电磁场第五章 均匀平面波
均匀平面波的极化特性
6.6 均匀平面波的极化特性1.电磁波的极化定义2.电磁波的极化形式1．电磁波的极化定义电磁波的极化是指空间某点的电场强度矢量方向随时间的变化规律。
用空间某点电场强度矢量的端点随时间变化所描画出的轨迹来表示。
电磁波的极化特性在日常生活中也经常使用例如：超短波收音机U E l =⋅θElcos E l =⋅θ均匀平面波的极化特性平面波的表达式：mˆcos()xE E t kz a =-+ωϕmˆcos()yH H t kz a=-+ωϕxyz2.电磁波的极化形式（1）线极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是一条直线。
yx2.电磁波的极化形式（1）线极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是一条直线。
（2）圆极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是圆。
yEx2.电磁波的极化形式（1）线极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是一条直线。
（2）圆极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是圆。
（3）椭圆极化：电场强度矢量端点随时间变化的轨迹是椭圆。
yx（1）线极化假设空间任意一个平面波：x yE E E =+若电场表示为：m ˆcos()x x x x E E t kz a ϕ=ω-+演示1——x 方向的线极化波m ˆcos()y y y y E E t kz aϕ=ω-+演示2——y 方向的线极化波线极化条件：ϕϕϕ==y x 或x y ϕϕπ-=±两个相互垂直线极化波叠加：条件：ϕϕϕ==y x 22mmcos()x y E EEt kz ωϕ=+-+与x 轴的夹角为:E θarctan()ymxmE E θ=x yE E E =+m ˆcos()x x x x E E t kz aϕ=ω-+m ˆcos()y y y y E E t kz aϕ=ω-+其中：结论：两个相互垂直线极化波叠加，其初始相位相同时，形成新的线极化波。
两个相互垂直线极化波叠加：条件：22mmcos()x y E EEt kz ωϕ=+-+与x 轴的夹角为:E θarctan()ymxmE E θ=-x yE E E =+m ˆcos()x x x x E E t kz aϕ=ω-+m ˆcos()y y y y E E t kz aϕ=ω-+x y ϕϕπ-=±其中：结论：两个相互垂直线极化波叠加，其初始相位相同时，形成新的线极化波。
第五讲 平面波
= ηHr
× erz
r A
⋅
(
r B
×
r C)
=
r B
⋅
r (C
×
r A)
=
r C
⋅(
r A
×
r B)
( ) erz
erz
⋅ ⋅
r H r E
= =
erz erz
⋅ ⋅
⎜⎛⎝ηη1Hrer×z
×
r E
⎟⎞
erz
⎠ =
η=Hrerz⋅⋅(⎜⎛⎝erezrz××erηz1)
r E =
⎟⎞ ⎠ 0
=
1
η
r E
=
yˆ 1
η
E(z,t)
3. 本征阻抗（特征阻抗）
计算式 η = ωμ = ωμ = μ k ω με ε
单位：欧姆（Ω）
η数值等于电场强度与对应磁场强度的振幅之比，并且仅决定于媒质的
电磁参数。
真空中 ④结论：
η0 =
μ0 = 120π ≈ 377 (Ω ) ε0
x
Ex = Emx cos(ω t − kz + ϕ x )
亥姆霍兹方程的解
结论
①亥姆霍兹方程的解代表正弦电磁波，进一步说，它们代表着等相位面（又
称波面）为平面的平面电磁波。如果将不同nˆ 的平面波进行叠加，还可以表
示等相位面为柱面或球面等其它形式的电磁波。
②从电场和磁场的叉积关系可以看出，电磁波的电场矢量、磁场矢量与波矢量
方向两两正交，且满足右手螺旋关系 Eˆ × Hˆ = kˆ。电场和磁场只有垂直于传播
在理想电介质中的波动方程解表示为
Ei (rv,t) = Ei m cos[ω
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第5章 平面电磁波
第5章 平面电磁波5.1基本内容概述本章讨论均匀平面波在无界空间传播的特性，主要内容为：均匀平面波在无界的理想介质中的传播特性和导电媒质中的传播特性，电磁波的极化，均匀平面波在各向异性媒质中的传播、相速与群速。
5.1.1理想介质中的均匀平面波1．均匀平面波函数在正弦稳态的情况下，线性、各向同性的均匀媒质中的无源区域的波动方程为220k ∇+=E E对于沿z 轴方向传播的均匀平面波，E 仅是z 坐标的函数。
若取电场E 的方向为x 轴，即x x E =E e ，则波动方程简化为222d 0d x x E k E z+= 沿＋z 轴方向传播的正向行波为()j jkz x m z E e e φ-=E e （5.1）与之相伴的磁场强度复矢量为()()z kz z ωμ=⨯H e E 1j jkz ym E e e φη-=e （5.2）电场强度和磁场强度的瞬时值形式分别为(,)Re[()]cos()j t x m z t z e E t kz ωωφ==-+E E e （5.3）(,)Re[()]cos()j t m y Ez t z e t kz ωωφη==-+H H e （5.4）2．均匀平面波的传播参数 （1）周期2T πω=(s)，表示时间相位相差2π的时间间隔。
（2）相位常数k =（rad/m ），表示波传播单位距离的相位变化。
（3）波长kπλ2=（m ），表示空间相位相差2π的两等相位面之间的距离。
（4）相速p v kω==m/s ），表示等相位面的移动速度。
（5）波阻抗（本征阻抗）x y E H η==Ω），描述均匀平面波的电场和磁场之间的大小及相位关系。
