时空对称性与守恒律
量子力学对称与守恒定律讲义
“为什么对称是重要的?“ --- 毛主席1974年5月向李政道请教的
第一个问题
对称与不对称(破缺)
在艺术(对联,画),数学(海螺,浪花), 自然(山峰,窗))均有精彩表现 完全对称的东西极少见!
不是静态的概念(适用一切自然现象） 物理学中对称性:现象或系统在某变换下不变 宏观->直观; 微观世界-> 不直观,但极重要
SU(2)是u,d夸克对称，破坏2--3% SU(3)SU(4)SU(5)SU(6) 同位旋破坏主要来自多重态不同分量质 量差印起的运动学效应
奇异数(Strangeness)和重 子数
1947年宇宙线实验(after pion)，1954年
加速器实验发现一批奇异粒子(photos)
特性一：协同产生，独立衰变
即 H 0, H H
厄米算符p
i
与H对易，
是守恒量
2
分立变换下：
U 1HU H i.e.,UH HU ,all _ states
U与H对易，U是守恒量 时空对称性：场与粒子时空性质变换 内部对称性：与时空无关
Some symmtries and the associated conservation laws
群论与对称性
对称性变换必须满足群的性质 （Closure,Identity,Inverse,Associativity) 如空间转动群，SO(3)，3 axis, 3 生成元 （与守恒荷一一对应） 重要的李群/李代数， O(N),SO(N),U(N),SU(N) 复合对称性 --》 复合守恒量， e.g., CP parity,G parity etc.
Translation in time Energy Translation in space Momentum
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
理论物理中对称性与守恒定律的关系
理论物理中对称性与守恒定律的关系在理论物理中，对称性与守恒定律是两个核心概念。
对称性描述了系统在某些变换下保持不变的性质，而守恒定律则说明了系统在各种变化中某些物理量的不变性。
这两个概念之间存在着密切的关系，对称性的存在导致了守恒定律的存在，反之亦然。
本文将深入探讨对称性与守恒定律的关系。
首先，让我们来了解对称性的概念。
对称性可以简单地理解为某种变换下系统保持不变的性质。
在物理学中，常见的对称性有平移对称性、旋转对称性、时间平移对称性和粒子对称性等。
平移对称性指的是系统在空间中的平移下保持不变，旋转对称性指的是系统在空间中的旋转下保持不变，时间平移对称性指的是系统在时间上的平移下保持不变，而粒子对称性指的是系统在粒子交换下保持不变。
对称性在物理学中起着非常重要的作用。
与对称性相关联的是守恒定律。
守恒定律描述了系统在各种变化中某些物理量守恒的性质。
守恒定律可以用数学表达式表示为：某一物理量的变化率等于该物理量进入与离开系统的流量之差。
根据对称性的不同，我们可以得到不同的守恒定律。
首先，根据时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
能量守恒定律指的是系统的能量在时间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在时间上的不变性导致的。
无论系统中发生了怎样的能量转化，总能量的变化率始终为零，能量守恒得到维持。
其次，根据空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
动量守恒定律指的是系统的动量在空间上保持不变。
这是因为系统的物理规律在空间上的不变性导致的。
无论系统中的物体如何运动，总动量的变化率始终为零，动量守恒得到维持。
此外，根据空间旋转对称性，我们可以得到角动量守恒定律。
角动量守恒定律指的是系统的角动量在空间上保持不变。
这是因为空间旋转对称性导致的。
无论系统中的物体如何旋转，总角动量的变化率始终为零，角动量守恒得到维持。
最后，根据粒子对称性，我们可以得到电荷守恒定律。
电荷守恒定律指的是系统中的总电荷量在粒子交换下保持不变。
粒子物理学中的对称性与守恒定律
粒子物理学中的对称性与守恒定律粒子物理学是研究物质的最基本组成部分和相互作用的学科。
在这个领域中，对称性与守恒定律是非常重要的概念。
对称性指的是在某种变换下，系统的性质保持不变；而守恒定律则是指物理量在时间和空间上的变化率为零。
一、对称性在粒子物理中的重要性对称性是粒子物理学中一项基本原则。
根据量子力学和相对论的理论基础，我们知道，自然界的基本定律应该具有某种形式的对称性。
首先是空间对称性，即物理系统的性质在空间位置的变换下保持不变。
例如，相对论性量子场论中的拉格朗日量具有洛伦兹对称性，这意味着在任何洛伦兹变换下，物理定律保持不变。
其次是时间对称性，即物理系统的性质在时间演化的过程中保持不变。
例如，量子力学中的薛定谔方程描述的系统具有时间反演对称性，即系统在时间反演下的演化与正常的时间演化完全一致。
还有内禀对称性，即系统在某种内部变换下保持不变。
例如，电荷守恒定律是电荷在整个物理过程中都保持不变的内禀对称性。
二、粒子物理中的守恒定律在粒子物理学中，守恒定律描述了一系列重要的物理量在物理过程中的守恒。
