有理数的定义和加减法讲解学习
《有理数的加减法》课件
有理数的减法在现实生活中有着广泛的应用，如温度的测量 和表示、海拔和潜水深度、速度和加速度等。通过这些实例 ，我们可以更好地理解有理数减法的意义和作用，并学会在 实际问题中运用所学知识。
04
有理数的加减混合运算
顺序关系
遵循从左到右的顺序
在有理数的加减混合运算中，应先进 行加法运算，再进行减法运算，且在 处理括号内的表达式时，应先进行括 号内的运算。
01
线性方程
在解决线性方程问题时，我们需要进行有理数的加减运算。例如，在解
一元一次方程时，我们需要对方程两边的项进行加减运算。
02 03
概率统计
在概率统计中，我们经常需要计算概率和统计量，这涉及到有理数的加 减法。例如，在计算期望值和方差时，我们需要进行大量的有理数加减 运算。
几何学
在几何学中，我们经常需要计算长度、面积和体积等，这涉及到有理数 的加减法。例如，在计算矩形的周长时，我们需要将矩形的长和宽相加 。
03
有理数的减法
减法转换为加法
总结词
有理数的减法可以通过加法来计算，这是有理数加减法的一个重要原则。
详细描述
在进行有理数的减法运算时，可以将减法转换为加法，即用被减数加上减数的 相反数来代替原来的减法运算。例如，计算“5 - 3”时，可以将其转换为“5 + (-3)”，这样就可以利用加法的规则来得出结果。
生物统计
在进行生物统计时，我们经常需要计算各种生物学指标并进行比较，这涉及到有理数的加 减法。例如，在比较不同种群的数量时，我们需要将各个种群的数量进行加减运算。
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异类项的加法需要注意分母不能为零 ，即不能出现 $frac{a}{0}$ 的形式。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。
本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。
一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。
有理数的表示形式为分数或整数。
二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。
2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。
三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。
四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。
2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。
五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。
在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。
六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。
七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。
通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。
八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。
在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。
九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。
通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。
总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。
本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数，包括正有理数、负有理数和零。
在数轴上，有理数可以表示为一个点，点的位置与其对应的有理数大小有关。
有理数的概念很早就在人们的生活中出现了，主要是为了解决各种实际问题。
比如，在买卖商品的过程中，涉及到价格的加减乘除等运算，而价格往往是一个有理数，所以理解有理数的概念是非常重要的。
有理数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这几种运算法则。
1. 加法：对于两个有理数a和b，它们的和可以表示为a + b。
如果a和b都是正数或者都是负数，那么它们的和也是正数或者负数；如果a和b一个是正数，一个是负数，那么它们的和可能是正数、负数或者零。
我们可以通过数轴上的移动来演示有理数的加法运算。
2. 减法：对于两个有理数a和b，它们的差可以表示为a - b。
我们可以将减法转化为加法，即a - b = a + (-b)。
这样，减法运算就可以转换为加法运算，使得运算更加简便。
3. 乘法：对于两个有理数a和b，它们的乘积可以表示为a × b。
乘法的法则是：两个正数相乘为正数，两个负数相乘为正数，一个正数和一个负数相乘为负数。
同样地，我们可以通过数轴上的距离来演示有理数的乘法运算。
4. 除法：对于两个有理数a和b（b ≠ 0），它们的商可以表示为a ÷b。
除法的法则是：两个正数相除为正数，两个负数相除为正数，一个正数和一个负数相除为负数。
除法运算可以通过乘法的倒数来实现，即a ÷ b = a × (1/b)。
有理数的运算法则在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在计算家庭的收入和支出时，需要进行有理数的加减运算；在计算速度和时间之间的关系时，需要进行有理数的乘除运算等等。
总之，了解有理数的概念和运算法则对于我们解决实际问题、提高数学能力都非常重要。
通过合理运用这些概念和法则，我们可以更加灵活地进行数的计算，解决各种实际问题，并且能够对我们的日常生活产生积极的影响。
有理数的定义和加减法教学提纲
有理数的定义和加减
法
知识点
（一）有理数分类
1、有理数的分类：
按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：
2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴
1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。
（三）相反数
1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
（四）绝对值
1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即对于任何有理数a,都有
4、绝对值的计算规律：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.