在真空中，37712000≈===πεμηη（Ω） 3．能量密度与能流密度在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度，即221122εμ=E H电磁能量密度可表示为22221122e m w w w εμεμ=+=+==E H E H （5.5）瞬时坡印廷矢量为21zη=⨯=S E H e E （5.6）平均坡印廷矢量为211Re 22av z η*⎡⎤=⨯=⎣⎦S E H e E （5.7） 4．沿任意方向传播的平面波对于任意方向n e 传播的均匀平面波，定义波矢量为n x x y y z z k k k k ==++k e e e e （5.8）则00()n jk j --==e r k r E r E e E e （5.9）()()1n η=⨯H r e E r （5.10）00n =e E （5.11）5.1.2电磁波的极化1．极化的概念波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性, 并用电场强度矢量的端点在空间描绘出的轨迹来描述。
均匀平面波的电场与磁场相位相同
时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而 一秒内相位变化 2 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 T 2 π 的关系 式，得 2π 1 T f
空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关 系式 k 2π，得 2π k 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 位随空间的变化特性。 由上式又可得
因在给定的区域中， E 0, H 0 ，由上两式得
E z H z 0 z z
考虑到
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez Ez 2 2 0 2 2 x y z z 2H z 2H z 2H z 2H z 2 Hz 0 2 2 2 2 x y z z
上式称为非齐次波动方程。
式中
J (r , t ) J (r , t ) E (r , t ),
其中J (r , t ) 是外源。电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为
(E ) t
若所讨论的区域中没有外源，即 J ' = 0 ，且媒质为理想介质， 即 = 0，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，
Ex ( z) Ex0e jkz
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为
Ez(z, t)
Ex ( z, t ) 2Ex0 sin( t kz)
电场强度随着时间 t 及空间 z 的 变化波形如图示。
可见，电磁波向正 z 方向传播。
O
2
t1 = 0 t 2
若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为
2 2 E (r ) k E (r ) 0 2 2 H (r ) k H (r ) 0
第五章 平面电磁波
图5.4.1 信号在有损介质中传输的色散失真
从图中可以看出，z=0处波形很窄，波形在传 输到z=L处被展宽，这会产生信号的失真。失真较 严重时，两列脉冲交叠在一起，信号也就不能正常 传输了。
2. 电磁波的群速度 在有损介质中电磁波信号的传播速度，实际
上就是多种频率叠加而形成的波包的传播速度， 通常称为群速度vg。群速度vg与相速度不同，相 速度vp是电磁波等相面的传播速度。
上式是以Ex和Ey为变量的椭圆方程。即电场强度 矢量的端点是椭圆，所以称为椭圆极化波。
线极化波和圆极化波可以看做椭圆极化波的特 例。
例5.5.1判断下列平面电磁波的极化形式。
所以电磁波是沿着z轴负方向传播，Ex和Ey的相差为π， 故为线极化波在二、四象限。 （2） 可得
写成瞬时值 所以电磁波是沿z轴正方向传播，Ex与Ey的相差为 π/2，故为右旋圆极化波。
所以，由于频率引而起的相速度差别不大。 再来看良导体中的相速
可见，良导体中v与 成正比。因此良导体的 色散非常严重。
那么电磁波的色散对信号的传输有什么影响呢？ 前面几节讨论的是单一频率的均匀平面电磁波。 而信号是不同频率的谐波叠加而成，单一频率的均 匀平面谐波不能携带任何信号。这样信号在有损介 质中传播，就会使某些频率的谐波相速度增大，另 一些频率的谐波相速度减小。如果信号从z=0出发， 就会使某些频率的谐波先到达距离z=L处，另一些 频率的谐波后到达z=L处。所以信号在有损介质中 传输，会引起色散失真，如图5.4.1所示。
1. 复介电常数 引入复介电常数后，无源导电介质的麦克斯韦方程为
2. 导电介质中的电场强度 电场强度的瞬时值表达式为
导电媒质电场强度的传播规律： （1） 导电介质中电场强度是按照e-αz衰减的，α是表示单
电磁场与电磁波(第4版)第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播1C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播2均匀平面波的概念 波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，等相 位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波。
均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其特性及分析方法简单，但又 表征了电磁波的重要特性。
实际应用中的各种复杂形式的电 磁波可看成是由许多均匀平面波叠加 的结果。
另外，在距离波源足够远的 地方，呈球面的波阵面上的一小部分 也可以近似看作均匀平面波。