这些守恒定律为粒子物理学的研究和实验提供了重要的基础。
首先是能量守恒定律。
能量是物理过程中最基本的物理量之一，根据能量守恒定律，能量在物理过程中总是守恒的。
例如，在粒子碰撞实验中，总能量守恒可以用来解释反应产物的能量分布。
其次是动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，根据动量守恒定律，系统中所有粒子的总动量在物理过程中保持不变。
例如，在高能碰撞实验中，通过测量反应产物的动量可以对碰撞发生前的粒子进行研究。
还有角动量守恒定律和电荷守恒定律。
角动量守恒定律描述了系统中所有粒子的总角动量在物理过程中保持不变，而电荷守恒定律描述了系统中电荷的总量保持不变。
这些守恒定律在研究物质的性质和相互作用时起着至关重要的作用。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在密切的关系。
根据诺特定理，守恒定律可以由系统的对称性得出。
力学分析中的对称性和守恒律阅读笔记
《力学分析中的对称性和守恒律》阅读笔记目录一、力学分析中的对称性 (2)1. 对称性的概念及重要性 (3)2. 空间对称性与平移对称性 (3)3. 时间对称性与旋转对称性 (4)4. 对称性原理在力学问题中的应用 (6)二、守恒定律 (7)1. 动量守恒定律 (8)1.1 定义与表达式 (10)1.2 应用案例 (10)2. 机械能守恒定律 (12)2.1 定义与表达式 (13)2.2 应用案例 (14)3. 能量守恒定律 (15)3.1 定义与表达式 (17)3.2 应用案例 (17)4. 热力学第一定律与第二定律 (18)4.1 定义与表达式 (20)4.2 应用案例 (21)三、对称性与守恒律在力学问题求解中的应用 (22)1. 利用对称性简化问题 (24)2. 利用守恒定律解决问题 (24)3. 对称性与守恒律的综合应用 (26)四、总结与展望 (27)1. 对称性与守恒律在力学分析中的重要性 (28)2. 未来研究方向与应用前景 (29)一、力学分析中的对称性在力学领域，常见的对称性包括空间对称性、时间对称性以及物理量的对称性。
空间对称性主要是指物理系统在空间变换下的不变性，如平移和旋转。
时间对称性则涉及到物理系统在时间反演下的不变性，物理定律在时间上的对称性，即物理过程在时间的正向和逆向演化中保持一致。
而物理量的对称性则涉及到物理量的守恒定律，如动量守恒、能量守恒等。
在力学分析中，对称性的应用十分广泛。
在处理复杂的机械系统时，我们可以通过分析其对称性质来简化问题。
通过识别并应用对称性，我们可以将复杂的物理问题简化为更容易解决的形式，从而更有效地找出系统的运动规律和解决策略。
对称性也可以帮助我们理解物理系统的稳定性和动态行为，在某些对称性的条件下，我们可以预测系统的稳定状态，并理解其运动轨迹。
对称性是力学分析中的一个重要工具，它不仅可以帮助我们理解和解决复杂的物理问题，还可以揭示物理系统的本质和潜在规律。
5-4 对称性 对称性与守恒律
对称性
•
对称性ห้องสมุดไป่ตู้守恒律
一、关于对称性
在远古不同的文化里都有对称的观念，以后又渗透到各种不 同的人类活动之中，包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。 对称的观念是如何进入到科学里面来的呢？可以讲得很清 楚的希腊，希腊人觉得对称是最高的原则，而什么东西是最对 称的呢？是圆。所以他们就认为，世界上主宰一切的最高的原 则，是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功，可是他 们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称的观念是 1905-1907年由爱因斯坦引进的，可是最初它对于物理学的重 要性并没有被大家所认识，从1925-1970年，对称的观念渐渐 成为一个主旋律（20世纪有三个主要旋律：量子化、对称、相 位因子）。1925年量子力学发展起来以后，有一些数学修养比 较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观念叫做群论引 入到物理学里，这对20年代、30年代、40年代分子物理学、原 子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决定性的作用。
(a)
(b)
个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说 这系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作叫做这系统的 一个“对称操作”。例如图(a)中那个圆（不考虑上面的记号） 对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的；或者说， 旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加 一对相互垂的直径（如图b），这个系统的对称操作就少多了。 转角必须是90°的整数倍，操作才是对称的。由此可见，图 （b）中的图形要比单纯一个圆的对称性少多了。
