根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理

知识点1.根的判别式

2

1.402

2.0204

3.,22ac b b ac b x x a a ⎧

⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪

∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪

⎪-±--±∆⎪==⎪⎩

22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根

时，方程没有实数根

公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解

例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(22

2

=++++m x m x 。 （1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(2

2

=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。特别注意“0≠a ”！

例3．已知关于x 的方程01)12(2

2

=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系

课堂练习

1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02

=-x x 中，无实根的

方程是 。

2、已知关于x 的方程022

=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。 3、下列方程中，无实数根的是（ ）

A 、011=-+-x x

B 、 762=+y y

C 、021=++x

D 、0232=+-x x

4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2

2

=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<

m B 、m ≤43 C 、4

3>m 且m ≠2 D 、m ≥43

且m ≠2

5、在方程02

=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）

A 、有两个不等实根

B 、有两个相等实根

C 、没有实根

D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2

＋kx －1=0的根的情况是 （ ）

A 、有两个不相等的同号实数根

B 、有两个不相等的异号实数

C 、有两个相等的实数根

D 、没有实数根

7、 m 取何值时，方程()0112)2(2

2

=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）

有两个相等的实数根；（3）没有实数根

8、试证：关于x 的方程1)2(2

-=+-x m mx 必有实根。

9、已知关于x 的方程022

=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、

n 的值。

10、已知关于x 的方程02)12(2

2=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线

x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。

知识点2.根与系数的关系（韦达定理）

1.如果)0(02

≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则a

c x x a b x x =⋅-=+2121, 2.利用两根构造一元二次方程：x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0

补充公式：()212

212

22

12x x x x x x -+=+；()22

21222112x x x x x x +-=+

说明：①根与系数的关系必须是在方程有解的情况下才能够应用。

即：应用根与系数的关系时，还要考虑ac b 42

-的情况

题型1、求待定系数及另一根

例1.已知3-2是方程x 2

+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.

例2.已知关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一个方程 。

例 3.若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为 。

例 4.关于x 的方程10422

=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

小结：注意利用韦达定理求另一根快捷简便，并学会利用根之间的关系列所求字母的方程 题型2.根与系数的关系与判别式的应用

例1.已知关于x 的方程05)2(22

2

=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

例2.已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(442

2=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

小结：利用韦达定理和题目所给根之间关系的条件解出的字母取值，一定要经历0≥∆和0≠a 的考验

课堂练习

1．已知方程x 2

+(2k+1)x+k 2

－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）

A ．－3或1

B ．－3

C ．1

D ．3

2．若,αβ是方程2

220050x x +-=的两个实数根，则2

3ααβ++的值为（ ）

A ．2005

B ．2003

C ．－2005

D ．4010

3．若关于x 的一元二次方程2x 2

－2x ＋3m －1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．m ＞53-

B ． m ≤12

C ．m ＜53-

D ．53-＜m ≤1

2

4.关于x 的方程2

0x px q ++=的两根同为负数，则（ ）

A ．0p >且q >0

B ．0p >且q <0

C ．0p <且q >0

D ．0p <且

q <0

5.如果关于x 的一元二次方程x 2

+px +q=0两个实数根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（ ）