C.Y.W@SDUWH 2010波阵面xE波传播方向o yzH均匀平面波电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播3本章内容5.1 理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化 5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播 5.4 色散与群速 5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播45.1 理想介质中的均匀平面波5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 5.1.2 理想介质中的均匀平面波的传播特点 5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波C.Y.W@SDUWH2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播55.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想 介质。
均匀平面波沿 z 方向传播，则电场强度和磁场强度都不是 x 和 y 的函数，即∂E ∂E ∂H ∂H = =0, = =0 ∂x ∂y ∂x ∂yd2E d2H + k 2E = 0 , + k 2H = 0 dz 2 dz 2∂Ez =0 ∂zHz = 0∂Ex ∂E y ∂Ez + + =0 由于 ∇ ⋅ E = ∂x ∂y ∂zEz = 0∂ 2 Ez + k 2 Ez = 0 ∂z 2同理 ∇ ⋅ H =∂H x ∂H z + + =0 ∂x ∂y ∂z∂H y结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 —— 横电磁波（TEM波）C.Y.W@SDUWH 2010电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播6在直角坐标系中：∇ 2 F = ex∇ 2 Fx + ey ∇ 2 Fy + ez ∇ 2 Fz 即 (∇2 F )i = ∇ 2 Fi(i = x, y, z )2 2教材第28页 式(1.7.5)2 2 如：(∇ F )φ ≠ ∇ Fφ注意：对于非直角分量， (∇2 F )i ≠ ∇2 Fi 由电场强度满足波动方程 ∇ E + k E = 0ex ∇ 2 Ex + ey ∇ 2 E y + ez ∇ 2 Ez + k 2 (ex Ex + ey E y + ez Ez ) = 0 即⎧∇ 2 Ex + k 2 Ex = 0 ⎪ 2 2 ⎨∇ E y + k E y = 0 ⎪ 2 ∇ Ez + k 2 Ez = 0 ⎩⎧ ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex + + 2 + k 2 Ex = 0 ⎪ 2 2 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂2 Ey ∂2 Ey ∂2 Ey ⎪ + + + k 2 Ey = 0 ⎨ 2 2 2 ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂2 E ∂2 E ∂2 E z + 2 z + k 2 Ez = 0 ⎪ 2z + ∂x ∂y 2 ∂z ⎪ ⎩2010C.Y.W@SDUWH电磁场与电磁波第5章 均匀平面波在无界空间中的传播7对于沿 z 方向传播的均匀平面波，电场强度 E 和磁场强度 H 的分量 Ex 、Ey 和 H x 、H y 满足标量亥姆霍兹方程，即d 2 Ex + k 2 Ex = 0 dz 2 d2Ey + k 2Ey = 0 dz 2 2 d Hx + k 2H x = 0 dz 2 d2H y + k 2H y = 0 dz 2以上四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因 而它们的解的形式也相同。
第五章 平面波函数
（5.3.4）
把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系： （5.3.5）
把方程（5.3.2）重新整理可以得到 ： （5.3.6）
对于这个表达式，它的等相位面由下列式子给出：
（5.3.7）
它的等振幅面由下列式子给出：
（5.3.8）
根据式子（5.3.5），我们可得到下面的结论：等相位面 和等振幅面是实相互正交的。用方程表示为：
ｍ，得到场的分量表达式
（5.1011）
（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）
其中：
。特别地， ＝0，我们有， y
-k z m Ex = ωε x 1 Ez = (k 2 - k z 2 ) m jωε Hy = - m x
（5.1.12）
这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。
k0 kz
kd
根据前面的讨论，当 kz k0 ，无衰减介质波导传输波的 频率趋于截止频率，这时v 0。
2 2 u = k k 我们设v＝0及 ，解特征方程可以得到： d 0
a k d 2 - k 02 ) = 0 2 a cot( k d 2 - k 02 ) = 0 2 tan(
（5.1.24）
u( x, z ) = e-jpx- jk z z
（5.3.2）
把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到 ：
p2 + kz 2 = k2
（5.3.3）
在通常情况下，p和 kz是复数，可以设为以下形式：
p = pr - j t k z = r - j
pr 2 - t 2 r 2 - 2 = k 2 pr t r = 0
a 2 a x2 x
a 2
根据 Ez 和 H y 在 x a 2 处需满足的条件，也就是电 场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。 由此得到下面的方程：
第五章微波传输基本理论
2.第n菲涅尔区的半径Fn
第n菲涅尔区边界的某个点P到TR连线的距 离为第n菲涅尔区的半径Fn.
