燕尾定理

燕尾定理

一 本讲学习目标 1.理解燕尾定理，掌握三角形中量与率的关系。

2.燕尾定理的应用。

二 重点难点考点分析

1.变的比和对应三角形的比。

2.所求三角形所占的比率。

三 知识框架

燕尾定理

两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三

角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定

理描述对下图所示四种图形都成立）

M

D C B A M D C B A M D C B A M D

C

B A

四 概念解析

燕尾定理（共边定理）：

五 例题讲解

1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经

标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。

【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直

有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠

三角形面积公式求解.

我们回顾下燕尾定理，发现右图三角形中存在一个比例

关系：

()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.

2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F

为BC 中点，求阴影部分的面积。

E

C

F B D A

【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M

::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB == 1535S BCO =÷= 1527.5S BDC =÷=

17.5 1.8754

S FCM =⨯=， 阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。

六 课堂练习

1.如图，M 为AB 中点，N 是BC 上一点，CN=2BN ．连结AN 交

4

32

1

MC 于0点，若四边形BMON 的面积为14cm 2，则△ABC 的面积是

_________cm 2

2.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所

示， 三个三角形的面积 分别是3，7，

7，则阴影四边形的面积是多少？

3.如下图：已知:3:2CD DM ，三角形ABC 的面积为10，那么三角形

ABD 的面积为多少？

A B

C D

M

趣味故事

韩信分油

两个卖油的伙计要平分十斤油，可手上没有秤。他们只有一个油篓，一个油罐和一个油葫芦（容积各为十斤、七斤、三斤）。两个伙计不知该怎么分，正在为难之时，遇上了骑马赶路的汉将韩信。

两伙计请韩信帮忙代分。韩信连马都没下，三言两语便说出了分油的办法，然后策马而去。两位伙计便很快地将油分了。你能猜出韩信分油的办法来吗？

谜底：韩信的话是：“葫芦归罐罐归篓，三倒葫芦两倒罐。”