(优选)线性代数第一章阶行列式哈工大版
大一线性代数行列式知识点
大一线性代数行列式知识点线性代数是大学数学课程中的重要内容之一，而线性代数中的行列式更是一个关键的概念。
行列式具有广泛的应用，在矩阵运算、方程求解、向量空间等方面都发挥着重要的作用。
本文将介绍一些大一学生常见的线性代数行列式知识点，包括行列式的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义行列式可以看作是一个方阵的一个具体的实数值。
对于一个n阶方阵A，行列式的定义如下：det(A)=∑(−1)^σP(a1,σ(1))a2,σ(2)...an,σ(n)其中，det(A)表示方阵A的行列式，σ表示一个置换，P表示这个置换的奇偶性，a1, a2, ..., an表示A的元素。
二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，下面将介绍其中一些常见的性质。
1. 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
这意味着行列式的值不受行、列次序的影响，只取决于方阵中元素的值。
2. 互换某两行（列）的位置，行列式的值变号。
这个性质说明了方阵中交换两行（列）的位置对行列式的值有影响。
3. 方阵中某行（列）的元素都乘以一个数k，行列式的值乘以k。
这个性质说明了方阵某行（列）的元素乘以一个数k对行列式的值有影响。
4. 方阵中某行（列）的元素表示为两个数之和，可以将行列式分成两项之和。
这个性质可以用于简化行列式的计算。
三、行列式的计算方法计算行列式的值是线性代数中的重要技能之一，下面将介绍两种常见的计算行列式的方法。
1. 代数余子式法代数余子式法是一种逐步缩小行列式规模的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于第一行（列）的每个元素aij，计算其代数余子式Mij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijMij，计算行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种从行或列展开的计算方法。
具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于每个选定的元素aij，计算其余子式Aij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijAij，计算行列式的值。
化学工业出版社《线性代数》第1章习题解答
《线性代数》第一章习题解答1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列.（1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --⋅⋅ 解：（1）(41253)4τ=偶排列（2）(654321)15τ=奇排列（3）12((1)321)(1)n n n n τ-⋅⋅=- ， 当441n =ℜℜ+或时：偶排列 当4243n =ℜ+ℜ+或时，奇排列.2．设四阶行列式1325127064311916231419--，试求：142232,,A A A .解：14141270(1)4311908162314A +=--=， 2222125(1)4119803161419A +-=--=-，2332125(1)1206660161419A +-=-=-3．设四阶行列式1241111125683152----，试求：41424344.A A A A +++ 解：4142434412411111025681111A A A A -+++==-.4．计算下列行列式：（1）352423124-（2）11121321223100a a a a a a （3）1210032141031263------（3）14232432333441424344000000a a a a a a a a a a （5）100110011001a b c d ---（6）0000a b aa ab b a a a b a （7）1111111111111111x xy y+-+-解：（1）-69 （2）132231a a a -（3）0 （4）14233241a a a a（5）1abcd ab cd ad ++++（6）222(4)b b a -（7）22x y 5．证明：（1）22322()111a ab b aa b b a b +=-（2）33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b y zx az bxax by ay bz zxy++++++=++++ （3）222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++(4)222244441111()()()()()()()a b c da b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++解：证明略. 6．已知：0231111xy z=，求下列各行列式的值. （1）11133323111xyz （2）111134111x y z --- （3）33436111xyzxy z x y z +++++解：（1）13（2）1 （3）2 7．n 阶行列式111213121222323132333123nnn n n n n nna a a a a a a a D a a a a a a a a =中，若： ,1,2,,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.证明：奇数阶反对称行列式等于零.证明：11213111112131122232221222321132********333123123nn n n n n n nnn nnn nnnna a a a aaa a a a a a a a a aD a a a a a aa a a a a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ℜ+=-⋅=-=-，0n D ∴=.8． 计算n 阶行列式（1）00010200100000n n-（2）010000200010n n-（3）000000000x y x x y yx（4）121212n nn mx m x x x x m x x x x ---（5）12311100002200011n n n n-----（6）1231111111111111111na a a a ++++（7）01211111001001n a a a a -(120n a a a ⋅≠ ) 解：（1）(3)2(1)!n n n +-⋅（2）1(1)!n n +-⋅ （3）1(1)nn nx y ++-（4）11()()nn i i m x m -=--∑（各列加到第一列）（5）1(1)(1)!2n n -⋅⋅+（各列加到第一列） （6）112211111111111100111n n a a a a D a ++++=+12111210000111n n n n n a a a D a D a a a ---=+=+12122121[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++12123122121n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---==++++111(1)n ni i i ia a ===⋅+∏∑ (7) 1121011()n n n i ia a a a a a --=-∑ (各列乘1i a -加到第一列11i n ≤≤-) 9． 