Fn TP d1 Fn (d1 ) 2d1
2 2 2
Fn PR d 2 Fn d 2 2d 2
2 2
2
因第n菲涅尔区定义: TP+PR=d+nλ/2
所以:
Fn
nd1d 2 d
5.1.4.2 传播衰落现象
衰落？一般是指信号电平随时间的随机起伏。 按引起衰落的原因可以分为
吸收型衰落：主要是由于传播媒质电参数的变化，使得 信号在媒质中的衰减发生相应的变化而引起的。这种衰 落跟天气有很大的关系，而且信号电平的变化缓慢，所 以称为慢衰落。此外，由地形起伏、建筑物及障碍物的 遮蔽等引起的阴影衰落也称慢衰落。 干涉型衰落：主要是由于随机多径干涉现象引起的。这 种衰落的信号电平变化很快，所以称为快衰落。
各种波段波的特性
长波的穿射能力最强，电磁波靠地波传播，但其收发信 天线的占用场地很大，常用于海上通信。 中波比较稳定，主要用于广播。 短波在传输过程中，碰到电离层会发生反射现象因而其 传输距离很远，故短波常用于远距离通信或广播。但极 易受电离层变化的影响，信号会时强时弱。 超短波的传输特性同光波一样，是沿直线传播的，要求 通信双方之间（两微波站之间）没有阻挡物，信号方能 传输到对方。 微波传输特性也和光波一样，只能沿直线传播即视距传 播，绕射能力弱，且在传播中遇到不均匀的介质时，将 产生折射和反射。
TPn R d
2
n
各相邻费涅尔区在R处产生的电波场强相位相差1800
由费涅尔区半径公式可知，第一费涅尔区的 面积为πF21 ;第二费涅尔区的面积为： πF22- πF21 = π（√ 2 F1 ）2- πF21 = πF21 第三费涅尔区的面积为： 2 2 2 2 F3 F2 ( 3F1 ) ( 2F1 ) ＝πF21 可见个相邻费涅尔区面积相等。但它们离R 的距离不相等。第一费涅尔区离R最近，在R 处产生的电场E1最大，其他依次减小，近似 为等差级数，考虑到相位相反，使R点的总 电场强度E=1/2 E1
电磁场与电磁波(第4版)第5章部分习题参考解答-电磁场与电磁波第五章
5.1 在自由空间中，已知电场3(,)10sin() V/m y E z t e t z ωβ=−G G，试求磁场强度。
(,)H z t G解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3π(,)10cos( V/m 2y E z t e t z ωβ=−−G G这是一个沿方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为z +90−D 。
与之相伴的磁场为300311π(,)(,)10cos(210πcos() 2.65sin() A/m120π2z z y x x H z t e E z t e e t z e t z e t z ωβηηωβωβ=×=×−−=−−−=−−G G G G G G G5.2 理想介质（参数为0μμ=、r 0εεε=、0σ=）中有一均匀平面波沿x 方向传播，已知其电场瞬时值表达式为9(,)377cos(105) V/m y E x t e t x =−G G试求：(1) 该理想介质的相对介电常数；(2) 与(,)E x t G相伴的磁场；(3) 该平面波的平均功率密度。
(,)H x t G 解：(1) 理想介质中的均匀平面波的电场E G应满足波动方程2220EE tμε∂∇−=∂G G据此即可求出欲使给定的E G满足方程所需的媒质参数。
方程中222929425cos(105)y y y y y E E e E e e t x x∂∇=∇==−−∂G G G G 221892237710cos(105)y y y E E e e t t x∂∂==−×−∂∂G G G x = 故得91899425cos(105)[37710cos(105)]0t x t x με−−+×−即18189425251037710με−==×× 故181882r 0025102510(310) 2.25εμε−−×==×××=其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿x +方向传播的均匀平面波，其相速为98p 10210 m/s 5v k ω===× 而8p 310v ====×故2r 3() 2.252ε==(2) 与电场相伴的磁场E G H G 可由0j E ωμ∇×=−H G G求得。
均匀平面波的概念和波动方程
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=
工程电磁场5 平面电磁波
2HH t 2tH 2 0 电磁波动方程
2） E ( H )
t
H EE
t
(E)2EE t2tE 2
D0
2EE t 2tE 2 0 电磁波动方程
4.亥姆霍兹方程的平面波解
在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质
（ε和μ为常数，γ为0）的无源区域中，电场场量 满足亥姆霍兹方程，即：
电磁场在无耗媒质中 的传播是不衰减的
2E
2E t2
0
vv 2 E k 2 E 0( k 2 2 )
2H
2H t2
0
2 xE 2 v 2 yE 2 v 2 zE 2 vk2E v0
2E