（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
相关结论：。
有理数加减乘除法
有理数加减乘除法有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。
有理数运算是数学中的基本运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
有理数的运算规则和方法是学习数学的重要内容之一，本文将介绍有理数的加减乘除法及其运算规则。
一、有理数的加法有理数的加法是指在两个有理数之间进行相加运算，其运算规则如下：1. 同号相加，取绝对值相加，符号不变。
例如，(-3) + (-4) = -7。
2. 异号相加，取绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数的符号决定。
例如，(-2) + 3 = 1。
3. 加法满足交换律和结合律。
即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。
二、有理数的减法有理数的减法是指在两个有理数之间进行相减运算，其运算规则如下：1. 减去一个负数可以看作是加上一个正数。
即a - (-b) = a + b。
2. 减法也满足交换律和结合律。
三、有理数的乘法有理数的乘法是指在两个有理数之间进行相乘运算，其运算规则如下：1. 同号相乘，结果为正，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × (-3) = 6。
2. 异号相乘，结果为负，绝对值为两个因数绝对值的乘积。
例如，(-2) × 3 = -6。
3. 乘法满足交换律和结合律。
四、有理数的除法有理数的除法是指在两个有理数之间进行相除运算，其运算规则如下：1. 除以正数，结果的符号由被除数决定。
2. 除以负数，结果的符号与被除数相反。
3. 除法满足结合律，但不满足交换律。
总结：有理数的加减乘除法是数学中的基本运算，通过熟练掌握运算规则和方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
在实际生活和学习中，有理数的加减乘除法应用广泛，例如在计算金融、纳税、商品价格等方面都离不开有理数的运算。
因此，学好有理数的运算是数学学习的基础，也是实际应用的必备技巧。
总之，有理数的加减乘除法在数学中占据重要地位，通过理解和掌握运算规则，可以轻松进行相关计算。
有理数的概念与运算
有理数的概念与运算有理数是数学中的一种重要概念，它包括整数和分数。
有理数的运算是数学中的基础内容，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
本文将介绍有理数的定义以及有理数的运算规则，帮助读者更好地理解和掌握有理数的概念与运算。
一、有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它可以是正数、负数或零。
有理数包括整数和分数，整数可以看作分母为1的分数。
有理数可以用分数形式表示，例如1/2、-3/4等，也可以用小数形式表示，例如2.5、-0.8等。
二、有理数的运算规则1. 有理数的加法有理数的加法遵循以下规则：- 两个正数相加，结果仍然为正数；两个负数相加，结果仍然为负数；- 正数与负数相加，结果的符号取决于绝对值较大的数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数；- 加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。
2. 有理数的减法有理数的减法可转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
例如，5 - 3 可转化为 5 + (-3) = 2。
3. 有理数的乘法有理数的乘法遵循以下规则：- 两个正数相乘，结果仍然为正数；两个负数相乘，结果为正数；- 正数与负数相乘，结果为负数；- 0与任何数相乘，结果为0；- 乘法满足交换律和结合律。
4. 有理数的除法有理数的除法可转化为乘法运算，即a ÷ b = a × (1/b)。
例如，12 ÷ 3 可转化为 12 × (1/3) = 4。
三、有理数的运算示例1. 加法示例：2/3 + 3/4 = (2×4 + 3×3)/12 = (8 + 9)/12 = 17/122. 减法示例：5/6 - 2/5 = (5×5 - 2×6)/30 = (25 - 12)/30 = 13/303. 乘法示例：2/3 × (-4/5) = (2×(-4))/(3×5) = (-8)/154. 除法示例：7/8 ÷ (-2/3) = (7/8) × (3/(-2)) = (-21)/16综上所述，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
7年级有理数加减法混合运算
7年级有理数加减法混合运算一、有理数加减法混合运算的概念。
1. 有理数的定义。
- 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
例如：5， -3，0，(1)/(2)，-(3)/(4)等都是有理数。
2. 有理数加法法则。
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：3 + 5=8，(-2)+(-3)=-(2 + 3)=-5。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0），如5+(-5) = 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如：7+(-3)=+(7 - 3)=4，-8+3=-(8 - 3)=-5。
- 一个数同0相加，仍得这个数，如0+9 = 9。
3. 有理数减法法则。
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a - b=a+(-b)。
例如：5-3 = 5+(-3)=2，3-5=3+(-5)=-2。
4. 有理数加减法混合运算的顺序。
- 从左到右依次计算。
例如：1+2 - 3=3 - 3 = 0。
- 有括号时，先算括号里面的。
例如：(1+2)-3 = 3-3 = 0，1+(2 - 3)=1+(-1)=0。
二、有理数加减法混合运算的方法。
1. 统一成加法运算。
- 在进行有理数加减法混合运算时，首先要将减法转化为加法。
例如：5-3+2 = 5+(-3)+2。
2. 运用加法运算律简化运算。
- 加法交换律：a + b=b + a。
例如：1+2+3 = 2+1+3。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
例如：(1 + 2)+3=1+(2 + 3)。
- 在有理数加减法混合运算中，可以利用加法运算律使计算简便。
例如：1 - 2+3 - 4=(1 + 3)-(2 + 4)=4 - 6=-2。
三、有理数加减法混合运算的例题。
1. 简单运算。
- 计算1+(-2)+3+(-4)- 解：1+(-2)+3+(-4) =1 - 2+3 - 4 =(1 + 3)-(2 + 4) =4 - 6 =-22. 带括号的运算。
【数学知识点】有理数的定义和运算法则分享
【数学知识点】有理数的定义和运算法则分享有理数是指两个整数的比。
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
有理数的定义有理数是指两个整数的比。
有理数是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数的加法运算法则1.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.互为相反数的两数相加得0。
4.一个数同0相加仍得这个数。
5.互为相反数的两个数，可以先相加。
6.符号相同的数可以先相加。
7.分母相同的数可以先相加。
8.几个数相加能得整数的可以先相加。
有理数的减法运算法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
