数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．

（1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时，

①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】

【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．

【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF =

∵90BAC DAF ==︒∠∠

∴BAD CAF ∠=∠

在△DAB 与△FAC 中

AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴()DAB FAC SAS △≌△

∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；

②∵DAB FAC △≌△

∴=CF BD

∵BC BD CD =+

∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC

证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形

∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，

∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△DAB ≌△FAC （SAS ）

∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF

∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，

∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°

∴∠ABD ＝180°－45°＝135°

∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，

∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF

∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，

∵90BAC ∠=︒

，AB AV ==

∴1422BC AH BH CH BC =

=====， ∴114

CD BC == ∴3DH CH CD =+=

∵四边形ADEF 是正方形

∴90AD DE ADE ==︒，∠

∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，

∴四边形CMEN 是矩形

∴NE CM EM CN ==，

∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠

∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠

∴

ADH DEM =∠∠

在△ADH 和△DEM 中

ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴ADH DEM △≌△

∴32EM DH DM AH ====，

∴3CM EM ==

∴2232CE EM CM =-=

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．

2．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD

（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12

BC +CD .

【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；

（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=

12

BC ，即可得出结论． 【详解】

（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，

∴∠BAE=∠FAE ，

在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝，

∴△ABE ≌△AFE （SAS ），

（2）∵△ABE ≌△AFE ，

∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，

∵E 为BC 的中点，

∴BE=CE ，

∴FE=CE ，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠DEF=∠DEC ，