x2 2E
x y
x2
2Ex y 2 2Ey
y 2
2Ex z 2 2Ey
z 2
k2Ex k2Ey
v H
) k
v E
) k 为表示波传播方向
的单位矢量。
同理可以推得：
v E
v H
) k
从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度
之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征
阻抗，用 表示，即：
v
E
＝ v
——媒质本征阻抗
H
特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：
0
0 0
4107 120377() 361109
结论：当 xy 0或时，电磁波为线极化波。
2、当x
y
且
2
Exm
Eym时
Ex＝ Exmcos(tx)
Ey＝ Eymcos(tx2)m Eymsin(tx)
合成电场的模及其与x轴夹角为：
关于均匀平面波的另一种理解
关于均匀平⾯波的另⼀种理解
当在⽹络上搜索均匀平⾯波时，来⾃百度百科解释如下：
是指电磁波的场⽮量只沿着它的传播⽅向变化，在与波传播⽅向垂直的⽆限⼤平⾯内，电场强度E和磁感应强度H的⽅向、振幅和相位都保持不变。
均匀平⾯波的传播特点：
1、电场E、磁场与传播⽅向之间相互垂直，是横电磁波
2、电场与磁场的振幅不变
3、波阻抗为实数，电场与磁场同相位
4、电磁波的相速与频率⽆关
5、电场能量密度等于磁场能量密度
6，E和H在传播⽅向上的分量为0
然⽽，对于电磁场的数学抽象表达式⽽⾔，其只是描述表⾯现象。
这⾥做数学上的定义（假设电场沿z轴传播）平⾯波：电磁场的E和H组成的平⾯与传播⽅向Z⽅向垂直的波。
即Ez=0, Hz=0 就好像⼀个平⾯沿着法线⽅向运动⼀样。
均匀平⾯波：均匀表⽰电场或者磁场，在其平⾯分量上是个常数。
即 ∂E/∂x=0 ∂E/∂y=0
∂H/∂x=0 ∂H/∂y=0
意思是说，对E⽽⾔，是关于（y,z,t)的函数，对H⽽⾔，是关于（x,z,t)的函数）。
如下图所⽰，当对E⽽⾔取（y,z,t)中的数时，x为零。
当对H⽽⾔取（x,z,t)中的数时，y为零。
可以想象对E⽽⾔，那把⼑以xz平⾯和以yz平⾯分别切下去。
第5章 均匀平面波1
v E0
ω
ϕ
v k
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
2、波的频率和周期 频率： 频率： ω = 2π f 周期： 周期： T = 1 f
v 3、波数 k 、波长 λ 与波矢量 k
波数k: 长为 2π 距离内包含的波长数。 波数k: 距离内包含的波长数。
2π 2π 1 = 波长: 波长: λ = k = ω µε f µε
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
第5章
均匀平面波在无界空间中传播 均匀平面波在无界空间中传播
理想介质中的均匀平面波 5.1 理想介质中的均匀平面波 电磁波的极化 5.2 电磁波的极化 5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播 均匀平面波在导电媒质中 导电媒质中的传播 5.4 色散与群速
5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
Ex = Re[( A1e − jkz + A2 e jkz )e jωt ]
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
通解的物理意义： 通解的物理意义：
ωt = 0
Ex
ωt =
π
4
ωt =
☺☺ 2π
π
2
kz 3π
+ 首先考察 Em e − jkz 。 其实数 形式为： 形式为：
π
0
+ x
不同时刻 E 的波形
∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
2
v E ( x, y , z )
v E ( Ex , 0, 0 )
⇓
v E ( Ex , E y , E z )
v E ( z)
思路： 思路：
时谐场
沿着z方向传播 均匀平面波
电动力学 电磁场与电磁波课件第5章 均匀平面波在无界空间中的传播
ε μ
A1e
jkz
eˆy
ε μ
Ex
z
定义介质的波阻抗
磁场的瞬 时值表达？
μ Ω
ε
1/ 称为特征光导纳
因和媒质参数有关，故又称媒质的本征阻抗或特性阻抗。
特别地，真空中的波阻抗
对于非铁磁材料
则
H
0
0 120 0
eˆz
eˆx
1 η
Ex
z
= 0/n
377Ω
H
1 η
eˆz
E
H
1 η
eˆz
k
传播方向 等相面
z
Ez,t eˆxEmcost kz
E
z,t
Eme
j t kr
Em 是复振幅矢量
该式可以推广到任意传播方向k：
E r,t
Eme
j t kr
因此，对时谐场 -j k
相应的磁场矢量：
H
r,t
1 η
eˆn
E
1 η
eˆn
Eme
j
ωt
k r
例： 已知无界理想媒质( =90, =0， =0)
3e
j
kz 3
eˆx
3
40
ej
kz 3
eˆy
1
10
e
jkz