以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家魏尔 （H.Weyl）首先提出来的。最常见的对称操作是时空操作。
在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质 的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类 是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属 于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。
量子力学中的对称性与守恒定律
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是描述微观世界的物理学理论，它主要研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，对称性和守恒定律是十分重要的概念，它们不仅帮助我们理解微观世界的规律，还对于解释和预测自然现象都起到了关键作用。
本文将对量子力学中的对称性与守恒定律进行论述。
1. 对称性在量子力学中的作用对称性在物理学中具有重要的地位，它可以帮助我们理解自然界中的各种现象。
在量子力学中，对称性可以通过算符的变换来描述。
对称性的存在意味着系统在某些变换下保持不变，这些变换可以是平移、旋转、粒子交换等。
不同的对称性对应着不同的物理规律和守恒量。
2. 空间对称性与动量守恒定律空间平移对称性是量子力学中的重要对称性之一。
根据诺特定理，一个系统的平移不变性对应着动量的守恒，即动量守恒定律。
在量子力学中，动量被表示为动量算符，根据平移算符的性质，能量本征态同时也是动量本征态，从而推导出动量守恒的数学表达式。
3. 时间对称性与能量守恒定律时间平移对称性是量子力学中另一个重要的对称性。
根据诺特定理，一个系统的时间平移不变性对应着能量的守恒，即能量守恒定律。
在量子力学中，能量被表示为能量算符，根据时间平移算符的性质，能量本征态同时也是时间本征态，从而推导出能量守恒的数学表达式。
4. 粒子交换对称性与电荷守恒定律粒子交换对称性是量子力学中独特的对称性。
根据粒子交换的性质，不同种类的粒子在交换后会得到正负符号不同的波函数。
通过对称性的研究，我们可以得出守恒定律，例如电荷守恒定律。
在量子力学中，电荷被表示为电荷算符，根据粒子交换算符的性质，电荷守恒可以被推导出来。
5. 空间反演对称性与正负宇称守恒空间反演对称性是又一种重要的对称性。
根据空间反演的性质，物理过程在空间反演后会得到相反的结果。
通过对称性的研究，我们可以得出守恒定律，例如正负宇称守恒。
正负宇称守恒与粒子的手性和反粒子的存在有关，通过对称性的分析可以得到这一守恒定律的数学表达式。
物理学中的对称性原理
物理学中的对称性原理物理学中的对称性原理是指在自然界中存在着各种对称性，并且这些对称性对于物理定律的描述和解释起着重要的作用。
对称性原理是物理学中的基本原理之一，它帮助我们理解和解释了许多重要的现象和规律。
一、空间对称性空间对称性是指物理系统在空间变换下保持不变。
在三维空间中，常见的空间对称性有平移对称性、旋转对称性和镜像对称性。
1. 平移对称性：物理系统在空间平移下保持不变。
例如，一个自由粒子在空间中运动时，其动能和势能在空间平移下保持不变。
2. 旋转对称性：物理系统在空间旋转下保持不变。
例如，一个均匀的圆盘在绕其对称轴旋转时，其物理性质保持不变。
3. 镜像对称性：物理系统在空间镜像变换下保持不变。
例如，一个球在经过镜像变换后，其形状和物理性质保持不变。
二、时间对称性时间对称性是指物理系统在时间反演下保持不变。
时间反演是指将时间t变为-t，即将物理系统的演化方向反转。
时间对称性原理表明，物理定律在时间反演下保持不变。
1. 动力学时间对称性：物理系统的演化方程在时间反演下保持不变。
例如，牛顿第二定律F=ma在时间反演下仍然成立。
2. 热力学时间对称性：热力学系统的热平衡状态在时间反演下保持不变。
例如，一个封闭的热力学系统在达到热平衡后，其热平衡状态在时间反演下保持不变。
三、粒子对称性粒子对称性是指物理系统在粒子变换下保持不变。
粒子变换是指将一个粒子变为另一个粒子，例如将一个电子变为一个中子。
粒子对称性原理表明，物理定律在粒子变换下保持不变。
1. 电荷守恒：电荷在粒子变换下保持守恒。
例如，一个粒子和其反粒子的电荷之和为零。
2. 弱力相互作用：弱力相互作用在粒子变换下保持不变。
例如，一个粒子在弱力相互作用下可以转变为另一种粒子。
四、规范对称性规范对称性是指物理系统在规范变换下保持不变。
规范变换是指改变物理系统的规范场，例如改变电磁场的规范。
规范对称性原理在量子场论中起着重要的作用。
1. 电磁规范对称性：电磁场的规范变换不改变物理系统的物理性质。
物理学中的对称性原理
物理学中的对称性原理在物理学中，对称性原理是一项非常重要的基础理论，它在描述自然界中各种物理现象和规律时起着至关重要的作用。
对称性原理是指在物理学中，系统的性质在某种变换下保持不变的性质。
