材料力学-梁弯曲时的位移

对于梁,弯矩应用完全叠加法表示
M ( x) F1M1( x) Fi Mi ( x) Fn Mn ( x)
应变能
V
M 2 ( x)dx l 2EI
应用卡氏第二定理
M (x) M (x)
Δi
l
. EI
Fi
dx
对于梁,有莫尔积分
Δi
l
M ( x)Mi ( x) dx EI
Mi (x)
0
M ( x2 ) EI
M ( x2 ) P
dx2
a 0
FN ( x2 ) EA
FN ( x2 ) P
dx2
Cy
a 0
Px12 EI
dx1
a 0
Pa2 EI
dx2
a 0
EPAdx1
4Pl 3 Pa
()
3EI EA
2.计算C处水平位移
Cx
Pl 3 2EI
(
)
请同学课后完成水平位移的计算
三、单位力法（单位载荷法）
(MA
1 q0 x3 )dx 6l
1 EI
l 0
1 6
q0 x3 dx l
q0l 3 24EI
()
请课后完成A处挠度的计算
wA
q0l 4 30EI
例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中
力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为
EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅
垂位移。
wc wB wc
wB
B
L 2
例6.若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P 的关系？
解：
B
Pa 2 2 EI
m 2a 0 EI
m Pa 4
例7.求外伸梁C处的位移。 解： 刚化AB
P
A
B
C BC引起的位移
L
a
f c1
pa3 3EI
c1
pa2 2EI
P
A
B
C
刚化 EI=
P
C
θc1
第五章 梁弯曲时的位移
(Displacements of Bending Beam)
廖东斌 编制 13451911061
第五章 梁弯曲时的位移
一.概 述 二.梁的位移─挠度及转角 三.挠曲线近似微分方程 四.叠加法计算梁的位移 能量法I-静定结构变形计算
五.梁的刚度计算
一.概 述 1.工程实践中的弯曲变形问题
对应于去掉原结构中外力,只在i 处加相应单位力后的弯矩方程
●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1
一、杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能 (又称变形能)。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位 移上所做的功，即
V W
★ 杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
V
W
1 P l 2
P 2l FN 2l 2EA 2EA
由边界条件： x 0时，w 0 由对称条件： x l 时，w 0
2
得： D 0 得： C Fl 2
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
F ( 4x2 l2 )
16EI
A
F
C
w F x ( 4x2 3l 2 ) 48EI
x l
l
2
2
最大转角和最大挠度分别为：
B
x
max
Fs Sz
Izd
V1
W 1 V
2
dV 2G
k Fs2 dx l 2GA
k A ( sz )2 dA Iz A d
•
一般地
V
k Fs2dx l 2GA
l
M 2dx 2EI
对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨
比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽
略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。
xx
y
x
y
y
(a)
(b)
(c)
教材中采用（a)图坐标系
2. 积分法求弯曲变形 ●弯矩方程不分段时 EIw M (x)
EIw M( x )dx C
EIw M( x )dxdx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件确定 ●弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n
由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。
★变形的有利方面（工程实例） ●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
百度文库
2
2
P
●求解超静定问题。
二.梁的位移─挠度及转角 梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?
1
(x)
M (x) EI z
?
w
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
边界条件：x l时，w 0,w 0
C Pl 2 D Pl 3
2EI
3EI
y
P
x
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px2 Pl 2
2EI 2EI
xA
Px3 Pl 2 x Pl3
x
w
6EI 2EI 3EI
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Pl 2 2EI
wmax
wB
Pl 3 3EI
A
w P x2 ( x 3l ) 6EI
x
l
最大转角和最大挠度分别为：
max
B
Pl 2 2EI
B
Pl 2 2EI
Pl 3 wmax wB 3EI
Pl 3 wB 3EI
P
θBB x
另解： M (x) Px EIw M (x)
EIw Px
xA
EIw P x2 C 2
EIw P x3 Cx D 6
y
P
B
θB
例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和 wmax。
y
F
A
B
C
x
l
l
2
2
解：AC段：M( x ) F x
2
EIw F x
y
2
A
EIw F x2 C
x
4
l
F
C l
B
x
EIw F x3 Cx D 12
2
2
思考：c 0 ?
y
q
x
l
解：M(x) ql x q x2
y
22
q
EIw ql x q x2 22
A
B
x
EIw ql x2 q x3 C
x
l
46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件：x 0时，w 0
x l时，w 0
得：
ql 3 C , D0
24
q (6lx2 4x3 l 3 )
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各载荷单独作用 下的变形，然后叠加。
如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下 的挠度，然后叠加（代数和）。
如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法 化成可查表形式。
如需计算某处的位移，而该处并无与位 移对应的荷载，则可采取附加力法。
卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度
M 2dx
V
l
2EI
Δi
V Fi
计算梁截面转角Δi
l
M M .