证明： （1）（2）cos 100012cos 100cos()012cos 00012cos n ααααα=（3）123112231111000000(1)00000n n nin i in n na x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑，这里 1230n x x x x ⋅⋅⋅⋅≠ .（4）11000100()01000001n n a b ab a b aba b a b a ba ba b++++-=≠+-+证明：（1）左121212110000100001n n nn n xx C xC a a a x a x a x a -----+-+++211211010000010001n n nn in i i C xC C xC x a x x a ---=--++-++∑111(1)()(1)nn nn i n i i x a x +--==-+⋅-∑111n n n x a x a x x --=++++ =右（2）当1n =时成立，设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按第1k +行展开1cos 1012cos 02cos 2cos 011D D θθθθℜ+ℜ=⋅-12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθℜℜ-=⋅-=⋅--=+故命题成立. （3）.31121231121110001100(1)()0001000011n n n na a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子左32231121210100)()011001in inna a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-∑121()(1)ii na n x i x x x ==+∑ =右 （4） 00001000000001n a a b ab D a b ab a b+==+++左 00010000001b ab a b ab a b ab a b+++=110001000001n a a b ab a D ba b -+⋅++1100001000001n b ab a D ba b-=⋅++ 1n n a D b -=⋅+同理由,a b 的对称性，可得：1n n n D b D a -=⋅+两式联立消去1n D -，得11n n a b n a bD ++--=10．利用范德蒙行列式计算（1）1111437516949256427343125--（2）1111234514916182764解：（1）10368 （2） 12 11．用拉普拉斯定理计算下列行列式（1）560001560015600015600015（2）a a a b x y yb y x y byy xλ解： （1）56016056501560561516015015D =⋅-⋅=665 （2）0000000a a a a bx y y y y x x y D y x x y x yλ--=---(1)(2)00000000000n a a a a b x n yy y y x y x y x yλ-+--=--00000000(1)0000(2)00000x y x y n a x y bx n yx y x yλ----=⋅+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-⋅---12. 用克莱姆法则解下列线性方程组（1）123412423412342583682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎪--+=⎩解：（1）123427,81,108,27,27∆=∆=∆=-∆=-∆=12343,4,1,1x x x x ==-=-=（2）123417,34,0,17,85∆=∆=-∆=∆=∆= 12342,0,1,5x x x x =-===13. 求k 的值，使下列方程组有非零解0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：211113404 1.211kk k k k ∆=-=--=∴==--或k 14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩试求它能用克莱姆法则求解的条件，并求出解. 解：333111()()()()0a bc b a c a c b a b c a b c ∆==---++≠,,,0a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为：123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()b dcd c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=---++---++=---++---++=---++14. 设121222212111111211111()n n n n n n n xa a a F x xa a a x a a a -------=，其中11,n a a - 互不相同。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线代第一章
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可见，第一个位置有 3 种选择，第二个位置 有 2 种选择，第三个位置有 1 种选择，所以所有 的 3 级排列一共有
3 2 1 3! 6
个。显然，所有的 5 级排列一共有 5！= 120 个。 容易得出，n 级排列一共有 n! 个。而在 n
第一章
行列式
第一节 二阶与三阶行列式 第二节 n 阶行列式
第三节 行列式的性质
第四节 行列式的按行（列）展开 第五节 克莱姆法则
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式
二、三阶行列式 三、小结
一、二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
记 a11
a31
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶 行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线 法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上 三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结 果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同 的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有 这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下 数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若 中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除 数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中， 则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当 至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数 非零）的运算封闭.
