根心定理

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根轴

根轴定义在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

根轴方程设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。

解的不同可能(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。

如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。

称M,N是共轭虚点。

相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；笛沙格定理笛沙格定理1、笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (T heorem of Homologous Triangles)平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C 和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

根心定理

根心定理根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

该定理是平面几何上非常重要的定理。

一、点对圆的幂平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数：考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：由此也可以把点对圆的幂定义为：这里是点到圆心的距离，是圆的半径。

点对圆的幂的几何意义是明显的：若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；若点在圆上，则幂为0；若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。

二、根轴平面上两不同心的圆显然，对两圆等幂的点集是直线：该直线称为两圆的根轴。

根轴必垂直于两圆的连心线。

若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。

当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。

具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。

连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。

三、根心与根心定理（解析几何证法）三个两两不同心的圆任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。

因此：（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。

（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。

具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第七讲-----三角形的五心(一)7

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第七讲三角形的五心（一）班级姓名一、知识要点：1．三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.2．外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.3．重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.4．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。

（1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；（2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；（3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；5．莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线。

直线PQR称为△ABC的莱莫恩线。

证明：由弦切角定理可以得到：sin∠ACR=sin∠ABC ，sin∠BCR=sin∠BACsin∠BAP=sin∠BCA，sin∠CAP=sin∠ABCsin∠CBQ=sin∠BAC sin∠ABQ=sin∠BCA所以，我们可以得到：(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1，这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到△ABC被直线PQR所截，即P、Q、R共线。

二、例题精析：例1.在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)AB C KP O OO .. ..S123例2. AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)例3. △ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)AA 'F F 'G EE 'D 'C 'PCBDABC DE FOKG例4. (2003年联赛）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ= ∠PBC ．求证：∠DBQ=∠P AC ．三、精选习题：1．△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)2．I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)OQ CDBAP3．.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.5．如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．ABCE MNF四、拓展提高：6．在ΔABC 中，∠BAC=60︒，AB >AC ，点O 为ΔABC 的外心，两条高BE 、CF 的交于点H ，点M 、N 分别在线段BH 与HF 上，且满足BM=CN ．求MH +HNOH 的值．7．(2004年联赛）在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ．已知25BC =，20BD =，7BE =，求AK 的长．高二数学竞赛班二试平面几何讲义第七讲三角形的五心（一）例1. 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )BABCK PO O O ....S123=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .另法：△APS ，△BQP ，△CSQ 的外接圆交于一点（密克点）例2. 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF . 例3. 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例4. 分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠P AC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ 即可．证明：连AB ．∵ ∆PBC ∽∆PDB ，∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD P A ．A A 'FF 'G EE 'D 'C 'PCBDABCDE FOKG OQ CDBAP∵ P A=PB ，∴ BD AD =BCAC ．∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ． ∴ ∆ABC ∽∆ADQ ． ∴ BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ ． ∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ∆ADQ ∽∆DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠P AC ．证毕．4．分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221b a c -+， AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c . 故有△∽△′. (2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(a CF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22a CF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.结论：O 为外心，G 为重心，则a 2，b 2，c 2成等差数列⇔OG BG ⊥ 5．证明：连MN ，则由FM ⊥AM ，FN ⊥AN 知A 、M 、F 、N 四点共圆，且该圆的直径为AF ．又∠AMN=∠AFN ，但∠F AN=∠MAD ，故∠MAD +∠AMN=∠F AN +∠AFN=90︒．∴MN ⊥AD ，且由正弦定理知，AMNMN=AF sin A ．∴S AMDN =12 AD ·MN=12 AD ·AF sin A ．连BD ，由∠ADB=∠ACF ，∠DAB=∠CAF ，得⊿ABD ∽⊿AFC ． ∴ AD ∶AB=AC ∶AF ，即AD ·AF=AB ·AC ． ∴ S AMDN =12 AD ·AF sin A=12 AB ·AC sin A=S ABC ．6．解：记∠ACB=α，连OB 、OC ，则∠BOC=∠BHC=120︒，∴ B 、O 、H 、C 四点共圆．设此圆的半径为R '，则2R '=BC sin120︒ =BCsin60︒=2R ．HM +NH=(BH －BM )+(CN －CH )=BH －CH ．在ΔBCH 中，∠CBH=90︒－α． ∠HCB=90︒－(120︒－α)=α－30︒，∴HM +NH=BH －CH=2R (sin(α－30︒)－sin(90︒－α))=2R (sin αcos30︒－cos αsin30︒－cos α)=2 3 R sin(α－60︒)．在ΔOCH 中，OH=2R sin ∠HCO=2R sin(α－30︒－30︒)=2R sin(α－60︒)． ∴MH +HNOH = 3 ．法2：由托勒密定理，OH BC OB HC OC BH ⋅+⋅=⋅7．在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7， ∴ CE=24，CD=15．∵ AC ·BD=CE ·AB ，⇒ AC=65AB ， ①24252015CD GHP∵BD⊥AC，CE⊥AB，⇒B、E、D、C共圆，⇒AC(AC－15)=AB(AB－7)，⇒65AB(65AB－15)=AB(AB－18)，∴AB=25，AC=30．⇒AE=18，AD=15．∴DE=12AC=15．延长AH交BC于P，则AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，⇒AP=24．连DF，则DF⊥AB，∵AD=DC，DF⊥AB．⇒AF=12AE=9．∵D、E、F、G共圆，⇒∠AFG=∠ADE=∠ABC，⇒∆AFG∽∆ABC，∴AKAP=AFAB，⇒AK=9⨯2425=21625．法2：由托勒密定理，算15DE=11。