这种不变性可以帮助我们理解和预测自然界中发生的各种现象，从微观粒子到宏观宇宙，对称性原理都贯穿其中。
一、空间对称性空间对称性是指系统在空间平移、旋转或镜像变换下保持不变的性质。
在物理学中，空间对称性是非常重要的，因为它可以帮助我们理解空间中的各种物理规律。
例如，牛顿定律在空间平移下是不变的，这意味着物体的运动不受空间位置的影响。
另外，电磁场的麦克斯韦方程组也具有空间对称性，这表明电磁场的性质在空间变换下保持不变。
二、时间对称性时间对称性是指系统在时间平移下保持不变的性质。
在经典力学中，牛顿定律具有时间对称性，这意味着物体的运动不受时间的影响。
另外，热力学第二定律也具有时间对称性，这表明热力学系统在时间变换下保持不变。
三、粒子对称性粒子对称性是指系统在粒子变换下保持不变的性质。
在粒子物理学中，粒子对称性是非常重要的，因为它可以帮助我们理解粒子之间的相互作用。
例如，电荷守恒定律表明系统在电荷变换下保持不变，这意味着电荷是守恒的。
另外，弱相互作用的手性对称性也是粒子对称性的一个重要例子。
四、规范对称性规范对称性是指系统在规范变换下保持不变的性质。
在现代物理学中，规范对称性是描述基本相互作用的重要工具。
例如，电磁相互作用和强相互作用都可以通过规范对称性来描述。
规范对称性的破缺可以导致粒子获得质量，从而形成物质的结构。
五、对称性破缺在物理学中，对称性破缺是指系统在某些条件下失去对称性的现象。
对称性破缺可以导致一些新的物理现象的出现，例如超导现象和弱相互作用的手性破缺。
对称性破缺也是现代物理学中一个重要的研究课题，它可以帮助我们理解自然界中复杂的现象和规律。
总结起来，对称性原理在物理学中扮演着非常重要的角色，它帮助我们理解自然界中的各种现象和规律。
对称性和守恒律--物理百科知识
对称性和守恒律--物理百科知识对称性和守恒律duichenxing he shouhengl对称性和守恒律symmetry and conservation law对称性是物质的状态和运动规律在对称变换（如镜面反射转动等）下的性质。
它已成为物理学中一个最普遍而深刻的观念。
对称性的观念是人们在观察自然界各种事物的几何形状时逐步形成的。
一个球在围绕通过中心的任何轴转动时，都不改变它的形状，称它具有转动变换的对称性。
在观察晶体时，可以看到各种规则的多而体，经过一定面的镜面反射或是绕特定轴转动特定角度，不改变它们的几何形状，显示了各种对称的组合。
按照对称方式的不同，可以把晶体分为32类，如果再考虑磁性，还可以找到58类不同的晶体对称方式；总共有90类磁性晶体的对称方式。
接连几次对称变换仍然是一个对称变换，这些对称变换之间满足结合律。
而且存在恒等变换和对称变换的逆变换。
因此对称变换的总和构成一个对称群。
在一个群的所有对称变换下不变或协变的状态(或运动规律)具有这个群的对称性。
例如球具有转动群的对称性。
如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，同时它的能量最低的状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都会是一个守恒量。
物质的运动形态可以千变万化，不断转化，而反映它们共性的守恒物理量将始终不变。
守恒定律是物质运动过程中所必须遵守的最基本的法则。
最普遍的对称性是时空几何对称性和量子力学的代数对称性。
所有的物质都在时空中运动，在不同时间和地点重复相同的实验反复证明了，对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统，时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。
时空表现为均匀和各向同性的。
坐标系原点的平移和坐标轴的转动都是对称变换，它们构成非齐次洛伦兹群，又称庞加莱群。
在庞加莱群中，与平移生成元对应的物理量为能量动量矢量，与转动生成元对应的物理量为角动量。
能量、动量守恒以及角动量守恒与时空均匀性和各向同性直接相关，它不依赖于物质的具体内容。
§5.4 守恒量与对称性的关系
λ＝1对应的本征态为：
P (r ) (r ) (r )
称为偶宇称态。
λ＝－1对应的本征态为：
15
P (r ) (r ) (r )
称为奇宇称态。 11
（4）宇称为守恒量的条件 设一体系具有空间反射不变性，即
PHP1 H 或 P, H 0
宇称为守恒量。
注意： A.若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。
R( )
exp
exp
i Lˆz
式中
Lˆz i
即角动量的z分量算符。
现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷 小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下
即
15
R , (r) (r ) R (r r ) (r )
r r r r
8
所以 R (r ) (r r ) (r n r ) (r ) (n r ) (r ) e (nr ) (r )
故15F就是体系的一个守恒量.