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课
00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1
i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1
0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1
线性代数_第一章
i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列 式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则
线性代数 第一章 行列式 1.2
称为n 阶行列式它表示代数和
( 1) N ( j1 j 2 j n ) a1 j a 2 j a nj 1 2 n
其中和式中的排列 j1j2 jn要取遍所有n级排列
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
二、n 阶行列式的定义
观察二阶行列式和三阶行列式
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
故有j3 且有i1时k5 或i5时k1
当i1 j3 k5时 (1)N(14325)N(52314)(1)9 1 所以 该项前应冠以负号 a15a42a33 a21ak4为|aij|的一项 当i5 j3 k1时 (1)N(54321)N(52314)(1)16 1 所以
1 1 2
j2
a i
n
jn
其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
若 ai j ai
1 1 2
j2
a i
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 提问 排列21354与排列24351的奇偶性如何?
对换 在一个排列i1isitin中 将数码is与it对调 就得到另一 个排列i1itisin 这样的变换称为一个对换 记为对换(it is) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列ik1k2ks j 经过对换(i j)变为jk1k2ksi 这个变换可以按如下方法完成 j与前面s1个数码逐个对 换 然后i与后面s个数码逐个对换 按上述方法 总共进行了2s1次相邻数码的对换 因为相 邻数码的对换的次数为奇数 所以最后得到的排列与原排列 的奇偶性不同
线性代数1a
a11 a12 称 a21 a22 为线性方程组（1）的系数行列式。 上述结论还可简记为：当二元方程组（1）的系数行列式 Dj ( j = 1, 2) 。 D ≠ 0 时，方程组有唯一解 x j = D 其中 D j 为系数行列式D 的第 j 列换为常数列 b1 ，其余列不 b2 动而得到的行列式。
其中aij (i, j = 1,2 )称为行列式的元素。元素aij 的脚标 i 表第i 行， j 表第 j 列，即 aij 表行列式中位于第 i 行第 j 列的元素。
4
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 二阶和三阶行列式
由二阶行列式的定义，可将前述二元线性方程组的解写为： b1 b2 x1 = a11 a21 a12 a11 a22 a21 , x2 = a12 a11 a22 a21 b1 b2 a12 a22
1 2 n
1 2 3
二阶行列式定义也可写成： σ( j j ) a11 a12 = a a − a a = ∑) ( −1) a1 j a2 j 11 22 12 21 a21 a22 (j j
1 2 1 1 2
2
推广二、三阶行列式定义，可以给出n 阶行列式定义。
17
线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式定义与性质
例1
求上三角行列式
a11 a12 a13 a22 a23 a33
例2
求
1 1 1 4 5 6 16 25 36
例3
1 求 1+ a 1 1 1+ a 1 1 1 1+ a
12
第二节 n阶行列式定义及性质
线性代数
第一章 n阶行列式
第2节 n阶行列式定义与性质
一、n 阶排列 定义1 定义 由自然数 1,2,L, n 组成的一个有序数组称为一个n 阶排 列。 一般地说一个n 阶排列可用( j1 j2 L jn ) 表示。所有的n 阶排列 的总数为 n!个。 定义2 在n 阶排列 ( j1 j2 L j p L jq L jn ) 中，如果 j p > jq 就 定义 称 ( j p jq ) 为该排列的一个逆序，排列中逆序的总个数称为该 排列的逆序数，记作 σ ( j1 j2 L jn ) 排列 (1 2 3L n)具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列。 定义3 定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列 称为偶排列。
线性代数-行列式(完整版)
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
(iii)项数为 3！=6
24
“-” 321 213 132 （奇排列）
a11 a12 a13
0
123
2
231
2
312
a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n(n 1) 2
依题意，有
此即
22
N (xn xn1
x1)
n(n 1) 2
I.