有理数的乘法运算法则1.同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2.任何数与零相乘，都得零。
3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4.几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5.几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的除法运算法则1.除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任意一个不等于零的数，都得零。
注意：零不能做除数和分母。
有理数的乘方运算法则1.负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。
2.正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。
有理数的加减法(基础)知识讲解
有理数的加减法(基础)知识讲解有理数的加减法(基础)知识讲解有理数是数学中的一个重要概念，它包括整数和分数。
有理数的加减运算是我们学习数学的基础，本文将对有理数的加减法进行详细讲解。
一、有理数的加法有理数的加法满足以下规则：1. 同号相加，取相同符号，数值相加。
例如：2 + 3 = 5，-2 + (-3) = -5。
2. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，数值取两数绝对值之差。
例如：2 + (-3) = -1，-2 + 3 = 1。
3. 加0不变。
例如：5 + 0 = 5，-3 + 0 = -3。
二、有理数的减法有理数的减法可以看作是加法的逆运算，减法满足以下规则：1. 一个数减去另一个数，可以转化为加上这个数的相反数。
例如：5 - 3 可以转化为 5 + (-3)。
2. 减0不变。
例如：5 - 0 = 5，-3 - 0 = -3。
三、加减法综合运算有理数的加减法可以综合运算，按照运算顺序依次计算。
例如：计算4 + (-3) - 2 + 5 - (-1)。
首先，根据加法规则，4 + (-3) = 4 - 3 = 1。
然后，依次计算 1 - 2 = -1，-1 + 5 = 4，4 - (-1) = 4 + 1 = 5。
四、简便计算方法对于一些较为复杂的加减法计算，我们可以利用简便的计算方法来简化运算过程。
1. 数字和0相加或相减，结果不变。
例如：28 + 0 = 28，13 - 0 = 13。
2. 相同数字相加或相减，可以直接运用倍数法则。
例如：3 + 3 = 6，4 - 4 = 0。
3. 在连续加减运算中，可以根据加法交换律和结合律进行合并运算。
例如：2 + 3 - 4 + 6 = (2 + 6) + (3 - 4) = 8 + (-1) = 7。
五、实际应用有理数的加减法在我们日常生活中有很多应用，例如：1. 温度计的读数变化可以看作是有理数的加减运算。
当温度从20℃降低3℃，再上升5℃，我们可以计算出最终的温度。
《有理数的加法与减法》 讲义
《有理数的加法与减法》讲义一、有理数的概念在数学的世界里，有理数是一个非常重要的概念。
那什么是有理数呢？有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数大家都比较熟悉，像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等。
而分数呢，比如 1/2、3/5 、－2/3 等等。
有理数可以用两个整数的比值来表示。
有理数在我们的日常生活中无处不在，比如气温的变化、买卖商品时的价格等等。
二、有理数的加法1、同号两数相加同号相加，就是两个正数相加或者两个负数相加。
当两个正数相加时，结果是一个正数，数值等于两数相加的和。
例如 2 ＋ 3 ＝ 5 。
当两个负数相加时，结果是一个负数，数值等于两数绝对值相加。
例如－2 ＋（－3) ＝－5 。
2、异号两数相加异号相加，就是一个正数和一个负数相加。
当正数的绝对值大于负数的绝对值时，结果是正数，用正数的绝对值减去负数的绝对值。
例如 5 ＋（－2) ＝ 3 。
当正数的绝对值小于负数的绝对值时，结果是负数，用负数的绝对值减去正数的绝对值。
例如－5 ＋ 2 ＝－3 。
3、一个数同 0 相加任何数加 0 都等于它本身。
例如 3 ＋ 0 ＝ 3 ，－3 ＋ 0 ＝－3 。
为了更好地理解有理数的加法，我们来通过一些实际的例子感受一下。
假设你有 3 元钱，又得到了 2 元，那么你现在一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 元。
如果你欠别人 3 元钱，又借了 2 元，那么你一共欠 3 ＋（－2) ＝ 1 元。
有理数加法的运算规则总结起来就是：同号相加取相同符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数加 0 仍得原数。
三、有理数的加法运算律有理数的加法运算还满足一些运算律，这能让我们的计算更加简便。
1、加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母表示就是 a ＋ b ＝b ＋ a 。
例如 2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 。
2、加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
七年级有理数加减法知识点
七年级有理数加减法知识点有理数是指带有分数（正整数、负整数、0）或小数（有限小数和无限循环小数）的数。
有理数加减法也是我们学习数学中的基础知识点之一。
下面来详细了解一下有理数的加减法知识要点：一、同号数相加减同号的数加减起来比较容易，只需要将它们的绝对值相加减，符号与原数同。
例：（-2）+（-3）= -5，（-5）-（-3）= -2。
二、异号数相加减异号数相加减的难度稍微大一些，需要注意一下规律。
规律：1. 两数相加，绝对值较大的数的符号不变，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
2. 两数相减，变成加上被减数的相反数，即 A-B=A+（-B），再按两数同号相加减法则计算。
例：（-2）+3 = 1，2-（-4）= 6。
三、附属问题1. 加数和减数符号相同时，它们的和的符号与它们相同。
2. 做加法时所写的式子和同加的式子等价。
3. 做减法时所写的式子和同加的式子等价。
4. 加法是减法的相反运算。
5. 减法是加上相反数的运算。
6. 把加法中的求和信号变成求差信号，并把第二个数的符号改变，即变成减法，减法变成加法。
四、数轴我们可以用数轴来表示有理数，它是数学中一个常见的表示方式。
例如，在数轴上表示的-3，与-6相距3个单位。
五、小数与分数的相互转化要将小数转化为分数，可以按照下面方法进行：以0.25为例：0.25=25/10025和100可以互除以25，得到1/4。
所以，0.25=1/4。
将分数转换为小数的方法：除分子以分母得到的小数即为所求小数。
如4/5=0.8。
总结：有理数加减法是我们学习数学非常重要的知识点，同号数相加减较为简单，异号数相加减需要注意相关规律。
同时在学习过程中要注意数轴的应用以及小数与分数的相互转化。
有理数的加法与减法运算
有理数的加法与减法运算一、有理数加法运算：1.定义：有理数的加法是将两个有理数相加得到一个新的有理数。
2.加法法则：a)同号相加，保留同号，并把绝对值相加。
b)异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。
3.加法运算顺序：先算同号相加，再算异号相加。
4.加法运算中的特殊现象：a)两数相加等于其中一数。
b)两数相加等于0。
二、有理数减法运算：1.定义：有理数的减法是已知两个有理数，求其中一个有理数比另一个有理数少多少。
2.减法法则：a)将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
b)按照加法法则进行计算。
3.减法运算顺序：先算同号相减，再算异号相减。
4.减法运算中的特殊现象：a)两数相减等于其中一数。
b)两数相减等于0。