4
2.平移不变性与动量守恒
D
考虑体系沿X轴方向的
无限小平移
x x x x
描述体系状态的波函数变
x
x x x
化如下：
D
显然
(x) (x)
即 D (x x) (x)
将上式中的x换成x-δx，则有
D (x) (x x) (x) x
例子：
一维谐振子的能量本征态Ψn(x) 不简并，而宇称又为守恒量，
由此可断定Ψn (x)必有确定宇称。事实上，
，
宇称P为 n (x) 。 n (x) (1)n n (x)
(1)n
B.当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可
以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。
对称性与守恒定律
对称性与守恒定律在物理学中，对称性与守恒定律是两个重要的概念。
对称性指的是物理系统在某种变换下保持不变的性质，而守恒定律则是指物理量在时间或空间上的改变保持不变的规律。
这两个概念之间有着密切的联系，深入理解它们对于解释和预测自然界的现象至关重要。
一、对称性对称性在物理学中具有重要作用，它揭示了自然界普遍存在的规律和原则。
在物理学中，我们常常研究的是物理系统在某种变换下的行为。
如果系统在这种变换下保持不变，我们就说它具有对称性。
最常见的对称性是空间对称性，即物理系统在空间变换下保持不变。
例如，我们在研究一个孤立的粒子时，发现它在不同的空间位置上的行为是相同的。
这表明粒子具有平移对称性。
此外，还有旋转对称性。
许多自然现象在旋转变换下保持不变，这意味着它们具有旋转对称性。
例如，地球的自转使得我们一天之内所经历的自然现象没有明显差异，这是因为地球具有旋转对称性。
时间对称性是另一个重要的对称性概念。
物理系统在时间变换下保持不变，意味着它们具有时间对称性。
通常，我们假设自然界在时间上是均匀的，这意味着物理法则在时间上保持不变。
二、守恒定律守恒定律是物理学中的核心概念之一。
它指出，在某些条件下，特定的物理量在时间或空间上的改变保持不变。
最经典的守恒定律是能量守恒定律。
能量是宇宙中最基本的物理量之一，它在物理系统中的总量是不变的。
虽然能量可以在不同形式之间转化，但总能量的大小保持不变。
此外，动量守恒定律也是非常重要的。
动量是物体运动的属性，它在某些条件下保持不变。
例如，在一个封闭系统中，如果没有外力的作用，总动量保持不变。
其他重要的守恒定律包括角动量守恒定律、电荷守恒定律、线性动量守恒定律等。
每一个守恒定律都对应着自然界中某种物理量的守恒规律。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在着密切的联系。
根据诺特定理的基本思想，对称性给出了守恒定律的表达形式。
当物理系统具有某种对称性时，就会出现一个与该对称性相对应的守恒量。
对称性与守恒律
对称性与守恒律前面介绍的能量、动量和角动量守恒定律，都是在牛顿定律的基础上推导出来的。
但这些守恒定律比牛顿定律有更广泛的适用范围，这说明这些守恒定律有着更普遍更深刻的基础。
现代物理学已经确认这些守恒定律是客观物质世界对称性的反映。
对称性的概念最初来源于生活。
在大自然中对称性随处可见，植物的叶子几乎都是左右对称的，六角形的雪花也是对称的，几乎所有动物的形体、人体也都是对称的。
在艺术、建筑等领域中，也存在广泛的对称性。
在科学中对称性的概念是逐步发展的，至今它已具有十分广泛的含义。
下面简单介绍一下对称性的普遍定义。
我们把所讨论的对象，称为系统。
同一系统可以处于不同的状态，这不同的状态可能是等价的，也可能是不等价的。
例如，设想有一个圆球，这是几何学中理想的球，如果把球绕通过球心的任意轴转动一下，那么这个球就处于不同的状态，这些状态看上去没有任何区别，我们说这些状态都是等价的。
如果在球面上打一个点作为记号，再转动这个球，球上的点在空间的方位不同，这些状态就不同，因此对于包括这个记号的系统而言，不同的状态是不等价的。
把系统从一个状态变到另一个状态的过程称作变换，或者称给系统一个“操作”。
德国数学家魏尔在1951年提出了关于对称性的普遍定义：如果一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说该系统对这一操作是对称的，而这个操作就称为该系统的一个对称操作。
由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性。
例如平移、转动、镜像反射、时空坐标的改变、尺度的放大缩小等都可视为操作。
将对称性概念应用于物理学中，研究对象不仅有图形，还有物理量和物理定律等。
例如质点的加速度是一个物理量，伽利略变换可看作一个对称操作，因为经伽利略变换后加速度保持不变，所以质点的加速度对伽利略变换的不变性也可称作加速度对伽利略变换具有对称性。
容易证明，牛顿第二定律经伽利略变换后保持不变，因而牛顿第二定律作为一条规律对伽利略变换具有对称性。
量子力学的对称性
量子力学的对称性在物理学中，量子力学是研究微观世界中基本粒子及其相互作用的学科。
作为一门重要的科学理论，量子力学不仅在解释微观世界的行为上发挥着重要作用，同时也涉及了对称性的概念。
对称性在物理学中具有非常重要的地位，它不仅仅是一种美学上的要求，更是基本粒子行为的根本规律。
本文将围绕量子力学的对称性展开探讨。
1. 对称性的基本概念对称性是指物理系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性可以分为时间对称性、空间对称性和粒子对称性等几种不同的形式。
时间对称性是指物理系统在时间反演下保持不变。
换句话说，物理过程在时间前进和时间倒退时应具有相同的规律性。
以量子力学的基本方程薛定谔方程为例，该方程在时间反演时需要保持不变。
空间对称性是指物理系统在空间变换下保持不变。
常见的空间对称性包括平移对称性和旋转对称性等。
量子力学中的空间对称性可以用对应的变换算符来表示，例如平移算符和旋转算符。
粒子对称性是指粒子体系中各个粒子对换时系统性质保持不变。
根据不同粒子性质，量子力学中的粒子对称性可以分为玻色对称性和费米对称性。
2. 对称性与守恒量对称性与守恒量之间有着紧密的关系。
守恒量是指在物理过程中保持不变的物理量。
根据诺特定理，与连续对称性相对应的守恒量可以通过守恒定律得到。
在量子力学中，均匀平移对称性对应的守恒量为动量，而均匀旋转对称性对应的守恒量为角动量。
对称性的存在使得一些物理量的值保持不变，这为我们解释和预测物理现象提供了有力的工具。
通过分析系统的对称性，我们可以推导出与之相对应的守恒量，并进一步研究它们的特性和相互关系。
3. 对称性破缺尽管对称性在物理学中具有重要的地位，但有时也会出现对称性破缺的情况。