圆的基本定理

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有；中线长：．4．垂线定理：．高线长：．5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC中，AD平分∠BAC，则；（外角平分线定理）．角平分线长：（其中为周长一半）．6．正弦定理：，（其中为三角形外接圆半径）．7．余弦定理：．8．张角定理：．9．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2•DC+AC2•BD－AD2•BC＝BC•DC•BD．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA•PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC•BD=AB•CD+AD•BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB•CD+AD•BC≥AC•BD．【圆的平面几何性质和定理】〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

十大高中平面几何几何定理汇总及证明

高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=S△PAM-S△PMB=S△PAM/S△PMB-1×S△PMB=AM/BM-1×S△PMB等高底共线,面积比=底长比同理,S△QAB=AM/BM-1×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM等高底共线,面积比=底长比定理得证特殊情况：当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ;2.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Rr为外接圆半径,R为直径证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O;我们考虑∠C及其对边AB;设AB长度为c;若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r;∵特殊角正弦函数值∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2r=R; 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时∠C'=∠C同弧所对的圆周角相等∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出;考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得;3.分角定理在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD,则有BD/CD=sin∠BAD/sin∠CADAB/AC;证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… 1.1S△ABD/S△ACD=1/2×AB×AD×sin∠BAD/1/2 ×AC×AD×sin∠CAD= sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/AC…………1.2由1.1式和1.2式得BD/CD=sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/A C4.张角定理在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD;那么;证明：设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=AD/ACsin∠1/sin∠BAC→ BD/BCsin∠BAC/AD=sin∠1/AC 1.1S△ACD/S△ABC=CD/BC=AD/ABsin∠2/sin∠BAC→ CD/BCsin∠BAC/AD=sin∠2/AB 1.21.1式+1.2式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线;6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点,过S作弦CF和DE;设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点;证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L四点共圆,一中同长同理,O,T,M,S四点共圆∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线;此线常称为西姆松线;证明：若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆,有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆;若A、P、B、C四点共圆,则∠NBP= ∠MCP;因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线;西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上;证明：PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,所以∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等,因此但是,,所以同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上;9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点;设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C;那么B, N, C这三点共线;逆定理：如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O;完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点O,称为密克点;四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点;那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆;证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N,对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点;该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理;现在已知U是和的公共点;连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA;同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC;∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上;10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M;EF⊥BC,且M在EF上;那么F是A D 的中点;证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边;证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC ①;又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD ②;①+②得ACBP+DP=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时,;证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线;证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P;由梅涅劳斯定理的定理证明如利用平行线分线段成比例的证明方法得：AP/PBBD/DCCE/EA=1;∵ AF/FBBD/DCCE/EA=1;∴ AP/PB=AF/FB ；∴ AP+PB/PB=AF+FB/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合;∴ D、E、F三点共线;13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC×CE/EA×AF/FB=1;∵△ADC被直线BOE所截,∴CB/BDDO/OAAE/EC=1①∵△ABD被直线COF所截,∴BC/CDDO/OAAF/FB=1②②/①约分得：DB/CD×CE/EA×AF/FB=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为圆O的两条任意弦;相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以;所以有：,即：;割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC;可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,同上证得;切割线定理：如图Ⅲ,连接AC、AD;∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,易证图Ⅳ,PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中：OC=OA=R,PO为公共边,因此;所以PA=PC,所以;综上可知,是普遍成立的;弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数;点对圆的幂P点对圆O的幂定义为点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0;三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线中垂线的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：1 三根轴两两平行；2 三根轴完全重合；3 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心;平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点;B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点;证明设A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线;考察L1与L2的交点P;因为P在L1上,所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离;因为P在L2上,所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离;所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离;也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离;所以：P在A与C的根轴上; 所以：三个根轴交于一点;16.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC;证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=180°-∠ABC/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC相等的圆周角所对的弦相等又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K;在AK及延长线上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的内部,J在△ABC的外部;则I是△ABC的内心,J是△ABC 的旁心;证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理;取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合,J和J’重合即I和J分别是内心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V;三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F;不妨设AB>AC;假设⊙I与⊙V相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S;过点S作⊙I的切线,分别交AB和BC于V,U,连接AU;又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧;由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线,且与弦ST所夹的圆弧相同,于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆;而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T是公共的切点,自然在⊙V上,因此 L,D,T,N共圆,进而有∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半所以,就得到∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线;另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC得到;这说明,公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作⊙I的切线,切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T;连接CV,与AU交于点K,则K是VC的中点;前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=BL+LP-CL-LP=BP-CP=BR-CQ=BR+AR-CQ+AQ=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是 LK=BV因之 LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：LK²=LU×LD;往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到 LK∥ABLK是△CBV的中位线,即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线,于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于 AK⊥KC易得,AD⊥DC所以 A,C,D,K确实共圆;这就证明了⊙I与⊙V内切;旁切圆的情形是类似的;证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径,R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径FI2=1/2OI2+IH2-1/4OH2=1/2R-r2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切九点圆半径为外接圆半径一半;F是九点圆圆心,I为内心18.莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°;在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sinα+β;不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=sin3γsinβ/sin60°-γ= sinβsinγ3-4sin²γ/1/2√3cosγ-sinγ= 2sinβsinγ√3cosγ+sinγ= 4sinβsinγsin60°+γ.同理,AE=4sinβsinγsin60°+β∴AF:AE=4sinβsinγsin60°+γ：4sinβsinγsin60°+β=sin60°+γ:sin60°+β=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-AEF-α-γ=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED为正三角形19.拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形;在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE;。

初等几何

目录1.初等几何研究 (2)2.线段相等的证法 (8)3.等角的证法 (12)4.和差倍分的证法 (17)5.平行线的证法 (22)6.梅内劳斯定理与塞瓦定理 (28)7.共点线的证法 (33)8.共线点的证法 (37)9.垂直线的证法 (42)10.面积方法 (47)11.几何变换（一）——平移 (53)12.几何变换（二）——旋转 (58)13.几何变换（三）——轴反射 (62)14.共圆点的证法 (67)初等几何研究第一节引言一、归纳的经验几何（公元前七世纪前）二、初步的推理几何（公元前七世纪至公元前四世纪）由经验和已有的几何知识出发，按照逻辑的要求，对某一项几何知识进行推理论证。

对实验几何进行总结工作，其伟大功绩归于古希腊的哲学家和数学家，受到哲学思想的影响，把实验几何加以抽象化、系统化。

最主要的就是把实验几何改造为演绎推理的科学。

古希腊：泰勒斯毕达格拉斯（勾股定理）柏拉图雅典学派提出的三个经典问题：化方为圆、三等分角和倍立方体直至公元前四世纪，未见按逻辑编排的系统的几何书籍出现三、系统的推理几何（公元前四世纪至公元后18世纪）《几何原本》的出现，由古希腊欧几里得按前人所提的几何知识，按照逻辑的要求的顺序，前因后果地进行编排，并先提出定义和公理，而后在这基础上，对各项知识都作推断论证。

《几何原本》的简介：公元前300年左右，希腊数学家欧几里得综合了人们对图形的认识成果，发表了13卷的巨著《几何原本》这是用公理化方法进行演绎推理的最早典范。

《原本》的发表，标志着初等几何的诞生。

《原本》中所介绍的几何学称欧氏几何，这是在整个数学发展史中最早、最完备、最成功的数学模型。

《原本》前10卷介绍平面几何，后3卷介绍立体几何，第一卷系统地提出二十三个定义、五条公理，成为《原本》的理论基础。

四、现代几何的产生与发展（公元后18世纪至今）俄国数学家罗巴切夫斯基罗氏几何德国数学家黎曼黎氏几何统称非欧几何罗氏几何：假设过直线外一点可引不止一条而是无数条直线平行该直线。

圆幂与根轴

例 4.若C 1 圆 :x2y22x6y1 00与C 圆 2:x2y22x2y60 交A 于， B 两点， A为 B 求直以径弦.的圆的方程
例 4.若C 1 圆 :x2y22x6y1 00与C 圆 2:x2y22x2y60 交A 于， B 两点， A为 B 求直以径弦.的圆的方程
定理3：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线.
这由幂的定义，可立即推出：定理4：若三个圆两两不同心，则其两两的根轴相交于一点，或互相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂
均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。
显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。
圆幂与根轴，几何综合问题选讲
根轴
与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。
首先我们有幂的定义：从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于圆周的幂。
若A点在圆外，A点的幂等于从A点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线定理，知道点A的幂为定值。
不难证明，幂有下列两个性质
（1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。
（2）：点A对于以O为圆心的圆周的幂，等于OA及其半径的平方差。
由此，我们有定理1：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。
由此可以看出： 1.若两圆同O1心 O2， 0，则所以，同心不圆存的在根；轴
例 2.过M 点 (x0， y0)引(圆 xa)2(yb)2r2(r0)的两条切线 A， B，求 A弦所 B 在的直 . 线方程

高中数学竞赛基础平面几何知识点总结

高中数学竞赛平面几何知识点基础1、相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.常见模型：相似三角形的性质:（1）相似三角形对应角相等（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比（4）相似三角形的周长比等于相似比（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方2、内、外角平分线定理及其逆定理内角平分线定理及其逆定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

如图所示，若AM平分∠BAC，则该命题有逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。

如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足则AD是∠A的外角的平分线内外角平分线定理相结合：如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC对于一般三角形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、张角定理在△ABC中D为BC边上一点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆内有关角度的定理圆周角定理及其推论：（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径（4）圆内接四边形对角互补（5）圆内接四边形的外角等于其内对角弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

著名数学定理1

著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway，1937-)和W.A.Schneeberger于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a2+b2+c2+d2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数.6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：.这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如的解就是.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群：，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群，这是一个不可解群.当次数n大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：.其中，，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p，使得p不整除an ，但整除其他ai(i=0，1，...，n-1)；p2不整除a0 ，那么f(x)在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G满足：G的任意两个点u和v度数之和至少为n，即deg(u)+deg(v)≥n，那么G必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg(u)+deg(v)≥n→G有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n> 3，则至少存在一个质数p，符合n<p< 2n? 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n<p< 2n.贝亚蒂定理定义一个正无理数r的贝亚蒂列Br为Br=[r]，[2r]，[3r]，...=[nr](n≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两个正无理数p，q且，(即) ，则Bp=[np](n≥1)，Bq=[nq](n≥1)构成正整数集的一个分划：.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P和Q，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon)定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p≤x的素数数目，使得p+2也是素数(也就是说，P(x)是孪生素数的数目).那么，对于x≥3，我们有：，其中c是某个常数.裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x 和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

著名数学定理1

著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++⋅⋅⋅++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10⋅⋅⋅ 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -=，又有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0，1，...，n -1)；p²不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg (u )+deg (v )≥n →G 有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD .折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦. 伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p ，符合n <p < 2n − 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n ，存在一个质数p ，符合n <p < 2n .贝亚蒂定理定义一个正无理数r 的贝亚蒂列B r 为B r =[r ]，[2r ]，[3r ]，...=[nr ](n ≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两阿基米德折弦定理个正无理数p ，q 且111=+q p ，(即1-=p p q ) ，则B p =[np ](n ≥1)，B q =[nq ](n ≥1)构成正整数集的一个分划：+=⋃∅=⋂Z B B B B q p q p ,.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P 和Q ，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon )定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p ≤ x 的素数数目，使得p +2也是素数(也就是说，P (x )是孪生素数的数目).那么，对于x ≥3，我们有：()()()22log log log x x x c x P <，其中c 是某个常数. 裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a ,b 是整数,且(a ,b )=d ，那么对于任意的整数x ,y ,ax +by 都一定是d 的倍数，特别地，一定存在整数x ,y ，使ax +by =d 成立。

圆幂与根轴

圆幂与根轴，几何综合问题选讲圆幂点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．一、基本知识与性质1．定义从一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点A 对于这圆周的幂．2．相交弦定理圆内两条相交弦，被交点P 分成的两条线段长的积相等（都等于尸对圆周的幂） .3．切割线定理从圆外一点P 引圆的切线和割线，切线长是点P 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（等于P 对圆周的幂）.4．圆幂定理已知⊙(O, r) ，通过一定点P ，作⊙O 的任一割线交圆于A, B ，则PA ，PB 为P 对于⊙O 的幂，记为 k ，则当P 在圆外时，k=PO 2-r 2；当P 在圆内时，k= r 2-PO 2；当P 在圆上时，k=0.例1．如图，设I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，r 和R 分别是△ABC 的内切圆和外接圆半径，过I 作△ABC 外接圆的弦AK,求证：( l ) AI ·IK =2rR ; ( 2 )OI 2=R 2-2rR例2．如图，设AD为Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于N，求证：AB 2-AN2=BM·BN .例3．如图, ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB 和DC相交于E，延长AD和BC相交于F, EP和FQ分别切⊙O于P，Q，求证：EP 2+FQ2=EF2例4．如图，圆与△ABC的外接圆相切于点A，与边AB交于点K，且和边BC相交．过点C作圆ΓΓ的切线，切点为L，连接KL，交边BC于点T．求证：线段BT的长等于点B 到圆Γ的切线长．例5．⊙O为△ABC的外接圆，AM, AT分别为中线和角平分线，过点B, C作⊙O的切线相交于点P，连接AP，与BC和⊙O分别相交于点D , E .求证：点T是△AME的内心．例6．圆与圆相交于点M , N ．设l是圆和圆Γ的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆相切于点A，与圆相切于点B．设经过M且与l 平行的直线与圆另交于C，与圆另交于D，直线AC和BD相交于E, 直线AN和CD交于P，直线BN与CD交于Q . 求证：EP=EQ.例7．如图，已知锐角三角形ABC，以AB为直径的圆与AB边的高线CC ' 及其延长线交于M, N，以AC为直径的圆与AC边上的高线BB ' 及其延长线交于P，Q，求证：M, N , P，Q 四点共圆．例8．在△ABC的中线CD上取一点它，圆周S2经过点E，与直线AB相切于点A，且与边AC相交于点M，圆周S2经过点E，与直线AB相切于点B，且与边BC相交于N，求证：△CMN的外接圆与S1和S2都相切．。

根轴的性质及应用

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中等数学
根轴的性质及应用
沈文选
（湖南师范大学数学奥林匹克研究所， #!(()!）
（本讲适合高中） ! 基础知识
定义从一点 # 作一圆周的任一割线，从点 # 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点 # 对于这个圆周的幂 % 由相交弦定理及切割线定理，知点 # 的幂是定值 % 若点 # 在圆内，则点 # 的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；若点 # 在圆外，则点 # 的幂等于从该点所引圆周的则点 # 的切线长的平方；若点 # 在圆周上，幂等于 ( %
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新高一分班考试.数学.第四讲.平面几何之三角形五星及圆幂定理

三角形五心及圆幂定理板块一三角形五心平面上的三条或者三条以上直线恰巧相交于一点，该交点常称为巧合点．三角形中的一些线段或直线相交得到的巧合点，常称为三角形的巧合点．三角形中有许多巧合点，在这里，我们只讨论几个特殊的巧合点．一、重心定义：三角形的三条中线相交于一点（可由塞瓦定理证明）．三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部．性质：（1）三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍．若G 为ABC △的重心，则AG BG CG GD GE GF==2=．（2）G 为ABC △的重心，则13ABG BCG ACG ABC S S S S ===△△△△．反之，设G 是ABC △中的一点，且13ABG BCG ABC S S S ==△△△，则G 为ABC △的重心．（3）G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则AD BE ⊥；反之，若AD BE ⊥，则222AG BG CG +=．（4）G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥，PF AC ∥，KH AB ∥，则知识点睛①23DE FP KHBC CA AB===；②2DE FP KHBC CA AB++=．（5）G为边长为a的等边三角形ABC的重心，则GA GB GC===．二、外心定义：三角形三边的三条中垂线恰巧相交于一点，这个点到三角形的三个顶点距离相等．三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心．三角形的外心，就是三角形的外接圆的圆心．锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心就是斜边的中点．性质：（1）三角形的外心到三角形顶点的距离相等，且在各边的中垂线上．（2）设O为ABC△的外心，则2BOC A∠=∠，2AOC B∠=∠，2AOB C∠=∠．三、内心定义：三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点，这一点到三角形的三条边的距离相等．三角形的三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心，就是三角形的内切圆的圆心．三角形的内心都位于三角形内．性质：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等．（2）设I为ABC△的内心，则1902BIC A∠=︒+∠，1902AIC B∠=︒+∠，1902AIB C∠=︒+∠．注：若AD是ABC△的角平分线，I是AD上一点，且1902BIC A∠=︒+∠，则I必为ABC△之内心．（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之，若ABC△的A∠的平分线与外接圆交于D，I上AD上的点，且DI DB=，则I为ABC△的内心．四、垂心定义：三角形的三条高线恰巧相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心．锐角三角形的垂心在三角形内，钝角三角形的垂心在三角形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．性质：（1）三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边．（2）三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组（即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心），或者这四点中任两点的连线垂直于另两点的连线．（3）设H 为ABC △的垂心，则2222AB AC HB HC -=-，2222BA BC HA HC ==-，2222CA CB HA HB -=-．（4）设H 为ABC △的垂心，则180BHC B C A ∠=∠+∠=︒-∠，180CHA C A B ∠=∠+∠=︒-∠， 180AHB A B C ∠=∠+∠=︒-∠．（5）设H 为ABC △的垂心，则点H 关于该三边的对称点均在ABC △的外接圆上．事实上，如图，连AH 并延长交BC 于D ，交外接圆于1D ，连HC ，CD '，则HCD HAB BCD '∠=∠=∠，从而Rt Rt HCD D CD '△≌△，故H D D D '=．同理可证得其余情形．在上述证明中，若连BH 、BD '，则BCH BCD '△≌△，从而知BHC △的外接圆与BCD '△的外接圆（就是ABC △的外接圆）相等．故有性质⑹．（6）设H 为ABC △的垂心，则ABC △、BCH △，ACH △、ABH △的外接圆是等圆．（7）设AD 、BF 、CF 为ABC △的三条高，垂心为H ，则图中有三组（每组4个）相似三角形，且AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅．五、旁心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角和外角平分线的交点．显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心．性质：鉴于三角形旁心的位置关系（都在形外）和数量关系（存在三个），决定了它具有许多有用的几何性质．本讲仅给出如下三条．（1）旁心与内心的关系密切．若三角形中同时出现内心、旁心，就构成了三组三点共线、三组四点共圆．如图，I 为ABC △的内心，A I 、B I 、C I 是ABC △的三个旁心．显然，A 、I 、A I ，B 、I 、B I ，C 、I 、C I ，分别三点共线；同时，A I 、C 、I 、B 、，B I 、A 、I 、C 、，C I 、B 、I 、A 分别四点共圆．且A II ，B II ，C II 分别是上述三个圆的直径．IBAHD'DCBA注意，A II ，B II ，C II 的中点D 、E 、F （即三个圆的圆心）都在ABC △的外接圆上．这一点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用．（2）旁心与半周长()p 形影不离如图，A I 是ABC △的一个旁心．作A I E AB ⊥于点E ，A I F AC ⊥于点F ，A I D BC ⊥于点D ．易得BE BD =，CF CD =，AE AF =，AE AF +()()AB BD AC CD =+++AB BC AC =++故ABC AE AF p ==△．（3）旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线．如图，A I 、B I 、C I 分别是ABC △的三个旁心．由于B AI 、C AI 是对顶角的平分线亦为反向延长线，故B I 、A 、C I 三点共线．同样地，C I 、B 、A I ，A I 、C 、B I 分别三点共线．如图，由熟知的内心张角公式1902BIC BAC ∠=︒+∠又因为A I 、C 、I 、B 四点共圆，故1902A BI C BAC ∠=︒-∠同理，1902B A CBA α∠=︒-∠，1902C AI B ACB ∠=︒-∠．以旁心为顶点的A B C I I I △必是一个锐角三角形．I A FEDCBAI AI BI CCB A【例1】在ABC △中，3BC =，4AC =，AE 和BD 分别是BC 和AC 边上的中线，且AE BD ⊥．则AB 的长为（）． AB． C． DE ．不能确定【变式】 ⑴ 已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，10AB =，9AC =，12D E =，求平行四边形ABCD 的面积．⑵ 如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CD ．设AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S =________．【例2】如图，锐角ABC △的外心为O ，直线BO 和CO 分别与边AC 、AB 交于B '、C '，直线B C ''交ABC △的外接圆于点P 、Q ，且AP AQ =．求证：ABC △是等腰三角形．EACDGBDGCFBE A DGCFBE A C′B′OQ P CB AABCPQ OB′C′例题精讲【例3】如图，ABC △的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC △的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证： ⑴ AI BD =； ⑵ 12OI AE =．【例4】设ABC △的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，求证：BF CD =．IH OEDCBABGACDEOH IF DC BF DCBH GI 1ABCDFE【例5】证明：三角形的外心、垂心、垂心三个巧合点在一条直线上（常称为欧拉线），且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍．【例6】 AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高（AB AC ），1I 、2I 分别是ABD △、ACD △的内心，12AI I △的外接圆O分别交AB 、AC 于点E 、F ，直线EF 、BC 交于点M ．证明：1I 、2I 分别是ODM △的内心与旁心．I 2I 1MOF EDCBA板块二圆幂定理一、圆周的幂的性质（1）过点A 任作一条直线，与圆交于两点，AM 和AN 的乘积称为点A 关于该圆的圆幂。

圆幂与根轴-

A
M E
P
F
O
N
H
B
C
B
A
o' M
E
P
O
H' F
N
H
C
设四边形ABCD的对角线交于点O，点M、N 分别是AD、BC的中点，点
H1、H
（
2
不
重
合
）
分
别
是ΔAOB与Fra bibliotekΔCOD的
垂
心
，
求
证
：H
1
H
2

MN .
A
M
H1
O
D
H2
B
N
C
B
A
M
F
H1
O
D
E
H2
N C
根轴及其应用
根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴和共轴圆系易于构造和计算，不少涉及圆的解析几何问题，若运用根轴知识来解决，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易掌握。
设D、E是ΔABC中AB、AC上的点，求证：以BE、CD为直径的两圆的根轴必通过ΔABC的垂心。
已知两个半径不相等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2分别与圆O内切于S、T两点，求证：OM MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。
例4. 若圆C1 : x 2 y 2 2x 6 y 10 0与圆C2 : x 2 y 2 2x 2 y 6 0 交于A，B 两点，求以弦AB 为直径的圆的方程.
例4. 若圆C1 : x 2 y 2 2x 6 y 10 0与圆C2 : x 2 y 2 2x 2 y 6 0 交于A，B 两点，求以弦AB 为直径的圆的方程.

平面几何的26个定理

ED C B A 高一数学竞赛班二试讲义第1讲平面几何中的26个定理班级姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：假设直线l 不通过ABC ∆的极点，而且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线别离交于,,P Q R ，那么1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理：设,,P Q R 别离是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，那么1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，而且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

()ABCD E BAE CAD ABE ACDAB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC ADBC ED AD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理：假设从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足别离为,,D E F ，那么,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足别离为,,D E F 。

假设,,D E F 三点共线，那么点P 在ABC ∆的外接圆上。

5．蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 别离交PQ 于X ，Y ，那么M 为XY 当中点。

圆幂与根轴

设 O 和 I分Δ 别 A的 B 为 C外心 Δ A的 B 和 C内内 B 切心、 C C、圆 A ， A分 B 与别相切 D 、 E 、于 F ，点 F 直和 D C 线相 A 交 P ，于 D 直与 E 点 A 线相 B 交 Q ，于点 M 、 N 分别 P，为 E Q的 F 线中段点 O I M ， . N 求证：
如图O ， 1和O 设圆 2相圆离，引公它切们 O 线 1于的 A ，切一切 O 圆 2 条于 C 圆，外引它们的切一 O 圆 1于条 B ，内切 O 2于公 D 圆，切求线证 A和 B ： C的 D 直交线在两圆的连心线上。
设 A是O 圆的直 B'上 B 径或其延点长，线 A 引过上 O 圆的任割 M 一线 A '定 M 或 AM '， M A 过作 B'B 的垂B线 M 的交延长 N ，线 B 交于 M '的点延长 N'.求证 AN ： A'N 是定值。
2.若R2 0，圆 O2缩成一 O2，点这M时点对O2圆的幂即是 M2O 2.上面的论述均时成，立直。线这（轨一迹圆）称为与一定点的根轴。
定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。
定理2：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆的幂都是O，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线
设 D 、 E 是 Δ AB 中 A C 、 B A上 C 的点B ，、 E C为求 D 直证径：的以两根轴Δ A 必 B 的通 C垂过心。
已知两个圆 O 1 与半 O 2 相圆径M 交不、 N 两于相点等 O 1 与，的 O 2 分圆且别圆圆 O 内S 切、 T 两于点O ， M M 求的 N 证充：分 S 、必 N 、 T 三要点条

平面几何基本定理

一．平面几何1．勾股定理(毕达哥拉斯定理）(广义勾股定理)(1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．（2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理(巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ,则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长:222222a c b m a -+=4．垂线定理:2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长:C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中,AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =;(外角平分线定理）角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）6．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径) 7．余弦定理:C ab b a ccos 2222-+=8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin9．斯特瓦尔特（Stewart ）定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？)11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12．圆幂定理：（相交弦定理:垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC ⊥BD ,自对角线的交点P 向一边作垂线,其延长线必平分对边14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ,则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = ｜d 2－r 2｜．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦（就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．(广义托勒密定理)AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦,M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ,则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△—-外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△—-内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质，例如:(1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 (2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线)上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：(1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC于D ,则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ;（2)设G为△ABC的重心,则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31（3）设G 为△ABC 的重心,过G 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ,过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即222GC GB GA ++最小;⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上;（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；(4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心,则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然（2)设I为△ABC的内心,则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心(4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +=== （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,,内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆;②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;;③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (BA ByAy C B A Cx Bx Ax O A C B A ++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3)∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27．旁心:一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心;设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠ （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ,则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ． 28．三角形面积公式C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理:设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立) 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线33．塞瓦（Ceva ）定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是错误!·错误!·错误!=134．塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ,又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M 35．塞瓦定理的逆定理：(略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38．西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ） 39．西摩松定理的逆定理:(略）40．关于西摩松线的定理1:△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上 41．关于西摩松线的定理2(安宁定理）:在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点42．史坦纳定理:设△ABC 的垂心为H ,其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心． 43．史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线． 45．牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心，三点共线． 46．笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ,设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48．波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧BQ +弧CR =0（mod2π）．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点,则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点． 50．波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦,则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线,设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB 的中点分别是L 、M 、N ,则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点53．卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线． 54．奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ,则D 、E 、F 三点共线．55．清宫定理:设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ,这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56．他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．(反点:P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点)57．朗古来定理:在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形,在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59．一个圆周上有n 个点,从其中任意n －1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2:一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点,则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点,则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线． 64．费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切． 65．莫利定理:将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal )定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的(或延长线的）交点共线． 68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n (值不为1）的点P ,位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇＊大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点: 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形,它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线,三个垂足形成的三角形的面积,其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．二．集合1。

根轴定理

根轴定理是指过动点向两园引等长的切线段，则动点的轨迹是一条直线。

怎么做出两圆根轴？如果两圆相交，那么公共弦就是两圆根轴。

如果相切，那么公共切线就是两圆根轴；如果相离，那么做一个与这两圆O1，O2同时相交的圆O3，O4，做圆O1，O3的根轴L1，做圆O2，O3的根轴L2 。

L1与L2的交点记为A。

同理做圆O1，O4的根轴L3，做圆O2，O4的根轴L4 。

L3与L4的交点记为B。

则AB记为圆O1，O2的根轴。

根据根轴的定义，根轴上在两圆外的任一点到两圆O的幂（即这点到两圆的切线长的平方）是相等的。

又因为切线长是一个非负数，故这点到两圆的切线长相等。

根轴与圆的正交昨天的等幂定理介绍说，与两圆有等幂的点的轨迹是垂直于连心线的一条直线。

今天我们看另外一个关于圆的概念，并揭示和根轴的关系。

两圆周的正交：两圆相交，若两圆周在交点处的切线的夹角为直角，则说两圆周相交成直角。

如下图所示的圆O与圆O'就相交成直角或正交。

我们关心的是，根据简单的切割线定理知道：O'对于圆O的幂是一个定值，这个定值只随着圆O'的大小而变。

同理O对于圆O'的幂也是一定值。

如果我们同等幂定理一样，考虑两个圆，那么我们就有下面的性质：两圆周的根轴，是和此两圆周正交的圆周的圆心的轨迹。

这个很好证明，因为这样的圆心对于已知两圆有相等的幂。

根据昨天的等幂定理即可得上面的性质。

认识了两圆的根轴，这个根轴就应该用来代替我们常说的公共弦，因为公共弦这个概念今天我们就用上一篇文章的垂线定理，来介绍圆的根轴。

同样的规矩，先介绍结论，再进行证明。

介绍根轴之前，首先介绍圆的幂，大家应该都知道圆幂定理，我在我的文章中也有所介绍。

过一点A 作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称之为圆周的幂，圆幂定理告诉我们，一个圆的幂只随着点A的位置有关，而不与割线的方向有关，并且我们还知道，点A对于以O为圆心的圆周的幂，等于距离OA以及半径的平方差。