三、有理数加减混合运算：1.定义：有理数的加减混合运算是有理数加法和减法的组合。
2.运算顺序：先算加法，再算减法。
3.运算中的特殊现象：a)加减混合运算中出现0。
b)加减混合运算中出现负数。
四、有理数加减法运算的计算法则：1.先算绝对值，再确定符号。
2.异号相加，保留绝对值较大的符号。
3.同号相加，保留同号，并把绝对值相加。
4.减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
五、有理数加减法运算的应用：1.解决实际问题：例如，计算购物后的总价，计算距离等。
2.简化表达式：例如，化简代数式，求解方程等。
3.数学证明：例如，证明恒等式，证明不等式等。
以上是对有理数的加法与减法运算的详细归纳，希望对您的学习有所帮助。
习题及方法：1.习题：计算2 + 3。
解题思路：根据加法法则，同号相加，保留同号，并把绝对值相加。
2.习题：计算-2 + 3。
解题思路：根据加法法则，异号相加，保留绝对值较大的符号，并把绝对值相减。
3.习题：计算5 - 2。
解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。
4.习题：计算-5 + 3。
解题思路：根据减法法则，将减法转换为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数，然后按照加法法则进行计算。
有理数的认识与运算方法总结与解析
有理数的认识与运算方法总结与解析有理数是数学中的一类数字，可以通过分数的形式表示，其中包括整数和分数。
理解和掌握有理数的认识与运算方法对于数学的学习至关重要。
本文将总结与解析有理数的认识与运算方法。
一、有理数的认识有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正数、负数和零。
例如，2、-3、1/2、-5/3等都是有理数。
有理数在数轴上可用有向线段表示，以0为中心，向右为正，向左为负。
二、有理数的运算方法1. 有理数的加法和减法有理数的加法可以分为同号相加和异号相减两种情况。
对于同号相加，只需将绝对值相加，并保持相同的符号；对于异号相减，可以转化为同号相加的形式，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如，(-5) + (-3) = -8，(-4) - (2) = -6。
2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法满足相应的运算法则。
同号相乘得正，异号相乘得负；除法可以转化为乘法的倒数形式。
例如，(-2) * (-3) = 6，(-8) / (4) = -2。
3. 有理数的乘方运算有理数的乘方运算可以通过多次相乘的方式实现。
对于正数的乘方，底数前的符号不变，指数相乘；对于负数的乘方，可以转化为倒数的乘法形式，再进行乘方运算。
例如，(-2)^3 = -8。
4. 有理数的平方根和立方根有理数的平方根和立方根都属于特殊的乘方运算。
平方根是指一个数的二次方等于该数的正数，称为平方根；立方根是指一个数的三次方等于该数的正数，称为立方根。
例如，√9 = 3，³√27 = 3。
三、有理数的应用有理数在日常生活中有广泛的应用，例如在温度计上表示温度的正负，银行账户中表示存款的增减等。
掌握有理数的认识与运算方法有助于我们解决实际问题。
四、有理数的性质有理数具有以下性质：1. 有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 有理数的减法和除法可以转化为加法和乘法进行计算。
3. 有理数的乘法具有零因子性质，即任何数与0相乘等于0。
有理数的基本概念与运算
有理数的基本概念与运算有理数是指可以表示为两个整数之比的数字。
在数学中，有理数包括有理整数、有理分数、有限小数和循环小数，而整数和零也属于有理数的范围。
有理数的运算通常包括加法、减法、乘法和除法四则运算。
本文将介绍有理数的基本概念以及这些运算的规则和性质。
1. 有理数的定义有理数可以用分数表示，其中分子和分母都是整数。
例如，2/3是一个有理数，因为2和3都是整数。
有理数的定义包括整数和分数，例如-2，1/4。
有理数的集合通常用Q来表示。
2. 有理数的加法有理数的加法是指将两个有理数相加得到一个新的有理数。
当两个有理数具有相同的分母时，只需要将它们的分子相加即可；当两个有理数具有不同的分母时，需要进行通分后再进行操作。
例如，1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。
有理数的加法满足交换律、结合律和分配律。
3. 有理数的减法有理数的减法是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数。
减法可以通过加上一个相反数来实现。
例如，5 - 3 = 5 + (-3) = 2。
有理数的减法满足结合律和分配律。
4. 有理数的乘法有理数的乘法是指将两个有理数相乘得到一个新的有理数。
有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
当两个有理数的分子或分母有一个为零时，结果为零。
例如，2/3 × 4/5 = 8/15。
5. 有理数的除法有理数的除法是指将一个有理数除以另一个有理数得到一个新的有理数。
有理数的除法可以转化为乘法，即将分子乘以除数的倒数。
例如，3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2。
需要注意的是，除数不能为零。
6. 有理数的性质有理数具有许多重要的性质，包括闭合性、可结合性、分配性、交换性、逆元和单位元等。
闭合性指的是两个有理数进行运算后的结果仍然是有理数；可结合性指的是连续进行相同运算的多个有理数之间的结果不受计算顺序的影响；分配性指的是一个有理数对另外两个有理数进行加法和乘法运算的结果相同。
第02讲 有理数加减法(6大考点)(解析版)
第02讲有理数加减法（6大考点）一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．考点考向（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点一：有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)； (2)1223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条． (1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．2.计算：113343⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点精讲【答案】11111 3333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.计算：（1） (+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 -1+-23【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666考点二：有理数的减法运算1．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.2.若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1 B． 1 C． 5 D．﹣5【答案】B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算1．