对称性破缺是指物理系统在某些条件下不再满足对称性的性质。
一个典型的例子是超导现象。
在低温下，某些材料中的电子可以以配对的形式运动，形成所谓的库珀对。
这种配对状态破坏了原本的对称性，导致电子在通过材料时能够无阻碍地流动，即呈现出超导现象。
量子力学第五章 对称性及守恒定律
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
对称性原理
①时间平移：t t t0 的变换。 ▲ 静止物体对时间平移具有对称性；
▲ 匀速运动物体的速度对时间平移具有对称性；
▲ 周期系统，对时间平移整数周期具有对称性。
▲②v时 间d r反演t ：tt
t
的变
v
换（时
v
间
倒流
-v
）
。
dt dt dt
d
2
r
t t
▲ a dt2 dt2 dt2
a
gg
对称性原理：（Pierre Curie 1894年首先提出） 原因中的对称性必然存在于结果中， 结果中的不对称性必然存在于原因中。
对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一 条基本原理。 根据对称性原理，往往可以在不具体知道某些物 理规律的情况下，给出所需的结论。
16
例如：
▲ 根据对称性原理，论证 力心
对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则， 在未涉及一些具体定律之前，我们往往可能根据 对称性原理作出一些判断，得出某些有用的信息。 这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖， 而且还能指导我们去探索未知的领域。
22
参考书目
▲新概念物理教程《力学》赵凯华、罗蔚茵 ▲定性与半定量物理学 赵凯华, 高教出版社 ▲《基础物理学》上卷 陆果 ▲《对称》 H. Weyl 商务印书馆 1986 ▲《大学物理学》(力学 热学) 张三慧 主编 ▲ “Lecture on Physics” R.Feynman. Vol.1
可以证明：极矢量×极矢量 轴矢量 10
④空间反演：
r r
的操作称为对原点O
的空间反演。 x x
直角坐标系中空间反演 y y
z z
空间反演不变的系统具有对O的点对称性。
对称性和守恒定律
对称性和守恒定律对称性和守恒定律是物理学中两个基本的概念，它们在解释和描述自然现象中起着重要的作用。
本文将探讨对称性和守恒定律的定义、原理以及它们在不同领域中的应用。
一、对称性对称性是指系统在变换下具有不变性或不变性对称的性质。
在物理学中，对称性是研究自然规律的基础之一。
常见的对称性包括平移对称、旋转对称和镜像对称。
1. 平移对称性平移对称性是指系统在平移变换下保持不变。
例如，在空间中的物体在平移变换下，其性质和状态保持不变。
2. 旋转对称性旋转对称性是指系统在旋转变换下保持不变。
例如，地球在自转时保持不变的物理规律。
3. 镜像对称性镜像对称性是指系统在镜像变换下保持不变。
例如，物体的左右对称性。
对称性在物理学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们预测和解释自然现象，并推导出物理方程与定律。
二、守恒定律守恒定律是指在某个系统中，某种物理量的总量在时间变化过程中保持不变。
这些物理量可以是能量、动量、角动量等。
1. 质量守恒定律质量守恒定律是指在一个系统中，质量的总量在任何变化过程中保持不变。
根据爱因斯坦的质能方程，质量可以转化为能量，反之亦然。
2. 动量守恒定律动量守恒定律是指在一个孤立系统中，动量的总量在相互作用下保持不变。
这是因为系统中的所有物体在相互作用过程中，它们的动量会相互转移，但总动量的和保持不变。
3. 能量守恒定律能量守恒定律是指在一个孤立系统中，能量的总量在各种能量转换过程中保持不变。
各种能量形式之间可以相互转化，但能量的总量始终保持定值。
守恒定律是自然界中最基本的定律之一。
它们提供了描述和解释自然现象的数学工具和规律，使得我们能够更好地理解和预测自然界的行为。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律密切相关。
根据诺特定理，对称性与守恒定律之间存在一一对应的关系。
对称性的存在意味着守恒定律的存在，而守恒定律的存在则反映了系统中的对称性。
通过对称性的研究，我们可以预测和发现新的守恒定律。
空间对称性与动量、角动量守恒定律的初探
比 牛顿 三 定律具 有
,
更 广适 用 范 围 的实验 定 律 做 为 更普 遍 的规 律 在 经典 力 学 中却用 范 围有 限 的 牛 顿定 律
,
一少
,
认
来 推导
这确实 是 比 较整 扭 的
。
本 文 想从 空
。
间 的均 匀 性 和 各 向 同 性 ( 对称 性 ) 用 比 较 简 明 的 方 法导 出 动量 守 恒 和 角 动 量守 恒定 律 空 间的均 匀性 伺 的性 质
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, , ,
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表明
,
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、
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: ,
,
这样 对 于
,
近 代 物理 学
动量
,
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,
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一
-
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由此
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,
动 量 守恒 定律
,
角 动量 守恒 定律 应 看
,
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K
/
认 为物理 规律 对坐 标平 移具 有 不 变 性 ( 又 叫
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所 以无 论从 K 系 还是 从
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,
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.