eˆz
5
16
W
/
m2
Pav
S
Sav
dS
5 16π
W
课堂练习： 频率为9.4GHz的均匀平面波在
聚乙烯中传播，设材料无损耗，相对介电常数r=2.26，磁场
的振幅7 mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的振幅。
解：
均匀平面波的概念和波动方程
6.2 均匀平面电磁波的概念和特性1、均匀平面电磁波的概念2、时变电磁场的波动方程3、均匀平面波的特性在自由空间，麦克斯韦方程：EH t HE tεμ∂∇⨯=∂∂∇⨯=-∂c v 0,0==J ρ可见：时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的磁电场，同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前传播的电磁波动。
该电磁波动称为电磁波。
什么是电磁波？例如：水波问题：一个点源所发射的电磁波的等相位面是什么样？1、均匀平面电磁波的概念（1）等相位面：在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。
等相位面又称为波阵面。
（2）球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。
（3）平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
（4）均匀平面电磁波：任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同，这种电磁波称为均匀平面电磁波。
2、时变电磁场的波动方程从麦克斯韦方程出发：c v 0∂∇⨯=+∂∂∇⨯=-∂∇⋅=∇⋅=DH J t BE tD B ρ在自由空间：HB E D με==0=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂=⨯∇H E tH E t E Hμεc v 0,0==J ρ对第一方程两边取旋度：)(E t H ⨯∇∂∂=⨯∇⨯∇ε()H t t εμ∂∂=-∂∂22Htμε∂=-∂根据矢量运算：22()H H H H∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=-∇由此可得：222tH H ∂∂=∇με——磁场的波动方程同理可得：222tE E ∂∂=∇με——电场的波动方程3、均匀平面波的特性x yzO对均匀平面波而言，在直角坐标系，假设电磁波沿z 方向传播，等相位面平面平行于xOy 平面。
如图所示：0,0=∂∂=∂∂yx所以：22222222HH z t E Ez tμεμε∂∂=∂∂∂∂=∂∂（1）均匀平面波满足一维波动方程。
（2）均匀平面波是横电磁波（TEM 波）根据麦克斯韦第一方程:tE H ∂∂=⨯∇ε结论：电场只有E x 和E y 分量，说明电场矢量位于xOy 平面上。
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目录
• 引言 • 均匀平面波的性质 • 均匀平面波的反射与折射 • 均匀平面波的应用 • 总结与展望
01
引言
Chapter
波的基本概念
波的传播
波动方程
波在介质中传播时，介质中的每个质 点会围绕其平衡位置进行振动，并带 动相邻质点振动，形成波的传播。
描述波在介质中传播规律的数学方程 ，可以用来求解波速、波长等参数。
平面波的数学描述
通过波动方程和初始条件，可以求 解出平面波的数学描述，包括波速 、波长、振幅等参数。
02
均匀平面波的性质
Chapter
均匀平面波的传播特性
传播方向性
均匀平面波在传播过程中保持波 阵面为平面，且波矢量K与波阵 面垂直，因此具有明显的传播方
向性。
速度恒定
在无耗媒质中，均匀平面波的传 播速度与频率无关，保持恒定值
。
能量守恒
在传播过程中，均匀平面波的能 量随距离的增加而减小，但单位 面积ห้องสมุดไป่ตู้能量密度保持恒定，即能
量守恒。
均匀平面波的波动方程
01
02
03
波动方程的形式
描述均匀平面波传播的波 动方程具有特定的形式， 包含了波的频率、波速、 波长等参数。
求解方法
求解波动方程需要采用适 当的数学方法和技巧，以 获得波的详细信息，如振 幅、相位等。
物理意义
波动方程描述了波在媒质 中的传播规律，反映了波 与媒质之间的相互作用关 系。
均匀平面波的能量分布
能量密度分布
均匀平面波的能量在空间中呈球形分布，随着距离的增加而扩散 ，但单位面积的能量密度保持恒定。
电磁场与电磁波_第五章
1 2
Re[ez
|
E
|2
1
|c
|
e j
]
ez
2
1
|c
|
|
E
|2
cos
总结
• 1. 电场E、磁场H与传播方向之间相互垂直， 仍然是横电磁波(TEM)
• 2. 电场与磁场的振幅呈指数衰减 • 3. 波阻抗为复数，电场与磁场不同相位 • 4. 电磁波的相速与频率有关 • 5. 平均磁场能量密度大于平均电场能量密
•
亥姆霍兹的 解为 ：
E
ex ex
exEx Exme( E x me z
ex Exme
j ) z
e jz
z
