最新直线与椭圆的弦长公式知识分享
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线弦长公式：
I、椭圆弦长公式
1. 直线弦长公式
(1) 直线弦长：L=∣x2-x1∣
(2) 水平线弦长：L=纵坐标差值；
(3) 竖线弦长：L=横坐标差值；
II、椭圆弦长公式
(1) 椭圆弦长公式：L=2√ (a*E-b*F)
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
b=∣y2-y1∣/2 ；F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
(2) 椭圆周长公式：C=4aE(1-b²/(a²))^1/2
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；
b=∣y2-y1∣/2 ；
E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
III、注意事项
(1) 弦长公式只适用于有起点和终点坐标的圆或者椭圆；
(2) 直线两点坐标不同，求直线弦长时可以使用上述公式；
(3) 椭圆起点和终点坐标如果相等，无论对弦长还是周长的求解公式均不适用；
(4) 由于公式中有按quadrature计算，所以计算结果可能会存在误差，应留有余量。
直线与圆的弦长公式
直线与圆的弦长公式直线和圆是几何学中常见的两种基本图形。
当这两者相交时，我们通常会关注到弦长，即直线在圆上所截取的线段的长度。
弦长公式是一种用于计算直线与圆相交时弦长的数学公式。
在本文中，我们将介绍直线与圆的弦长公式，并阐述其推导过程及应用领域。
一、直线与圆的基本概念在介绍弦长公式之前，我们先来了解一些与直线和圆相关的基本概念。
1. 直线：直线是由无穷多个点构成的，且在任意两点之间都能找到另一个点的轨迹。
直线既没有长度也没有宽度，是一种无限延伸的几何图形。
2. 圆：圆是由一条封闭曲线组成的，所有在曲线内部距离圆心相等的点构成圆。
圆由一个中心点和一个半径决定。
3. 弦：弦是一条连结圆上两个不同点的线段。
弦的两个端点位于圆的边界上。
二、直线与圆的相交情况直线和圆的相对位置关系可以分为3种情况：相离、相切和相交。
1. 直线与圆相离：当直线和圆没有交点时，它们被认为是相离的。
2. 直线与圆相切：当直线恰好与圆边界的一个点相接触时，两者被认为是相切的。
3. 直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，两者被认为是相交的。
三、直线与圆的弦长公式的推导在推导弦长公式之前，我们需要引入两个重要的定理，即相交弦定理和弦切角定理。
1. 相交弦定理：若两条不同弦在圆内相交，则它们互相交换位置，得到的仍然是相交的两条弦。
2. 弦切角定理：在圆内，由同一条弦所截取的两个弧上所对的弧度相等。
基于这两个定理，我们可以推导出直线与圆的弦长公式。
设直线与圆相交于A、B两点，圆心为O，半径为r。
我们要求的是弦AB的长度。
根据弦切角定理，我们找到弦AB所对的圆心角α。
由于角AOB是一个直角（直线与圆的切线与半径垂直），我们可以利用勾股定理找到AO和OB的长度：AO² + OB² = AB²同时，由于AO和OB都等于r（半径）：r² + r² = AB²2r² = AB²因此，我们可以计算得到弦AB的长度为AB = √(2r²) = √2r。
直线椭圆长度公式
直线椭圆长度公式
直线椭圆的长度公式可以通过椭圆的参数方程和直线的长度
公式得到。
首先，我们需要了解椭圆的参数方程。
设椭圆的长
轴长度为2a，短轴长度为2b，圆心位于坐标原点，则椭圆的
参数方程可以表示为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为参数，取值范围为0到2π。
我们知道，直线的长度公式为：
L=∫√(dx^2+dy^2)
对于椭圆，计算直线的长度需要对其参数方程进行微分求导，并计算积分。
由于直线与椭圆的交点位置和斜率会在不同位置
发生变化，我们需要将直线的参数化方程代入椭圆的参数方程，然后进行微分求导并计算积分。
具体步骤如下：
1.将直线的参数化方程代入椭圆的参数方程，得到一个方程组。
x=t
y=mt+c
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，m为直线的斜率，c为直线的截距。
2.解方程组，得到参数θ与参数t的关系。
3.将参数t代入椭圆的参数方程，得到参数θ与参数t的关系。
4.对结果进行微分求导，计算曲线的切线向量。
5.计算切线向量的长度，得到一段小线段的长度。
6.将小线段的长度相加，得到整条直线椭圆的长度。
综上所述，直线椭圆的长度公式可以通过以上步骤进行求解。
具体的计算过程可能比较繁琐，但通过这种方法可以得到直线
椭圆的精确长度。
椭圆的简单几何性质第4课时直线与椭圆的弦长公式.ppt
(第四课时)
弦长公式
一.直线复习
1. 倾斜角、斜率： k tan y2 y1
2. 直线方程的五种形式.