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,
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时空对称性与守恒律
信息系统与管理学院童绥圣 201005019008
摘要：对称性和守恒律是基本的自然法则，人们在长期的科学探索
中发现，自然界的各种对称性与守恒律之间具有相辅相存的密切联系。
关键字：对称性对称操作守恒律
引言
作为物理学的最原始、最基本的概念，对称和守恒各自有着深
刻的思想渊源。
人类对于对称和守恒的认识也是从表面深入到内部，而对称和守恒也经历了从分立走向综合的漫长发展历程。
特别是在
现代物理学中，对称性和守恒律对科学家来说始终具有非凡的吸引力，是一个非常有趣和深刻的话题。
在探索千变万化、纷繁复杂的
自然现象的普遍规律的过程中，守恒量与守恒定律是物理学家们长
期倾心关注的议题。
现代物理学研究表明，自然界中的守恒定律与
相应的对称性是密切相关的。
因此，认识现代物理学对称性的深刻
内涵，明确对称性与守恒律之间的密切联系，对于探究自然规律、
揭示宇宙奥秘是十分重要的。
对称和对称操作
德国数学家魏尔在1951年给对称性的普遍的严格定义：对一个
事物进行一次变动或操作，如果经过此操作后，该事物完全复原，
则称该事物对所经历的操作是对称的，而此操作就叫做对称作．由
于操作(变换)方式不同可以有若干种不同的对称性。
（1）空间反演操作与镜像对称。
空间反演操作类似于物体的平
面镜成像，具有对某一轴线或平面的对称性。
如物理学中的位置矢
量，经过空间反射后，与镜面垂直的分量反向，与镜面平行的分量
则不变。
(2)空间平移对称操作与平移对称．当某一物理规律经过坐标平
移后仍与原规律相同，则为平移对称。
例如，我们将进行物理实验
的全套仪器从北京运到上海，在两地会得到相同的物理定律，即物
理定律具有空间平移对称性。
(3)空间旋转对称操作与转动对称。
例如，太阳绕通过其中心的
任意轴旋转某一角度后，其现状与原状一样。
进行物理实验的仪器
转动某一角度后，所得到的物理规律不会因空间的转动而发生变化，即物理定律具有空间转动对称性。
(4)时间平移对称操作与时间对称。
我们所熟悉的24小时的昼夜
循环，在时间上就表现出具有周期性的平移对称；周期性变化的单
摆只对周期T及其整数倍的时间平移变换对称。
空间对称性和时间对
称性是最基本的、最常见的对称性，统称为时空对称性。
另外，量
子力学中全同粒子互换后，得到具有交换对称性的哈密顿算符，全
同粒子体系波函数的对称性不随时间的平移而改变。
对称性与守恒律
从现代物理学的高度来审视。
对称性和守恒律是基本的自然法则。
在经典力学中，牛顿运动三定律只适用于宏观物体，而动量、
角动量、能量三大守恒定律对宏观物体和微观领域都是普遍成立的。
自然界广泛存在的对称性在物理学中处于十分基本的地位。
上述三
大守恒定律又比牛顿运动定律具有更普遍更深刻的根基。
人们在长
期的科学探索中发现，自然界的各种对称性与守恒律之间具有相辅
相存的密切联系。
例如，下列每一种对称性(即变换不变性)都对应
着一个守恒定律：
空间平移不变性⇔动量守恒定律
空间转动不变性⇔角动量守恒定律
时间平移不变性⇔能量守恒定律
空间反演不变性⇔宇称守恒定律
整体规范不变性⇔电荷守恒定律
下面我们从保守力系的机械能出发，来讨论守恒律与对称操作的关系。
1.机械能对空间坐标平移的对称性与动量守恒
系统机械能函数对空间坐标平移的对称性，将导致系统的动量守恒。
我们讨论两个质点组成的质点系，且各质点只受保守力作用而运动，两质点的动量分别为1p 和2p ，相应的位矢为()1,1,11z y x r
和()2,2,22z y x r ，现令坐标平移r δ，相当与整个系统沿相反方向平移了，r δ这样质点的位矢变成了r r δ+1 和r r δ+2。
对机械能而言，包含了动能和势能，动能是速度的函数，显然不因坐标的平移而改变，因此机械能对平移操作的不变性即体现在体系的势能下不因空间坐标的平移而发生改变。
即可得
=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+
∂∂+∂∂=z z E z z E y y E y y E x x E x x E E p p p p P P P δδδδδδδ212121