• 式中第一个式子 ez 表示电场的振幅随传播
距离 z而呈指数衰减， 称为衰减常数，表
示每传播一个单位距离其振幅的衰减量;第二
个因子 e jz是相位因子， 称为相位常数
•
瞬时值为：E
2ExmEym
Exm2
E
2 ym
cos
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
• 在导电媒质中，由于电导率不为零，当电 磁波在其中传播时，其中必然有传导电流， 这将导致电磁能量的损耗。
• 5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
• 在均匀导电媒质中，由
•得
H
J
jE
j(
j
)E
j cE
1
E
( H ) 0
• 可见，在弱导电媒质中，除了有一定的损 耗所引起的衰减外，与理想介质中平面波 的传播特性基本相同
5.3.3 良导体中的均匀平面波
• 良导体是指 1的媒质 • 传播常数为
j ( j ) j (1 j )
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第五章习题
b 1,c 0
则波矢量为
k xˆ2 yˆ
传播方向的单位矢量为
nˆ k xˆ2 yˆ 1 xˆ2 yˆ
k 22 12 5
波长为
2 2 2.81m
k5
已知电场的复振幅可写为
Em xˆ 2yˆ j 5 EmR EmI
其中
EmR xˆ 2 yˆ
1 xˆ 2yˆ
5
5 Rˆ
5
EmI zˆj 5
可见
EmR EmI 5
zˆ Rˆ zˆ 1 xˆ 2yˆ 1 yˆ 2xˆ nˆ
5
5
Rˆ zˆ 1 xˆ 2yˆ zˆ 0
5
因为
EmR、E相mI 位相差
90 ，所以电场为一个左旋圆极化波。
与之相伴的磁场为
H r 1 nˆ E r 1 2xˆ yˆ xˆ 2 yˆ j 5zˆ e j2xy
与之相伴的磁场为10cos9951012011jxbyczerxyjze520已知自由空间中均匀平面波的电场为试有此表达式确定波的传播方向波长极化状态并求出磁场252250xbyczxyjzbjc则波矢量为传播方向的单位矢量为mrmiexyjeemrmi波长为已知电场的复振幅可写为其中mrmimrmi可见因为相位相差所以电场为一个左旋圆极化波
H r ,t 1 nˆ E r ,t
0
1 1 3xˆ yˆ zˆ xˆ 2yˆ zˆ10cos 9.95108t k r 120 11
8103 xˆ 4yˆ 7zˆcos 9.95108t 3x y z
A/m
5.20已知自由空间中均匀平面波的电场为
E r xˆ 2yˆ j 5zˆ e j2xbycz
波长 相速
2 2 m 1m 2
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5.2.1 极化的概念 波的极化
在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间 变化的轨迹。
波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。
5.1.2 均匀平面波的传播特性及其相关参数
1、均匀平面波的传播参数
（1）角频率、频率和周期 平面波的时间变化特性，固定空间位置
点
角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
T 2π
T 2π (s)
Ex
频率 f ： f 1 (Hz)
Ex
o
z
Ex (z,0) Emcoskz 的曲线
（3）相速（波速） 相速v：电磁波的等相位面 在空间中的移动速度
由 t kz C
dt kdz 0
故得到均匀平面波的相速为
v dz 1 (m s) dt k
相速只与媒质参数 有关，而与电磁波
方向传播，若不考虑纯净水的衰减，即水的特性参数表示为 r 81、 r 1、 0 。设电场
沿 x 方向，即 E
ex Ex ；当 t
0，z
1 12
m 时，电场等于其振幅值1 V/m 。试求：(1) E(z,t) 和
H (z,t) ；(2)电磁波的相速和波长；(3)瞬态坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。
1 1 108 m/s
8100 3
= 2π 1 m
k 72
S
E
H
ez
1
Em
2
ez
3
40
cos2
4.8 109t 144 z
E exe j144 z
H
ey
3
40
e j144 z
Sav
1 2
Re[E
H*]
ez
3
80
W/m2
5.2 电磁波的极化
则 kx 4π、ky 0、kz 3π， k ex 4π ez 3π
k (3π)2 (4π)2 5π
k
4
3
en k ex 5 ez 5
（2） 2π 2π 2 m ， f c 3108 7.5108 Hz
k 5π 5
2/5
（3） k Hm 4π(A) 0 2 3π 4 0 A 3
1
ez
Em
2
wav
1 2
Em2
1 2
H
2 m
Sav
1 2
Re[E(z) H *(z)]
ez
1
2
Em2
ez
1 2
Em2
1
wavv
能量的传输速度等于相速
3、理想介质中的均匀平面波的传播特点
x
E O
y
H
