2017年安徽省大学生力学竞赛单科组试题解答及评分标准

(+2 分)
第四题（20 分）
图示平面机构，当曲柄OC 绕O 轴转动时，滑块A 沿曲柄OC滑动，从而带动杆
AE 在光滑铅直滑道B 内做平行移动。连杆CD与匀质轮盘D铰接，轮D在水平轨道上
做纯滚动，转轴O和各铰链均为圆
C
柱形光滑铰链。已知OC =CD=2a，
A
OB = a，轮D的半径为r。在杆AE
的E端作用铅直方向集中力F，在
2017 年安徽省大学生力学竞赛单科组试题解答及评分标准
第一题（35 分）wenku.baidu.com
图示结构由杆 AB、BD、EC、CG 和 EH 组成，不计各杆的重量，尺寸如图所示。
各杆之间用圆柱形光滑铰链连接，其
中 A 处为固定端，D 和 E 处为活动铰 链支座。已知 M1 M 2 M 3 qa 2 ， F qa ，试求：
(+3 分)
2F
D
FD
F
H
B
M A M A M1 FCya qa 1.5a 0 得： M A 3.5qa2 (+4 分)
(3) (本小题 10 分)
以 EH 杆为研究对象，受力图如 图 1.4 所示 (+2 分)
FECx E
FECy FE
图 1.4
FGCx FGCy G
FCy 3qa
(+3 分)
(2) (本小题 11 分)
以 AB 杆为对象，
受力图如图 1.3 所示
(2+分)
Fx 0 得： FAx 0 (+2 分)
FE MA FAx
M2
M3
G
图 1.2
FAy
q
C
A M1 图 1.3
FCy
Fy FAy FCy qa 0 得： FAy 4qa
对瞬心 C 列动量矩方程得：
dLC dt

3 mr2 2

mg
cos 0

r
(a) (+2 分)
再根据质心运动定理：
ma(Dn)

FN

mg
sin
0

0
(b)
ma(D )

m r

mg
cos 0

F
(c)
(+2 分) (+2 分)
A

0 min
F C
r D
FN mg
B
图 3.1

rAe
rA

rC
C

rAr
A
图 4.1 所示。(+2 分)
k
M
根据虚速度法求出各点的虚位移
如下：
O
rC
2 2

rD
(+2 分)
45
B
a

rE
E

rD
r
D
rAe
2 2
rC

1 2

rD
(+2 分)
F
图 4.1
rAr
rAe

1 2

rD
(+2 分)
在水平方向不受外力作用，根据质心运动守恒，有：
0 min
m(R r) (cos0min cos ) s M s 0 (+2 分) v e
s

(R

r) (cos0min 4

cos )
(d) (+2 分)
r D

D
C
vD B
对上式求导得：
图 3.2

0
(+2 分)
得： M

Fr 2
(+2 分)
FCEx FCEy
C
M2
第二题（30 分）
E
图 1.5
图示平面机构， OA 2r ， O1B 2r ， BD 2 2r ，曲柄 OA 以角速度 0 绕 O
轴作匀速转动，套筒 A 套在杆 O1B 上，杆 BD B
穿过套筒 C，套筒 C 可绕铰链转动。在图示位
置 ， 杆 O1B 垂 直 于 O 和 O1 两 点 的 连 线 ，
rE rA
2 2

rD
(+2 分)
F弹 ka( 2 1) ( 2 1)F
(+2 分)
由于作纯滚动，轮 D 与地面的摩擦力不做功，根据虚位移定理有：
M
rD r

F rE

F弹 rAr

0
(+4 分)
即：

2 2
F

(
2
1) F 2

M r


rD

2 2
a(B )

a(n) B
a(e ) aC ，
a(e ) 2
2r
2 0
(+2 分)
所以：
BD
C

a(e )
2r 220
(+1 分)
(3) (本小题 6 分)
BD 杆做平面运动，以 B 为基点研究 D，加速度图如图 2.4 所示。
a(DB)

