沪教版八年级上册-函数的概念、正比例函数讲义

【知识精要】

1. 函数

(1) 变量和常量

变量：可以取不同数值的量；常量：保持数值不变的量。

区别：表示量的数值变还是不变。

(2)函数的定义：

在某个变化过程中变化有两个变量，设为X和Y，如果在X的允许取值范围内，变量Y 随着X的变化而变化，他们之间存在着确定的依赖关系(对应法则)，那么变量Y叫做变量X 的函数，X叫做自变量。

注意：(1) 函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系；

(2) 自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域；

(3) 函数三要素：自变量、因变量、对应法则。

(3) 函数解析式：两个变量之间依赖关系的数学式子；

(4)函数的定义域和函数值

定义域：如果y是x的函数，自变量x有取值范围，这个允许取值的范围叫做函数的定义域。

函数值：如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。符号“y=f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律(对应法则)。

值域：函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。

2. 正比例函数

(1) 概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么就说这两个变量成

正比例；用数学符号语言记为y

k

x

=或y=kx(0

k≠).

解析式形如y=kx(0

k≠)的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数。

正比例函数解析式右边是常数与自变量的乘积的形式，且这个常数不为0；自变量的指数为1。(可用来判断一个函数是不是正比例函数)

(2) 定义域：一切实数。

(3) 图像

一般地，正比例函数y=kx(k是常数，且k0

≠)的图像是经过原点O(0，0)和点M(1，k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx.

(4) 正比例函数的性质

①当k>0时，函数图像经过第一.三象限；当k<0时，函数图像经过第二.四象限。

②当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；

当k<0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。

③ |k|越小，直线越靠近x轴；|k|越大，直线越偏离x轴。正比例函数的图像与性质：

【热身练习】

1. 判断一个关系是否是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是只有两个个变量；第三要看当自变量在允许取值的范围取任意值时，函数是不是都有唯一的值与它对应。形如____ y=kx(k是常数，k≠0)____的函数是正比例函数。

2. 函数

-3

y

x

=的定义域是x≥1且x≠3 ；

3. 如果函数()(12)

f x f

==

4. 已知

y

y

x

+

-

=

2

2，则y=f(x)= 2-2

1

x

x

+

；

5. 点(1，m)与点(n，-1)在函数

2

1

2

2+

-

=

x

x

y的图像

上，则m= 1

3

，n= -1 ；

6. 正比例函数y=kx(k为常数，k<0)的图像经过第__二、四__象限，函数值随自变量的增大而__减小___；

7. 已知点A(m，2)在直线y=-2x上，则m=

-1 ；

8. 已知正比例函数的图像经过点(1，-2)，则这个函数的解析式是 y =-2x ；

9. 若x .y 是变量，且函数2

(1)k y k x =+是正比例函数，则k =__1____； 10. 已知y 与x 成正比例，且x =2时y =-6，则y =9时x =__-3____； 11.

下

列

关

系

中

的

两

个

量

成

正

比

例

的

是

( C )

A. 从甲地到乙地，所用的时间和速度；

B. 正方形的面积与边长；

C. 买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；

D. 人的体重与身高. 12.

下

列

函

数

中

，

y

是

x

的

正

比

例

函

数

的

是

( C )

A. y =4x +1

B. y =2x 2

C. y 5

D. y x

13. 若正比例函数的图像经过点(-1，2)，则这个函数的图像一定经过点 ( C )

A.(2，-1)；

B.(-

21，2)； C.(1，-2)； D.(2

1

，2). 14. 已知(x 1，y 1)和(x 2，y 2)是直线y = -3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大小关系是 ( B )

A. y 1>y 2 ；

B. y 1

C. y 1=y 2 ；

D. 以上都有可能. 15. 写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？ (1) 电报收费标准是每个字0.1元，电报费y (元)与字数x (个)之间的函数关系；

(2) 地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5°C ，则气温x (°C)与高度y (km )的关系； (3) 圆面积y (c m 2)与半径x (c m )的关系. 答案：① y =0.1x ，y 是x 的正比例函数； ② y =28-5x ，y 不是x 的正比例函数； ③ y =πx 2，y 不是x 的正比例函数.

16. 在函数y =-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-2，求△POA 的面积(O 为坐标原点).