误差分析与数据处理

误差理论与数据处理一．绪论当你能对世界进行测量的时候，就可以把世界变成数据来了解。

1.研究误差的意义分析误差产生原因，从而消除误差；正确处理所得数据，从而接近真值；选择合理的方法，设计合理的系统。

2.误差的基本概念误差=测量值—真值约定真值：对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。

绝对误差=|测量值—真值|相对误差=绝对误差/|真值|=绝对误差/|测量值|修正值：与误差大小近似相等，但方向相反。

修正值本身还有误差。

引用误差=示值误差/测量范围上限3.误差来源测量装置误差：标准量具的误差、一起误差、附件误差环境误差：温度、湿度、气压、振动、照明、加速度、电磁场等。

方法误差人员误差4.误差分类系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

（均值和真值之差）系统误差分类：已定系统误差、未定系统误差、不变系统误差、变化系统误差（线性、周期性、复杂规律）随机误差：大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。

（抑制、统计分布规律）粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差。

（异常因素或疏忽）5.精度准确度：系统误差的大小（偏移程度）精密度：随机误差的大小（分散程度）精确度：测量结果与被测量真值之间的一致程度精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。

如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。

重复性：指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

复现性：指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

稳定性：测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。

示值误差：指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。

由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。

偏移：指系统误差最大允许误差：给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。

有时也称为允许误差限。

不确定度：与测量结果相关联的、用于合理表征被测量值分散性大小的参数。

6.有效数字最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。

在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可再多取一位数字作为参考。

二．误差基本性质与处理1.随机误差产生原因测量装置、环境因素、人为因素。

随机误差整体具有统计学规律，多数随机误差服从正态分布。

（单峰、对称、有界、均值趋于零）2.算术平均值由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。

一般情况下，被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。

此时的随机误差称为残余误差，简称残差残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。

但当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在舍入误差。

<A*n/2；当n为偶数时，Σvi<A*(n+1)/2。

当n为奇数时，Σvi式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。

3.测量的标准差均方根误差σ（标准偏差）、或然误差ρ、算术平均误差θ（1）高斯参数h为精密度。

由于h值无法以实验中得到，故以σ值代之。

（2）ρ将整个测量列分为两半。

一半落在区间[-ρ,+ρ]之内。

ρ=σ*2/3（3）θ是随机偏差的绝对值的算术平均值①σ的平方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），σ本身又恰好是高斯误差方程f(δ)式中的一个参数，所以采用σ，正好符合概率论原理，又与最小二乘法最切合；δ是随机误差②σ对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度；③极限误差与标准偏差的关系简单δ=+3σ.标准偏差的几种算法：（1）贝塞尔公式（2）极差法ωn=x max -x min, σ=ωn/d n（3）最大误差法σ= |δ|max *1/k n贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦;极差法非常方便，可用来作为校对公式，当n<10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；用最大误差法计算σ更为简捷，当n<10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。

不等精度测量：测量条件的改变则为不等精度测量，如果这些测量结果是相互一致的。

那么测量结果就是真正可以信赖的。

根据可靠性来定权值。

4.系统误差来源：测量装置、环境因素、测量方法、测量人员分类：恒定系统误差、变化系统误差定值系统误差：在数据处理中只影响算术平均值，而不影响残差及标准差，所以除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。

只引起分布密度曲线的位置变化变化系统误差：于它对算术平均值和残差均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。

不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变化 ，也使曲线的位置产生平移。

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧秩和检验法检验法计算数据比较法，正态检验法检验法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法F t系统误差的消除：消误差源法、加修正值法、改进测量方法 消除恒定系统误差的方法：反向补偿法、代替、抵消、交换 消除线性系统误差的方法——对称法 消除周期性系统误差的方法——半周期法消除复杂规律变化系统误差的方法：通过构造合适的数学模型，进行实验回归统计，对复杂规律变化的系统误差进行补偿和修正。

5.粗大误差来源：测量人员、客观外界条件判断方法：给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。

（3σ准则、格拉布斯准则、狄克松准则、罗曼诺夫斯基准则）① 大样本情况（n>50）用3σ准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；30<n ≤50情形，用格拉布斯准则效果较好；3≤n<30情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值，用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。

当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则 。

② 在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。

当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。

因为留下某个怀疑的数据后算出的σ只是偏大一点，这样较为安全。

另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。

6.三种误差的性质① 随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；系统误差则违背抵偿性，因而会影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。

② 随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。

③ 为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。

三．误差合成与分配 1.函数误差通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量，称为间接测量。

由此所得误差称为函数误差。

2.函数随机误差函数一般形式：f(x 1,x 2,……,x n )变量只含随机误差：y+δy=f(x 1+δx 1,x 2+δx 2,……,x n +δx n )2222222121122n yx x xn ij xi xj i j n i j f f f f f x x x x x σσσσρσσ≤<⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 若各测量值的随机误差是相互独立的,当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替.ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响.3.随机误差合成合成方式：标准差合成、极限误差合成（误差传播系数、误差相关性影响 ） 标准差合成：σ=误差传播系数：由间接测量的显函数模型求得、根据实际经验给出、δy=a i σi 极限误差合成：单项极限误差：δi =k i σi (k i 为单项极限误差的置信系数)合成极限误差：δ=k σ4..系统误差合成已定系统误差合成：∑=ri ii a ∆∆未定系统误差合成：服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。

只需估计出其不致超过某一范围+e 的系统误差.合成方法和随机误差合成相似。

标准差合成：()∑∑<≤=+=sji ji j i ij si i i u u a a u a u 1122ρ极限误差合成：e=+t*u()∑∑<≤=+±=sji ji j i ij si i i u u a a u a te 1122ρ5.随机和系统误差合成合成方式：标准差合成、极限误差合成极限误差合成（单次测量）：（R 为各个误差之间的协方差之和）Rt t e tqi iisi i i ri i+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=∑∑∑===12121δ∆∆总极限误差合成（n 次重复测量情况）：随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n 。

∑∑==+±=qi i si i ne 12121δ∆总标准差合成（单次测量）：Ru qi i si i ++=∑∑==1212σσ标准差合成（n 次重复测量情况）：∑∑==+±=qi i si i nu 12121σσ6.误差分配给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。

在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。

等影响原则：12y y yn σσσ===i σ=i δ==按等影响原则分配误差的不合理性（按可能性调整误差）：(1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。

(2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。

所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。

(3) 根据具体情况进行适当调整。

对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。

验算调整后的总误差 ：误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。