BD

BD

0
(+1 分) (+1 分) (+1 分) (+1 分) (+1 分)
aD
aD2 x aD2 y
4
2r
2 0
(+1 分)
第三题（35 分）
小车上固定了一个 1/4 圆弧形轨道，小车可在水平方向自由移动(忽略小车与水
平面的摩擦)。轨道上匀质轮盘 D 的半径为 r，
质量为 m，小车连同轨道总的质量为
aC
(+1 分)
在水平方向投影： aA cos 45 aC a(e )
(+1 分)
得： a(e)

r20
，
1

a(e )
r

2 0
(+2 分)
(2) (本小题 12 分)
BD 杆做平面运动，vB 2r 1 2r 0 ，杆上与销钉 C 重合点的速度沿套筒方向，
如图
F
H
MG FECy 2a F a FE 2a 0 得： FECy 1.5qa (+3 分)
再以 EC 杆为研究对象，受力图如图 1.5 所示 (+2 分)
MC M 2 FECya FECxa 0
得： FECx 0.5qa
(+3 分)
FECy FECx
1
的动量矩定理知，轮 D 的角加速度 0 ，作匀速转动，故
轮 D 落地时的角速度为：
D
va
mg
2 1 2 (2
2)
g r
(+2 分)
图 3.3
质心做自由平抛运动。轮 D 落地所需要的时间： t
2h g
4r g
(+1 分)
质心 D 所行进的水平距离： sD vDat 3r (2 2 )
k
M
轮D上作用外力偶M，方向如图所
示。套筒A与转轴O之间连接一个 O
45
B
r
D
线性弹簧，弹簧的原长为 a ，刚
a
度系数为 k ( ka F )。试确定机
E
构在图示位置平衡时M与F之间
F
的关系。
解： 曲柄 OC 作定轴转动， AE 杆作平动，连杆 CD 作平面运动，
轮位移D 作为纯 r滚D 动，。各设点轮的虚D 位质移心图的如虚
4
2r
2 0
,
a(DnB)

BD

2 BD
2
2r
2 0
加速度合成公式： aD

a(B ) a(Bn) a(DB) a(DnB)
aDx
a(n) B

a(B )
2

a( ) DB

4
2r
2 0
aDy
a(n) B

a(B )
2

a(n) DB
D
a(B ) y
x
a(n) B
以 B 点为动点，动系固定在套筒 C 上，则牵连运动为绕 C 的定轴转动，动系(套筒 C)
转动的角速度和角加速度与
BD
杆相同，
C

BD
=
0
,
C

BD
，如图
2.3
所示。
动点 B 相对于动系的速度为： vr vC 2 r 0
(+2 分)
B
点的加速度：
M 3m 。轨道的半径为 R 6r ，其 B 端离地
A
面的高度为 h 2r ，轮 D 与轨道之间的摩擦
R 0 min
因数为 fS 1/ 3。 1.如果轮 D 从 0 处无初速静止释放，
为保证轮 D 沿轨道做纯滚动，试求最小角度 0 min ；
2.设轮 D 从 0min 处无初速静止释放， 试求纯滚动到角度 时小车的水平位移 s 和
(+3 分)
B 图 1.1
再以 ECG 为研究对象，
受力图如图 1.2 所示
(+2 分)
Fx 0 得： FCx 0 (+2 分)
FCx
FCy
C
MC 2Fa M2 M3 FEa 0
得： FE 2qa
(+3 分) E
Fy FCy FE F 0 得：
（2）(本小题 12 分)
设轮 D 由0min 运动到任意角度 时的角速度和角加速度分别为 和 ，质心相
对于轨道的速度为 vD ，小车的水平运动速度为 ve ，如图 3.2 所示。
初始时刻 0min 时系统静止， px1 0 ，(+2 分)
A
设运动到 位置时，小车向左移动 s 距离，由于系统
2.2
所示，BD
杆的瞬心与
O1
重合，
BD
vB
2r