计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26-18+5-16 ；（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）(3) ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111 -1+1++7+-2+-8 32432(4)113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）132.25321.87584+-+（6）1355354624618-++-【答案与解析】（1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224→同分母的数先加 ()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→统一成加法11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→整数、小数、分数分别加312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭（5）132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起0.55 4.5=-+=（6）1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-→整数，分数分别加18273010036-++-=+2936= 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 2.用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4 考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用1．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置；（2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm 表示1km ，按此画出数轴即可； （2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．2.华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100 150 350 -400 -100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．3.某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用1．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±82.若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么? 【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．考点六：规律探索1．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．一、单选题1．（2021·贵州七年级期末）如图，a、b是数轴上的两个数，则b a-一定是（）A．负数B．0 C．整数D．正数【答案】D【分析】由图可知b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减法法则进行判断．【详解】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴b-a＞0，故选：D．【点睛】本题主要考查正数和负数，数轴等知识点，解答此题，需要用到绝对值不相等的异号两数相加的法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．2．（2021·全国七年级期中）下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【答案】D【分析】直接利用有理数的加法法则逐一判断即可；【详解】解：A、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，正确，不合题意；B、异号两数相加，绝对值相等时和为0，正确，不合题意；C、互为相反数的两数相加得0，正确，不合题意；D、绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号，不正确，符合题意，应该改为：绝对值不等时，巩固提升取绝对值较大的数的符号作为和的符号． 故选择：D ．【点睛】本题主要考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，并用较大的数的绝对值减去较小数的绝对值，互为相反数的两数相加得0．熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．3．（2021·湖北七年级期中）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（ ） A ．16元 B ．14.8元 C ．11.5元 D ．10.7元【答案】C【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案. 【详解】由题意可得：()27.632.227.62⎡⎤÷⎣⎦﹣﹣()27.64.62=÷﹣232=÷ 11.5=（元）．故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元． 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱.4．（2021·陕西七年级期中）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为 5.3+米，则水位为76.8米应记为（ ） A ．76.8+米 B ．76.8-米C ． 3.2+米D ． 3.2-米【答案】D【分析】根据有理数的减法计算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法即可求得 【详解】76.880 3.2-=-∴水位为76.8米应记为 3.2-米故选D【点睛】本题考查了有理数的减法运算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法，理解题意是解题的关键．5．（2021·重庆酉阳·七年级期末）我县某山区学校去年秋季期末考试时最高气温为6℃，最低气温为2-℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．-10℃ B ．-8℃C ．8℃D ．10℃【答案】C【分析】依据题意列出算式，然后根据减法法则计算即可． 【详解】解：()62628--=+=℃. 故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的减法在实际生活中的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 6．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）如果230x y -++=， 那么x y -的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．5D ．-5【答案】C【分析】根据非负数的性质求出x y 、的值，再计算即可． 【详解】解：∵230x y -++=， ∴203=0x y -=+，，即2x =，=3y -；2(3)5x y -=--=， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题关键是利用非负数的性质求出x y 、的值． 二、填空题7．（2021·河北石家庄·七年级期中）黄河铁路大桥是一座钢架结构，0℃时，此桥长400米，气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，某天，技术人员对桥进行实际测量，发现桥短了0.088米，据此可知当天的气温是_____℃． 【答案】﹣8【分析】先计算钢桥缩短了多少个0.011米，再根据其对应关系进行计算即可． 【详解】解：∵气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米， 又∵桥短了0.088米，0.0880.0118÷=∴气温降低了8℃，∴当天的气温是0-8=-8（℃） 故答案为：-8．