人教A版高中数学必修五浙江专用课时跟踪检测(十九) 基本不等式

课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab ≤a ＋b

2

A 级——学考水平达标

1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1

lg x

≥2 B ．当x >0时，x ＋

1

x

≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1

x 的最小值为2

D ．当0

x

无最大值

解析：选B A 中，当0

1

lg x

≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1

x 在区间(0,2]上单

调递增，知x －1x 的最大值为3

2

，故选B.

2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1

≤1 D ．x ＋1

x

≥2

解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1

x 2＋1

≤1成立．故选C.

3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2 D.1a ＋1b

≥2 解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥2

1

ab ≥2

1

4

＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bc B.a ＋d 2

C.a ＋d 2＝bc

D.a ＋d 2

≤bc

解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0

且不相等，所以b ＋c >2bc ，故

a ＋d

2

>bc . 5．若x >0，y >0，且2x ＋8

y ＝1，则xy 有( )

A ．最大值64

B ．最小值

164

C ．最小值1

2

D ．最小值64

解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫

2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.

6．若a >0，b >0，且1a ＋1

b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．

解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1

b ≥2

1

ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，

∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.

答案：4 2

7．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x 2

2x

，

∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫

x ＋1x ≥3，

当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：3

8．若对任意x >0，

x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

解析：因为x >0，所以x ＋1

x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有

x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3

≤12＋3＝1

5，

即

x x 2＋3x ＋1

的最大值为15，故a ≥1

5.

答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 9．(1)已知x <3，求f (x )＝

4

x －3

＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3

y 的最小值． 解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，

∴f (x )＝

4x －3＋x ＝4x －3

＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎡⎦

⎤4

3－x ＋(3－x )＋3≤－2

43－x

·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当4

3－x ＝3－x ，

即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，

∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x

y ，

即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，

故1x ＋3y 的最小值为1＋32

.

10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b

c ≥6.

证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c

b ≥2，

所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，

即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.

B 级——高考能力达标

1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |

D ．a 2＋b 2>2|ab |

解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．

2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1

c 的值( )