0
，
vC

2 r 0 (+3 分)
vB
B
vC C
O1
BD
图 2.2
ar a(B )
aC
D
B a(e ) a( n )
e
a(n) B

C
C
C
图 2.3
a(B ) D
B
C
C
a(n) B 图 2.4
C
a( n ) DB
a( ) DB
45
BC CD 2r ，试求：
0
A
C
1.杆 O1B 的角速度和角加速度； 2.杆 BD 的角速度和角加速度；
O
45 O1
D
3.D 点的绝对加速度大小。
解：(1) (本小题 12 分)
以套筒 A 为动点，动系固定在 O1B 杆上，速度图和加速度图如图 2.1 所示。(+2 分)
vA 2r 0 ，ve vA sin 45 r 0 (+2 分)
由式(a)和式(c)解出： F

1 3
mg
cos 0
； 由式(b)得：
FN

mg
sin
0
(+2 分)
为保证轮 D 做纯滚动，根据库伦定理有： F fsFN
代入有：tan 0

1 3f s
1，由此得：0min
45 。
(+2 分)
随着 的增大， F 不断减小， FN 不断增大，故在轮 D 的后续滚动过程中都能满足纯 滚动的条件。
O1B 杆转动的角速度： 1

ve
O1 A

0
(+1 分)
vr vA cos 45 r 0 (+1 分)
vA
aC

2vr 1

2r
2 0
(+1 分)
ve
aA
2

r
2 0
(+1 分)
B
vr
aC
ar A
a(e )
aA
1
a(en) O1 1
图 2.1
根aA据加a速r 度 合a(e成n) 定 理a(e： )
a(n) B

O1 B

2 1

2r02 ， a(B )

O1B1

2r02
(+2 分)
柯氏加速度： aC

2vr C

2
2

r
2 0
(+1 分)
根据加速度合成定理：
aB

a(B ) a(Bn)

ar

a(en)

a(e )

aC
(+1 分)
在 a(e ) 方向投影得：
ve

s

(R r)sin 4

sin 4
vD
(f) (+2 分)
根据动能定理，初瞬时系统静止，T1 0 ；运动到 位置时
T2

M ve2 2

m
vD2 ve2 2vDve sin 2

1
2
mr
2
vD
2
r 2
mvD2 2
23
sin 2 4
1.支座 D 和 E 处的支座反力； 2.支座 A 处的支座反力； 3.销钉 E 对杆 EC 的作用力。
a
a
a
q
2F
M1 C
A
D
B
a
M2 M3
F
E a
H G
a
a
解：(1) (本小题 14 分) 以 BD 杆为研究对象，受力图如图 1.1 所示 (+1 分)
FBx
FBy
由平衡条件得：
FD 2F 2qa, FBx FBy 0

(+2 分)
由T2 T1 mg (R r ) (sin sin 0min ) ，得：
vD
40gr (sin sin 0min) 6 sin2
( 0min )
(g)
(+2 分)
（3）(本小题 11 分)
当轮 D 离开轨道 B 端的瞬间， 90 ，由式(f)和式(g)得：

r D
B
h
轮质心 D 相对于轨道的速度； 3.试求轮 D 离开轨道 B 端后到达地面时的角速度以及质心 D 所行进的水平距离
(忽略空气的阻力)。
解：（1）(本小题 12 分)
设在 0 时自由释放，轮 D 的初角速度0 0 ，设其角加速度为 ，与轨道的接
触点 C 为瞬心，轮 D 的受力图如图 3.1 所示。(+2 分)
ve

vD 4
， vD

2
(2
2 ) gr
(+2 分)
此时轮 D 的角速度为： 1

vD r

2
(2
2)
g r
(+2 分)
质心 D
的绝对速度水平向右， vDa

vD
ve

3 4
vD
1.5
(2
2 ) gr
(+2 分)
轮 D 离开 B 端后仅受重力作用，如图 3.3 所示。根据对质心