【点睛】本题考查了正负数的应用，解决本题的关键是读懂题意，理解桥长与温度之间的变化关系，抓住其中的关键词，其中气温升高对应钢桥伸长，气温降低对应钢桥缩短，数量上是1℃对应0.011，本题较基础，考查了学生审题以及对有理数的应用的基本功．8．（2021·全国）绝对值不相等的异号两数相加，取____________数的符号，并用___________减去____________．【答案】绝对值较大较大的绝对值较小的绝对值9．（2021·黑龙江七年级期末）我县12月份某天早晨，气温为-23℃，中午上升了5℃，晚上又下降了6℃，则晚上气温为________℃【答案】-24【分析】根据题意列式计算即可求解．【详解】依题意可得-23+5-6=-24故答案为：-24．【点睛】此题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意列式求解．10．（2021·辽宁）计算：15322⎛⎫⎛⎫--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．【答案】1【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可．【详解】解：15 322⎛⎫⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15 3+22-=3﹣2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算顺序是解答的关键．11．（2020·河南洛阳·）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是_________．【答案】0【分析】绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，据此求出满足题意的整数有哪些，再相加即可．【详解】解：∵绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，∴绝对值大于1.5并且小于3的整数是-2，2．∴-2+2=0，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法和有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．12．（2021·浙江）计算：12345678910112013201420152016--++--++--+⋅⋅⋅+--+=______．【答案】0【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2013-2014-2015+2016=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2009-2010-2011+2012）+（2013-2014-2015+2016）=0．故答案为：0．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2021·江苏南京一中七年级月考）阅读材料：我们在求1+2+3+…+99+100的值时可以用如下方法：我们设S＝1+2+3+…+99+100①，那么S＝100+99+…+3+2+1②．然后，我们由①+②，得2S＝（100+1）+（99+2）+…+（98+3）+（99+2）+（100+1）＝100×101．得S＝100×101÷2＝5050．依据上述方法，求5+10+15+…+195+200的值为_______．【答案】4100【分析】根据阅读材料的求和方法，即可求解．【详解】解：设S＝5+10+15+…+195+200，那么S＝200+195+190+…+10+5，则2S＝（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）＝205×40，∴S＝205×40÷2＝4100，故答案为：4100．【点睛】本题主要考查有理数求和，理解倒序相加求和法，是解题的关键．14．（2021·辽宁大连·七年级期末）我市一月某天早上气温为-6℃，中午上升了9℃，这天中午的温度是_______℃．【答案】3【分析】根据题意，将早上的气温加上上升了的温度即可求得答案．-+=．【详解】依题意，693故答案为3【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，掌握有理数的加减是解题的关键．15．（2021·全国七年级专题练习）计算：1－（＋2）＋3－（＋4）＋5－（＋6）＋…－（＋2014）＝_________．【答案】﹣1007．【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共1007组，计算后进一步合并即可．【详解】解：原式＝[1﹣（+2）]+[3﹣（+4）]+[5﹣（+6）]+…+[2013﹣（+2014）]＝﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1＝﹣1007．故答案为：﹣1007．【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键．16．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）已知0abc ≠，则b ac a b c ++=__________． 【答案】±3或±1【分析】根据题意可分情况进行求解，即当a 、b 、c 同为正和同为负时，当a 、b 、c 有两正一负和两负一正时，然后进行求解即可．【详解】解：∵0abc ≠，∴当a 、b 、c 同为正时，则有1113b a c a b c++=++=， 当a 、b 、c 同为负时，则有()()1113b a c a b c++=-+-+-=-， 当a 、b 、c 有两正一负，则有()1111b a c a b c ++=+-+=； 当a 、b 、c 有两负一正，则有()()1111b a c a b c++=-+-+=-； 故答案为：3±或±1．【点睛】本题主要考查绝对值的意义、正负数及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义、正负数及有理数的加法是解题的关键．三、解答题17．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各式：（1）（﹣1.25）+（+5.25） （2）（﹣7）+（﹣2）【答案】（1）4；（2）-9【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；【详解】解：（1）（﹣1.25）+（+5.25）=5.25﹣1.25=4；（2）（﹣7）+（﹣2）=﹣（7+2）=﹣9【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2021·全国七年级专题练习）计算：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【答案】12- 【分析】方法1 ：直接根据四则运算法则，先通分算小括号里面的，然后算中括号，最后去括号求解即可； 方法2 ：运用去括号法则，先去掉括号，再根据加法的交换律，将同分母的数相加减，得出结果．【详解】方法1 ：原式552120431212⎡⎤⎛⎫=+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 5514312⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ 520141212⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ 521412⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 521412=- 612=- 12=-． 方法2 ：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 55754343⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦ 55754343=--+ 57554433=--+ 24=- 12=-． 