EI Mi
dx
计算梁的截面挠度
Δi
l
M . M EI Fi
dx
例1弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作 用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计
在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常 工作。
在另外一些情况下，却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
★变形过大的不利影响（工程实例）
●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响 零件的加工精度，甚至会出现废品。
摇臂钻床
(自重、钻头等约束力影响）
●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
fc1
刚化BC， AB部分引起的位移
θB2
P
A
B
C
fc2 刚化
EI=
θB2
P
Pa
fc2 B2 a
PaL a 3EI
B2
paL 3EI
fc fc1 fc2
c c1 c2
例8. 求图示变截面梁B、C截面的挠度 。
解： wB
3(
Pa 3 2EI
)
Pa a 2 2( 2EI )
5Pa3 12 EI
长梁应变能：V
组合变形应变能：
l
M 2dx 2EI
V
l
FN 2dx 2EA
l
T 2dx 2GI p
l
M 2dx 2EI
二、卡氏第二定理
对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的Fi偏导 数，等于该荷载的相应位移Δi。
Δi
V Fi
用卡氏第二定理求结构某处的位移时，
该处需要有与所求位移相应的荷载。
24EI
y
w qx (2lx2 x3 l 3 )
q
24EI
A
最大转角和最大挠度：
x θA
θB
B
x
max
A
B
ql 3 24 EI
（
wmax w x l 2
5ql4 384 EI
（↓）
l
）
★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相
同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。
例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁 在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程， 并确定θmax和wmax。
三.挠曲线近似微分方程
1.挠曲线方程(deflection equation)
w
x
挠曲线
y
挠曲线方程：w f ( x)
转角方程： tan w f (x)
曲线 w = f (x) 的曲率为
w
(1 w2 )3/ 2
梁纯弯曲时曲率由几何关系得
1 M(x)
( x) EIz
考虑小变形条件：
a
P
B
C
a
A
解：1.计算C处铅垂位移
任意截面弯矩方程,轴力方程为
M ( x1) Px1 FN ( x1) 0
x2 B
P
x1
C
M ( x2 ) Pa FN ( x2 ) P
A
Cy
a 0
M ( x1) EI
M ( x1) P
dx1
a 0
FN ( x1) EA
FN ( x1) P
dx1
a
y
P
A l
Bx
解：M(x) P(l x) y
EIw Px Pl
A
EIw P x2 Pl x C 2
x
l
EIw P x3 Pl x2 Cx D
6
2
由边界条件：x 0时，w 0,w 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
y
2 EI
1
(x)
(1
w w2
)3/
2
w
1 M(x)
( x) EIz
EIzw M(x)
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？
y M0
M w 0 M
y M0
M w 0 M
x
x
EIw M
思考:与小挠度微分方程 EIzw 相M对(x应) 的坐标系 为？ （ ）
转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。
挠度w：横截面形心处的铅垂位移。
转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。
w
x
挠曲线
y
挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。
★工程实例 控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移
★工程中测量挠度的方法、仪器
精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、 光电方法等
算悬臂梁自由端A处转角。
解：A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。
MA 0
q0
MA
任意截面弯矩为
Ax
B
M ( x)
MA
1 q0 2l
xx
x 3
l
M
A
1 6
q0 x3 l
M
(
x)
M
A
1 6
q0 x3 l
M ( x) 1 M A
A
l 0
M ( x) EI
M (x) dx
M A
1 EI
l 0
B
Pa 2 2( 2EI
)
Pa a 2EI
3Pa 2 顺时针
4EI
wC
wB
B
a
Pa 3 3EI
3Pa 3 2EI
思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为 E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。 求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。
能量法I-静定结构变形计算
一、杆件的应变能 二、卡氏第二定理 三、单位力法 四、图形互乘法
A
B
Pl 2 16EI
wmax
w
x l 2
Pl3 48EI
例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。(请同学课后思考）
y
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
四.用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。
一般地
V
l
FN 2dx 2EA
P
P l
l
2、扭转
V W
1 m
2
1 m ml 2 GIp
T 2l
2GI p
一般地
m m
V
T 2dx l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲：
V W 1 m
2
1 m ml 2 EI
m2l M 2l
2EI 2EI
一般地
V
l
M 2dx 2EI
横力弯曲时剪力影响：
例5.用叠加法求 wC、A、B
解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361
wC
5ql 4 384 EI
Pl3 ml 2 （ 48EI 16 EI
）
A
ql 3
Pl 2
ml
（
）
24 EI 16 EI 3EI
B
ql3 24 EI
Pl 2
ml
（
16 EI 3EI
）
逐段刚化法：
变形后：ABAB` BC B`C` C点的位移为：wc
边界条件
光滑连续条件：
F
√
w
c
w
c
c
c
C
×
× 约束条件:两端铰处挠度为零。
边界条件
铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）
连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）
边界条件
固定端约束对位移的影响：B处转角、挠 度?
连续光滑曲线
例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠 曲线方程，并确定θmax和wmax。