材料力学第六章习题选及其解答
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6-2. 用积分法求图示各梁的挠曲线方程、自由端的挠度和转角。设EI=常量。
解：（1）列弯矩方程
⎩⎨
⎧∈---=∈-=)
2,[ )()(]
,0[ )(222221111a a x a x P Px x M a x Px x M （2）挠曲线近似微分方程
⎩⎨
⎧---==-==)
()('')(''222221
111a x P Px x M EIy Px x M EIy （3）直接积分两次
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+---=+-=2222221211)(22'2'C
a x P x P EIy C x P EIy ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++---=++-=22232322111311)(666
D
x C a x P x P EIy D x C x P EIy （4）确定积分常数
边界条件：
0' ,0 :2222===y y a x
光滑连续条件：
'' , :212121y y y y a x x ====
求解得积分常数
3212212
7
25Pa D D Pa C C -===
= 梁的挠曲线方程和转角方程是
b)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+-=2
222222
2112
5)(22'252'Pa a x P x P EIy Pa x P EIy
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+---=-+-=3
22323223123112725)(662
7256Pa x Pa a x P x P EIy Pa x Pa x P EIy （5）自由端的挠度和转角
令x1=0：
EI
Pa y EI Pa y 25' ,272
131=
-=
6-4. 求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。设EI=常量。求解时应
注意CB 段内无载荷，故CB 仍为直线。
解：（1）求约束反力
Pa M P R A A ==
（2）列AC 段的弯矩方程
],0( )(a x Pa Px x M ∈-=
（3）挠曲线近似微分方程
Pa Px x M EIy -==)(''
（4）直接积分两次
D
Cx x Pa x P EIy C
Pax x P EIy ++-=+-=2
32
2
62
'
a)
M
（5）确定积分常数
边界条件：
0' :0===y y x
得积分常数：
0==D C
（6）AC 段的挠曲线方程和转角方程
2
32
2
62
'x
Pa x P EIy Pax
x P EIy -=-=
（7）C 截面的挠度和转角
令x=a ：
EI
Pa y EI Pa y C C 3 232'
-
=-= （8）自由端的挠度和转角
梁的变形：
BC 段保持为直线，则
)3(6)(22
2
a l EI
Pa
a l y y EI Pa C C B C B --
=-+=-
==θθθ
6-6. 用积分法求梁的最大挠度和最大转角。在图b 的情况下，梁对跨度中点对称，
可以只考虑梁的二分之一。
解：（1）求约束反力
P
Pl M P R A A ==
（2）弯矩方程
]
,2/[ )(]2/,0( )(222111l l x Pl Px x M l x Pl Px x M ∈-=∈-=
（3）挠曲线近似微分方程
Pl
Px x M EIy Pl Px x M EIy -==-==22221111)('')(''2
（4）直接积分两次
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++-=++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=222232211213112222211211262622
'2'2D
x C x Pl x P EIy D x C x Pl x P EIy C
Plx x P EIy C Plx x P EIy
（5）确定积分常数
边界条件：
0' ,0 :0111===y y x
光滑连续条件：
'' , :2/212121y y y y l x x ====
求解得积分常数
3
2122124
1 0 163 0Pl D D Pl C C -====
梁的挠曲线方程和转角方程是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=-=222221
2111632'2
'2Pl Plx x P EIy Plx x P EIy P
M
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-+-=-=3
222232221311241163262
62Pl x Pl x Pl x P EIy x Pl x P EIy （6）最大挠度和最大转角发生在自由端
令x 2=l ：
EI
Pl y EI Pl y 165' ,1632
max 3max -
=-=
6-8. 用叠加法求图示各梁截面A 的挠度和截面B 的转角。EI=常量。图a 和d 可
利用题6-4中得到的结果。
解：a ）
（1）P 单独作用时
EI
Pl
EI l P EI
Pl
EI l P y P
B P
A 82)2(243)2(2
2)3
3)-
=-=-
=-=θ
（2）Mo 单独作用时
EI
Pl EI l Pl EI Pl EI l Pl y Mo B Mo A 2
)32
)82)2(-
=⋅-=-
=-=θ （3）P 和Mo 共同作用时
EI
Pl EI Pl y y y Mo B P B B Mo A P A A 8962
))3
))-
=+=-
=+=θθθ
c ）
（1）求y A
a)
q
c)