【点睛】算式有多重括号，如果按照方法一计算需要进行多次通分，完成括号内的运算从而得出结果；方法二通过观察算式的结构，括号内和括号外的数有分母相同的情况，如果去掉括号，就可以通过加法交换律让同分母的数相加减，从而减少通分，达到简算的目的．因此，在进行计算前要先观察算式的结构，不要盲目地去进行运算，但无论哪种方法都需要同学们正确运用有理数加减法运算法则．19．（2021·全国七年级专题练习）用较为简便的方法计算下列各题：（1）1112 210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）－8721＋531921－1279＋4221；（3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3195-；（2）-9942；（3）1120【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；【详解】解：（1）1112 210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1112210833355⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3 8115 --=3195-；（2）－8721＋531921－1 279＋4221＝(－8721－1279)＋192 (534)2121+＝－10000＋58 ＝－9942；（3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1354 --+-=13 54 -+=11 20【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20．（2021·河南七年级期中）有10筐白菜，称重后记录如下（单位：kg）： 26.5，22，27，24.5，26，23，23，22.5，24，23.5．（1）如果以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，这10筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？（2）10筐白菜一共多少千克？【答案】（1）不足8千克；（2）242千克【分析】（1）根据题意，以25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，将10个数据按要求表示出来，并求和即可；（2）根据（1）的结论即可求得．+-++-++-+-+-+-+-【详解】（1）1.5(3)2(0.5)1(2)(2)( 2.5)(1)( 1.5)=+-=-，4.5(12.5)8答：总计不足8千克．（2）由（1）可知总计不足8千克⨯-=（千克），则10筐白菜一共：10258242答：10筐白菜一共242千克．【点睛】本题考查了正负数的实际意义，有理数加减的应用，正确的计算是解题的关键．21．（2021·陕西七年级期中）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格比前一天上涨，负数表示价格比前一天下跌，单位：元，注：股票周末休市）：（1）星期三收盘时，该股票每股多少元？（2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？（3）到周五收盘，王先生那1000股在这一周的盈亏情况如何？【答案】（1）19.6元；（2）股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元；（3）盈利2100元【分析】（1）根据表格列出算式，即可得到结果；（2）根据表格求出每天的股价，即可得到最高与最低股价；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）星期三收盘时，该股票每股价格为：+++++-=元．18( 2.8)( 2.9)( 4.1)19.6++=元，（2）星期一该股票的价格是18( 2.8)20.8++=元，星期二该股票的价格是20.8( 2.9)23.7+-=元，星期三该股票的价格是23.7( 4.1)19.6++=元，星期四该股票的价格是19.6(2)21.6+-=元，星期五该股票的价格是21.6( 1.5)20.1所以该股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元．（3）这一周每股利润20.118 2.1-=元，所以王先生那1000股在这一周的盈利1000 2.12100⨯=元．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（2021·福建省光泽第一中学七年级开学考试）小明看一本故事书，第一天看了这本书的16，第二天看了42页，这时已看页数和未看页数的比是2：3，这本书一共有多少页？【答案】180页【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的16，第二天看了42页，这时已看了全书的223+，根据分数除法的意义，用42页除以21()236-+，就是这本书的页数．【详解】解：21 42()236÷-+2142()56=÷-74230=÷180=（页)答：这本书一共有180页．【点睛】本题考查了比的应用，解题的关键是把比转化成分数，然后根据分数除法的意义解答．23．（2021·阿荣旗孤山学校七年级期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．【答案】（1）291；（2）2111个【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量．【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．。
有理数加减法知识点归纳
有理数加减法知识点归纳有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。
在我们日常生活和学习中，有理数加减法是一项基础且必要的计算技巧。
下面将对有理数加减法的知识点进行归纳和总结。
一、有理数的概念有理数是可以表示为两个整数的比值的数，并且这个比值可以是正数、负数或零。
有理数包括整数和分数，可以用分数或小数形式表示。
二、有理数的加法1. 同号数相加：同号的有理数相加，绝对值相加，然后保留原来的符号。
例如，正数加正数，负数加负数。
2. 异号数相加：异号的有理数相加，绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
即正数加负数，取绝对值较大的符号。
三、有理数的减法有理数的减法可以转换为加法进行计算。
要注意减法的运算规则，减法是加上被减数的相反数。
四、加减法结合运算在有理数的加减法中，可以根据需要进行括号的运用，按照从左至右的顺序依次进行运算。
五、绝对值与相反数1. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号的值。
例如，|-5| = 5，|-2/3| = 2/3。
2. 相反数：一个有理数的相反数是与它绝对值相等、但符号相反的数。
例如，5和-5互为相反数，2/3和-2/3互为相反数。
六、加法和减法的计算规则1. 加法的交换律：a + b = b + a，对于任意的有理数a和b。
2. 加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，对于任意的有理数a、b和c。
3. 加法的零元素：a + 0 = a = 0 + a，对于任意的有理数a。
4. 减法的定义：a - b = a + (-b)，对于任意的有理数a和b。
七、应用举例1. 同号数相加：2 + 3 = 5，(-4.5) + (-2.7) = -7.2。
2. 异号数相加：(-2) + 5 = 3，(-1/2) + 1/3 = 1/6。
3. 同号数相减：5 - 2 = 3，(-7.2) - (-4.5) = -2.7。
