《信号与系统》第5章

sin( t ) ( t )
t
t
sin( t ) ( t )

s
2 2
,
Re[ s ] 0
e
sin( t ) ( t )

(s )
2 2
,
Re[ s ]
• 衰减余弦信号 e t cos( t ) ( t )
L
Re[ s ] 0
x s a
f ( at ) 0
1

f ( at ) e

st
dt

f ( x )e 1
0
x d a
a

f ( x )e
s x a
0
s dx F a a
其收敛域为
1 1 1 ) ( t ) j 2 s j s j

s
2 2
, Re[ s ] 0
j t
1 2
(e
j t
e
) ( t )
s s
2 2
, Re[ s ] 0
18
拉普拉斯变换的性质：尺度变换
若 f ( t ) F ( s ), 则（a > 0）
2

2 3
( s 1)
e
, Re[ s ] 1
25
拉普拉斯变换的性质：时域微分定理
若 f ( t ) F ( s ), 则
f
(1 )
Re[ s ] 0
Re[ s ] 0
( t ) sF ( s ) f ( 0 ),
收敛域至少为
证：
L
f
(1 )
(t )
b a s
Re[ s ] 0
s F , a
e
Re[ s ] a 0
21
矩形脉冲信号的拉普拉斯变换
1, f (t ) g t 2 0,
0 t 其他
g t (t ) (t ) 2
f (t )e
t

1 2




F b ( j ) e
j t
d
f (t )
1 2


F b ( j ) e
( j ) t
d
4
拉普拉斯变换的定义
令
s j
，于是
f (t )e
st
Fb ( s ) f (t )



dt
st
1 j 2
若
f 1 ( t ) F1 ( s ), f 2 ( t ) F 2 ( s ), Re[ s ] 1 Re[ s ]
2
则有
a 1 f 1 ( t ) a 2 f 2 ( t ) a 1 F1 ( s ) a 2 F 2 ( s ), Re[ s ] max( 1 , 2 )
1 e L g t L ( t ) ( t ) 2 s s
s

1 e s
s
注：阶跃函数的拉普拉斯变换的收敛域为 Re[ s ] 0 ， 而矩形脉冲信号的拉普拉斯变换的收敛域为 Re[ s ] 。这说明两个信号之和的拉普拉斯变 换的收敛域有可能扩大
1 s s0
0
, Re[ s ] Re[ s 0 ]
实指数函数 虚指数函数 阶跃函数
e (t ) e
j t
1 s 1
, Re[ s ] , Re[ s ] 0
(t ) (t )
s j 1 s
, Re[ s ] 0
16
5.2 拉普拉斯变换的性质：线性

e

f
st
(1 )
(t ) e

st
dt

0


e
st
df ( t ) dt
0 st
f (t )
0
s
f (t ) e
0
f ( 0 ) sF ( s )
26
实例一
f 1 ( t ) 3 ( t ) L f 2 (t ) 2 (t ) L
, Re[ s ] 0
f ( 3t 2 )
的象函数。
s s 1
2
解： f ( t 2 )
e
2s
f (3t 2 )
1
s 3
2

2 3
s
e

s s 9
2

2 3
s
e
3s 1 3 e
t
f (3t 2 )
s 1 ( s 1) 9
信号与系统
第五章 连续系统的 s 域分析
5.1 拉普拉斯变换
• 傅里叶变换的局限
F
f (t )
F ( j )



f (t ) e
j t
dt
– 对某些信号计算困难，如 (t ) ； – 某些信号的傅里叶变换不存在，如 eat (a > 0)。
• 引入衰减因子，使积分存在


7
反因果信号的收敛域
观察反因果信号 其拉普拉斯变换为
Fb 2 ( s ) e
0
f 2 ( t ) e ( t )， 为实数
(s )t 0
t
t
e
st
dt
e
s

无界， 不定， 1 ， s



9
单边拉普拉斯的定义
• 单边拉普拉斯变换的定义
F (s) L
f ( t ) 0

f (t )e

st
dt
• 单边拉普拉斯逆变换的定义
0, 1 F ( s ) 1 f (t ) L j 2 t 0

j
j
F ( s ) e ds ,
27
高阶导数的情况
• 一阶导数
L
f
(1 )
( t ) sF ( s ) f ( 0 )

• 二阶导数
L
f
(2)
(t ) sL

f
(1 )
(t ) f

(1 )
(0 )
st
t 0
• 单边拉普拉斯变换对
f (t ) F ( s )
10
拉普拉斯变换存在的条件
• 第一条件 信号 f (t) 在有限区间 (a, b) 内可积，即

b
f ( t ) dt
a
其中 0 ≤ a < b < ∞ • 第二条件 对于某个 0有
lim f ( t ) e
t 0 t

8
双边信号的收敛域
观察双边信号
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) e ( t ) e ( t )， 和 为实数
t t
其拉普拉斯变换为
Fb ( s ) Fb 1 ( s ) Fb 2 ( s ) 1 s 1 s ,
cos( t ) ( t )
t
s s
2 2
,
Re[ s ] 0 Re[ s ]
e
cos( t ) ( t )
s (s )
2 2
,
24
例：尺度变换、时移、复频移
已知 f ( t ) F ( s ) 求 (t )
(1 )
3 s
f 2 (t )
(1 )
3 s
f 1 ( t ) 3 ( t ) L
f
(1 ) 1
(t ) 3

f 2 (t ) (t ) L
f
(1 ) 2
(t ) 1

• 对于单边拉普拉斯变换而言，
– 不同的时间信号可能会有相同的象函数； – 象函数相同的时间信号的导数可能会有不同的象函数。
12
拉普拉斯变换存在条件举例说明
信号 f ( t ) ( t ) t 由于
1

b
1 t
dt ln t
b a
ln b ln a
a
故不满足第一条件，所以其拉普拉斯变换不存在。
13
矩形脉冲信号的象函数
1, f (t ) g t 2 0,
17
正弦函数的拉普拉斯变换
e
j t
(t ) (t )
1 s j 1 s j 1 j2 (e
j t
, Re[ s ] 0 , Re[ s ] 0
j t
e
j t
sin( t ) ( t ) cos( t ) ( t )
e
0,
0
11
拉普拉斯变换存在条件举例说明
信号 f ( t ) 由于
1 t
b a
(t )

b
1 t
dt 2 t
2 b 2 a
a
故满足第一条件。又
lim f ( t ) e
t t
lim
1 t
t
e
t
(t ) 0
故满足第二条件。 因此，该函数的拉普拉斯变换存在。
0 t 其他
该信号显然满足拉普拉斯变换存在的条件。