z
理想介质中均匀平面波的 E 和 H
① 均匀平面波的电场 E 磁场 H 与传播方向相互垂直，满足右手螺旋关系，电场和磁场只能 在电磁波传播方向的横截面内，且相互垂直；
V/m
因 30 rad/m，故
2π 2π 0.21 m , f c 3108 45 108 1.43109 Hz
30
π /15 π
则
H (z,t E(z,t)
)
ey
1 3π
cos(90 108 t
30z)
A/m
ex
40
cos(90
方向 —— 横电磁波（TEM波）
设电场只有x分量，即 E(z) exEx (z)
d
2Ex ( dz 2
z)
k
2
Ex
(
z)
0
其解为： Ex (z) A1e jkz A2e jkz
解的物理意义
k
第一项
E1x (z)
A1e jkz
E e e j1x jkz 1xm
沿 －z 方向 传播的波
E2x (z,t) Re[E2xmej 2x ejkzejt ] E2xm cos( t kz 2x )
相伴的磁场
由 E jH ，可得
磁场与电场相互 垂直，且同相位
H1
ey
j
E1x z
ey
k
E1x
ez
ex E1x
v 1.996108 2.12 m
f 9.4109
0 377 251 r 2.26
Em Hm 7 103 251 1.757 V/m
例 均匀平面波的磁场强度的振幅为 1 A/m，以相位常数
为30 向为
rad/m 在空气中沿
dz 2
dz 2
由于 E Ex Ey Ez 0 x y z
Ez 0 z
Ez 0
同理 H Hx H y Hz 0 x y z
Hz 0
2 Ez z 2
k 2Ez
0
结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播
H
均匀平面波
5.1.1 一维波动设方在程无的限均大匀的平无面源波空解间中，充满线性、各向同性 的均匀理想介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电场强 度和磁场强度均不是 x和 y 的函数，即
E E 0 , H H 0
x y
x y
d2E k2E 0 , d2H k2H 0
E1x Emcos(t kz) 的波形
E1x (z, t) Re[E1xmej 1x e jkzejt ] E1xm cos( t kz 1x )
可见，A1e jkz 表示沿 +z 方向传播的波。
第二项
E2x (z)
A2e jkz
E e e j 2x jkz 2 xm
1894年和1895年，俄国的波波夫和意大利的 马可尼成功发明了通信装置，电磁理论从此 得到蓬勃发展。
按照频率划分的电磁波频谱分布如图所示
广播
电视
超 长长中 短 波波波 波
通信，雷达 遥感遥测
可
微 波
红 外
见 光
紫 外
…
3THz
3GHz UHF VHF
3MHz
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 均匀平面波的概念 5.1.2 均匀平面波的传播特性及其相关参数 5.1.3 任意方向传播的均匀平面波
H
(ex
A
ey
2
ez
4)e
jπ
(4
x3z
)
式中A为常数。求：（1）波矢量 k ；（2）波长和频率；（3）A
的值；（4）相伴电场的复数形式；（5）平均坡印廷矢量。
解：（1）因为 H Hme jk r ，所以 Hm ex ey 2 ez 4 ， k r kx x ky y kz z 4πx 3πz
k enk exkx eyky ezkz
en Em 0 1
H (r ) en E(r )
x 等相位面
P(x,y,z)
r
波传播方向
o
z
y
沿＋z方向传播的均匀平面波
x
等相位面
P(x,y,z)
r
en
波传播方向
o
z
y
沿任意方向传播的均匀平面波
例5.1.5 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为
120π(ex1.2 ey 5 ez1.6)e jπ(4x3z)
[(ex 3 ey 2 ez 4)e jπ(4x3z) ]*
12π 29 (ex 4 ez 3) W m2
例题 5-1 满足 IEEE802.11b 标准的无线局域网(WLAN)工作在 2.4GHz-2.5GHz 频率范围，发 射的电磁波在远区可以近似认为均匀平面波。设频率为 2.4GHz 的电磁波在纯净水中沿（+z）
t 0
z 1 m 12
1
Ex
( 12
, 0)
Em
1
4.8
109
0
144
1 12
x
0
x kz 12 rad
E(z,t) ex cos(4.8 109t 144 z 20 ) ex cos(4.8 109t 144 z)
vp
1
（4）
E(r ) 0H (r ) en
120π(ex 3 ey 2 ez 4)e jπ(4x3z)
(ex
4 5
ez
3) 5
120π(ex1.2 ey 5 ez1.6)e jπ(4x3z)
（5）
Sav
1 2
Re[E H * ]
1 Re 2
108
t
30z)
V/m
5、沿任意方向传播的均匀平面波
沿+z 方向传播的均匀平面波
E(
z)
Eme jkz
E e jkez r m
k ezk
ez Em 0
H
(z)
1
ez