0)(212121=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z E z E y y E y E x x E x E p p P p p P δδ 此处用变分δ而不用微分d ，是因为P E δ完全来自坐标平移，而不是
系统的真实运动，因而r δ可取任意值，且0≠r δ，有因为x,y,z 互相独立，故要满足上式即可得
.0;0;0212121=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂z E z E y E y E x E x E p p p P P P
从保守力和势函数的关系不难得出：
x P Z P Y P Y p Y p X P
F z E F z E F y E F y E F x E F x E 212121212121212121,;,;,-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂
所以可得：
0;0;0211221122112=+=+=+Z Z Y Y X X F F F F F F
从动量定理可得：
()()(),0;0;0212121=+=+=+dt
p p d dt p p d dt p p d z z y y x x 即 3
212211
21C p p C p p C p p z z y y x x =+=+=+
因而C p p =+21
这正是动量守恒定律的表达式，于是我们从机械能对空间坐标平移操作的对称性导出了动量守恒定律。
2.机械能对空间坐标系转动的对称性与角动量守恒
上述质点组的总机械能函数对空间坐标系旋动的对称性（即是空间各向同性），将导致角动量守恒。
令质点1位于坐标原点且保持静止，质点2的质量为m ，位于运动状态且不受其他力作用。
现对空间坐标系实施一无穷小角位移δθ-，实质上相当于系统沿相反方向转过无穷小角位移δθ（无穷小角位移为矢量）。
显然质点2的位置矢量r 与速度矢量v 均转过δθ，由此可得其相应的增量
,,v v r r ⨯=⨯=δθδδθδ机械能对坐标实施旋转操作的不变性意味着下式成立，即()().02/2=+⨯=+=+=P p P E v mv E v mv E mv E δδθδδδδδ 对第一项()()0=⨯=⨯=v v m v mv E K δθδθδ，因而要求第二项0=P E δ，即坐标系旋转而势能不变，这表明质点m 一定受到有心力的作用，势能仅为位矢r 的函数，即()r E E P P =式。
这样，便从机械能对坐标系旋转的对称性推出角动量守恒律。
3.机械能对时间平移的对称性与机械能守恒
上述质点组的总机械能对时间平移的对称性将导致机械能守恒。
令此质点组的总机械能P K E E E +=，为避免矢量性带来的麻烦，我们
令两质点只作x 方向的一维运动。
则
()()222
22112112/2/x E v m x E v m E p x P x +++=，又因为t δ恒为零， 所以用dt dE 来表示体系的机械能对时间的平移， 即dt dE dt dv v m dt dE dt dv v m dt dE P x x P x x 222211211+++= 因此体系为保守力系，则X P X P F dx dE F dx dE 212
21211,-=-=。
又从牛顿第二定律出发可得dt dv m F dt dv m F x X x X 22211112,==， 所以上式为0222122111211=-+-=dt dv v m dt dv v m dt dv v m dt dv v m dt dE x x x x x x x x ， 则C E dt dE ==,0，即P K P K E E E E ''+=+，
这正是机械能守恒定律的表达式，所以体系的机械能若对时间的平移具有对称性，则其机械能守恒。
结束语
对称性在物理学中起着重要的作用，通过对系统所具有的对称性
的分析，可以得到系统相应的守恒量，这些守恒量的存在对于了解
系统的物理状态和性质就十分重要。
在微观世界中，特别是在粒子
物理学中，对称性就更为重要了。
从对称性看世界，看到的可能性
实在太多。
美国物理学家费曼说的好：“可能性实在太多了，它们
之中任何一个都可能是对的，也可能没有一个是对的，因此我们必
须去探索”。
参考文献：
1.物理通报 2011
2.赵凯华，罗蔚茵．力学【M】．北京：高等教育出版社，1995．
3.李承祖，杨丽佳 .大学物理学 .北京：科学出版社，2009 .。