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖 排 称 为 列,
aij中i称 为 行 标, j称 为 列 标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
线性代数 第一章 行列式
D1 6) D ( ci kc j )
a12 ... bi 2 ... ... a1n ... ... ... ... ... bin
ri krj
an 2 ... ann
an 2 ... ann
§3.行列式按行(列)展开法则： D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj 推论：ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0 (i≠j); a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0 (i≠j).
c1 2 c2
∴f(x)=7-5x2+2x3
1 1 1 1 4 8 9 27
=2.3.1.4.2.1=48≠0
4
2
0
(1)(1) 3 6 6 16 12 24
48 3 1 48 (7) 来自36 2 32 1 0
0
1 0
2 3 4 1 2 2 48 3 2 1 4 3 6 2 3 3
a11 ... a1 j ... a1n
则方程有唯一的一组解：
xj=Dj/D,
第 j列
a11 ... b1 ... a1n
系数行列式D= a21 ... a2 j ... a2n 0
... ... ... an1 ... anj ... ann
Dj=
a21 ... b2 ... a2 n ... ... ... an1 ... bn ... ann
a11 线性代数 第一章 行列式 a21 §1.n阶行列式的定义: D=det(aij)= ... an1 (1)t a1 p a2 p ...anp (1)t1 aq11aq2 2 ...aqnn
哈工大线性代数课件
1 5 D1 1 2 5 2 8, 2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
D1 8 x1 D 11 ; 则方程组的解可以写成 D2 7 x2 . D 11
为了得出关于三元线性方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等． 解析几何的内容包括：几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面. 第一章 n阶行列式 在工程技术和科学研究中，有很多问题需 要用到“行列式”这个 数学工具。本章主要讨 论 如下几个问题： 1、行列式的定义；2、行列式的性质； 3、行列式的计算；4、Cramer 法则．
1 2 n
p1 p2 pn
(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a npn
为n阶行列式，其中 p 是对所有 n 阶排列 p p p1 p2 p3 pn 取和． 此行列式可简记 (aij ) 或 D aij n ． 记一阶行列式 a11 a11 ；
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以 数c加到另一行（列）的对应元素上去， 则行列式的值不变，即
a11 ai1 a j1 a n1 a12 ai 2 a j2 an2 a1n a11 a12 ai 2 ca j 2 a j2 an2 a1n ai1 ca j1 ain a jn a j1 a nn a n1 ain ca jn a jn a nn
线性代数第一章二阶与三阶行列式
（3）
由方程组的四个系数确定.
第2页/共17页
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表
a11 a12 a21 a22
所构成的表达式
a11a称2为2 数表a（124a）21所确
定的二阶行列式，并记作
a11 a12
a21 a22
(4) (5)
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
第5页/共17页
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
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注 二阶行列式包括2!项,每一项都是位于不同行, 不同列的二个元素的乘积,其中一项为正,一项 为负.