x2 x1
（1）点斜式： y y k(x x )
（2）斜截式： y kx b
（3）两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
（4）截距式： x y 1 ab
（5）一般式： Ax By C 0
3. 两条直线的平行与垂直
平行： l1 / /l2 k1 k2 垂直： l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d C1 C2
A2 B2
一、直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；(Βιβλιοθήκη )韦达定理；(4)弦长公式.
练习：
1、课本P48第7题 2、《风向标》P38基础训练 3
弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
练习：
1、如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。
作业布置
一、书面作业：课本
要求：书写具体解题过程
二、课后练习： 《风向标》P 三、课后探究：
课后练习
1、过椭圆 x2 2 y2 4的左焦点作倾斜角为 30 的直
线，求弦长AB.
椭圆与直线相交的弦长公式推导
椭圆与直线相交的弦长公式推导椭圆与直线相交的弦长公式推导引言概述椭圆与直线相交的弦长公式推导具有繁多的种类和巨大的数量，如果不能够科学处置，将会严重污染到水、大气以及土壤环境。
近些年来，椭圆与直线相交的弦长公式推导产生量呈现出不断增长的态势，迫切需要深入治理。
因此，椭圆与直线相交的弦长公式推导要依据生态文明建设要求，结合椭圆与直线相交的弦长公式推导的产生原因以及处置利用中暴露的问题，及时采取针对性的优化措施，减少椭圆与直线相交的弦长公式推导产生量的基础上，高效利用椭圆与直线相交的弦长公式推导。
1椭圆与直线相交的弦长公式推导的概念1.1椭圆与直线相交的弦长公式推导种类通常情况下，可从三个方面划分椭圆与直线相交的弦长公式推导的种类。
第一，工业椭圆与直线相交的弦长公式推导。
工业生产过程中，难免会有气体、固体、液体等诸多形式的污染物产生。
工业椭圆与直线相交的弦长公式推导涵盖一般废物与危险废物两种，前者的危害较小，后者的腐蚀性，毒性较强，会在较大程度上危害到人体健康与环境。
第二，城市椭圆与直线相交的弦长公式推导。
城市运行过程中，将会有建筑垃圾、商业垃圾等大量的椭圆与直线相交的弦长公式推导产生。
特别是近些年来，随着城市规模的扩大，椭圆与直线相交的弦长公式推导量也显著增加。
第三，农业椭圆与直线相交的弦长公式推导。
植物秸秆、动物粪便等为农业椭圆与直线相交的弦长公式推导的主要类型，如果不能够科学处置，也会污染到生态环境。
1.2椭圆与直线相交的弦长公式推导的影响椭圆与直线相交的弦长公式推导往往经过一段时间的积累后，方才会逐渐体现出对椭圆与直线相交的弦长公式推导的污染。
第一，椭圆与直线相交的弦长公式推导污染水体。
在雨水、重力沉降等作用下，椭圆与直线相交的弦长公式推导地表水系内容易进入空中漂浮的椭圆与直线相交的弦长公式推导细小颗粒，颗粒溶解后，有害成分将会在水中产生。
椭圆与直线相交的弦长公式推导如果向河流中排放大量的椭圆与直线相交的弦长公式推导，河道将会遭到堵塞，出现不同程度的淤积现象。
高二数学椭圆与相交直线的弦长公式
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
记弦为PQ,则P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,自行同样推导)
直线与椭圆的位置关系弦长公式
则弦长 |AB|= _______ , 5
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
练习：
1、如果椭圆被
A、x-2y=0
的弦被（4，2）平分，那 么这弦所在直线方程为（ D ）
x2 y2 1 36 9
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2 2 x y 2、y=kx+1与椭圆 5 m 1 恰有公共点，则m的范围
（C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ） D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
0的直线， 3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 30 16
2 2 12 12 2 12 2 12 1 2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
直线与椭圆的位置关系弦长公式
例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
交点情况满足( D)
A.没有公共点 B.一个公共点
x y 1 9 4
2
2
C.两个公共点
D.有公共点
1直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 例 3 ： 已 知 椭 圆 1 ， 直 线 l ： 4x5 y 4 0 0 . 椭 圆 上 2 5 9 是 否 存 在 一 点 ， 它 到 直 线 l 的 距 离 最 小 ？y 最 小 距 离 是 多 少 ？ 解：
2 2
直线与椭圆的位置关系
种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
Ax+By+C=0
x 2 y2 2 1 2 a b
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp >0 =0 <0
通法
点与椭圆的位置关系
x y 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆 2 2 1(a b 0) 的位置关系 a b x2 y 2 x2 y 2 点 P 在椭圆上 2 2 1 ；点 P 在椭圆内部 2 2 1 a b a b x2 y 2 点 P 在椭圆外部 2 2 1 a b
则弦长 |AB|= _______ , 5
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。
在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。
我们需要了解什么是弦。
弦是连接椭圆上任意两点的直线段。
在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。
椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。
