八年级数学上册第1章《勾股定理的应用》典型例题(北师大版)

《勾股定理的应用》典型例题

例1 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝090，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.

例2 如图，ABC ∆中，15,14,13===AC BC AB ，求BC 边上的高AD 。

例3 某工人拿一个2.5m 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）。这个分线盒离地多高？

A C D

例4 如图所示，南北向的直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9点50分，我缉私艇A发现正东方有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国缉私艇B 密切注意．A和C两艇的距离为13海里，A、B两艇的距离为5海里，缉私艇B 测得B、C距离为12海里．若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

例5 如图所示，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4m，那么梯足将外移多少米？

参考答案

例1 分析： 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC ，再运用三角形面积公式得到CD AB AC BC S ABC ⋅=⋅=∆2

121，于是不难求CD. 解：∵△ABC 是直角三角形，AB ＝5，BC ＝3，由勾股定理有 222BC AB AC -= ∴4925=-=AC

∵ CD ⊥AB

∴ CD AB AC BC S ABC ⋅=⋅=∆2

121 ∴4.25

43=⨯=⋅=AB AC BC CD ∴CD 的长是2.4cm 说明：本题的解题关键是先用勾股定理求AC ，再用“面积法”求CD

例2 分析 欲求AD ，需先知道BD 或CD ，由于BC CD BD =+所以可设x BD =，则x CD -=14，这样分别在两个直角三角形根据勾股定理把2AD 用x 的代数式表示出来，并建立方程，求出x ，问题可解。

解 设x BD =，则x CD -=14。

在直角三角形ABD 中，由勾股定理，得22213=+x AD 。所以22213x AD -= 同理，在直角三角形ACD 中，.)14(15222x AD --=

所以2222)14(1513x x --=-，解得5=x

在直角三角形ABD 中，由勾股定理，得.1251322=-=AD

说明：这种解决问题的方法在几何的计算问题中用的较多。

例 3 分析 图中ABC ∆是直角三角形，5.2,5.1==AB AC ，根据勾股定理可求出BC 的长。

解 在直角三角形ABC 中，因为222BC AC AB +=，所以2225.15.2BC +=。由0>BC ，得.2=BC

所以分线盒离地面2m 。

例4分析 为降低题目难度，可将综合题化为若干个基本问题来解决．思考：

（1）ABC ∆是什么类型的三角形？ A B

C D

（2）走私船C 距我领海最近距离是多少？

（3）走私船C 最早在什么时间进入我领海？

将问题分解成几个基本问题，达到了化繁为简的目的．

解 设MN 与AC 相交于E ，则︒=∠90BEC ．

又22222213125AC BC AB ==+=+Θ，

∴ABC ∆为直角三角形，︒=∠90ABC ．

由于CE MN ⊥，∴走私船C 进入我领海的最近距离CE ．设y BE x CE ==,，则

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+.5)13(,12222222y x y x 即 ,().

22221442513y x y x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩ ∴.)13(2514422x x --=-

解得 ().144海里13

x =

.1441308513

÷≈（h ）， ∴516085.0=⨯（min ）．

9时50分＋51分＝10时41分．

答：走私船C 最早在10时41分进入我领海．

例 5 解 在Rt ABC ∆中，7.0,5.2==BC AB ，由勾股定理，可以得到 222AC BC AB +=， 也就是 2227.05.2AC +=，所以 .4.2=AC

在Rt C B A 11∆中，24.04.2,5.21111=-=-==AA AC C A B A ，又由勾股定理，得21212

11C A C B B A +=，也就是221225.2+=C B ，

所以 .8.07.05.1,5.1111=-=-==BC C B BB C B

故梯足将外移0.8m 。

说明：从以上的计算可以知道，当梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4m 时，梯足

并不是外移0.4m，那么有没有可能梯子的顶端沿墙垂直下滑的距离与梯足外移的距离恰好相等呢？请你计算一下，当梯子的顶端沿墙垂直下滑1.7m时，梯足外移多少米？