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二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
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例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
哈尔滨工业大学数学系 第一章 行列式
a11a22-a12a21
=
a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
返
二阶行列式
a11 a12 符号为二阶矩阵 称形如 a21 a22 的符号为二阶矩阵 a11 a12 的行列式,简称二阶行列式. 简称二阶行列式 的行列式 简称二阶行列式 a21 a22
2 3 =11≠0 解: D= 1 7 9 3 =75 D1= -4 7 2 9 =-17 D2= 1 -4
x=75/11 y=-17/11
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31 +a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= ∑(-1)t(p1p2…pn) aP11aP22
bnPn aPnn = D
性质(2) 换行 (列) 换号（即 D1= - D ） a11 a12 … a1n r r b11 b12 … b1n i j b21 b22 … b2n D= a21 a22 … a2n
… … … … … … … … … …
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
返
三阶线性方程组
a11x1+a12x2 +a13x3 =b1 a21x1+a22x2 +a23x3 =b2 a31x1+a32x2 +a33x3 =b3 a11 a12 a13 若 D= a21 a22 a23 ≠0 a31 a32 a33
线性代数———第1章： 阶行列式
线性代数———第1章：n 阶行列式一、解题指导 1、单项选择题目前电大的考试中的选择题，一般都是四选一，即四个答案中只有一个答案是正确的，因此解答这样的试题准确程度要高，选对了就得分，选错了不得分，多选少选也不得分。
（1）．设3133212333312321333231232221131211,,a a a a N a a a aM a a a a a a a a a D ===，则12a 的余子式（ ）（A ）是M （B ）是N （C ）是M 和N （D ）不是M 和N 解：本题主要是考查行列式的数余子式的概念。
设有n 阶行列式nn n n nnn a a a a a a a a a D 212222111211= 元素ija 为的余子式ijM ，它是由n D 划去第i 行和第j 列后余下元素构成的1-n 阶行列式，即nnnj nj n ni j i j i i n i j i j i i nij ij ij a a a a a a a a a a a a a a a a M1111111111111111111111+-+++-++-+----+-=因为12a 的余子式为3331232121)1(a a a a +-，所以A 正确。
（2）．行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为（ ）（A ）33 （B ）-33 （C ）56 （D ）-56 解：本题主要是考查行列式的代数余子式的概念。
ija 的代数余子式为()ij ji ij M A +-=1ijM 为ij a的余子式。
要注意，元素ija 的余子ijM 式与代数余子式ijA 之间仅仅相差一个代数符号因为元素21a 的代数余子式567068)1(1221-=-=+A ，所以结论D 正确。
（3）．下列等式成立的是（ ），其中d c b a ,,,为常数。
（A ）a c b dd c b a -= （B ）111111c b d a d c b a +=++（C ）d c b a dc b a 22222= （D ）111111c b d a d c b a ⋅=⋅⋅ 解：本题主要是考查行列式性质5因为 d c b a d c b a c d a b a b c d a cb d≠-==-=-；由行列式性质5，111111c b d a d c b a +=++；d c ba d cb a dc b a 242222≠=； 1111,11c bd a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅。
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n(n 1)321 n!
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
如：123…n 是自然排序
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若某个较
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
方程组
2x 1
x 2 1
3x2 8 x2 3
系数行列式
23 2 (2) 13 7
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab ad bc
cd
为二阶行列式。 为方便记
D a11 a21
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a a b 2b (a b)3 111
左边 a2 (a b) 2ab2 2ab2 b2 (a b) 2a2b 2a2b a3 a2b 2ab2 2ab2 ab2 b3 2a2b 2a2b a3 3a2b 3ab2 b3 （a b）3 右边
i i 大的数排在jt j一s 个较小的数前面，即， ts 则称这两个数组成此排列的一个逆序。 例如 排列 32514 中 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列 j1 j2 ···jn 中所有逆序的总数称为此排
列的逆序数。记为 （ j1 j2 ···jn ）
（优选）线性代数第一章阶行 列式哈工大版
第一章 n阶行列式
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
如果 D 0，那么对于三元一次方程组：
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
利用消元法也有相同的结果，
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a21 a22 a23
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a31 a32 a33
1 2 -4 例1 计算三阶行列式 D - 2 2 1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a12 a22
a11a22 a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
副对角线
a21
a22
例如
13 1 7 (2)3 13
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
2 7
考虑线性方程组：
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
通过消元法，有：
((aa1111aa2222
a12a21 ) x1 a12a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
于是，当 a11a22 a12a21 0, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式
在三阶行列式，共有 3! 6项；
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
b2a12 a12a21
,
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：b1x1b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
x2
b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21