4. 异号数相减：2 - 5 = -3，1/3 - (-1/2) = 5/6。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
、初中一年级数学上册有理数的加减法课堂讲解
有理数的加减法是初中一年级数学上册的重要内容，是数学学习中的基础知识。
在课堂讲解中，教师应该重点讲解有理数的加减法的概念和规律，引导学生掌握有理数的加减法运算方法，从而为学生打下坚实的数学基础。
一、有理数的概念及加减法规律有理数包括正有理数、负有理数和0，它们可以用分数表示，包括整数和分数。
在加减法中，同号数相加减取它们的绝对值，再用原来的符号，异号数相加减取它们的绝对值相减，取绝对值大的数的符号。
这些规律是有理数加减法的基础，学生应该牢记并灵活运用。
二、有理数的加减法运算方法1.同号数的加减法：同号数的加减法运算简单，只需将它们的绝对值相加减，再保留原来的符号。
在课堂上，教师可以通过具体的例子进行讲解，让学生掌握同号数加减法的基本操作。
2.异号数的加减法：异号数的加减法相对复杂一些，需要将它们的绝对值相减，然后取绝对值大的数的符号作为差的符号。
教师可以通过实际生活中的情境或图形来进行解释，引导学生理解异号数加减法的原理。
三、总结与回顾在学习有理数的加减法过程中，学生需要不断进行练习，巩固并加深对知识点的理解。
通过课堂练习、作业和课后复习，学生可以逐步掌握有理数的加减法运算方法，并提高解决实际问题的能力。
个人观点与理解：对于有理数的加减法，我认为学生在掌握基本的运算规律后，应该注重实际问题的应用。
通过丰富多样的实际问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让数学不再只是枯燥的数字运算，而是与生活紧密相关的实用工具。
通过对有理数的加减法课堂讲解的内容进行全面评估和深入思考，我对这一知识点的理解更加深刻和灵活。
希望以后的课堂教学中，教师能够更多地关注学生的实际需求，引导他们灵活运用数学知识解决实际问题。
有理数的加减法是数学学习中的基础知识，这一知识点在数学课上占据着重要位置。
通过深入的讲解和实际练习，学生可以逐步掌握有理数的加减法运算方法，并应用于解决实际问题中。
有理数包括正有理数、负有理数和0，它们可以用分数表示，包括整数和分数。
有理数加减法的定义
有理数加减法的定义有理数是我们生活中常见的数，它们包括整数和分数。
而有理数的加减法是我们学习数学的基础知识之一。
本文将详细介绍有理数加减法的定义及其运算规则。
有理数的加法定义是：对于任意两个有理数a和b，可以通过以下步骤求得它们的和：1. 如果a和b的符号相同，那么它们的和的符号也相同，且绝对值等于a和b的绝对值之和。
2. 如果a和b的符号不同，那么它们的和的符号与绝对值较大的数的符号相同，且绝对值等于较大的数的绝对值减去较小的数的绝对值。
例如，对于两个有理数-3和5，它们的符号不同，而且绝对值较大的数是5，因此它们的和的符号是正号，绝对值等于5的绝对值减去-3的绝对值，即5-3=2。
所以，-3+5=2。
有理数的减法定义是：对于任意两个有理数a和b，可以通过以下步骤求得它们的差：1. 将减法转化为加法，即a-b可以转化为a+(-b)。
2. 按照加法的规则计算a和-b的和。
例如，对于两个有理数4和-2，它们的差可以转化为4+(-2)的和。
根据加法的规则，4的符号是正号，绝对值等于4，而-2的符号是负号，绝对值等于2。
因此，4+(-2)=4-2=2。
所以，4-(-2)=2。
有理数的加减法运算规则如下：1. 加法和减法的优先级相同，按照从左到右的顺序进行计算。
2. 可以根据需要添加小括号来改变计算顺序。
3. 当遇到多个加法或减法运算符时，可以从左到右依次计算。
例如，对于有理数表达式3+4-2+5-1，根据运算规则，可以按照从左到右的顺序进行计算：3+4=7；7-2=5；5+5=10；10-1=9。
所以，3+4-2+5-1=9。
在实际应用中，有理数的加减法常常用于解决各种问题，例如计算温度变化、货币兑换、物体的移动等。
通过掌握有理数的加减法定义和运算规则，我们可以更好地理解和应用数学知识。
总结起来，有理数的加减法是我们日常生活中常见的运算，它们有着明确的定义和运算规则。
通过掌握这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，解决实际生活中的问题。
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知识点
（一）有理数分类
1、有理数的分类：
按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：
2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴
1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。
（三）相反数
1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
（四）绝对值
1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即对于任何有理数a,都有
4、绝对值的计算规律：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.
（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
相关结论：
（1）0的相反数是它本身。
（2）非负数的绝对值是它本身。
（3）非正数的绝对值是它的相反数。
（4）绝对值最小的数是0。
（5）互为相反数的两个数的绝对值相等。
（6）任何数的绝对值都是它的正数或0，即|a|≥0。
（五）倒数
1、定义：乘积为“1”的两个数互为倒数。
2、求法：颠倒这个数的分子和分母。
1
3、a（a≠0）的倒数是
a
有理数的运算
一、有理数的加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值。
3、一个数同零相加，仍得这个数；
4、两个互为相反数的两个数相加得0。
二、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
三、有理数的乘法法则：
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2、任何数同0相乘，都得0；
3、乘积是1的两个数互为倒数。
四、有理数的除法法则：
1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
2、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
五、乘方
1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
2、幂的符号法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何次正整数次幂都是0。
六、有理数的混合运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
1、12－(－18)＋(－7)－15
2、)
+
(+
83
-
+
+
+
)
-
)
(
(
41
15
(
)
26
3、)2.0
+
+
-
+
+
-4、(－40)－(＋28)－(－19)＋(－24)－(32) +
(
3.1
(
)9.0
)7.0
)8.1
(
(-
5、(＋4.7)－(－8.9)－(＋7.5)＋(－6)
6、－6－8－2＋3.54－4.72＋16.46－5.28
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精品文档 A 、805.3795.3<≤a B 、85.375.3<≤a
C 、85.375.3<<a
D 、805.3795.3<<a
14、下列说法中正确的是（ ）
A 、最大的负有理数是-1
B 、任何有理数的绝对值都大于零
C 、任何有理数都有它的相反数
D 、绝对值相等的2个有理数一定相等
15、如果a 表示有理数，那么a+1,|a+1|,(a+1),+1,|a|+1中肯定为正数的有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个。