结论与微点提醒]

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．

3.线线、线面、面面垂直间的转化

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”

或“×”）

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()

解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或lα或l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与

另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2.(教材习题改编)下列命题中不正确的是()

A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

解析根据面面垂直的性质，A不正确，直线l∥平面β或lβ或直线l与β相交.

答案 A

3.(2018·

湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()

A.α⊥β且mα

B.m⊥n且n∥β

C.m∥n且n⊥β

D.m⊥n且α∥β

解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

答案 C

4.(2017·

全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD

C.A1E⊥BC1

D.A1E⊥AC

解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面

BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.

又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又

A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.

答案 C

5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.

解析如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC

是二面角A′－BD－C的平面角，

即∠A′OC＝90°.

又A′O＝CO＝

2

2a，

∴A′C＝a2

2

＋

a2

2

＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.

答案a

考点一线面垂直的判定与性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

证明(1)在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ?l⊥α).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

【训练1】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD