根心定理

根心定理

根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：

（1）三根轴两两平行；

（2）三根轴完全重合；

（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

该定理是平面几何上非常重要的定理。

一、点对圆的幂

平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数：

考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：

由此也可以把点对圆的幂定义为：

这里

是点到圆心的距离，是圆的半径。

点对圆的幂的几何意义是明显的：

若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；

若点在圆上，则幂为0；

若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。

二、根轴

平面上两不同心的圆

显然，对两圆等幂的点集是直线：

该直线称为两圆的根轴。根轴必垂直于两圆的连心线。

若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；

若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；

若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。

当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。

三、根心与根心定理（解析几何证法）

三个两两不同心的圆

任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：

这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。因此：

（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。

（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。

具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：

（1）三根轴两两平行；

（2）三根轴完全重合；

（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

上面所证明的即是“根心定理”。

以上用解析几何的方法证明了根心定理。在平面上，二元方程对应一条曲线，而方程组的解对应着曲线的公共点。利用这个思想，从根轴方程的线性相关性出发，容易得到平面几何上的根心定理。这种证明方法十分简单。

四、根心定理的相关例题

以下例题选自2013年（第54届）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第二天第4题：

是锐角三角形，H是垂心。W是BC上一点（在B和C之间）。M 和N 分别是从B和C作出的高的垂足。和的外接圆分别记为和

。X,Y分别是和上的点，且WX和WY分别是和的直径。

求证： X,Y,H 三点共线。

证明：如图，记和的另一个交点为U，则UW是和的根轴。显然，由于XW和YW分别是两圆的直径，因此XU⊥UW，YU⊥UW，从而X,U,Y共线。

显然，B,C,M,N共圆，记该圆为。

注意到BN是和的根轴，而CM是和的根轴。BN和CM交于A点，由根心定理，和的根轴UW必然通过A点，这也就是说A,U,W共线，从而AU⊥XY。记的外接圆为。显然，由于AN⊥NH，AM⊥MH，因此A,M,H,N四点共圆，即H也在上。由Miquel定理，可以直接证明U也在上（从而U就是、和的公共点），从而A,N,U,H,M五点共圆，AH是该圆的直径，则必有AU⊥UH，再由A,U,W共线，知UH⊥UW，从而X,U,H,Y四点共线。

证毕。

注：Miquel定理的内容如下：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N，对

△AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。

该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理。现在已知U是和的公共点。连接UM和UN，则四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形，∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度，从而∠UWB=∠UNA。同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度，从而∠UWB=∠UMC。又有

∠UMC+∠UMA=180度，因此∠UNA+∠UMA=180度，这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形，而该圆必是，U必在上。