换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。
这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。
例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。
我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。
根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。
因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。
接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的正弦值之和。
椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。
根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。
由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。
由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。
我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。
例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。
通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。
同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线，是指圆周上任意一点和直线之间的距离。
它
是围绕椭圆形状的弧度计算而来，广泛应用于空间几何学，可以帮助
人们计算椭圆形状的弧度和距离的大小。
弦长公式圆与直线的公式表示如下：弦长C = 2 * π * a * ( 1
–cosα ) / α，其中a 是圆的半径，α是两点所形成的角的大小，位于-π/2 到π/2之间。
根据公式，可以计算当α=0时，弦长C=2*π*a，也就是圆的周长，而α=π/2时，弦长C=π*a，也就是圆的直径。
除了用于计算椭圆形状的弧度，弦长公式圆与直线还可以用于计
算椭圆内部和外部两点之间的距离。
例如，如果有起点A和终点B，可
以通过弦长公式来计算AB之间的距离。
此外，弦长公式也可以用于计算直线上任意两点之间的距离以及
曲线上两点之间的弧长。
这些计算都是根据两点之间的角度和距离来
计算的。
总之，弦长公式圆与直线是一种有用的工具，可以帮助人们计算
椭圆形状的弧度和距离，也可以用于计算直线上和曲线上两点之间的
距离。
通过使用这一工具，人们可以更准确地计算出椭圆形状的弧度
和距离，从而更好地理解几何中的圆形形状。
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求 直 线 A B 所 在 的 直 线 方 程 。
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2、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。
课后作业
1、 已 知 椭 圆 x2+y2=1， 过 左 焦 点 F作 倾 斜 角 为 的 直 线
9
6
交 椭 圆 于 A ， B 两 点 ， 求 弦 A B 的 长
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
变 式 1： 已 知 椭 圆x2y21,过 椭 圆 右 焦 点 的 直 线 l交 4
椭 圆 于 A,B两 点 ， 且AB=8， 求 直 线 l方 程 。 5
练习
已知椭圆ax2by21于直线xy10交于A,B两点， 且AB2 2，若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 为2，求a,b的值。
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
练习
当 m为 何 值 时 ， 直 线 y=x+m与 椭 圆 x2+y2=1相 交 ？ 16 9
相 切 ？ 相 离 ？
教学目标
通过本节课的教学，要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式，以及能够用点差法 解决弦中点问题。
知识点1：弦长问题
若直线
l:ykxm与椭圆
x2 a2
2
知识点2：弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
解后反思
中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件，灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理
直线与椭圆的弦长公式
回顾：直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点 ) 相切(一个交点)
相交(两个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0
由方程组：
x
2
a 2
y2 b2
1
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
2、 已 知 椭 圆x2+y2=1及 点 B （ 0， 2） ， 过 椭 圆 的 左 焦 2
点 F1与 B的 直 线 交 椭 圆 于 C、 D两 点 ， 椭 圆 的 右 焦 点 为 F2，
求 CDF2的 面 积 。 3、 已 知 椭 圆 x2+y2=1某 一 条 弦 A B 被 P （ 1,1 ） 平 分 ，
y2
b2
1(ab0)的
交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|叫做弦长。
弦长公式：
| AB| (x1 x2)2 (y1 y2)2
| AB| 1k2 (x1 x2)2 1k2 | x1 x2 |
| AB|
1
1 k2
(y1 y2)2
1
1 k2
|
y1
y2
|
例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
练习
如果椭圆被 x2 y2 1的弦被点（4，2）平分，
36 9
求这条弦所在直线方程。源自小结1、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1k2· （ x1x2 ） 24x1x2
= 1k12· （y1y2） 4y1y2 （适用于任何曲线）